人教版初中數(shù)學同步講義八年級上冊專題01 與三角形的角有關(guān)的計算（30題）（解析版）

專題第01講與三角形的角有關(guān)的計算1．（2022秋?海珠區(qū)校級期末）如圖，在△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分線，它們相交于點O，∠C＝70°．（1）∠AOB的度數(shù)為；（2）若∠ABC＝60°，求∠DAE的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義得出∠OAB+∠OBA＝（∠BAC+∠ABC），根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出∠BAC+∠ABC＝180°﹣∠C＝110°，進而即可求解；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得∠DAC，∠BAC，根據(jù)AE是∠BAC的角平分線，得出∠CAE＝∠CAB＝25°，根據(jù)∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD，即可求解．【解答】（1）解：∵AE、BF是∠BAC、∠ABC的角平分線，∴∠OAB+∠OBA＝（∠BAC+∠ABC），在△ABC中，∠C＝70°，∴∠BAC+∠ABC＝180°﹣∠C＝110°，∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝180°﹣（∠BAC+∠ABC）＝125°．故答案為：125°；（2）解：∵在△ABC中，AD是高，∠C＝70°，∠ABC＝60°，∴∠DAC＝90°﹣∠C＝90°﹣70°＝20°，∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝50°∵AE是∠BAC的角平分線，∴∠CAE＝∠CAB＝25°，∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD＝25°﹣20°＝5°，∴∠DAE＝5°．2．（2023春?洛寧縣期末）如圖，AD為△ABC的高，AE，BF為△ABC的角平分線，∠CBF＝30°，∠AFB＝70°．（1）∠BAD＝°；（2）求∠DAE的度數(shù)．【分析】（1）利用角平分線的定義求出∠ABC，再利用三角形內(nèi)角和定理求出∠BAD．（2）根據(jù)∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD，求出∠BAE，∠BAD即可．【解答】解：（1）∵BF平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠CBF＝60°，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＝90°﹣∠ABC＝90°﹣60°＝30°，故答案為：30；（2）∵∠AFB＝∠FBC+∠C，∴∠C＝70°﹣30°＝40°，∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝180°﹣60°﹣40°＝80°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝＝40°，∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝40°﹣30°＝10°．3．（2023春?豐城市期末）如圖，在△ABC中，BD，CD分別是∠ABC，∠ACB的平分線，BP，CP分別是∠EBC，∠FCB的平分線．（1）當∠ABC＝64°，∠ACB＝66°時，∠D＝°，∠P＝°；（2）∠A＝56°，求∠D，∠P的度數(shù)；（3）請你猜想，當∠A的大小變化時，∠D+∠P的值是否變化？請說明理由．【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義和三角形的內(nèi)角和定理解答即可；（2）根據(jù)角平分線的定義和三角形的內(nèi)角和定理解答即可；（3）利用（2）的結(jié)論即得結(jié)果．【解答】解：（1）∵BD，CD分別是∠ABC，∠ACB的平分線，∠ABC＝64°，∠ACB＝66°，∴，∠EBC＝116°，∠BCF＝114°，∴∠D＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB＝115°；∵BP，CP分別是∠EBC，∠FCB的平分線，∴，∴∠P＝180°﹣∠CBP﹣∠BCP＝65°；（2）在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∵BD，CD分別是∠ABC，∠ACB的平分線，∴，∴∠D＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝＝＝＝＝118°；∵BP，CP分別是∠EBC，∠FCB的平分線，∴∠CBP+∠BCP＝＝＝＝＝90°+28°＝118°；∴∠BPC＝180°﹣（∠CBP+∠BCP）＝＝90°﹣28°＝62°；（3）∠D+∠P的值不變．∵由（1）知，，∴∠D+∠P＝180°．∴當∠A的大小變化時，∠D+∠P的值不變．4．（2023春?樂山期末）（1）如圖1，△ABC中，延長AB到M，BP平分∠MBC，延長AC到N，CP平分∠NCB，PB交PC于點P，若∠ABC＝α，∠ACB＝β，∠BPC＝θ，求證：α＝；（2）如圖2，△ABC中，E是AB邊上一點，F(xiàn)是AC邊上一點，延長AB到M，PB平分∠MBC，PF平分∠EFC，BP交PF于點P，若∠AEF＝α，∠ACB＝β，∠BPF＝θ，求證：θ＝；（3）如圖3，△ABC中，E是AB邊上一點，F(xiàn)是AC邊上一點，延長EF到G，PB平分∠ABC，PF平分∠AFG，BP交PF于點P，若∠AEF＝α，∠ACB＝β，∠BPF＝θ，探究并直接寫出α，β，θ之間的等量關(guān)系．【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)、外角性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，求出∠CBP+∠BCP，∠A，再次利用三角形的內(nèi)角和定理進行解答；（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)、外角性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，求出∠CBP，∠CFP，∠BOP，再次利用三角形的內(nèi)角和定理進行解答；（3）根據(jù)角平分線的性質(zhì)、外角性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，求出∠OFP，∠CBO，∠POF，再次利用三角形的內(nèi)角和定理進行解答；【解答】（1）證明：∵BP平分∠MBC，CP平分∠BCN，∴∠CBP＝∠MBC＝，∠BCP＝∠BCN＝，∴，∵∠A+α+β＝180°，∴∠A＝180°﹣α﹣β，∵∠CBP+∠BCP+∠P＝180°，∴，，∴；（2）證明：如圖所示：∵BP平分∠MBC，F(xiàn)P平分∠EFC，∴∠CBP＝∠MBC＝，∠CFP＝∠EFC＝，∵∠OFC+∠FOC+∠ACB＝180°，∠BOP＝∠FOC，∴∠BOP＝180°﹣β﹣∠OFC＝180°﹣β＝，∵∠CBP+∠P+∠BOP＝180°，∴，∴；（3）解：如圖所示：∵BP平分∠ABC，PF平分∠AFG，∴∠OFP＝∠AFG＝，∠CBO＝，∵∠POF＝∠CBO+∠ACB＝，∵∠POF+∠OFP+∠P＝180°，∴，∴．5．（2022秋?黃石期末）如圖，直線CD與EF相交于點O，∠COE＝60°，將一直角三角尺AOB（含30°和60°）的直角頂點與O重合，OA平分∠COE．（1）求∠BOD的度數(shù)；（2）圖中互余的角有對；（3）將三角尺AOB以每秒3°的速度繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，同時直線EF以每秒9°的速度繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，設運動時間為ts（0≤t≤40）．①當t為何值時，直線EF平分∠AOB．②當t＝時，直線EF平分∠BOD．【分析】（1）依據(jù)∠COE＝60°，OA平分∠COE，可得∠AOC＝30°，再根據(jù)∠AOB＝90°，即可得到∠BOD＝180°﹣30°﹣90°＝60°；（2）互余的角有12對分別是：∠A與∠B；∠A與∠AOC，∠A與∠AOE，∠COE與∠B，∠COE與∠AOC，∠COE與∠AOE，∠COA與∠BOD；∠AOE與∠BOD；∠A與∠BOD；（3）①分兩種情況進行討論：當OE平分∠AOB時，∠AOE＝45°；當OF平分∠AOB時，∠AOF＝45°；分別依據(jù)角的和差關(guān)系進行計算即可得到t的值；②分兩種情況進行討論：當OE平分∠BOD時，∠BOE＝∠BOD；當OF平分∠BOD時，∠DOF＝∠BOD；分別依據(jù)角的和差關(guān)系進行計算即可得出t的值．【解答】解：（1）∵∠COE＝60°，OA平分∠COE，∴∠AOC＝30°，又∵∠AOB＝90°，∴∠BOD＝180°﹣30°﹣90°＝60°；（2）互余的角有4對分別是：∠A與∠B；∠A與∠AOC，∠A與∠AOE，∠COE與∠B，∠COE與∠AOC，∠COE與∠AOE，∠COA與∠BOD；∠AOE與∠BOD；∠A與∠BOD，∠COA與∠BOE；∠AOE與∠BOE；∠A與∠BOE；（3）①分兩種情況：當OE平分∠AOB時，∠AOE＝45°，即9°t+30°﹣3°t＝45°，解得t＝2.5；當OF平分∠AOB時，∠AOF＝45°，即9°t﹣150°﹣3°t＝45°，解得t＝32.5；綜上所述，當t＝2.5s或32.5s時，直線EF平分∠AOB；②t的值為12s或36s．分兩種情況：當OE平分∠BOD時，∠BOE＝∠BOD，即9°t﹣60°﹣3°t＝（60°﹣3°t），解得t＝12；當OF平分∠BOD時，∠DOF＝∠BOD，即9°t﹣300°＝（3°t﹣60°），解得t＝36；綜上所述，若直線EF平分∠BOD，t的值為12s或36s．6．（2022秋?淮南期末）（1）如圖1，有一塊直角三角板XYZ放置在△ABC上，恰好三角板XYZ的兩條直角邊XY、XZ分別經(jīng)過點B、C．△ABC中，∠A＝30°，則∠ABC+∠ACB＝，∠XBC+∠XCB＝．（2）如圖2，△ABC的位置不變，改變直角三角板XYZ的位置，使三角板XYZ的兩條直角邊XY、XZ仍然分別經(jīng)過B、C，那么∠ABX+∠ACX的大小是否變化？若變化，請舉例說明；若不變化，請求出∠ABX+∠ACX的大小．【分析】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理．已知∠A＝30°易求∠ABC+∠ACB的度數(shù)．又因為∠X為90°，所以易求∠XBC+∠XCB．【解答】解：（1）∵∠A＝30°，∴∠ABC+∠ACB＝150°，∵∠X＝90°，∴∠XBC+∠XCB＝90°，故答案為：150°；90°．（2）不變化．∵∠A＝30°，∴∠ABC+∠ACB＝150°，∵∠X＝90°，∴∠XBC+∠XCB＝90°，∴∠ABX+∠ACX＝（∠ABC﹣∠XBC）+（∠ACB﹣∠XCB）＝（∠ABC+∠ACB）﹣（∠XBC+∠XCB）＝150°﹣90°＝60°．7．（2023春?欒城區(qū)校級期末）在△ABC中，點D在線段AC上，DE∥BC交AB于點E，點F在線段AB上（點F不與點A，E，B重合），連接DF，過點F作FG⊥FD交射線CB于點G．（1）如圖1，點F在線段BE上．①直接寫出∠EDF與∠BGF的數(shù)量關(guān)系；②求證：∠ABC+∠BFG﹣∠EDF＝90°；（2）當點F在線段AE上時，請在備用圖中補全圖形，并直接寫出∠EDF與∠BGF的數(shù)量關(guān)系．【分析】（1）①結(jié)論：∠EDF+∠BGF＝90°．如圖1中，過點F作FH∥BC交AC于點H．利用平行線的性質(zhì)求解即可．②過點F作FH∥BC交AC于點H．利用平行線的性質(zhì)求解即可．（2）作出圖形，利用平行線的性質(zhì)，以及三角形的外角的性質(zhì)求解即可．【解答】解：（1）①結(jié)論：∠EDF+∠BGF＝90°．理由：如圖1中，過點F作FH∥BC交AC于點H．∵DE∥BC，∴DE∥FH，∴∠EDF＝∠1，∵FH∥BC，∴∠BGF＝∠2．∵FG⊥FD，∴∠DFG＝90°．∴∠1+∠2＝90°．∴∠EDF+∠BGF＝90°．②證明：過點F作FH∥BC交AC于點H．如圖2，∴∠ABC＝∠AFH，∴∠ABC＝∠1+∠3，∴∠3＝∠ABC﹣∠1，∵∠EDF＝∠1，∴∠3＝∠ABC﹣∠EDF，∵FG⊥FD，∴∠DFG＝90°，∴∠BFG+∠3＝90°，∴∠3＝90°﹣∠BFG，∴90°﹣∠BFG＝∠ABC﹣∠EDF，∴∠ABC+∠BFG﹣∠EDF＝90°；（2）解：結(jié)論：∠BGF﹣∠EDF＝90°．理由：設DE交FG于J．如圖3，∵DE∥BC，∴∠BGF＝∠FJE，∵∠FJE＝∠DFJ+∠EDF，∠DEJ＝90°，∴∠BGF﹣∠EDF＝90°．當點G在CB的延長線上時，同法可證∠EDF+∠BGF＝90°，如圖4，8．（2023春?邗江區(qū)期中）閱讀下列材料并解答問題：在一個三角形中，如果一個內(nèi)角α的度數(shù)是另一個內(nèi)角度數(shù)的2倍，那么這樣的三角形我們稱為“優(yōu)雅三角形”，其中α稱為“優(yōu)雅角”．例如：一個三角形三個內(nèi)角的度數(shù)分別是、100°、，這個三角形就是“優(yōu)雅三角形”，其中“優(yōu)雅角”為100°．反之，若一個三角形是“優(yōu)雅三角形”，那么這個三角形的三個內(nèi)角中一定有一個內(nèi)角α的度數(shù)是另一個內(nèi)角度數(shù)的2倍．（1）一個“優(yōu)雅三角形”的一個內(nèi)角為120°，若“優(yōu)雅角”為銳角，則這個“優(yōu)雅角”的度數(shù)為．（2）如圖1，已知∠MON＝60°，在射線OM上取一點A，過點A作AB⊥OM交ON于點B，以A為端點畫射線交線段OB于點C（點C不與點O、點B重合）．若△AOC是“優(yōu)雅三角形”，求∠ACB的度數(shù)．（3）如圖2，△ABC中，點D在邊BC上，DE平分∠ADB交AB于點E，F(xiàn)為線段AD上一點，且∠AFE+∠ADC＝180°，∠FED＝∠C．若△ADC是“優(yōu)雅三角形”，求∠C的度數(shù)．?【分析】本題考查“優(yōu)雅三角形”的新定義問題，靈活運用三角形的內(nèi)角和定理．【解答】解：（1）一個“優(yōu)雅三角形”的一個內(nèi)角為120°，另兩個角之和為：180°﹣120°＝60°，“優(yōu)雅角”為銳角，根據(jù)“優(yōu)雅三角形”的定義，“優(yōu)雅角”為40°，另一個角為20°．（2）AB⊥OM交ON于點B，∴∠MOB＝90°，∠MON＝60°，△AOC是“優(yōu)雅三角形”，①當“優(yōu)雅角”為60°時，另一個角為30°，則∠ACO＝90°，∠ACB的度數(shù)為90°，②當另兩個角中有優(yōu)雅角時，另兩個角之和為120°，根據(jù)“優(yōu)雅三角形”的定義，另兩個角分別為：40°，80°，則∠ACO＝80°，∠ACB的度數(shù)為100°，∠ACO＝40°，∠ACB的度數(shù)為140°．（3）∵∠AFE+∠ADC＝180°，∠AFE+∠EFD＝180°，∴∠ADC＝∠EFD，∴EF∥BC，△ADC是“優(yōu)雅三角形”，DE平分∠ADB交AB于點E，①當∠C＝α，∠ADC＝，∠ADB＝180°﹣＝（180°﹣）×2，解得α＝72°，∠C＝72°；②當∠C＝α，∠DAC＝，無解，故不符合題意；③當∠ADC＝α，∠DAC＝，∠ADB＝180°﹣α＝[180°﹣α﹣（180°﹣）]×2，解得α＝90°，∠C＝45°；④當∠ADC＝α，∠C＝，∠ADB＝180°﹣α＝（180°﹣﹣α）×2，解得α＝90°，∠C＝45°；⑤當∠DAC＝α，∠ADC＝，∠ADB＝180°﹣＝[180°﹣（180°﹣）﹣]×2，解得α＝72°，∠C＝72°；⑥當∠DAC＝α，∠C＝，無解，故不符合題意；綜上，∠C的度數(shù)為：72°，45°．9．（2023春?邗江區(qū)期中）綜合與探究：愛思考的小明在學習過程中，發(fā)現(xiàn)課本有一道習題，他在思考過程中，對習題做了一定變式，讓我們來一起看一下吧．在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線相交于點P．?（1）如圖1，如果∠A＝80°，那么∠BPC＝°（2）如圖2，作△ABC的外角∠MBC，∠NCB的平分線交于點Q，試探究∠Q與∠BPC的數(shù)量關(guān)系．（3）如圖3，在（2）的條件下，延長線段BP，QC交于點E，在△BQE中，若∠Q＝4∠E，求∠A的度數(shù)．【分析】（1）運用三角形的內(nèi)角和定理及角平分線的定義，首先求出∠ABC+∠ACB，進而求出∠BPC即可解決問題；（2）根據(jù)三角形的外角性質(zhì)分別表示出∠MBC與∠BCN，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可求得∠CBQ+∠BCQ，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解；（3）在△BQE中，由于∠Q＝90°﹣∠A，求出∠E＝∠A，由∠Q＝4∠E，得出2∠A＝90°﹣∠A，求解即可．【解答】解：（1）∵∠A＝80°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣8°＝100°，∵∠ABC與∠ACB的平分線交于點P，∴，，∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180＝130°；故答案為：130°；（2）∵外角∠MBC，∠NCB的平分線交于點Q，∴，．∴∠Q＝180°﹣（∠QBC+∠QCB）＝180°﹣（∠MBC+∠NCB）＝180°﹣（180°﹣∠ABC+180°﹣∠ACB）＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）＝90°﹣，∵∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+，∴∠Q+∠BPC＝180°；（3）如圖，延長BC至F，∵CQ為△ABC的外角∠NCB的角平分線，∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分線，∴∠ACF＝2∠ECF，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠EBC，∵∠ECF＝∠EBC+∠E，∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E，即∠ACF＝∠ABC+2∠E，又∵∠ACF＝∠ABC+∠A，∴∠A＝2∠E，即∠E＝∠A，∵∠Q＝4∠E，∴∠Q＝2∠A，∵∠Q＝90°﹣∠A，∴2∠A＝90°﹣∠A，∴∠A＝36°．10．（2022秋?海豐縣期末）綜合與探究：【情境引入】（1）如圖1，BD，CD分別是△ABC的內(nèi)角∠ABC，∠ACB的平分線，說明∠D＝90°+∠A的理由．【深入探究】（2）①如圖2，BD，CD分別是△ABC的兩個外角∠EBC，∠FCB的平分線，∠D與∠A之間的等量關(guān)系是；②如圖3，BD，CD分別是△ABC的一個內(nèi)角∠ABC和一個外角∠ACE的平分線，BD，CD交于點D，探究∠D與∠A之間的等量關(guān)系，并說明理由．【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義以及三角形內(nèi)角和定理證明即可；（2）①根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，角平分線的定義以及三角形內(nèi)角和定理求解即可；②根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義求解即可．【解答】（1）證明：∵BD，CD分別是△ABC的內(nèi)角∠ABC，∠ACB的平分線，∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACB，∴∠1+∠2+∠D＝180°，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠D＝180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A；（2）解：①∠D＝90°﹣∠A，理由如下：∵BD，CD分別是△ABC的兩個外角∠EBC，∠FCB的平分線，∴∠DBC＝∠EBC＝（∠A+∠ACB），∠DCB＝∠FCB＝（∠A+∠ABC），∵∠DBC+∠DCB+∠D＝180°，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠D＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB＝180°﹣（∠EBC+∠FCB）＝180°﹣＝90°﹣∠A，故答案為：∠D＝90°﹣∠A；②∠D＝∠A，理由如下：∵BD，CD分別是△ABC的一個內(nèi)角∠ABC和一個外角∠ACE的平分線，∴∠DBC＝∠ABC，∠DCE＝∠ACE，∵∠ACE＝∠A+∠ABC，∠DCE＝∠D+∠DBC，∴∠D+∠ABC＝（∠A+∠ABC），∴∠D＝∠A．11．（2023春?南陽期末）如圖，在△ABC中，BD，CD分別是∠ABC，∠ACB的平分線，BP，CP分別是∠EBC，∠FCB的平分線．（1）若∠A＝30°，則∠D＝°，∠P＝°，∠D+∠P＝°；（2）當∠A變化時，∠D+∠P的值是否變化？請說明理由．【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理用∠A表示出∠ABC+∠ACB，再根據(jù)角平分線的定義表示出∠DBC+∠DCB，然后在△BCD中利用三角形的內(nèi)角和定理可得出∠D的度數(shù)；根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理及其推論以及角平分線的定義及三角形外角的性質(zhì)即可得出∠P的度數(shù)；（2）根據(jù)（1）中∠D與∠P的式子即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）∵∠A＝30°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝150°，∵BD，CD分別是∠ABC，∠ACB的平分線，∴，，∴，∴∠D＝180°﹣75°＝105°；∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝150°，∴∠CBE+∠BCF＝210°，∵BP，CP分別是∠EBC，∠FCB的平分線，∴，，∴∠CBP+∠BCP＝，∴∠P＝180°﹣105°＝75°；∴∠D+∠P＝105°+75°＝180°；故答案為：105，75，180．（2）結(jié)論：∠D+∠P的值不變．理由如下：在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∵BD，CD分別是∠ABC，∠ACB的平分線，∴，，∴，在△BCD中，∠D＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝＝，∵BP，CP分別是∠EBC，∠FCB的平分線，∴，，∴＝＝＝，在△BCP中，∠P＝180°﹣（∠CBP+∠BCP）＝＝，∴．12．（2023春?洪洞縣期末）在△ABC中，AD⊥BC于點D．特例研究：（1）如圖1，若∠BAC的平分線AE能交BC于點E，∠B＝35°，∠EAD＝5°，求∠C的度數(shù)；操作發(fā)現(xiàn)：如圖2，點M，N分別在線段AB，AC，將△ABC折疊，點B落在點F處，點C落在點G處，折痕分別為DM和DN，點G，F(xiàn)都在射線DA上；（2）若∠B+∠C＝60°，試猜想∠AMF與∠ANG之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）將△DFM繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角記為α（0°＜α＜360°）．記旋轉(zhuǎn)中的△DMF為△DM1F1，在旋轉(zhuǎn)過程中，點M，F(xiàn)的對應點分別為M1，F(xiàn)1，直線M1F1，與直線BC交于點Q，與直線AB交于點P．若∠B＝35°，∠PQB＝90°，請直接寫出旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)．【分析】（1）利用三角形的內(nèi)角和定理和角平分線的定義即可解決問題；（2）結(jié)論：∠AMF+∠ANG＝60°．由翻折可知∠B＝∠AFM，∠C＝∠G，由∠B+∠C＝60°得出∠BAC＝120°，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得出∠BAC＝∠AMF+∠ANG+∠B+∠C，從而得出結(jié)論；（3）分兩種情形分別求解即可解決問題．【解答】解：（1）∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°．又∵∠B＝35°，∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝55°．∵∠EAD＝5°，∴∠BAE＝55°+5°＝60°．∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE＝60°，∴∠C＝180°﹣90°﹣60°﹣5°＝25°．（2）結(jié)論：∠AMF+∠ANG＝60°．理由：由折疊可知：∠B＝∠AFM，∠C＝∠G，∵∠B+∠C＝60°，∴∠BAC＝120°，∵∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝∠AMF+∠AFM+∠ANG+∠G，∴∠BAC＝∠AMF+∠ANG+∠B+∠C，即120°＝∠AMF+∠ANG+60°，∴∠AMF+∠ANG＝60°．（3）旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為35°或215°．①當0°＜α≤90°時，∵∠PQB＝90°，∴∠F1QD＝180°﹣90°＝90°，∵將△ABC折疊，點B落在點F處，折痕為DM，將△DMF繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)一個角度α，∴∠DF1M1＝∠DFM＝∠B＝35°，∴∠F1DQ＝180°﹣∠F1QD﹣∠DF1M1＝180°﹣90°﹣35°＝55°，∴∠FDF1＝∠ADB﹣∠F1DQ＝90°﹣55°＝35°，∴α＝35°；②當90°＜α≤360°時，∵∠PQB＝90°，∴∠F1QD＝180°﹣90°＝90°，∵將△ABC折疊，點B落在點F處，折痕為DM，將△DMF繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)一個角度α，∴∠DF1M1＝∠DFM＝∠B＝35°，∴∠F1DQ＝180°﹣∠F1QD﹣∠DF1M1＝180°﹣90°﹣35°＝55°，∴∠FDF1＝∠ADC+∠F1DQ＝90°+55°＝145°，∴α＝360°﹣145°＝215°；∴∠DF1M1＝∠DFM＝∠B＝35°，∴∠PQB＝∠BPQ﹣∠B＝90°﹣35°＝55°，∵∠PQB＝∠DF1M1+∠F1DB，∴∠F1DB＝∠PQB﹣∠DF1M1＝55°﹣35°＝20°，∴∠FDF1＝∠ADB﹣∠F1DB＝90°﹣20°＝70°，∴α＝70°．綜上所述，旋轉(zhuǎn)角a的度數(shù)為35°或215°．13．（2023春?東方校級期末）在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線相交于點P．?（1）如圖1，如果∠A＝70°，∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求∠BPC的度數(shù)；（2）如圖1，如果∠A＝α，用含α的代數(shù)式表示∠BPC；（3）探索：如圖2，作△ABC外角∠MBC、∠NCB的平分線交于點Q，試寫出∠Q、∠A之間的數(shù)量關(guān)系；（4）拓展：如圖3，延長線段BP、QC交于點E，△BQE中，存在一個內(nèi)角等于另一個內(nèi)角的3倍，請直接寫出∠A的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)已知條件和角平分線的性質(zhì)，求出∠PBC和∠BCP，再利用三角形內(nèi)角和定理進行計算；（2）根據(jù)已知條件和角平分線的性質(zhì)，把∠PBC和∠BCP用∠ABC和∠ACB表示出來，再利用∠A表示出來，最后利用三角形內(nèi)角和定理進行代換即可；（3）根據(jù)已知條件和角平分線的性質(zhì)，求出∠CBQ和∠BCQ，再利用三角形內(nèi)角和定理進行計算；（4）根據(jù)已知條件求出∠EBQ的度數(shù)，然后由（3）求出的∠Q，利用三角形內(nèi)角和求出∠E，再分4種情況討論，求出∠A的度數(shù)．【解答】解：（1）∵BP，CP分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，∴∠PBC＝∠ABC＝25°，∠BCP＝∠ACB＝30°，∵∠PBC+∠BCP+∠BPC＝180°，∴∠BPC＝180°﹣∠PBC﹣∠BCP＝125°；（2））∵BP，CP分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，∴∠PBC＝∠ABC，∠BCP＝∠ACB，∵∠PBC+∠BCP+∠BPC＝180°，∴∠BPC＝180°﹣∠PBC﹣∠BCP＝180°﹣＝180°﹣＝＝；（3）∵BQ，CQ分別是∠CBM，∠BCN的角平分線，∴∠CBQ＝，∠BCQ＝∠BCN，∵∠CBM＝∠A+∠ACB，∠BCN＝∠A+∠ABC，∴∠CBQ＝，∠BCQ＝∠A+∠ABC，∵∠CBQ+∠BCQ+∠Q＝180°，∴+∠Q＝180°，，∴∠Q＝；（3）∵BP是∠ABC的角平分線，BQ是∠CBM的角平分線，∴∠PBC＝∠ABC，∠CBQ＝，∵∠ABC+∠CBM＝180°，∴∠PBC+∠CBQ＝，∴∠QBE＝∠PBC+∠CBQ＝90°，由（3）知∠Q＝，∴∠E+∠Q＝90°，∴∠E＝，∵在△BQE中，存在一個內(nèi)角等于另一個內(nèi)角的3倍，∠QBE＝90°，∴∠Q，∠E都是銳角，∴分四種情況討論：①∠Q＝3∠E，∴，2∠A＝90°，∴∠A＝45°；②∠QBE＝3∠E，∴，∴∠A＝60°；③∠BQE＝3∠Q，∴，270﹣1.5∠A＝90°，∴∠A＝120°，④∠E＝3∠Q，，解之得：∠A＝135°，綜上可知：∠A的度數(shù)為45°或60°或120°或135°．14．（2023春?商水縣期末）【基本模型】（1）如圖1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分外角∠ACD，試說明∠P＝∠A．【變式應用】（2）如圖2，∠MON＝90°，A，B分別是射線ON，OM上的兩個動點，∠ABO與∠BAN的平分線的交點為P，則點A，B的運動的過程中，∠P的大小是否會發(fā)生變化？若不發(fā)生變化，請求出其值；若發(fā)生變化，請說明理由．【拓展應用】（3）如圖3，∠MON＝90°，作∠MON的平分線OD，A是射線OD上的一定點，B是直線OM上的任意一點（不與點O重合），連接AB，設∠ABO的平分線與∠BAO的鄰補角的平分線的交點為P，請直接寫出∠P的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角和求出∠P和∠A，再根據(jù)角平分線的定義∠ACD＝2∠1，∠ABC＝2∠2，最后由∠A＝∠ACD﹣∠ABC進行等量代換即可；（2）根據(jù)三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角和求出∠P和∠O，再根據(jù)角平分線的定義∠NAB＝2∠1，∠ABO＝2∠2，最后由∠O＝∠NAB﹣∠ABO進行等量代換即可；（3）根據(jù)三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角和求出∠P和∠AOB，再根據(jù)角平分線的定義∠DAB＝2∠1，∠ABO＝2∠2，最后由∠AOB＝∠DAB﹣∠ABO進行等量代換即可；【解答】解：（1）如圖1所示：∵CP平分∠ACD，BP平分∠ABC，∴∠ACP＝，∠2＝∠ABC，∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∴∠ACP＝，∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∵∠2+∠P+∠ACB+∠ACP＝180°，∴，∠，，∴；（2）∠P的大小不變，理由如下：如圖2所示：∵∠2+∠P＝∠1，∠ABO+∠O＝∠NAB，∴∠P＝∠1﹣∠2，∠AOB＝∠NAB﹣∠ABO，又∵BP平分∠ABO，CA平分∠NAB，∴∠NAB＝2∠1，∠ABO＝2∠2，∴∠AOB＝∠NAB﹣∠ABO＝2（∠1﹣∠2）＝2∠P，∴；（3）∠P＝22.5°或67.5°，分兩種情況：①如圖3所示：∵∠2+∠P＝∠1，∠ABO+∠AOB＝∠DAB，∴∠P＝∠1﹣∠2，∠AOB＝∠DAB﹣∠ABO，又∵BP平分∠ABO，CA平分∠DAB，∴∠DAB＝2∠1，∠ABO＝2∠2，∴∠AOB＝∠DAB﹣∠ABO＝2（∠1﹣∠2）＝2∠P，∴；②如圖4所示：∵∠2+∠P＝∠1，∠ABO+∠AOB＝∠DAB，∴∠P＝∠1﹣∠2，∠AOB＝∠DAB﹣∠ABO，又∵BP平分∠ABO，AC平分∠DAB，∴∠DAB＝2∠1，∠ABO＝2∠2，∴∠AOB＝∠DAB﹣∠ABO＝2（∠1﹣∠2）＝2∠P，∴．15．（2023春?大荔縣期末）我們將內(nèi)角互為對頂角的兩個三角形稱為“對頂三角形”．例如，在圖1中，△AOB的內(nèi)角∠AOB與△COD的內(nèi)角∠COD為對頂角，則△AOB與△COD為“對頂三角形”，根據(jù)三角形三個內(nèi)角和是180°，“對頂三角形”有如下性質(zhì)：∠A+∠B＝∠C+∠D．性質(zhì)理解：（1）如圖1，在“對頂三角形”△AOB與△COD中，則∠AOB＝85°，則∠C+∠D＝95°．性質(zhì)應用：（2）如圖2，在△ABC中，AD、BE分別平分∠BAC和∠ABC，若∠C＝60°，∠ADE比∠BED大8°，求∠BED的度數(shù)．拓展提高：（3）如圖3，BE、CD是△ABC的角平分線，且∠BDC和∠BEC的平分線DP和EP相交于點P，設∠A＝α，請嘗試求出∠P的度數(shù)（用含α的式了表示∠P）．【分析】（1）由對頂三角形可得∠A+∠B＝∠C+∠D，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得到答案；（2）由對頂三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理得到∠ADE+∠BED＝60°，再根據(jù)已知即可求解；（3）利用三角形內(nèi)角和定理求得，再利用角平分線的定義求得∠CEP＝（∠ABE+∠A），，最后根據(jù)對頂三角形的性質(zhì)即可求解．【解答】解：（1）由對頂三角形可得∠A+∠B＝∠C+∠D，在△AOB中，∠A+∠B＝180°﹣∠AOB＝180°﹣85°＝95°，∴∠C+∠D＝95°．故答案為：95；（2）在△ABC中，∠C＝60°，∴∠BAC+∠ABC＝120°．∵AD、BE分別平分∠BAC和∠ABC，∴，∴∠ADE+∠BED＝60°．又∵∠ADE﹣∠BED＝8°，∴∠ADE＝34°，∠BED＝26°；（3）．理由：在△ABC中，∠A＝α，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣α．∵BE、CD分別平分∠ABC和∠ACB，∴，，∴．∵∠BDC和∠BEC的平分線DP和EP相交于點P，∴，．∵∠CEP+∠ACD＝∠CDP+∠P，∴∠P＝∠CEP+∠ACD+∠CDP＝（∠ABE+∠A）+∠ACD﹣（∠ACD+∠A）＝∠ABE+∠ACD＝（∠ABE+∠ACD）＝×（90°﹣α）＝45°﹣α，即．16．（2023春?金華期末）數(shù)學興趣小組圍繞“三角形的內(nèi)角和是180°”，進行了一系列探究，過程如下：【論證】如圖1，延長BA至D，過點A作AE∥BC，就可以說明∠BAC+∠B+∠C＝180°成立，即：三角形的內(nèi)角和為180°，請完成上述說理過程．【應用】如圖2，在△ABC中，∠BAC的平分線與∠ACB的角平分線交于點P，過點A作AE∥BC，M在射線AE上，且∠ACM＝∠AMC，MC的延長線與AP的延長線交于點D．①求∠DCP的度數(shù)；②設∠B＝α，請用α的代數(shù)式表示∠D．【拓展】如圖3，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝30°，過點A作EF∥BC，直線MN與EF相交于A點右側(cè)的點P，∠APN＝75°．△ABC繞點A以每秒12°的速度順時針方向旋轉(zhuǎn)，同時MN繞點P以每秒5°的速度順時針方向旋轉(zhuǎn)，與EF重合時MN再繞著點P以原速度逆時針方向旋轉(zhuǎn)，當△ABC旋轉(zhuǎn)一周時，運動全部停止，設運動時間為t秒，在旋轉(zhuǎn)過程中，是否某一時刻，使得MN與△ABC的一邊平行？若存在，求t的值；若不存在，請說明理由．【分析】論證：利用平行線的性質(zhì)以及平角的性質(zhì)即可證明；應用：①利用平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義求得∠MAC＝2∠2，再推出∠2+∠ACM＝90°，再利用平角的性質(zhì)即可求解；②在△ABC中，∠ABC+2∠2+2∠3＝180°，由三角形的外角性質(zhì)推出∠4＝∠2+∠3，結(jié)合①的結(jié)論得到∠2+∠3＝90°，據(jù)此計算即可求解．拓展：當△ABC旋轉(zhuǎn)一周時，運動全部停止，求得總時間為30秒，MN與EF重合時間為15秒，分在前15秒內(nèi)和后15秒內(nèi)，兩種情況討論，根據(jù)MN與BC平行的次數(shù)，求解即可．【解答】論證：證明：延長BA至D，過點A作AE∥BC，∴∠DAE＝∠B，∠CAE＝∠C，∵∠BAC+∠CAE+∠DAE＝180°，∴∠BAC+∠C+∠B＝180°，即三角形的內(nèi)角和為180°．應用：解：①如圖，∵AE∥BC，∴∠MAC＝∠ACB，∵CP是∠ACB的角平分線，∴，∴∠MAC＝2∠2，又2∠2+∠ACM+∠1＝180°，∠ACM＝∠1，∴2∠2+2∠ACM＝180°，∴∠2+∠ACM＝90°，∴∠PCD＝180°﹣（∠2+∠ACM）＝180°﹣90°＝90°；②∵AP是∠BAC的角平分線，∴，在△ABC中，∠B+2∠2+2∠3＝180°，∵∠4＝∠2+∠3，∠PCD＝90°，∴∠4＝90°﹣∠D，即∠2+∠3＝90°﹣∠D，∴∠B+2∠2+2∠3＝∠B+2（90°﹣∠D）＝180°，∴∠B+180°﹣2∠D＝180°，∴∠B＝2∠D，∵∠B＝α，∴∠α＝2∠D，拓展：∵當△ABC旋轉(zhuǎn)一周運動停止，∴總時間t＝360÷12＝30（秒），∵MN與EF重合時MN再以原速返回，∴重合時間為t1＝75÷5＝15秒，此時∠EPN＝0°，延長CB交EF于點Q，∵在前15秒內(nèi)，∠EQC由180°逐漸減少，∠EPN由75°逐漸減少至0°，又∵當t＝15秒時，△ABC旋轉(zhuǎn)至15×12°＝180°，此時EF∥BC，而∠EPN由75°逐漸減少至0°，在前15秒內(nèi)，MN與BC僅一次平行，即MN與EF重合時，些時t＝15（秒）．同理，后15秒，∠EQC由0°逐漸增至180°，∠EPN由0°逐漸增至75°，MN與BC僅可能一次平行，有∠EQC＝12t2＝180﹣5t2，解得，（秒），綜上，t的值為15秒或秒．17．（2023春?云浮期末）如圖1，在直角三角形ABC中，∠CAB＝90°，∠C＝30°，現(xiàn)將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)α角度得到△ADE．（1）若α＝28°時，則∠DAC＝°；若0°＜α＜90°時，α與∠CAE的關(guān)系是；（2）∠DAC與∠BAE有怎樣的關(guān)系？請說明理由；（3）在旋轉(zhuǎn)過程中，若0°＜α＜180°時，△ADE與△ABC這兩個三角形是否存在一組邊互相平行？若存在，請求出α的所有可能取值．【分析】（1）直接利用角的和差關(guān)系可得答案，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得α＝∠CAE；（2）證明∠DAC＝∠EAP，結(jié)合∠EAP+∠BAE＝180°，可得∠DAC+∠BAE＝180°（3）分情況討論：①如圖，當AE∥BC時，②如圖，當DE∥AB時，③如圖，當AD∥BC時，④如圖，當AC∥DE時，再利用數(shù)形結(jié)合的方法解答即可．【解答】解：（1）∵∠BAD＝α＝28°，∠BAC＝90°，∴∠DAC＝90°﹣28°＝62°；當0°＜α＜90°，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：α＝∠CAE；（2）∠DAC與∠BAE的關(guān)系是：∠DAC+∠BAE＝180°，理由如下：∵∠CAE+∠DAC＝90°，∠CAE+∠EAP＝90°，∴∠DAC＝∠EAP，∵∠EAP+∠BAE＝180°，∴∠DAC+∠BAE＝180°；（3）“△ADE與△ABC這兩個三角形存在一組邊互相平行”∵∠C＝30°，∴∠E＝30°，∠ABC＝∠D＝90°﹣30°＝60°，①如圖，當AE∥BC時，∴∠EAC＝∠C＝30°，∴α＝∠EAC＝30°；②如圖，當DE∥AB時，∴α＝∠D＝60°，③如圖，當AD∥BC時，∴∠CAD＝∠C＝30°，∴α＝90°+30°＝120°．④如圖，當AC∥DE時，∴∠CAD＝∠D＝60°，∴α＝90°+∠CAD＝150°；綜上：△ADE與△ABC這兩個三角形的一組邊互相平行時，α為60°或30°或120°或150°．18．（2023春?榮成市期末）實驗證明，平面鏡反射光線的規(guī)律是：射到平面鏡上的光線和被反射出的光線與平面鏡所夾的銳角相等，如圖1，一束光線m射到平面鏡a上，被a反射后的光線為n，則入射光線m，反射光線n與平面鏡a所夾的銳角∠1＝∠2．（1）如圖2，一束光線m射到平面鏡a上，被a反射到平面鏡b上，又被b反射，若被b反射出的光線n與光線m平行，且∠1＝50°，則∠2＝，∠3＝；（2）圖2中，當被b反射出的光線n與光線m平行時，不論∠1如何變化，∠2與∠1總具有一定的數(shù)量關(guān)系，請猜想∠2和∠1的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）圖2中，請你探究：當任何射到平面鏡a上的光線m，經(jīng)過平面鏡a、b的兩次反射后，入射光線m與反射光線n平行，求兩平面鏡a、b的夾角∠3的度數(shù)；（4）如圖3，一束光線m射到平面鏡a上，被a反射到平面鏡b上，又被b反射，若被b反射出的光線n與光線m垂直，求出此時∠O的度數(shù)？（友情提示：三角形內(nèi)角和等于180°）?【分析】利用題目所給的平面鏡反射光線的規(guī)律，再結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理以及兩直線平行，同旁內(nèi)角互補可解決問題．【解答】解：（1）由題知，∠1＝∠4，則∠6＝180°﹣2∠1＝80°．又m∥n，所以∠6+∠2＝180°，則∠2＝100°．又∠5＝∠7，則∠5＝（180°﹣100°）＝40°．由三角形的內(nèi)角和可知，∠3＝180°﹣（∠4+∠5）＝90°．故答案為：100°，90°．（2）∠2＝2∠1．由題知，因為m∥n，所以∠6+∠2＝180°．又∠6＝180°﹣2∠1，則180°﹣2∠1+∠2＝180°，即∠2＝2∠1．故∠2和∠1的數(shù)量關(guān)系為：∠2＝2∠1．（3）由題知，因為m∥n，所以∠6+∠2＝180°．又∠6＝180°﹣2∠4，∠2＝180°﹣2∠5，所以180°﹣2∠4+180°﹣2∠5＝180°，即∠4+∠5＝90°．由三角形的內(nèi)角和得，∠3＝180°﹣90°＝90°．故∠3的度數(shù)為90°．（4）由題知，∠1＝90°﹣∠3，∠2＝90°﹣∠4，又∠3+∠4＝90°，所以∠1+∠2＝180°﹣（∠3+∠4）＝135°．所以∠O＝180°﹣135°＝45°．故∠O的度數(shù)為45°．19．（2023春?定興縣期末）綜合與實踐課上，同學們以“一個含30°角的直角三角尺和兩條平行線”為背景開展數(shù)學活動，如圖，已知兩直線a，b且a∥b，三角形ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，∠BAC＝30°．操作發(fā)現(xiàn)：（1）如圖1，若∠1＝42°，求∠2的度數(shù)；（2）小聰同學把圖1中的直線a向上平移得到如圖2，請你探究圖2中的∠1與∠2的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（3）小穎同學將圖2中的直線b向上平移得到圖3，若∠2＝4∠1，求∠1的度數(shù)．【分析】（1）由題意可求得∠ACP＝∠1+∠ACB＝132°，再由平行線的性質(zhì)即可求得∠2的度數(shù)；（2）由題意可求得∠ACP＝∠1+∠ACB，由平行線的性質(zhì)可得∠AGF＝∠ACP，再由三角形的外角性質(zhì)即可求解；（3）由圖可知∠1＝∠CMN，則由三角形的外角性質(zhì)得∠ANM＝∠1+90°，利用平行線的性質(zhì)得∠2＝∠ANM，從而可求解．【解答】解：（1）如圖1，∵∠ACB＝90°，∠1＝42°，∴∠ACP＝∠1+∠ACB＝132°，∵a∥b，∴∠2＝∠ACP＝132°；（2）∠2﹣∠1＝120°，理由如下：如圖2，由題意得：∠ACP＝∠1+∠ACB＝∠1+90°，∵a∥b，∴∠AGF＝∠ACP＝∠1+90°，∵∠2是△AFG的外角，∴∠2＝∠BAC+∠AGF＝30°+∠1+90°，即∠2﹣∠1＝120°；（3）∵∠1＝∠CMN，∠ACB＝90°，∴∠ANM＝∠CMN+∠ACB＝∠1+90°，∵a∥b，∴∠2＝∠ANM＝∠1+90°，∵∠2＝4∠1，∴4∠1＝∠1+90°，解得：∠1＝30°．20．（2023春?鹽都區(qū)期中）【教材呈現(xiàn)】蘇科版義務教育數(shù)學教科書七下第42頁第20題，是一道研究雙內(nèi)角平分線的夾角和雙外角平分線夾角的數(shù)學問題，原題如下．在△ABC中，∠A＝n°．（1）設∠B、∠C的平分線交于點O，求∠BOC的度數(shù)；（2）設△ABC的外角∠CBD、∠BCE的平分線交于點O′，求∠BO′C的度數(shù)；（3）∠BOC與∠BO′C有怎樣的數(shù)量關(guān)系？【問題解決】聰聰對上面的問題進行了研究，得出以下答案：如圖1，在△ABC中，∠A＝n°．（1）∠ABC、∠ACB的平分線交于點O，則∠BOC的度數(shù)為；（2）△ABC的外角∠CBD、∠BCE的平分線交于點O′，則∠BO′C的度數(shù)為；（3）∠BOC與∠BO'C的數(shù)量關(guān)系是．（4）【問題深入】：如圖2，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分線交于點O，將△ABC沿MN折疊使得點A與點O重合，請直接寫出∠1+∠2與∠BOC的一個等量關(guān)系式；（5）如圖3，過△ABC的外角∠CBD、∠BCE的平分線的交點O′，作直線PQ交AD于點P，交AE于點Q．當∠APQ＝∠AQP時，∠CO′Q與∠ABC有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出結(jié)果．【分析】（1）由三角形內(nèi)角和定理得到，∠ABC+∠ACB＝180°﹣n°，再根據(jù)角平分線的定義，推出，即可求出∠BOC的度數(shù)；（2）根據(jù)三角形外角的定義，推出∠CBD+∠BCE＝180°+n°，再根據(jù)角平分線的定義，推出，然后利用三角形內(nèi)角和定理即可求出∠BO'C的度數(shù)；（3）根據(jù)（1）和（2）的結(jié)果即可得到答案；（4）由折疊的性質(zhì)可知，∠AMN＝∠OMN，∠ANM＝∠ONM，得到∠1＝180°﹣2∠AMN，∠2＝180°﹣2∠ONM，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，推出∠1+∠2＝2∠A，由（1）同理可證，據(jù)此即可得到答案；（5）根據(jù)多邊形內(nèi)角和與角平分線的定義，推出∠BO'C＝∠BPQ，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，得到∠CO'Q＝∠PBO'，最后根據(jù)∠ABC＝180°﹣2∠PBO'，即可得到答案．【解答】解：（1）∵∠A＝n°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣n°，∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴，，∴，∴，故答案為：；（2）∵∠CBD＝∠A+∠ACB，∠BCE＝∠A+∠ABC，∴∠CBD+∠BCE＝∠A+∠ACB+∠ABC+∠A＝180°+∠A＝180°+n°，∵BO'平分∠CBD，CO′平分∠BCE，∴，，∴，∴，故答案為：；（3）由（1）和（2）可知，，，∴∠BOC+∠BO'C＝180°，故答案為：∠BOC+∠BO'C＝180°（4）∠1+∠2＝4∠BOC﹣360°，理由如下：由折疊的性質(zhì)可知，∠AMN＝∠OMN，∠ANM＝∠ONM，∴∠1＝180°﹣∠AMN﹣∠OMN＝180°﹣2∠AMN，∠2＝180°﹣∠ANM﹣∠ONM＝180°﹣2∠ONM，∵∠AMN+∠ANM＝180°﹣∠A，∴∠1+∠2＝180°﹣2∠AMN+180°﹣2∠ANM＝360°﹣2（∠AMN+∠ANM）＝2∠A，由（1）同理可證，，∴2∠A＝4∠BOC﹣360°，∴∠1+∠2＝4∠BOC﹣360°；（5）∵四邊形BCQP的內(nèi)角和為360°，∴∠CBP+∠BPQ+∠PQC+∠BCQ＝360°，∵BO'平分∠CBD，CO′平分∠BCE，∴∠CBD＝2∠CBO'，∠BCE＝2∠BCO'，∵∠APQ＝∠AQP，∴2∠CBO'+2∠BPQ+2∠BCO'＝360°，∴∠CBO'+∠BPQ+∠BCO'＝180°，∴∠CBO'+∠BCO'+∠BO'C＝180°，∴∠BO'C＝∠BPQ，∵∠BO'Q＝∠BPQ+∠PBO'＝∠BO'C+∠CO'Q，∴∠CO'Q＝∠PBO'，∵∠ABC＝180°﹣∠CBD＝180°﹣2∠PBO'，∴∠ABC＝180°﹣2∠CO'Q，∴．21．（2023春?郯城縣期中）已知AB∥CD，直線MN交AB、CD交于點M、N．（1）如圖1所示，點E在線段MN上，設∠MBE＝15°，∠MND＝70°，則∠MEB＝．（2）如圖2所示，點E在線段MN上，∠1＝∠2，DF平分∠EDC，交BE的延長線于點F，試找出∠AEN、∠1、∠3之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（提示：不能使用“三角形內(nèi)角和是180°”）．（3）如圖3所示，點B、C、D在同一條直線上，∠ABC與∠ACD的角平分線交于點P，請直接寫出∠A與∠P的數(shù)量關(guān)系：．【分析】（1）過點E作EG∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠BEG和∠MEG的度數(shù)，即可求出∠MEB的度數(shù)；（2）過點E作EH∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)，推出∠MEH＝2∠1，再結(jié)合角平分線的定義，推出∠HED＝2∠3，進而求得∠MED＝2∠1+2∠3，然后利用對頂角相等，即可求出∠AEN的度數(shù)；（3）根據(jù)角平分線的定義和三角形外角的性質(zhì)進行求解即可得到答案．【解答】解：（1）過點E作EG∥AB，∴∠BEG＝∠MBE＝15°，∵AB∥CD，∴EG∥CD，∴∠MEG＝∠MND＝70°，∴∠MEB＝∠MEG﹣∠BEG＝70°﹣15°＝55°，故答案為：55°；（2）解：∠AEN＝2∠1+2∠3，證明如下：過點E作EH∥AB，∴∠1＝∠BEH，∵∠1＝∠2，∴∠MEH＝∠2+∠BEH＝∠1+∠1＝2∠1，∵DF平分∠EDC，∴∠EDC＝2∠3，∵AB∥CD，∴EH∥CD，∴∠HED＝∠EDN＝2∠3，∴∠MED＝∠MEH+∠HED＝2∠1+2∠3，∴∠AEN＝2∠1+2∠3；（3）解：∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACD，∴∠ABC＝2∠PBC，∠ACD＝2∠PCD，∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∠PCD＝∠PBC+∠P，∴∠ACD＝∠A+2∠PBC＝2（∠PBC+∠P），∴∠A＝2∠P，故答案為：∠A＝2∠P．（2023春?單縣期末）如圖①，AD平分∠BAC，AE⊥BC，∠B＝38°，∠C＝64°．（1）求∠DAE的度數(shù)；（2）如圖②，若把“AE⊥BC”變成“點F在DA的延長線上，F(xiàn)E⊥BC”，∠B＝α，∠C＝β（α＜β），請用α、β的代數(shù)式表示∠DFE．【分析】（1）求出∠ADE的度數(shù)，利用∠DAE＝90°﹣∠ADE即可求出∠DAE的度數(shù)．（2）求出∠ADE的度數(shù)，利用∠DFE＝90°﹣∠ADE即可求出∠DAE的度數(shù)．【解答】解：（1）∵∠B＝38°，∠C＝64°，∴∠BAC＝78°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝39°，∴∠ADE＝∠B+∠BAD＝77°，∵AE⊥BC，∴∠AEB＝90°，∴∠DAE＝90°﹣∠ADE＝13°．（2）∵∠B＝α，∠C＝β，∴∠BAC＝180°﹣α﹣β，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝90°﹣（α+β），∴∠ADE＝∠B+∠BAD＝α+90°﹣（α+β），∵FE⊥BC，∴∠FEB＝90°，∴∠DFE＝90°﹣∠ADE＝（β﹣α）．23．（2023春?秀英區(qū)校級月考）如圖，在△ABC中，∠CBD、∠BCE是△ABC的外角，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，BQ平分∠CBD，CQ平分∠BCE．（1）若∠A＝70°，求∠P＝度；（2）求∠PBQ及∠PCQ的度數(shù)；（3）若∠A＝α，求∠P及∠Q的度數(shù)．（用含α的代數(shù)式表示）【分析】（1）由∠P＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠A）可得∠P度數(shù)，由∠Q＝180°﹣∠QBC﹣∠QCB＝180°﹣（180°﹣∠ABC）﹣（180°﹣∠ACB）＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）可得∠Q度數(shù)；（2）由角平分線知∠PBC＝∠ABC、∠QBC＝∠DBC，由∠ABC+∠DBC＝180°知∠PBQ＝∠PBC+∠QBC＝（∠ABC+∠DBC）＝90°，同理可得∠PCQ的度數(shù)；（3）（3）與（2）同理可得．【解答】解：（1）∵∠PBC＝∠ABC、∠PCB＝∠ACB，∴∠P＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝180°﹣（180°﹣70°）＝125°；∵∠QBC＝∠ABC、∠QCB＝∠ACB，∴∠Q＝180°﹣∠QBC﹣∠QCB＝180°﹣（180°﹣∠ABC）﹣（180°﹣∠ACB）＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣70°）＝55°．故答案為：55；（2）∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，BQ平分∠CBD，CQ平分∠BCE．∴∠PBC＝∠ABC、∠QBC＝∠DBC、∠PCB＝∠ACB、∠QCB＝∠BCE，∵∠ABC+∠DBC＝180°、∠ACB+∠BCE＝180°，∴∠PBQ＝∠PBC+∠QBC＝（∠ABC+∠DBC）＝90°，∠PCQ＝∠PCB+∠QCB＝（∠ACB+∠BCE）＝90°；（3）與（2）同理知∠P＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A＝90°+α，∠Q＝（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A＝90°﹣α，24．（2023?東興區(qū)校級二模）如圖①，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線相交于點P．（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度數(shù)；（2）如圖②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分線交于點Q，試探索∠Q、∠A之間的數(shù)量關(guān)系．（3）如圖③，延長線段BP、QC交于點E，△BQE中，存在一個內(nèi)角等于另一個內(nèi)角的2倍，求∠A的度數(shù)．【分析】（1）運用三角形的內(nèi)角和定理及角平分線的定義，首先求出∠PBC+∠PCB，進而求出∠BPC即可解決問題；（2）根據(jù)三角形的外角性質(zhì)分別表示出∠MBC與∠BCN，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可求得∠CBQ+∠BCQ，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解；（3）在△BQE中，由于∠Q＝90°﹣∠A，求出∠E＝∠A，∠EBQ＝90°，所以如果△BQE中，存在一個內(nèi)角等于另一個內(nèi)角的2倍，那么分四種情況進行討論：①∠EBQ＝2∠E＝90°；②∠EBQ＝2∠Q＝90°；③∠Q＝2∠E；④∠E＝2∠Q；分別列出方程，求解即可．【解答】（1）解：∵∠A＝80°．∴∠ABC+∠ACB＝100°，∵點P是∠ABC和∠ACB的平分線的交點，∴∠P＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣×100°＝130°，（2）∵外角∠MBC，∠NCB的角平分線交于點Q，∴∠QBC+∠QCB＝（∠MBC+∠NCB）＝（360°﹣∠ABC﹣∠ACB）＝（180°+∠A）＝90°+∠A∴∠Q＝180°﹣（90°+∠A）＝90°﹣∠A；（3）延長BC至F，∵CQ為△ABC的外角∠NCB的角平分線，∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分線，∴∠ACF＝2∠ECF，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠EBC，∵∠ECF＝∠EBC+∠E，∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E，即∠ACF＝∠ABC+2∠E，又∵∠ACF＝∠ABC+∠A，∴∠A＝2∠E，即∠E＝∠A；∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ＝∠ABC+∠MBC＝（∠ABC+∠A+∠ACB）＝90°．如果△BQE中，存在一個內(nèi)角等于另一個內(nèi)角的2倍，那么分四種情況：①∠EBQ＝2∠E＝90°，則∠E＝45°，∠A＝2∠E＝90°；②∠EBQ＝2∠Q＝90°，則∠Q＝45°，∠E＝45°，∠A＝2∠E＝90°；③∠Q＝2∠E，則90°﹣∠A＝∠A，解得∠A＝60°；④∠E＝2∠Q，則∠A＝2（90°﹣∠A），解得∠A＝120°．綜上所述，∠A的度數(shù)是90°或60°或120°．25．（2023春?桂林期末）實驗與探究小芳同學在用數(shù)學圖形軟件探究平行線的性質(zhì)時，進行如下實驗與探究：在直線CD上取一定點N，作一任意三角形MNP，過點M作直線AB∥CD，并標記∠BMP為∠1，∠DNP為∠2，請用平行線的相關(guān)知識解決下列問題．（1）如圖1，小芳發(fā)現(xiàn)，當點P落在直線AB與CD之間時，總有∠1+∠2＝∠P的結(jié)論，請你幫小芳說明理由；（2）將三角形MNP繞點N旋轉(zhuǎn)，當點P落在直線AB與CD之外時（如圖2），小芳發(fā)現(xiàn)∠1，∠2，∠P之間依然滿足某種數(shù)量關(guān)系，請你寫出這個數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）如圖3，當點P落在直線AB與CD之間時，小芳用數(shù)學軟件作出∠AMP與∠CNP的角平分線MQ和NQ，交點為點Q，發(fā)現(xiàn)∠P與∠MQN之間也滿足某種數(shù)量關(guān)系，請你寫出這個數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)，得出∠EPN＝∠2，∠EPM＝∠1即可；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠2＝∠PFB，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出∠PFB＝∠P+∠1，進而得出答案；（3）利用（1）的結(jié)論以及角平分線的定義進行計算即可．【解答】解：（1）如圖1，過點P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠EPN＝∠2，∠EPM＝∠1，∴∠MPN＝∠EPN+∠EPM＝∠1+∠2；（2）∠2＝∠P+∠1，理由如下：如圖2，∵AB∥CD，∴∠2＝∠PFB，∵∠PFB＝∠P+∠1，∴∠2＝∠P+∠1；（3）∠P+2∠MQN＝360°，理由如下：如圖3，由（1）可得，∠P＝∠BMP+∠DNP，∠Q＝∠AMQ+∠CNQ，∵MQ平分∠AMP，NQ平分∠CNP，∴∠AMQ＝∠QMP，∠CNQ＝∠QNP，∵∠AMQ+∠QMP+∠BMP＝180°，∠CNQ+∠QNP+∠DNP＝180°，∴2∠Q+∠P＝180°+180°＝360°，即∠P+2∠MQN＝360°．26．（2023春?徐州期末）已知：在△ABC中，∠BAC＝α．過AC邊上的點D作DE⊥BC，垂足為點E．BF為△ABC的一條角平分線，DG為∠ADE的平分線．（1）如圖1，若α＝90°，點G在邊BC上且不與點B重合．①判斷∠1與∠2的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；②判斷BF與GD的位置關(guān)系，并說明理由；（2）如圖2，若0°＜α＜90°，點G在邊BC上，DG與FB的延長線交于點H，用含α的代數(shù)式表示∠H，并說明理由；（3）如圖3，若0°＜α＜90°，點G在邊AB上，DG與BF交于點M，用含α的代數(shù)式表示∠BMD，則∠BMD＝．【分析】（1）①利用角平分線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理即可解答，②利用角的關(guān)系可證明BF與GD的位置關(guān)系；（2）和（3）均利用角平分線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理找到各角之間的等量關(guān)系求解即可．【解答】（1）解：①∵∠ABC+∠C＝90°，∠CDE+∠C＝90°，∴∠ABC＝∠CDE＝2∠1．又∵∠CDE+∠ADE＝180°，∴2∠1+2∠2＝180，即2（∠1+∠2）＝180°，∴∠1+∠2＝90°．②∵∠BFC＝∠BAC+∠ABF＝90°+∠1，∠GDC＝∠GDE+∠CDE＝∠2+2∠1＝∠1+∠2+∠1＝90°+∠1，∴∠BFC＝∠GDC＝90°+∠1，∴BF∥GD．（2）∠H＝45°﹣α．證明：∵∠H+∠BGH＝∠FBG，∠BGH＝∠DGE＝90°﹣∠EDG，∴∠H+90°﹣∠EDG＝∠FBG，∴∠H＝∠FBG+∠EDG﹣90°．∵∠BGD＝∠EDG+90°，∠BFD＝∠ABF+α，∠BGD+∠BFD+∠FBG+∠FDG＝360°，∴∠EDG+90°+∠ABF+α+∠FBG+∠FDG＝360°．又∵∠ABF＝∠FBG，∠FDG＝∠EDG，∴∠EDG+90°+∠ABF+α+∠FBG+∠FDG＝∠EDG+90°+∠FBG+α+∠FBG+∠EDG＝360°，整理得2（∠EDG+∠FBG）＝360°﹣90°﹣α＝270﹣α，∴∠FBG+∠EDG＝（270﹣α）＝135﹣α．將之代入∠H＝∠FBG+∠EDG﹣90°，得∠H＝135﹣α﹣90°＝45°﹣α．（3）∵∠BMD+90°+∠MBE+∠MDE＝360°，∴∠BMD＝360°﹣90°﹣（∠MBE+∠MDE）＝270°﹣（∠MBE+∠MDE）．又∵α+90°+∠ABE+∠ADE＝360°，∠ABE＝2∠MBE，∠ADE＝2∠MDE，∴α+90°+2∠MBE+2∠MDE＝α+90°+2c（∠MBE+∠MBE）＝360°，∴∠MBE+∠MBE＝（360°﹣90°﹣α）＝135°﹣α．將之代入∠BMD＝270°﹣（∠MBE+∠MDE），得∠BMD＝270°﹣（135°﹣α）＝135°+α．故答案為：135°+α．27．（2023春?江都區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠B＞∠C，AD⊥BC于點D，AE平分∠BAC．（1）若∠B＝64°，∠C＝42°，則∠DAE＝°；（2）∠B、∠C與∠DAE有何數(shù)量關(guān)系？證明你的結(jié)論；（3）點G是線段CE上任一點（不與C、E重合），作GH⊥CE，交AE的延長線于點H，點F在BA的延長線上．若∠FAC＝α，∠GHE＝β，求∠B、∠C（用含α、β代數(shù)式表示）．【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BAC的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義求出∠BAE的度數(shù)，在Rt△ADB中求出∠BAD的度數(shù)，即可求出∠DAE的度數(shù)；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理用∠B、∠C表示出∠BAC，再根據(jù)角平分線的定義表示出∠BAE，在Rt△ADB中用∠B表示出∠BAD，即可求出∠DAE與∠B、∠C的關(guān)系；（3）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得到∠FAC＝∠B+∠C，即∠B+∠C＝α①，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠DAE＝∠GHE＝β，根據(jù)（2）中的結(jié)論得到∠B﹣∠C＝2β②，①與②組成方程組，求解即可．【解答】（1