七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)講義（北師大版）第四章第07講 難點(diǎn)探究專(zhuān)題：全等三角形中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題(3類(lèi)熱點(diǎn)題型講練)（解析版）

第07講難點(diǎn)探究專(zhuān)題：全等三角形中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題(3類(lèi)熱點(diǎn)題型講練)目錄TOC\o"1-3"\h\u【題型一利用分類(lèi)討論思想求解動(dòng)點(diǎn)中三角形全等問(wèn)題】 1【題型二利用三角形全等求證線段之間的關(guān)系問(wèn)題】 12【題型三利用三角形全等求證角之間的關(guān)系問(wèn)題】 22【題型一利用分類(lèi)討論思想求解動(dòng)點(diǎn)中三角形全等問(wèn)題】例題：（23-24八年級(jí)上·重慶·階段練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方形中，，延長(zhǎng)到點(diǎn)E，使，連接，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)t的值為秒時(shí)，與全等．【答案】1或7【分析】本題考查了全等三角形的判定，判定方法有：．根據(jù)題意，分兩種情況進(jìn)行討論，根據(jù)題意得出和即可求得．【詳解】解：由題意得：，若，根據(jù)證得，，即，若，根據(jù)證得，，即．當(dāng)t的值為1或7秒時(shí)．與全等．故答案為：1或7．【變式訓(xùn)練】1．（23-24八年級(jí)上·山東日照·階段練習(xí)）如圖，，垂足為點(diǎn)，米，米，射線，垂足為點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以2米/秒沿射線運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)為射線上一動(dòng)點(diǎn)，隨著點(diǎn)運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，且始終保持，當(dāng)點(diǎn)經(jīng)過(guò)秒時(shí)（不包括0秒），由點(diǎn)組成的三角形與全等．【答案】秒或秒或【分析】本題考查了三角形全等的判定與性質(zhì)，分四種情況：當(dāng)點(diǎn)在線段上，時(shí)，；當(dāng)在上，時(shí)，；當(dāng)在線段上，時(shí)；當(dāng)在上，時(shí)，；分別利用三角形全等的性質(zhì)進(jìn)行求解即可，熟練掌握三角形全等的判定與性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)在線段上，時(shí)，，，，，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（秒）；當(dāng)在上，時(shí)，，，，，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（秒）；當(dāng)在線段上，時(shí)，此時(shí)在點(diǎn)未動(dòng)，時(shí)間為秒，不符合題意；當(dāng)在上，時(shí)，，，，，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（秒）；綜上所述，當(dāng)點(diǎn)經(jīng)過(guò)秒或秒或秒時(shí)（不包括0秒），由點(diǎn)組成的三角形與全等，故答案為：秒或秒或．2．（23-24八年級(jí)上·北京西城·期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，動(dòng)點(diǎn)，分別按照和的路線同時(shí)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，到各自的終點(diǎn)時(shí)停止．直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且，過(guò)，分別作的垂線段，垂足分別為，．若點(diǎn)的速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)的速度為每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，當(dāng)與全等時(shí)，的值為．

【答案】1或2或5【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)和一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是恰當(dāng)分類(lèi)并利用全等三角形的性質(zhì)建立方程．判斷出再分三種情況討論，表示出，建立一元一次方程求解即可．【詳解】解：∵，，∴，，由題意，和是兩直角三角形的斜邊，當(dāng)與全等時(shí)，，①當(dāng)點(diǎn)P在上，點(diǎn)Q在上時(shí)，根據(jù)題意可得∶時(shí)，，，∴，，∴，解得∶；②當(dāng)點(diǎn)P，Q都在上時(shí)，點(diǎn)P，Q重合時(shí)，兩三角形重合時(shí)，P點(diǎn)行程為，Q點(diǎn)行程為，∴，解得；③當(dāng)點(diǎn)P在上，點(diǎn)Q在上且點(diǎn)Q與點(diǎn)A重合時(shí)，，∴．解得：當(dāng)與全等時(shí)，滿足題意的t的值為1或2或5．故答案為：1或2或5．3．（23-24八年級(jí)下·江蘇泰州·階段練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方形中，，，現(xiàn)有一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以1cm/s的速度沿長(zhǎng)方形的邊運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)A時(shí)停止；點(diǎn)Q在邊上，，連接．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，則當(dāng)s時(shí)，以長(zhǎng)方形的兩個(gè)頂點(diǎn)及點(diǎn)P為頂點(diǎn)的三角形與全等．（不考慮兩個(gè)三角形重合的情況）【答案】1或2或7【分析】本題考查了全等三角形的判定和長(zhǎng)方形的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定和恰當(dāng)分類(lèi)是解題的關(guān)鍵．先確定是等腰直角三角形，再分三種情況：點(diǎn)在邊上，或，點(diǎn)在邊上，，利用動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑求解即可．【詳解】解：在長(zhǎng)方形中，，∵，∴，∴是等腰直角三角形，分三種情況：當(dāng)點(diǎn)在邊上，時(shí)，，則，∴；當(dāng)點(diǎn)在邊上，時(shí)，，則點(diǎn)在邊上，時(shí)，，則，綜上，當(dāng)或或時(shí)，以長(zhǎng)方形的兩個(gè)頂點(diǎn)及點(diǎn)P為頂點(diǎn)的三角形與全等．故答案為：1或2或7．4．（23-24八年級(jí)上·福建泉州·階段練習(xí)）如圖，，垂足為點(diǎn)A，射線，垂足為點(diǎn)B，，．動(dòng)點(diǎn)E從A點(diǎn)出發(fā)以的速度沿射線運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)D在射線上，隨著E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，始終保持．若點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，則當(dāng)t=秒時(shí)，與全等．【答案】2或6或8【分析】本題考查了直角三角形全等的判定和性質(zhì)，學(xué)會(huì)分類(lèi)是解題的關(guān)鍵．【詳解】當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，此時(shí)，與全等．但，舍去；當(dāng)時(shí)，則，∵，，，．動(dòng)點(diǎn)E的速度為，∴，∴，∴；當(dāng)時(shí)，則，且點(diǎn)E在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，∵，，，．動(dòng)點(diǎn)E的速度為，∴，∴，∴；當(dāng)時(shí)，則，且點(diǎn)E在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，∵，，，．動(dòng)點(diǎn)E的速度為，∴，∴，∴；故答案為：2或6或8．5．（23-24八年級(jí)上·重慶巴南·階段練習(xí)）如圖1，在中，，，，，現(xiàn)有一動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿著三角形的邊運(yùn)動(dòng)，回到點(diǎn)停止，速度為，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．

(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，；(2)如圖2，在中，，，，．在的邊上，若另外有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，與點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，沿著邊運(yùn)動(dòng)，回到點(diǎn)停止．在兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的某一時(shí)刻，恰好與全等，求點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度．【答案】(1)或(2)兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的某一時(shí)刻，恰好與全等，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為或或cm/s或【分析】本題考查全等三角形與動(dòng)點(diǎn)的綜合，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合和分類(lèi)討論的思想進(jìn)行解答．（1）點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度為，則，；根據(jù)，分類(lèi)討論：點(diǎn)在上時(shí)；點(diǎn)在上時(shí)，進(jìn)行解答，即可；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，分類(lèi)討論：當(dāng)點(diǎn)在上，，，；當(dāng)點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，，，；當(dāng)點(diǎn)在上，，，；當(dāng)點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，，，，求出對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度，即可．【詳解】（1）∵點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度為，點(diǎn)在上時(shí)，∴，∵，∴，，∵，∴，∴，解得：；

點(diǎn)在上時(shí)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，∴點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路程為，∴，，∵，∴，∵是直角三角形，∴當(dāng)點(diǎn)在的中點(diǎn)時(shí)，，，∴，解得：；故答案為：或；（2）∵在中，，，，，∴當(dāng)點(diǎn)在上，，，；∴點(diǎn)的速度為：；

當(dāng)點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，，，，∴點(diǎn)的速度為：；

當(dāng)點(diǎn)在上，，，，∴點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的距離為：，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的距離為：，∴點(diǎn)的速度為：；

當(dāng)點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，，，∴點(diǎn)的速度為：；

綜上所述，兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的某一時(shí)刻，恰好與全等，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為或或cm/s或．6．（2023·廣西南寧·二模）如圖，在中，為高，．點(diǎn)為上的一點(diǎn)，，連接，交于，若．(1)猜想線段與的位置關(guān)系，并證明；(2)有一動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿射線以每秒6個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，是否存在的值，使得的面積為27？若存在，請(qǐng)求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)在（2）條件下，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿線段以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，、兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，、兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，且，當(dāng)與全等時(shí)，求的值．【答案】(1)垂直，見(jiàn)解析(2)存在，(3)或【分析】（1）由全等三角形的性質(zhì)得，再由三角形內(nèi)角和定理得，即可得出結(jié)論；（2）由全等三角形的性質(zhì)得，再求出，，①當(dāng)時(shí)，在線段上，然后由三角形面積公式得，即可求解；②當(dāng)時(shí)，在射線上，由三角形面積公式得，即可求解；（3）①當(dāng)點(diǎn)在線段延長(zhǎng)線上時(shí)，證，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，求解即可；②當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，證，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，求解即可．【詳解】（1），理由如下：在中，為高，，又，，，，，；（2）存在的值，使得的面積為27，理由如下：，，，，，，由（1）可知，，，分兩種情況：當(dāng)時(shí)，在線段上，如圖1，，解得：（舍去）；當(dāng)時(shí)，在射線上，如圖2，，解得：，此時(shí)與重合；綜上所述，存在的值，使得的面積為27，的值為；（3）由（1）可知，，，當(dāng)點(diǎn)在線段延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖3，，，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，，解得：；當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，如圖4，，，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，，解得：；綜上所述，當(dāng)與全等時(shí)，的值為或．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題目，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形面積、三角形面積和定理、對(duì)頂角相等以及分類(lèi)討論等知識(shí)，本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)，進(jìn)行分類(lèi)討論是解題的關(guān)鍵．【題型二利用三角形全等求證線段之間的關(guān)系問(wèn)題】例題：（23-24八年級(jí)上·北京海淀·階段練習(xí)）在中，，，點(diǎn)D在的延長(zhǎng)線上，M是的中點(diǎn)，E是射線CA上一動(dòng)點(diǎn)，且，連接，作，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在上時(shí)，填空：________（填“”、“”或“”）．(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在的延長(zhǎng)線上時(shí)，請(qǐng)根據(jù)題意將圖形補(bǔ)全，判斷與的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【答案】(1)，詳見(jiàn)解析；(2)，詳見(jiàn)解析．【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用等知識(shí)；（1）連接，先證，得，再證，得，即可得出結(jié)論；（2）連接，先證，得，再證，得，即可得出結(jié)論．證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1），理由如下：連接，如圖1所示：∵，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∵M(jìn)是的中點(diǎn)，∴，在和中，，∴，∴，∴，故答案為：；（2）根據(jù)題意將圖形補(bǔ)全，如圖2所示：與的數(shù)量關(guān)系：，證明如下：連接，∵，點(diǎn)D在的延長(zhǎng)線上，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∵M(jìn)是的中點(diǎn)，∴，在和中，，∴，∴，∴．【變式訓(xùn)練】1．（22-23八年級(jí)上·山西大同·階段練習(xí)）如圖1，在等腰直角三角形中，，點(diǎn)為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，以為直角邊，為直角頂點(diǎn)，在右側(cè)作等腰直角三角形，連接．

(1)當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)(不與點(diǎn)重合)，求證：．(2)當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)(如圖2)，試猜想線段和的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系分別是什么？請(qǐng)給予證明．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)猜想：，證明見(jiàn)解析【分析】（1）先證明，再根據(jù)三角形全等的判定定理證明，即可；（2）先證明，再根據(jù)三角形全等的判定定理證明，由全等三角形的性質(zhì)，即可得證．【詳解】（1）即∶在和中（2）猜想∶即∶在和中(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等)(全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等)即∶綜上所述，．【點(diǎn)睛】本題主要考場(chǎng)三角形全等的判定定理和性質(zhì)定理，熟練掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理，是解題的關(guān)鍵．2．（23-24八年級(jí)上·河北滄州·期末）問(wèn)題情境：如圖，等腰，D是斜邊上一點(diǎn)，連接，在AD右側(cè)作，且，平分交邊于點(diǎn)E，連接和，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段的關(guān)系：

；

猜想驗(yàn)證：若D是斜邊上一動(dòng)點(diǎn)，且平分交邊于點(diǎn)E，其他條件不變，此時(shí)上面的結(jié)論是否還成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．拓展延伸：若點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到斜邊的延長(zhǎng)線上，平分交邊于點(diǎn)E，其他條件不變，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段的關(guān)系：．【答案】問(wèn)題情景：；猜想驗(yàn)證：成立，見(jiàn)解析；拓展延伸：【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．問(wèn)題情景：根據(jù)作圖過(guò)程可解決問(wèn)題情境；猜想驗(yàn)證：根據(jù)等腰直角三角形和已知條件可證明可得，進(jìn)而證明可得，然后根據(jù)即可證明結(jié)論；拓展延伸：先根據(jù)題意畫(huà)出圖形，然后參照猜想驗(yàn)證進(jìn)行解答即可．【詳解】解：?jiǎn)栴}情境：．猜想驗(yàn)證：，理由如下：∵是等腰直角三角形∴∵∴∴，即：在和中，∴∴，∵平分，∴在和中，，∴，∴，∴，∴．拓展延伸：，理由如下：∵是等腰直角三角形∴∵∴∴，即：在和中，∴∴，∵平分，∴在和中，，∴，∴，∴，∴．3．（23-24八年級(jí)上·湖北武漢·期末）如圖，在等腰中，，，點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合），且．

(1)連接交于點(diǎn)，設(shè)．①當(dāng)時(shí)，如圖1，則______．②當(dāng)時(shí)，如圖2，若，求的長(zhǎng)．(2)如圖3，作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，求證：．【答案】(1)①；②(2)見(jiàn)解析【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)條件作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．（1）①證即可求解；②過(guò)點(diǎn)作于，證，再證，可求．（2）在上截取，連證，再證，即可求證．【詳解】（1）解：①∵，，，∴∵∴∴∴故答案為：②過(guò)點(diǎn)作于，如圖所示：

∵，，∴∵，∴∵，∴∴，∵，∴∵，∴∴∴（2）解：在上截取，連，如圖所示：

∵，，，∴∴，∵，∴∵∴∵∴∴∵4．（23-24八年級(jí)上·廣東陽(yáng)江·期末）如圖1，已知：，點(diǎn)A、B在的邊上，，點(diǎn)D為直線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)A作，且，作，垂足為F．(1)當(dāng)點(diǎn)D在線段上時(shí)，證明：；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段延長(zhǎng)線上時(shí)，（1）的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明，若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)如圖3，在（2）的條件下，作點(diǎn)E關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接、，與直線交于點(diǎn)H，求證：．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)成立，見(jiàn)解析(3)見(jiàn)解析【分析】本題主要考查三角形全等的判定及性質(zhì)，能熟練應(yīng)用三角形全等證明線段相等是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)“同角的余角相等”證明，再根據(jù)“AAS”證明即可；（2）類(lèi)比（1）的方法證明即可；（3）延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，利用“ASA”證明即可得證．【詳解】（1）證明：，，，，，，，，在和中，，．（2）解：結(jié)論成立．，，，，，，，，在和中，，，．（3）證明：如圖：如圖，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，，，，，，，，又E、關(guān)于直線對(duì)稱，，，、、三點(diǎn)共線，由（2）可得，，，，即，，，，，，在和中．【題型三利用三角形全等求證角之間的關(guān)系問(wèn)題】例題：（23-24八年級(jí)上·湖南永州·期中）在中，，，點(diǎn)D為上一動(dòng)點(diǎn)．

(1)如圖1，點(diǎn)E、點(diǎn)F均是射線BD上的點(diǎn)并且滿足，．求證：；(2)在（1）的條件下，求證：；(3)由（1）我們知道，如圖2，當(dāng)點(diǎn)D的位置發(fā)生變化時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作于F，連接AF．那么的度數(shù)是否發(fā)生變化？請(qǐng)證明你的結(jié)論．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)，不變化，理由見(jiàn)解析【分析】本題屬于三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的綜合應(yīng)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)．（1）根據(jù)，得出，即可根據(jù)證明；（2）易得，根據(jù)，得出，則，進(jìn)而得出，則，即可求證；（3）過(guò)點(diǎn)A作的垂線交于點(diǎn)E，易得，，即可得出，通過(guò)求證得出，則是等腰直角三角形，即可求出．【詳解】（1）解：∵，∴，在和中，∴；（2）解：∵，∴，由（1）得，∴，∴，又∵，∴，∴，∴；（3）解：，不變化，理由如下：

過(guò)點(diǎn)A作的垂線交于點(diǎn)E∵∴∴同理∵∴同（1）理得在和中，∴∴∴是等腰直角三角形∴．【變式訓(xùn)練】1．（22-23八年級(jí)上·江蘇徐州·階段練習(xí)）點(diǎn)P、Q分別是邊長(zhǎng)為的等邊的邊、上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P從頂點(diǎn)A，點(diǎn)Q從頂點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，且它們的速度都是1cm/s．

(1)連接、交于點(diǎn)M，則在P、Q運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，變化嗎？若變化，則說(shuō)明理由；若不變，則求出它的度數(shù)；(2)如圖2，若點(diǎn)P、Q在運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)后繼續(xù)在射線、上運(yùn)動(dòng)，直線、交點(diǎn)為M，則變化嗎？若變化，則說(shuō)明理由；若不變，請(qǐng)求出它的度數(shù)．【答案】(1)不變，(2)不變，【分析】（1）因?yàn)辄c(diǎn)從頂點(diǎn)、點(diǎn)從頂點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，且它們的速度都為cm/s，所以，，，因而運(yùn)用邊角邊定理可知．再用全等三角形的性質(zhì)定理及三角形的角間關(guān)系、三角形的外角定理，可求得的度數(shù)．（2）首先利用邊角邊定理證得，再利用全等三角形的性質(zhì)定理得到，再運(yùn)用三角形角間的關(guān)系求得的度數(shù)．【詳解】（1）解：不變．等邊三角形中，，，又由條件得，，，；（2）解：不變．在等邊三角形中，，，又由條件得，，，，又，．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．2．（23-24八年級(jí)上·貴州遵義·期末）在中，，點(diǎn)E為上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作于D，連接．

(1)【觀察發(fā)現(xiàn)】如圖①，與的數(shù)量關(guān)系是；(2)【嘗試探究】點(diǎn)E在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，的大小是否改變，若改變，請(qǐng)說(shuō)明理由，若不變，求的度數(shù)；(3)【深入思考】如圖②，若E為中點(diǎn)，探索與的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)(2)的大小不變，(3)【分析