立體幾何第二章練習(xí)題

械之間的位置關(guān)系

2.1空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系

2.1.1平面

自主填一填，理清本節(jié)主干知識

?淡?????應(yīng)?SHEJ1II--------------------------------------------------

1.平面的概念、畫法及表示

概

幾何里所說的“平面”是從生活中的一些物體中抽象出來的，是無限延展的

念

畫常常把水平的平面畫成一個平行四邊形,并且其銳角畫成45。，且橫邊長等于鄰

法邊長的之僮，為了增強立體感，被遮擋部分用虛線畫出來

表

示①一個希臘字母：如a、6、y等；

方②兩個大寫英文字母：表示平面的平行四邊形的相對的兩個頂點；

法③四個大寫英文字母：表示平面的平行四邊形的四個頂點

2.點、線、面之間的位置關(guān)系及符號表示

(1)直線在平面內(nèi)的概念：

如果直線/上的所直直都在平面a內(nèi)，就說直線/在平面a內(nèi)，或者說平面a經(jīng)過直線

(2)一些文字語言、數(shù)學(xué)符號與圖形的對應(yīng)關(guān)系:

數(shù)學(xué)符

文字語言表達圖形語言表達

號表示

A0點/在直線/上—^—1

?A

朋/點A在直線/外---------------1

A^a點A在平面a內(nèi)

?A

A^a點A在平面a外//

lUa直線/在平面a內(nèi)

Ida直線/在平面a外

2/或/、/

lC\m=A直線1,m相交于點A

aCp=l平面a、夕相交于直線/

3.平面的基本性質(zhì)

公理文字語言圖形語言符號語言

但、

如果一條直線上的兩

點在一個平面內(nèi)，那BQI

公理1Tua

么這條直線在此平面^37

內(nèi)

過不在一條直線上的A,B,C三點不共線

公理2三點，有且只有一個今存在唯一的平面a

平面使B,C^a

如果兩個不重合的平

面有一個公共點，那PEa,且PWgaCS

公理3

么它們有且只有一條=1,且尸e/

過該點的公共直線

.熱且嘗試做一做，發(fā)現(xiàn)小問題中的大智慧

1.下列三個說法正確嗎？

①一個平面長2m,寬1m；②一個平面的面積是25cm2；③一條直線的長度比一個平

面的長度大.

提示：根據(jù)平面的概念知，以上三個說法均不正確.

2.一個平面把空間分成幾部分？兩個平面把空間分成幾部分？

提示：因為平面是無限延展的，一個平面把空間分成兩部分，而兩個平面相交時，把空

間分成四部分，平行時，把空間分成三部分.

3.“線段在平面a內(nèi)，直線Z8不全在平面a內(nèi)”這一說法是否正確？為什么？

提示：不正確...?線段N8在平面a內(nèi)，，線段N8上的所有點都在平面a內(nèi)，，線段

48上的4、8兩點一定在平面a內(nèi)，二直線在平面a內(nèi)(公理1).

W根據(jù)下列符號表示的語句，說明點、線、面之間的位置關(guān)系，并畫出相應(yīng)的圖形.

(l)4￡a,陰a；

(2)/C?,mC\a=A9AH；

(3)Pe/,內(nèi)扇Q^a.

［自主解答］(1)點/在平面a內(nèi)，點3不在平面a內(nèi)；

(2)直線/在平面a內(nèi)，直線〃7與平面a相交于點A,且點力不在直線/上；

(3)直線/經(jīng)過平面a夕I—點P和平面a內(nèi)一點Q.

圖形分別如下圖所示：

［方法-規(guī)律］

點、線、面間的位置關(guān)系三種語言的轉(zhuǎn)換方法:

(1)用文字語言、符號語言表示一個圖形時，首先仔細觀察圖形，有幾個平面且位置關(guān)系

如何，有幾條直線且位置關(guān)系如何，圖中的直線和平面的位置關(guān)系如何，有幾點且在哪條直

線或哪個平面上，試著用文字語言表示，再用符號語言表示.

(2)由勺號語言或文字語言畫相應(yīng)的圖形時,要注意實線和虛線的區(qū)別.

訓(xùn)練

1.用文字語言和符號語言表示所示圖.

解：文字語言：平面a內(nèi)兩直線機和〃相交于點4符號語言：mU%"Ua,且加C〃=

考點二平面?zhèn)€數(shù)的確定及共面問題

砸?(1)空間兩兩相交的三條直線，可以確定的平面數(shù)是(

D.I或3

(2)已知：a//b//c,IHa^A,ICb=B,/Dc=C求證：直線a,b,c,/共面.

［自主解答J(1)兩兩相交且共點的三條直線若在一個平面內(nèi)，可確定一個平面，若不在

一個平面內(nèi)，每兩條直線確定一個平面，共可確定3個平面.

［答案ID

(2)證明：和6確定一個平面a.

\'IQa=A,lCb=B,

.'.A^a,故/Ua.

又a〃c,和c確定一個平面及同理/u￡.

即/和a既在a內(nèi)又在夕內(nèi)，且/與a相交，故a、夕重合，即直線a,b,c,/共面.

［方法?規(guī)律］

1.公理2的推論：

推論1：經(jīng)過一條直線和直線外的一點有且只有一個平面.

推論2：經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個平面.

推論3：經(jīng)過兩條平行直線有且只有一個平面.

2.確定平面的問題要利用公理2及其推論，要想確定的平面最多，那么條件中每一組能

確定平面的元素都要利用起來.

3.證明點線共面的主要依據(jù)是公理1、公理2及其推論，常用的方法有：

(1)納入平面法：先確定一個平面，再證明有關(guān)點、線在此平面內(nèi).

(2)輔助平面法：先證明有關(guān)點、線確定平面a,再證明其余元素確定平面￡,最后證明a,

夕重合.

(3)反證法：先假設(shè)點線不共面，再由已知推出矛盾，得出點、線共面.

訓(xùn)練

2.己知：AB,BC,4C是△48C三邊所在的直線.

求證：直線BC,NC共面.證明：

法一：如圖所示.由已知所以過直線有且只有一個平面a,'JAB^AC

=A,BCHAC=C,：.A&a,C&a,故/Cua,

即直線48,BC,NC共面.

法二：:ABCBC=B,

過直線8c有且只有一個平面a,

又,.?/BriNC=4,

，過直線N8,/C有且只有一個平面￡.

ACSa,CG夕，4BUa,ABUfJ,

又..I,B,C為三角形的頂點，.'.C莊直線ZB.

二平面a與夕重合，即直線BC,4C共面.

考點三|點共線與線共點問題

睡1如圖所示，4BCla=P,CDQa^P,A,力與B,C分別在平面a的兩側(cè)，ACCia

=。，BDC\a=R.

求證：P,0,R三點共線.

［自主解答］'：ABQa=P,CDHa=P,

：.ABCCD=P.

：.AB,8可確定一個平面，設(shè)為及

?：A^AB,CGCD,BGAB,DGCD,

C?B，3G夕，D。.

:.ACup,BDU3平面a,，相交.

'.'ABQa^P,/Cna=0,BDCa=R,

：.P,Q,R三點是平面a與平面￡的公共點.

：.P,Q,R都在a與夕的交線上，故P,Q,R三點共線.

［方法?規(guī)律］

I.證明多點共線的方法是利用公理3,只需說明這些點都是兩個平面的公共點，則必在

這兩個面的交線上.

2.證明三線共點常用的方法是：

（I）先說明兩條直線共面且交于一點，然后說明這個點在兩個平面內(nèi)，于是該點在這兩個

平面的交線上，從而得到三線共點.

（2）先說明a,b相交于一點6與c相交于一點8,再說明5是同一點，從而得到

a,b,c三線共點.

11^^訓(xùn)練

3.如圖，aC0=l,梯形力8c。中，AD//BC,且Z8Ua,COU..求證：AB、CD、/共點

（相交于一點）.

證明：如圖，在梯形48CZ）中，設(shè)Z3GCZ）=￡

???”Ua,

?\E^a9

又aC￡=l,

:?EGl,即43、CD、/共點（相交于一點）.

【解題高手】【易錯題】

一條直線和直線外三個點最多能確定的平面?zhèn)€數(shù)是（）

A.4B.6C.7D.10

［錯解］選D在已知直線上任取兩點，這樣共5個點構(gòu)成了一個四棱錐，四棱錐的4

個側(cè)面，2個對角面，再加上底面共有7個，誤選C;或者是認為這5個點中任取3個點可

確定一個平面，一共有10種取法，誤選D.

［錯因］都是把題中的條件作了轉(zhuǎn)換，由原來的一條直線轉(zhuǎn)換成兩個點，那么錯解中確

定的某些平面只包含這兩個點中的一個，這是不符合題意的.

［正解J根據(jù)題意最多確定平面分兩類.一類是直線和直線外三點的一個共可確定3個

平面.第二類，當(dāng)三個點不共線時可確定一個平面，所以共有3+1=4個平面.

［答案1A

厘宣疆即時體驗，當(dāng)堂鞏固所學(xué)

???????KETANGLIAN-------------------------------

1.用符號表示“點/在直線/上，/在平面a外”，正確的是（）

A.AB/,肢aB.A0,Ida

C.Adi,知aD.NU/,/4a

解析：點與直線，直線與平面間的關(guān)系分別用“w或?”和“u或C”表示.

答案：B

2.如果直線°u平面a,直線6<=平面a,M^a,NGb,N01,貝U（）

A./CaB.Wa

C.lC\a=MD.ICa=N

解析：VMGa,aUa,：.M^a,同理，NGa,又MG/,N0,故/Ua.

答案：A

3.下列說法中正確的個數(shù)為（）

①三角形一定是平面圖形②若四邊形的兩對角線相交于一點，則該四邊形是平面圖形

③圓心和圓上兩點可確定一個平面④三條平行線最多可確定三個平面

A.1B.2C.3D.4

解析：根據(jù)題意知，①，②，④正確，故C正確.

答案：C

4.若點/在直線b上，6在平面/?內(nèi)，則/、b、夕之間的關(guān)系可記作.

答案：AWb,bU。,AW。

5.有下列幾個說法：

①兩個相交平面有不在同一直線上的三個公共點；

②經(jīng)過空間任意三點至少有一個平面；

③過兩平行直線有且只有一個平面；

其中正確說法的序號是.

解析：兩個相交平面的公共點都在一條直線上，故①錯；當(dāng)三點在一條直線上時，過這

三個點有無數(shù)個平面，當(dāng)三點不共線時，過三點有且只有一個平面，故②正確；根據(jù)公理2,

③正確.

答案：②③

6.如圖，在正方體481Goi中，設(shè)小cn平面Z8C0|=￡'.求證：B,E,功三

點共線.

證明：如圖，連接48、BDi、CDit

平面ABC\D\=E,

：.E^A\C,EG平面

；4CU平面AiBCD"

平面A}BCD\.

:平面48CGA平面N5CQi=8Ci,:.EGBDi,：.B,E,Q三點共線.

f下熊_活頁作業(yè)，知能同步測控

???????KEXIALIAN-------------------------------

一、選擇題

I.下列說法：（1）鋪得很平的一張白紙是一個平面；（2）平面是矩形或平行四邊形的形狀;

（3）兩個平面疊在一起比一個平面厚.其中正確的個數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.3

解析：由平面的概念可知，它是平滑、無厚度、寬窄無限延展的，是一個抽象概念，（1）、

（2）、（3）都不符合平面的概念，所以都不正確.

答案：A

2.已知空間中四點，如果其中任意三點都不共線，則經(jīng)過其中三個點的平面共有（）

A.一個或兩個B.一個或三個

C.兩個或三個D.一個或四個

解析：根據(jù)條件，這四點要么在同一平面上，要么每三點確定一個平面即共有四個平面.

答案：D

3.已知點4直線a,平面a,@A^a,aQa=M4a；?AGa,③Z&z,a

Ua今/Ga；@AGa,aCa=>^Ca.

以上命題表達正確的個數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

解析：①中若a與a相交，且交點為4,則結(jié)論不正確：②中“aea”符號不對；③中

4可以在a內(nèi)，也可以在a外，故不正確；④符號“NUa”錯誤.

答案：A

4.如圖，平面aC平面￡=/,A.BCa,C&p,CH,直線480/=。，過/、B、C三

點確定的平面為y,則平面y與4的交線必過（）

C.點C,但不過點。D.點C和點。

解析：根據(jù)基本性質(zhì)判定點C和點D既在平面P內(nèi)又在平面y內(nèi)，故在夕與y的交線上.

答案：D

二、填空題

5.如圖所示，平面/8EF記作平面a,平面Z8CZ）記作平面夕，根據(jù)圖形填寫：

（1）彳￡1,Ba,Ea,Ca,Da；

（2）aA/?=；

（3）4￡4，ByC6,DEB,F6：

（4）ABa,ABp,CDa,CDB，BFa,

BF6.

'E

B.

C

AD

答案：（I）GG莊莊（2）/8（3）eecqq（4）ccdccd

6.點NGa,B莊a,C^a,則平面力BC與平面a的交點有個.

解析：由公理3可知，平面Z8C與平面a相交，交點有無數(shù)個.

答案：無數(shù)

7.下列說法

①空間三條直線兩兩平行，則三條直線在同一個平面內(nèi)；

②空間三條直線兩兩相交，則三條直線在同一個平面內(nèi)；

③空間四點E,F,G,，在同一平面內(nèi)，則直線EF與G4可能平行，也可能相交.

其中正確的序號是.

解析：三棱柱的三條側(cè)棱兩兩平行，但三條側(cè)棱所在直線不在同一平面內(nèi)，故①錯；若

三條直線交于同一點，則三條直線可能不在同一平面內(nèi)，故②錯；同一平面內(nèi)的兩條直線不

平行，就相交，故③正確.

答案：③

8.空間三條直線，如果其中一條直線和其他兩條直線都相交，那么這三條直線能確定的

平面?zhèn)€數(shù)是.

解析：如圖，在正方體/BCD—481G。]中

?AA\^AB=A,

AA\\,

直線AR與AA\可以確定一個平面（平面ABB[A\）.

?AA{HAB=A,440小。1=小，

直線AB,AA\與小。i可以確定兩個平面（平面ABBXA\和平面ADD\A\）.

③三條直線AD,/小交于一點Z,它們可以確定三個平面（平面/8CZ）,平面/881小

和平面ADD\A\'）.

答案：1或2或3

三、解答題

9.將下面符號語言表示的關(guān)系用文字語言予以敘述，并且用圖形語言予以表示.

aC\p=l,40,4BUa,ACu￡.

解：文字語言敘述為：點/在平面a與平面p的交線/上，AB、4C分別在平面a,￡內(nèi).

如圖：

10.如圖，在正方體—小BCNi中，￡為的中點，尸為小工的中點.

求證：(1)E、F、Di、C四點共面;

(2)CE、D\F、D4三線共點.

證明:

'：E,

又45刈BQ/BC,

...四邊形小DCS為平行四邊形.:.A、B//CD\,：.EF//CD}.

...EF與C￡)i確定一個平面，：,E,F,Dt,C四點共面.

⑵由⑴可得

，直線。尸和CE必相交，設(shè)。/nCE=P.

平面44pDQ,PGDiF,

二尸￡平面4401。

義CEU平面4BCD,PGEC,平面/8CD

：.P是平面ABCD與平面AAyDXD的公共點.

又平面/BCZ5C平面AAiDiD=AD,

:.PGAD.：.CE,DXF,ZM三線共點.

2.1.2空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

殳讓亂自主填一填，理清本節(jié)主干知識

???????SHEJII----------------------------------------------------

1.異面直線

(1)定義：把不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線.

(2)畫法：(通常用平面襯托)

2.空間中兩條直線的位置關(guān)系

;同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點)

位

置同一平面內(nèi)，沒有公共點)

關(guān)

系m~1不同在任何一個平面內(nèi)，無公共點一］

3.平行公理(公理4)與等角定理

(1)平行公理：

①文字表述：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.

這一性質(zhì)叫做空間平行線的傳遞性.

a//b\

②符號表述：\=^a//c.

b//c\

⑵等角定理:

空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補.

4.異面直線所成的角

(1)定義：己知兩條異面直線a,b,經(jīng)過空間任一點。作直線a'//a,b'//b,我們把

a'與b'所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角).

(2)范圍：0。(依90。.

(3)當(dāng)6=9￡時，a與b互相垂直，記作a_Lb.

嘗試做一做，發(fā)現(xiàn)小問題中的大智慧

???????SHEJI2---------------------------------

I.能否將異面直線理解為分別在兩個平面內(nèi)的直線或平面內(nèi)的一條直線與平面外的一條

直線？

提示：不可以.

2.異面直線與平行直線有什么異同點？

提示：其相同點是都沒有公共點，不同點在于平行直線可以確定一個平面，而異面直線

不同在任何一個平面內(nèi).

3.在異面直線所成角的定義中，角的大小與點。的位置有關(guān)系嗎？

提示：根據(jù)等角定理可知，a'與6'所成角的大小與點。的位置無關(guān)，但是為了簡便，

點。常取在兩條異面直線中的一條上，特別是這一直線上的某些特殊點(如線段的端點、中

點等).

考點一空間中兩條直線位置關(guān)系的判定

在正方體N8CZ)—小SCQi中，E、F分別是/小、的中點，試判斷下列各對

線段所在直線的位置關(guān)系：

(1)/8與CG：(2)小&與。C；(3)小C與。萬；(4)￡>C與皿;⑸D】E與CF.

［自主解答］(1)；CW平面/8C。，4BU平面月BCD,又C4AB,G4平面N8CD,

：.AB與CCi異面.

(2y：AiB\//AB,AB//DC,：.A\BX//DC.

(3)：4Q〃8C且小。|=8C,則小，B,C,。［在同一平面內(nèi)，；.小。與。|8相交.

⑷平面48CD,QCU平面488,又B在DC,。停平面/BCD,二。。與8功異面.

(5)設(shè)CF與的延長線交于G,連接2G,

?：AF//DC,尸為中點，

：.A為OG的中點.

又AEI/DD、、

.?.GDi過44的中點E,

二直線。1E與CF相交.

［方法?規(guī)律］

1.判斷兩直線是異面直線的方法：

(1)定義法：依據(jù)定義判斷兩直線不可能在同一個平面內(nèi).

(2)定理法:過平面外一點與平面內(nèi)一點的直線和平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線為異面直線(此

結(jié)論可作為定理使用).

(3)反證法：即假設(shè)這兩條直線不是異面直線，那么它們是共面直線(即假設(shè)兩條直線相交

或平行)，結(jié)合原題中的條件，經(jīng)正確地推理，得出矛盾，從而斷定假設(shè)“兩條直線不是異面

直線”是錯誤的，進而得出結(jié)論：這兩條直線是異面直線.

2.判定兩條直線平行或相交可用平面幾何的方法去判斷，而兩條直線平行也可以用公理

4判斷.

II臉：yn練

1.若a和6是異面直線，6和c是異面直線，則。和c的位置關(guān)系是()

A.a//cB.a和c異面

C.。和c相交D.。和c平行、相交或異面

解析：如圖，在長方體B'CD'中，令HD'所在直線為a,所在直

線為6,由題意，。和b是異面直線，6和c是異面直線.

0

若令B'C所在直線為c,則a和c平行.AbB

若令C'C所在直線為c,則。和c異面.

若令。'。所在直線為c,則a和c相交.

答案：D

考點二公理4、等角定理的應(yīng)用

ISB如圖，在正方體N8CD一431Goi中，M,M分別是棱/。和小5的中點.

(1)求證：四邊形為平行四邊形；

(2)求證：ABMC=

［自主解答］(1)在正方形小中，M,跖分別為4功的中點,

：.MM\^AA\,又；AA您BBi,

:且凡必=58］,

四邊形為平行四邊形.

⑵法一：由(1)知四邊形881MlM為平行四邊形，

:BM.

同理可得四邊形CGM|〃為平行四邊形，

二CXMJ/CM.

由平面幾何知識可知，NBMC和NBiMQi都是銳角.

由等角定理得NBMC=NBiMG.

法二：由(1)知四邊形為平行四邊形.

：.BiMi=BM.

同理可得四邊形為平行四邊形.

CiMi=CM,

又；BCi=BC,.,.△5CM^A5,CIMI.

Z5MC=Z51A/,C1.

“動探究

在本例中，若M是。Ci的中點，求證四邊形MM。是梯形.

證明：如圖所示，連結(jié)/|G,

'：M\,M分別是小。，的中點，產(chǎn)二-----B

：.MM〃4G且=梟1G,由正方體的性質(zhì)可知：

AXC\//AC,且小G=/C,

：.M\N\//AC,且

二四邊形MiNiCA是梯形.

［方法?規(guī)律］

1.判斷兩直線是平行直線的方法：

(1)定義法：兩直線平行須滿足：①兩直線在同一個平面內(nèi)；②兩直線沒有公共點.

(2)公理法(利用公理4)：要證兩條直線平行，只須找到第三條直線與這兩條直線都平行

即可.即要證a〃"只須證a〃以b//c,就可得a〃6.

2.在運用“等角定理”判定兩個角是相等還是互補的途徑有二：一是判定兩個角的方向

是否相同，若相同則必相等，若相反則必互補；二是判定這兩個角是否均為銳角或均為鈍角，

若均是則相等,若不均是則互補.

UII練

2.如圖，四面體4一88的四個面分別為△Z8C、△ZCD、和△BCD,E、F、

G分別是線段AC,上的點，且滿足ZE：/8=Z尸：ZC=/G：/D

求證：△EFGSXBCD.

8

證明：在中，'：AE：AB=AG：AD,

：.EG"BD.同理GF"DC,EF//BC.

又NGE廠與NOBC方向相同，

ZGEF=NDBC.

同理NEG尸=N8DC,

:.△EFGS^BCD.

考點三求異面直線所成的角

M如圖，在正方體力8CO一小囪GO中，求下列異面直線所成的角.

(1〃4與8C：

(2)48與4c.

［自主解答］(1)..【小〃88］,

N8山C是異面直線44與8c所成的角.

又NBi8C=90°,

.?.異面直線44i與8C所成的角為90°.

(2)連接小G,小CC為平行四邊形，；./C〃小G,

二N比liG是異面直線與4C所成的角.

連接8G,△小8G是正三角形，,N8/IG=60°,

.?.異面直線48與ZC所成的角為60。.

［方法?規(guī)律］

求異面直線所成角的基本步驟：

(1)作——即據(jù)定義作平行線，作出異面直線所成的角，作平行線時，若遇題設(shè)中有中點，

?？紤]中位線；若異面直線依附于某幾何體，且直接對異面直線平移有困難時，可利用該幾

何體的特殊點，使異面直線轉(zhuǎn)化為相交直線.

(2)證一證明這個角或其補角即為所求的角.

(3)求一轉(zhuǎn)化為求一個三角形的內(nèi)角,通過解三角形，求出所找的角.

UH練

3.在空間四邊形48c。中，AD=BC=2,E、F分別是4B、CD的中點，若￡^=小，

求異面直線8C所成角的大小.

解：如圖，取8。的中點/，連接因為E,尸分別是8的中點，所以EM

FM*BC,則NEA"或其補角就是異面直線4D,8c所成的角.

因為/O=8C=2,所以￡"=凡尸=1,在等腰△〃后尸中，過點作MHLEF于H,

在中，EM=\,EH=*F=^,則sinNEM〃=坐，于是NEMH=60°,則NEA/F

=2ZEMH=120°.

所以異面直線8c所成的角為NEA/P的補角，即異面直線4。，8c所成的角為60。.

【解題高手】【易錯題】

分別和兩條異面直線相交的兩條直線的位置關(guān)系是()

A.相交B.異面C.平行D.相交或異面

I錯解|根據(jù)條件可知兩條直線的位置關(guān)系如圖所示，故選B.

［錯因］本題中沒有限制交點的個數(shù)，解答時只考慮到有四個交點的情形，沒有想象到

有三個交點的情形，如圖示.

［正解|如圖(1)(2).也可以利用長方體模型：如圖⑶長方體/BCQ—/'B'CD'中，

畫出面對角線比!'和體對角線5。'，BB'和D'異面，直線氏4'和BD'都與這兩條

異面直線相交，顯然8/'和80'相交；直線B'和BD'都與這兩條異面直線相交，而

A'B'和BD'異面.

［答案］D

娜I階課堂練重實戰(zhàn)課下練

CHUANGX1NYANLIRN隊CH0NWUAN

曾宣疆即時體驗，當(dāng)堂鞏固所學(xué)

???????KETAXGLLIS------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1.如果直線a與6沒有公共點，那么直線。與6的位置關(guān)系是（）

A.異面B.平行C.相交D.平行或異面

解析：由空間中兩條直線的位置關(guān)系可知，直線a與6的位置關(guān)系是平行或異面.

答案：D

2.正方體N88—m8CQ1中，與對角線4G異面的棱有（）

A.3條B.4條C.6條D.8條

答案：C

3.下列命題中，正確的結(jié)論有（）

①如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等；②如果兩條相交

直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角（或直角）相等；③如果一個角

的兩邊和另一個角的兩邊分別垂直，那么這兩個角相等或互補；④如果兩條直線同時平行于

第三條直線，那么這兩條直線互相平行.

A.1個B.2個C.3個D.4個

解析：由公理4及等角定理知，只有②④正確，故選B.

答案：B

4.在正方體力BCD—mSGOi中,肛與8c所成的角是

解析：如圖，因為BC〃4D,

所以ND14D即為所求，

N￡>i4D=45°.

答案：45°

5.在長方體/8C。一小81cMi中,與棱AA}垂直且異面的棱有

解析：如圖，與棱/小垂直且異面的棱有。C,BC,GG,81cl.

答案：DC,BC,OG，B［C{

6.如圖所示，是圓。的直徑，點C是弧的中點，D,E分別是-8,%7的中點,

求異面直線DE與AB所成的角.

解：因為。，E分別是叮，-C的中點，版以BCMDE,因此N/8C是異面直線。E與

48所成的角，又因為N8是圓。的直徑，點C是弧48的中點，所以△/8C是以N4C8為

直角的等腰直角三角形，于是N/8C=45。，故異面直線?！辍雠c所成的角為45。.

活頁作業(yè)，知能同步測控

???????KEXIALIAN

一、選擇題

1.分別在兩個平面內(nèi)的兩條直線的位置關(guān)系是（

A.異面B.平行

C.相交D.以上都有可能

解析：如圖以正方體為例，在正方體的上下底面中，AD//AyDX,工。與。Ci異面；AD

U平面/BCD,AA\U平面小，AD與4小相交，故分別在兩個平面內(nèi)的兩條直線可能

平行，相交或異面.

答案.D

2.下面三個說法：

①若直線”，6異面，b,c異面，則a,c異面；

②若則“、6與c所成的角相等；

③若a_LZ）,bVc,則a〃c.

其中正確的個數(shù)為（）

A.0B.3C.2D.1

解析：①中當(dāng)a〃c,且a,b異面，h,c異面時，a與c共面，故①錯，②正確；③中a

與c還可能相交或異面，故③錯.

答案：D

3.在三棱錐/一8C。中，E、F、G分別是48、AC.8D的中點，若/。與8c所成的

角為60。，那么/小6為（）

A.30°B.60°C.120°D.60°或120°

解析：NFEG即為兩異面直線/。與8c所成的角或其補角.

答案：D

4.（重慶高考）設(shè)四面體的六條棱的長分別為1,1,1』，啦和a,且長為。的棱與長為啦的

棱異面，則。的取值范圍是（）

A.（0,6）B.（0,?。〤.（1,也）D.（1,?。?/p>

解析：

二二6D

利用三角形存在的條件求解.根據(jù)已知條件畫出圖形，如圖所示，4B=巾,CD=a,設(shè)

點E為N3的中點，則ED-LAB,EC-LAB,

則ED=\IAD2-AE2=^,同理EC=*,

由構(gòu)成三角彩的條件知0<a<ED+EC=@,

：.0<a<y[2.

答案：A

二、填空題

5.四棱錐P—Z88中，各棱所在的直線互相異面的有對.

解析：由異面直線的定義可知有8對.

答案：8

6.角a和角夕的兩邊分別平行，則當(dāng)a=72。時，￡=.

解析：由等角定理知，4=72?；?08。.

答案:72。或108°

7.如圖所示，正方體/BCD—小81Gz中，E、尸分別是棱BC、CG的中點，則異面

直線EF與8Q1所成的角為.

解析：連接8G,AD]tABt,

則E尸為△8CG的中位線，

：.EF//BCX.

義：AB能CD糠CD,

二四邊形ZBGG為平行四邊形.

：.BC\//AD\,：.EF//AD\.

：.ZADtBt為異面直線跖和后。1所成的角或其補角.

在中，易知/8i=8Qi=NDj,

為正三角形，；.N4DB=60°.

：.EF與BQi所成的角為60°.

答案：60°

8.如圖所示，正方體N8CD-481。"中，M、N分別為棱。⑷卜GC的中點，有以下

四個結(jié)論：

①直線AM與CG是相交直線；

②直線ZM與8N是平行直線；

③直線8N與河囪是異面直線；

④直線AM與DDi是異面直線.

其中正確的結(jié)論為(注：把你認為正確結(jié)論的序號都填上).

解析：由異面直線的定義知③④正確.

答案：③④

三、解答題

9.長方體ZBC。一小8|C|A中，E,尸分別為棱/小，C。的中點.

(1)求證：D\E〃BF；

(2)求證：NB[BF=NDiEAi.

證明：⑴取的中點M

連接EM,CyM.

在矩形ABBA中,

易得EM^kAiBi,

?.,48檄GA,

：.EM^kC\D},

四邊形EMC}D\為平行四邊形,

:.D\E〃C\M.

在矩形BCC出i中，易得MB穗:GF,：.BF軀5CXM.

：.D}E//BF.

⑦■:EDJ/BF,BM//EA\,

又NBiBF與ND1EA1的對應(yīng)邊方向相同，

NBiBF=NDiEA.

10.如圖，三棱錐/一88中，E,F,G,H分別是4B,BC,CD,D4的中點,

(1)求證：E,F,G,〃四點共面；

(2)若四邊形MG”是矩形，求證：ACLBD.

：.EH//BD.

同理FG〃肛：.EH//FG.

：.E,F,G,，四點共面.

(2)若四邊形EFGH是矩形，則EH±GH.

由(1)知￡77〃8D,同理ZC〃G”.

：.AC±BD.

2.1.3&2.1.4空間中直線與平面之間的位置關(guān)系

平面與平面之間的位置關(guān)系

讀教材填要點練雙基夯基礎(chǔ)

XIXZIII￥UXIQIAOSHEJI

自主填一填，理清本節(jié)主干知識

?-?W?????ESHEJIbI--------------------------------------------------------

1.直線和平面的位置關(guān)系

位置直線。在直線。在平面a外

關(guān)系平面a內(nèi)直線a與平面a相交直線a與平面a平行

公共點直無數(shù)企公共點有且只有一個公共點無公共點

符號

4〃a

表示

圖形a

表示司曰

2.兩個平面的位置關(guān)系

位置關(guān)系圖示表示法公共點個數(shù)

兩平面

a//a無

平行A__/

兩平面無數(shù)個（在一

相交0條

直皮上）

倒計身嘗試做一做，發(fā)現(xiàn)小問題中的大智慧

???????SHEJI2--------------------------------------------------------

1.直線a與平面a平行，直線bua,則。與6有怎樣的位置關(guān)系？

提示：。與6平行或異面，如圖所示.

2.如果平面a與平面”平行，直線aUa,直線那么。與6的位置關(guān)系是什么？

提示：a與b平行或異面，如圖所示：

考點一直線與平面的位置關(guān)系的判定

■下列說法中，正確的個數(shù)是（）

①如果兩條平行直線中的一條和一個平面相交，那么另一條直線也和這個平面相交；②

一條直線和另一條直線平行，它就和經(jīng)過另一條直線的任何平面都平行；③經(jīng)過兩條異面直

線中的一條，存在一個平面與另一條直線平行.

A.0B.1C.2D.3

［自主解答］根據(jù)直線、平面相互之間的位置關(guān)系的定義逐一判斷：①正確；②兩條直

線平行，則它們共面，所以②錯誤；③正確.

［答案］C

［方法?規(guī)律］

對于直線和平面位置關(guān)系的這類判斷問題，常用分類討論的方法即考察交點個數(shù)的方法

解決.另外，借助模型（如正方體、長方體等）也是解決這類問題的有效方法.

Iiro：yii練

1.下列說法

①若直線/平行于平面a內(nèi)的無數(shù)條直線，則/〃a；

②若直線a在平面a外，則a〃a；

③若直線a〃b,直線bUa,則a〃a；

④若直線?！?,bCa,那么直線a就平行于平面a內(nèi)的無數(shù)條直線.

其中正確的個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

解析：對①，當(dāng)/Ua時，a內(nèi)存在無數(shù)直線與/平行，所以①不正確；對②，直線在平

面外包括直線與平面平行和直線與平面相交兩種情況，所以②不正確：對③，若。〃6,6Ua,

則有a〃a或aUa,所以③不正確；對④，若a〃6,bUa,則不管4在平面內(nèi)或平面外，都

有結(jié)論成立，故④正確.

答案：A

考點二平面與平面位置關(guān)系的判定與應(yīng)用

由如果在兩個平面內(nèi)分別有一條直線，這兩條直線互相平行，那么兩個平面的位置

關(guān)系一定是（）

A.平行B.相交C.平行或相交D.不能確定

I自主解答|根據(jù)條件，畫出圖形，如圖所示，

由圖形可以判定，這兩個平面可能相交也可能平行.

［答案］C

不動探究

下面a內(nèi)有無數(shù)條直線與平面夕平行，那么a〃夕是否正確？說明理由.

解：不正確.如圖，設(shè)an夕=/,則在a內(nèi)與/平行的直線可以有無數(shù)條，如幻，生，…，

a?,它們是一組平行線，這時a1，a2,…，斯與平面夕平行，但此時a與￡不平行，aA//=

［方法?觀律］

判斷平面與平面的位置關(guān)系要抓住兩種位置關(guān)系的特征，即有無公共點.要有畫圖的意

識，結(jié)合空間想象能力做出判斷，有時也可借助公理3說明兩平面相交.

im*：訓(xùn)練

2.若直線au平面a,直線6U平面.，a,b是異面直線，則a,￡的位置關(guān)系是.

解析：在正方體N8CZ）一小SG2中，4BU平面4BCD,8CU平面小修。。1，SGU平

面8CGS,但平面/88〃平面平面48。與平面8。。向相交.

答案：平行或相交

【解題高手】【妙解題】

如果兩個平面內(nèi)分別有一條直線，這兩條直線互相平行，那么兩個平面的位置關(guān)系是

（）

A.平行B.相交C.平行或相交D.不確定

［巧思］根據(jù)兩個平面中的兩直線的位置關(guān)系，確定兩個平面的位置關(guān)系，可借助正方

體中的線面、面面位置關(guān)系幫助理解.

［妙解］如圖，在正方體/BCD一481Goi中，ABU平面ABCD,CQ|U平面小8CQ1,

CQU平面CDD\C\,AB〃C\D\,但平面平面小EGA,平面/BCD與平面CDD?

相交.

［答案］C

M毋■r=_?課堂練幣實成課卜練提能力

F堂齦即時體驗，當(dāng)堂鞏固所學(xué)

???????KETANGLM、-------------------------------

1.棱柱的任意兩個側(cè)面的位置關(guān)系是（）

A.相交B.平行C.平行或異面