簡單的三角恒等變換教案

5.5.2簡單的三角恒等變換

學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)

1.能用二倍角公式導(dǎo)出半角公式，能用兩角和與差的三角

函數(shù)公式導(dǎo)出積化和差、和差化積公式.體會(huì)其中的三角1.通過公式的推導(dǎo)，

恒等變換的基本思想方法，以及進(jìn)行簡單的應(yīng)用.（重點(diǎn)）培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng).

2.了解三角恒等變換的特點(diǎn)、變換技巧，掌握三角恒等變2.借助三角恒等變換

換的基本思想方法，能利用三角恒等變換對(duì)三角函數(shù)式化的簡單應(yīng)用，提升數(shù)

簡、求值以及三角恒等式的證明和一些簡單的應(yīng)用.（難學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)）

自主預(yù)習(xí)。H!新加

ZIZHLJYLJXI丁AZXIZNHI

新知初探kl

半角公式

(l)sin^=±

a

(2)cos/=±

"、al—cosa

(3)tan/=±

1+cosa

.a.a八a

sin7smT-zcos^

aLLLsma

(4)tanT=-----=--------------

'/2aaa1+cosa

cosgcosycos.

l-cosa

sma

初試身手H

n

1.已知18（r<a<360。，則cos］的值等于（）

C[V1800<ct<360°,A90°<^<180°,

_a1+cosa

又coso2=2，?e,cosd=一

c3「3兀1

2.已知cosa=§,2兀）則sin5等于（）

A*B.—C.1

A[由題知為?律，J,sin^>0,

3＜則的值等于.

3.已知2兀＜。＜4兀，且sine=—『cos80,tan,

34

—3[由sin6=—亍cos9V0得cos。=一

.0^.03

八八

.6___S1_I17￡7__z_s_i_n2^cos2^sm.-

?tan2=-e=~~瓦=l+cos。

cos]2cos2

合作探究。提素養(yǎng)

HEZUQTANJIUTISUYANG

化簡求值問題

、卷型ly

【例1]⑴設(shè)5兀<。<6兀，cos*a,則sin號(hào)等于（）

/Ax..2-D.c

_y[T+a

J2

3兀

(2)已矢口兀<a<g,化簡:

1+sina1-sina

y]1+cosa—yj1-cosa1+cos1—cosa

1-cosf

［思路點(diǎn)撥］(1)先確定:的范圍，再由sin1=「一得算式求值.

(2)1+cos0=2cos2^,1—cosa=2sin2^,去根號(hào),確定微的范圍，化簡.

(1)D［?5TI<O<6TI,..井月，3可，片月，司，

I-ckI-.a/-otI-.a

y]2cos/—y]2sm]y]2cos]+yj2sm]

../，囪?.a

?兀＜^。＜^2，?4，??cos2"^。'sin^0,

二.原式=

.a,a.aa

sin^+cos^sm^-cos^

小

「BHPfiIA

1.化簡問題中的“三變”

(1)變角：三角變換時(shí)通常先尋找式子中各角之間的聯(lián)系，通過拆、湊等手

段消除角之間的差異，合理選擇聯(lián)系它們的公式.

(2)變名：觀察三角函數(shù)種類的差異，盡量統(tǒng)一函數(shù)的名稱，如統(tǒng)一為弦或

統(tǒng)一為切.

(3)變式：觀察式子的結(jié)構(gòu)形式的差異，選擇適當(dāng)?shù)淖冃瓮緩剑缟?、?/p>

嘉、配方、開方等.

2.利用半角公式求值的思路

(1)看角：看已知角與待求角的2倍關(guān)系.

(2)明范圍：求出相應(yīng)半角的范圍為定符號(hào)作準(zhǔn)備.

(3)選公式：涉及半角公式的正切值時(shí)，常用tan；』二就"，涉

乙1-I-cosaJ:suia

力》A，\i、一f人r、?1241e1—cosaM1+cosa、、小

及半角公式的正、余弦值時(shí)，常利用sing=2，cos5=2計(jì)算.

(4)下結(jié)論：結(jié)合(2)求值.

n

提醒：已知cosa的值可求5的正弦、余弦、正切值，要注意確定其符號(hào).

Q/□

1.已知cos。=一且180。<。<270。，求tan.

00C\

［解］:V180°<0<270°,.,.90°<2<135°,即］是第二象限角，tan/<0,

法二：?.?180。<。<270。，即。是第三象限角,

,...........—/9^4

sin0=—y]1—cos2^=一^\1~2^=一亍

.01-cos。1-(5)

?'tan2=sin/9=-_4=_2-

-5

三角恒等式的證明

、類型2

【例2】求證：1cos」q=；sin2a.

----a--tanT2

tan]

［思路點(diǎn)撥］法一：切化弦用二倍角公式由左到右證明;

法二：cos2a不變，直接用二倍角正切公式變形.

[證明]法一：用正弦、余弦公式.

2

L、4cosa

左邊二---------

a.a

cos/sm]

.aa

sm2cos/

.aa

cos9asm]cos/

cos2a

cos2-sincos2-sin2

.a

.aa

cos9asm:7cos77

2z.aa

=cosa=sin72cos72cosa

=；sinacosa=；sin2a=右邊，

原式成立.

法二：用正切公式.

a-a

cos9~atan5]2tan]]]]

左邊=22右

,*=T2cosct-7a=72Tcos?-tana=T2cosasina=74sin2a=

1—tan1—1tan

邊，

??.原式成立.

「戰(zhàn)仆仆叢

三角恒等式證明的常用方法

(1)執(zhí)因索果法：證明的形式一般化繁為簡；

(2)左右歸一法：證明左右兩邊都等于同一個(gè)式子；

(3)拼湊法：針對(duì)題設(shè)和結(jié)論之間的差異，有針對(duì)性地變形，以消除它們之

間的差異，簡言之，即化異求同；

(4)比較法：設(shè)法證明“左邊一右邊=0"或“左邊/右邊=1"；

(5)分析法：從被證明的等式出發(fā)，逐步地探求使等式成立的條件，直到已

知條件或明顯的事實(shí)為止，就可以斷定原等式成立.

2.求證:

_________2sinxcos%___________1+cos%

(sinx+cosx~l)(sinx—cosx+1)sinx,

___________2sinxcosx

［證明］左邊=

2sin^cos1-2sin百(2si苣cos楙+2sin]

2sinxcosx

A,2%?

4sinc°s2—sin

sinx

2si若

XQx

cos2o2cos2o1i+cosx，、工

====右.

.xc.%xsinx

sm12smlcos,

所以原等式成立.

恒等變換與三角函數(shù)圖象性質(zhì)的綜合

、類型3

［例3］已矢口函數(shù)段）=Scos（2%一g一2sinXCOSX.

（1）求兀0的最小正周期.

兀兀［

（2）求證：當(dāng)不w_|時(shí)'於）》一亍

[角星](l)/(x)=#cos[2x—9一2sinxcosx=?cos2x+/sin2x—sin2x=/sin2x

+坐cos2x=sin(2x+§,所以7=夸=兀.

7T7T7T

(2)證明：令t=2%+y,因?yàn)橐籥WxWa，

-兀,一?兀"5兀

所以—o3b

因?yàn)閥=sinf在一茅1上單調(diào)遞增，在3，知上單調(diào)遞減,

所以/尤）2sin（一即=一看得證.

成什r＞泣

三角恒等變換與三角函數(shù)圖象性質(zhì)的綜合問題的解題策略：運(yùn)用三角函數(shù)的

和、差、倍角公式將函數(shù)關(guān)系式化成y=asin0x+Ocos0x+左的形式，借助輔助

角公式化為y=Asin（（yx+°）+%（或y=Acos（0x+°）+Z）的形式，將a）x-\-（p看作一

個(gè)整體研究函數(shù)的性質(zhì).

金塞順原.

3.已知函數(shù)於）=［§sin（2x一襲）+2sin2（x—合）（xGR）.

（1）求函數(shù)人x）的最小正周期；

（2）求使函數(shù)人x）取得最大值的x的集合.

［解］（1），.D=V^sin（2x—J+2sin2，一朗

+1-cos

⑵當(dāng)人X）取得最大值時(shí)，

（71、

sinl2%—1=1,

7T7TSjT

有2x—w=2foi+],即x=br+五（左@Z）,

所求x的集合為口x=E+含左?Z.

三角函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用

”型4y

［探究問題］

1.用三角函數(shù)解決實(shí)際問題時(shí)，通常選什么作為自變量？求定義域時(shí)應(yīng)注

意什么？

提示：通常選角作為自變量，求定義域時(shí)栗注意實(shí)際意義和正弦、余弦函數(shù)

有界性的影響.

2.建立三角函數(shù)模型后，通常要將函數(shù)解析式化為何種形式？

提示：化成y=Asin(0x+e)+b的形式.

［例4］如圖所示，要把半徑為R的半圓形木料截成長方

形，應(yīng)怎樣截取，才能使△Q43的周長最大?

［思路點(diǎn)撥］|設(shè)NA03=a|一|建立周長/(a)|一|求』的最大值

［解］設(shè)NA03=a,△043的周長為/,貝|A3=Rsina,OB=Reosa,

：.l=OA+AB+OB

=R+Hsina+Rcosa

=H(sin?+cosa)+R

=巾Rsin,+m+R

??八兀.兀［兀3兀

?0＜a＜］,??［＜。十區(qū)＜彳，

：.l的最大值為y/iR+R=W+1)7?,

兀

7T

即當(dāng)a=a時(shí)，△045的周長最大.

［母題探究1

1.在例4條件下，求長方形面積的最大值.

［解］如圖所示，設(shè)乙4。8=｛?！?0,和，則AB=Hsin

a,OA=Rcosa.

DoA

設(shè)矩形ABCD的面積為S,則S=2OAAB,

:?S=2Hcosa-Rsina=7?2-2sinacosa=R2sin2a.

2a^(0,兀).

兀

因此，當(dāng)2a=2-

兀c

即Ct=W時(shí)，5max=7?2.

、歷

這時(shí)點(diǎn)A,D到點(diǎn)。的距離為

矩形ABCD的面積最大值為R2.0

2.若例4中的木料改為圓心角為冷的扇形，并將此木料截成

矩形，(如圖所示)，試求此矩形面積的最大值.

[解]如圖，作NPOQ的平分線分別交EEGH于點(diǎn)、M,N,連接OE,

設(shè)/MOE=a,a￡(0,在

RtAMOE中，ME=Rsina,OM=Rcosa,o

在RtAONH中，受導(dǎo)=tan\,

(JNo

得ON=^3NH=\[3Rsina,

則MN=OM~ON=R(cosa一事sina),

設(shè)矩形EFGH的面弄只為S,

則S=2ME-MN=27?2sina(cosa-/sina)

=7?2(sin2a+小cos2a—A/3)=27?2sin^2a—yj^R2,

由ael0,gI,則QV2Q+§V}~,

所以當(dāng)2。+三=]

即a=]2時(shí)，Smax=(2—

Wir6iA

應(yīng)用三角函數(shù)解實(shí)際問題的方法及注意事項(xiàng)

(1)方法：解答此類問題，關(guān)鍵是合理引入輔助角，確定各量之間的關(guān)系，

將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題，再利用三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)求解.

(2)注意：在求解過程中，要注意三點(diǎn)：①充分借助平面幾何性質(zhì)，尋找數(shù)

量關(guān)系.②注意實(shí)際問題中變量的范圍.③重視三角函數(shù)有界性的影響.

提醒：在利用三角變換解決實(shí)際問題時(shí)，常因忽視角的范圍而致誤.

匚課堂小結(jié)~j

1.學(xué)習(xí)三角恒等變換，千萬不要只顧死記硬背公式，而忽視對(duì)思想方法的

理解，要學(xué)會(huì)借助前面幾個(gè)有限的公式來推導(dǎo)后繼公式，立足于在公式推導(dǎo)過程

中記憶公式和運(yùn)用公式.

2.研究形如次x)=asinx+Ocosx的函數(shù)性質(zhì)，都要運(yùn)用輔助角公式化為一

個(gè)整體角的正弦函數(shù)或余弦函數(shù)的形式.因此輔助角公式是三角函數(shù)中應(yīng)用較為

廣泛的一個(gè)重要公式，也是高考?？嫉目键c(diǎn)之一.對(duì)一些特殊的系數(shù)。、6應(yīng)熟

練掌握.例如sinx±cosx=gsin(x土爭；sin小cosx=2sin(x土等.

當(dāng)堂達(dá)標(biāo)。國以基

DANGTAZGDABIAOGUSHUAZGJI

1.思考辨析

a/I+cosa

(l)cos2=^2,()

(2)存在a￡R,使得cos]=]cosQ.()

n1.

(3)對(duì)于任意a@R,sin]=]sina都不成立.()

(4)若a是第一象限角，則tan)

jrnjr

[提示](1)X.只有當(dāng)一Z),即一兀+4EWaW;i+

,a/1+cosa

4%兀(左￡Z)時(shí)，cos2=\----2-----

(2)。.當(dāng)cosa=—4+1時(shí)，上式成立，但一般情況下不成立.

(3)><.當(dāng)4=2也(左弓2)時(shí)，上式成立，但一般情況下不成立.

aCL1—cosa

(4)，若a是第一象限角，則E是第一、三象限角，此時(shí)tan1=

1+cosa

成立.

［