數(shù)列專題訓(xùn)練包括通項(xiàng)公式求法和前n項(xiàng)和求法-的方法和習(xí)題-

數(shù)列專題1、數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)的和的關(guān)系(數(shù)列的前n項(xiàng)的和為).2、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；3、等差數(shù)列其前n項(xiàng)和公式為.4、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；5、等比數(shù)列前n項(xiàng)的和公式為或.常用數(shù)列不等式證明中的裂項(xiàng)形式:（1）(;(2)(3)(4);(5)(6))一.數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法1.定義法：①等差數(shù)列通項(xiàng)公式；②等比數(shù)列通項(xiàng)公式。例．等差數(shù)列是遞增數(shù)列，前n項(xiàng)和為，且成等比數(shù)列，．求數(shù)列的通項(xiàng)公式.解：設(shè)數(shù)列公差為∵成等比數(shù)列，∴，即∵，∴………………①∵∴…………②由①②得：，∴2.公式法：已知（即）求，用作差法：。例．已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足．求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：由當(dāng)時，有……，經(jīng)驗(yàn)證也滿足上式，所以3.作商法：已知求，用作商法：。如數(shù)列中，對所有的都有，則______；4.累加法：若求：。例.已知數(shù)列滿足，，求。解：由條件知：分別令，代入上式得個等式累加之，即所以，例：已知數(shù)列，且a1=2，an+1=an+n，求an.解：∴，，，···，將以上各式相加得又因?yàn)楫?dāng)n=1，成立，∴5.累乘法：已知求，用累乘法：。例.已知數(shù)列滿足，，求。解：由條件知，分別令，代入上式得個等式累乘之，即又，例：已知,求通項(xiàng)an.解：∵∴，，…，把以上各項(xiàng)式子相乘得∴又當(dāng)n=1時，成立∴6.已知遞推關(guān)系求，用構(gòu)造法（構(gòu)造等差、等比數(shù)列）。（1）形如只需構(gòu)造數(shù)列，消去帶來的差異．其中有多種不同形式=1\*GB3①為常數(shù)，即遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)，）。解法：轉(zhuǎn)化為：，其中，再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解。例.已知數(shù)列中，，，求.解：設(shè)遞推公式可以轉(zhuǎn)化為即.故遞推公式為,令，則,且.所以是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，則,所以.=2\*GB3②為一次多項(xiàng)式，即遞推公式為例．設(shè)數(shù)列：，求.解：設(shè)，將代入遞推式，得…（１）則,又，故代入（１）得備注：本題也可由,（）兩式相減得轉(zhuǎn)化為求之.=3\*GB3③為的二次式，則可設(shè);（2）遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)，）。（或,其中p，q,r均為常數(shù)）解法：該類型復(fù)雜一些。一般地，要先在原遞推公式兩邊同除以，得：引入輔助數(shù)列（其中），得：再應(yīng)用類型（1）的方法解決。例.已知數(shù)列中，,，求。解：在兩邊乘以得：令，則,應(yīng)用例7解法得：所以（3）遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)）。解法：先把原遞推公式轉(zhuǎn)化為其中s，t滿足，再應(yīng)用前面類型（2）的方法求解。例.已知數(shù)列中，,,，求。解：由可轉(zhuǎn)化為即或這里不妨選用（當(dāng)然也可選用，大家可以試一試），則是以首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列,所以,應(yīng)用類型1的方法，分別令，代入上式得個等式累加之，即又，所以。7.形如或的遞推數(shù)列都可以用倒數(shù)法求通項(xiàng)。例：解：取倒數(shù)：是等差數(shù)列，8、型該類型是等式兩邊取對數(shù)后轉(zhuǎn)化為前邊的類型，然后再用遞推法或待定系法構(gòu)造等比數(shù)列求出通項(xiàng)。兩邊取對數(shù)得設(shè)∴原等式變?yōu)榧醋優(yōu)榛拘?。例．已知，求其通?xiàng)公式。解：由知且，將等式兩邊取對數(shù)得，即，∴為等比數(shù)列，其首項(xiàng)為，公比為2∴，∴。通項(xiàng)公式為二.數(shù)列的前n項(xiàng)求和的求法1.公式法：①等差數(shù)列求和公式；②等比數(shù)列求和公式，特別聲明：運(yùn)用等比數(shù)列求和公式，務(wù)必檢查其公比與1的關(guān)系，必要時需分類討論.；③常用公式：，，.例、已知，求的前n項(xiàng)和.解：由由等比數(shù)列求和公式得（利用常用公式）＝＝＝1－2.分組求和法：在直接運(yùn)用公式法求和有困難時，常將“和式”中“同類項(xiàng)”先合并在一起，再運(yùn)用公式法求和.例2、求數(shù)列的前n項(xiàng)和：，…解：設(shè)將其每一項(xiàng)拆開再重新組合得（分組）當(dāng)a＝1時，＝（分組求和）當(dāng)時，＝3.倒序相加法：若和式中到首尾距離相等的兩項(xiàng)和有其共性或數(shù)列的通項(xiàng)與組合數(shù)相關(guān)聯(lián)，則?？煽紤]選用倒序相加法，發(fā)揮其共性的作用求和（這也是等差數(shù)列前和公式的推導(dǎo)方法）.例3、求的值解：設(shè)………….①將①式右邊反序得…………..②（反序）又因?yàn)棰?②得（反序相加）＝89∴S＝44.54.錯位相減法：如果數(shù)列的通項(xiàng)是由一個等差數(shù)列的通項(xiàng)與一個等比數(shù)列的通項(xiàng)相乘構(gòu)成，那么常選用錯位相減法（這也是等比數(shù)列前和公式的推導(dǎo)方法）.例4、求和：………①解：由題可知，{}的通項(xiàng)是等差數(shù)列{2n－1}的通項(xiàng)與等比數(shù)列{}的通項(xiàng)之積設(shè)……….②（設(shè)制錯位）①－②得（錯位相減）再利用等比數(shù)列的求和公式得：∴例5、求數(shù)列前n項(xiàng)的和.解：由題可知，{}的通項(xiàng)是等差數(shù)列{2n}的通項(xiàng)與等比數(shù)列{}的通項(xiàng)之積設(shè)…………………①………………②（設(shè)制錯位）①－②得（錯位相減）∴5.裂項(xiàng)相消法：如果數(shù)列的通項(xiàng)可“分裂成兩項(xiàng)差”的形式，且相鄰項(xiàng)分裂后相關(guān)聯(lián)，那么常選用裂項(xiàng)相消法求和.常用裂項(xiàng)形式有：①；②；③，；④；⑤；⑥. 例6、求數(shù)列的前n項(xiàng)和.解：設(shè)（裂項(xiàng)）則（裂項(xiàng)求和）＝＝例7、在數(shù)列{an}中，，又，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)的和.解：∵∴（裂項(xiàng)）∴數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和（裂項(xiàng)求和）＝＝6.通項(xiàng)轉(zhuǎn)換法：先對通項(xiàng)進(jìn)行變形，發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在特征，再運(yùn)用分組求和法求和。例8、求之和.解：由于（找通項(xiàng)及特征）∴＝（分組求和）＝＝＝7、合并法求和針對一些特殊的數(shù)列，將某些項(xiàng)合并在一起就具有某種特殊的性質(zhì)，因此，在求數(shù)列的和時，可將這些項(xiàng)放在一起先求和，然后再求Sn.例求cos1°+cos2°+cos3°+···+cos178°+cos179°的值.例數(shù)列{an}：，求S2002.數(shù)列通項(xiàng)課后練習(xí)1已知數(shù)列中，滿足a＝６，a+1=2(a+1)（n∈N）求數(shù)列的通項(xiàng)公式。2已知數(shù)列中，a＞0,且a＝３，＝＋１（n∈N）3已知數(shù)列中，a＝３，a＝a＋１（n∈N）求數(shù)列的通項(xiàng)公式4已知數(shù)列中，a＝１，a＝3a＋２，求數(shù)列的通項(xiàng)公式5已知數(shù)列中，a≠０，a＝，a＝（n∈N）求a6設(shè)數(shù)列滿足a=4，a=2，a=1若數(shù)列成等差數(shù)列，求a7設(shè)數(shù)列中，a=2，a=2a+1求通項(xiàng)公式a8已知數(shù)列中，a=1，2a=a+a求a9已知,求an.10已知,求通項(xiàng)an.11已知,求通項(xiàng)an.（1）求和：；（2）在數(shù)列中，，且Sｎ＝９，則n＝_____；②求和：；①求數(shù)列1×4，2×5，3×6，…，，…前項(xiàng)和=；數(shù)列求和課后練習(xí)[例1]已知，求的前n項(xiàng)和.[例2]設(shè)Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求的最大值.二、錯位相減法求和這種方法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和，其中、分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.[例3]求和：………①[例4]求數(shù)列前n項(xiàng)的和.三、倒序相加法求和這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時所用的方法，就是將一個數(shù)列倒過來排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到個.[例5]求的值四、分組法求和有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.[例6]求數(shù)列的前n項(xiàng)和：，…[例7]求數(shù)列{n(n+1)(2n+1)}的前n項(xiàng)和.五、裂項(xiàng)法求和這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用.裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)（通項(xiàng)）分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的.通項(xiàng)分解（裂項(xiàng)）如：（1）（2）（3）（4）（5）(6)[例9]求數(shù)列的前n項(xiàng)和.[例10]在數(shù)列{an}中，，又，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)的和.[例11]求證：一、選擇題：1、等差數(shù)列{}中，若，則A、45B、75C、180D、3202、已知{}是等比數(shù)列，且＞0，，則A、5B、10C、15D、203、等差數(shù)列{an}中，a1=3,a100=36,則a3＋a98等于()(A)36(B)38(C)39(D)424、含2n+1個項(xiàng)的等差數(shù)列，其奇數(shù)項(xiàng)的和與偶數(shù)項(xiàng)的和之比為()(A)(B)(C)(D)5、在項(xiàng)數(shù)為2n+1的等差數(shù)列中，若所有奇數(shù)項(xiàng)的和為165，所有偶數(shù)項(xiàng)的和為150，則n等于()(A)9(B)10(C)11(D)126、等差數(shù)列{an}的前m項(xiàng)和為30，前2m項(xiàng)和為100，則它的前3m項(xiàng)和為()(A)130(B)170(C)210(D)160二、填空題：7、已知數(shù)列則其前n項(xiàng)和Sn=________.8、數(shù)列前n項(xiàng)和為Sn=n2+3n,則其通項(xiàng)an等于____________.9、已知數(shù)列1,,前n項(xiàng)的和為____________.三、解答題：10、已知數(shù)列{}的前n項(xiàng)和n(n＋1)(n＋2),試求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和.11、在數(shù)列{}中，已知，,求