七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)講義（北師大版）第一章第04講 解題技巧專題：巧用冪的運(yùn)算法則(3類熱點(diǎn)題型講練)（解析版）

第04講解題技巧專題：巧用冪的運(yùn)算法則(3類熱點(diǎn)題型講練)目錄TOC\o"1-3"\h\u【考點(diǎn)一逆用冪的相關(guān)公式求值】 1【考點(diǎn)二先化為同底數(shù)，再靈活運(yùn)用冪的公式計(jì)算】 5【考點(diǎn)三利用冪的運(yùn)算比較大小】 8【考點(diǎn)一逆用冪的相關(guān)公式求值】例題：（2023下·安徽合肥·七年級(jí)統(tǒng)考期中）已知：，，，(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)冪的乘方的運(yùn)算法則及有理數(shù)乘方的運(yùn)算法則即可解答；（2）根據(jù)同底數(shù)冪的乘除混合運(yùn)算法則：即可解答．【詳解】（1）解：∵，∴；（2）解：∵，，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了同底數(shù)冪的乘除混合運(yùn)算法則，冪的乘方的運(yùn)算法則，掌握同底數(shù)冪的乘除混合運(yùn)算的法則是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023下·江蘇鹽城·七年級(jí)校聯(lián)考期中）已知，，求(1)；(2)【答案】(1)150(2)【分析】（1）先求出，再根據(jù)進(jìn)行求解即可；（2）先求出，，再根據(jù)進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：∵，∴，即，∴；（2）解：∵，，∴，，即，，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了冪的乘方計(jì)算，同底數(shù)冪乘除法的逆運(yùn)算，熟知相關(guān)計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵．2．（2023上·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)長(zhǎng)春外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知，，求下列各式的值：(1)；(2)．【答案】(1)30(2)24【分析】（1）的指數(shù)是，用同底數(shù)冪相乘的形式表示是；（2）的指數(shù)是，用同底數(shù)冪運(yùn)算的形式表示是．【詳解】（1）解：，，，．（2），，，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查同底數(shù)冪的乘法以及冪的乘方，掌握同底數(shù)冪的乘法法則及冪的乘方的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．3．（2023上·河北石家莊·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）（1）已知，求的值；（2）已知，求的值．【答案】（1）8；（2）1025【分析】本題主要考查了同底數(shù)冪乘法的逆運(yùn)算，冪的乘方的逆運(yùn)算和積的乘方計(jì)算，熟知相關(guān)計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)同底數(shù)冪乘法的逆運(yùn)算法則得到，據(jù)此代值計(jì)算即可；（2）先根據(jù)積的乘方將所求式子變形為，再根據(jù)冪的乘方的逆運(yùn)算法則進(jìn)一步變形為，據(jù)此代值計(jì)算即可．【詳解】解：（1）∵，，∴．（2）∵，∴．4．（2023上·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）計(jì)算：．【答案】【分析】先對(duì)式子進(jìn)行變形，再逆用冪的乘方、同底數(shù)冪的乘法、積的乘方的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算．【詳解】解：原式．【點(diǎn)睛】本題考查冪的運(yùn)算，熟練掌握逆用冪的乘方、同底數(shù)冪的乘法、積的乘方的運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．5．（2023上·湖南永州·七年級(jí)統(tǒng)考期中）回答下列問題．(1)填空：①，②，(2)比一比，（1）中每組中的兩個(gè)算式的結(jié)果是否相等？猜一猜：當(dāng)n為正整數(shù)時(shí)，．(3)試一試，計(jì)算：的值．【答案】(1)①，；②，(2)相等，(3)【分析】（1）①第1個(gè)先計(jì)算括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算，再計(jì)算乘方運(yùn)算，第2個(gè)先計(jì)算乘方運(yùn)算，再計(jì)算乘法運(yùn)算；②第1個(gè)先計(jì)算括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算，再計(jì)算乘方運(yùn)算，第2個(gè)先計(jì)算乘方運(yùn)算，再計(jì)算乘法運(yùn)算；（2）由（1）歸納可得：；（3）由，可得，再利用規(guī)律進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算即可．【詳解】（1）解：①；；②，；（2）（n為正整數(shù)）（3）．【點(diǎn)睛】本題考查的是乘方運(yùn)算的含義，積的乘法運(yùn)算的應(yīng)用，理解題意，歸納總結(jié)規(guī)律是解本題的關(guān)鍵．6．（2023下·江蘇鹽城·七年級(jí)校考階段練習(xí)）小紅學(xué)習(xí)了七年級(jí)下冊(cè)“第八章冪的運(yùn)算”后，發(fā)現(xiàn)冪的運(yùn)算法則如果反過來寫，式子可以表達(dá)為：；；，可以起到簡(jiǎn)化計(jì)算的作用．(1)在括號(hào)里填空：；；(2)已知：，．①求的值．

②求的值．(3)已知，求的值．【答案】(1)，，(2)①；②(3)的值為：【分析】（1）根據(jù)同底數(shù)冪的乘除法的逆運(yùn)算即可求解；（2）①根據(jù)同底數(shù)冪的乘的逆運(yùn)算即可求解；②根據(jù)同底數(shù)冪的乘除法的逆運(yùn)算即可求解；（3）根據(jù)乘方的運(yùn)算，將等式左邊化成底數(shù)相同的數(shù)，再根據(jù)同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算法則列式解方程即可求解．【詳解】（1）解：∵同底數(shù)冪的乘法是底數(shù)不變，指數(shù)相加，即，∴；∵同底數(shù)冪的除法是底數(shù)不變，指數(shù)相減，即，∴；∵冪的乘方是底數(shù)不變，指數(shù)相乘，即，∴；故答案為：，，．（2）解：，①∵，∴原式，∴的值為：；②∵，∴原式，∴的值為：．（3）解：變形得，，∴，∴，解得，，∴的值為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查整式的乘除法的逆運(yùn)算，掌握同底數(shù)冪的乘除法運(yùn)算法則，及逆運(yùn)算的計(jì)算方法，解方程的方法是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)二先化為同底數(shù)，再靈活運(yùn)用冪的公式計(jì)算】例題：（2023春·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）已知為正整數(shù)，且，求的值．【答案】【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法和冪的乘方，即可解答．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了冪的乘方和同底數(shù)冪的乘法，解決本題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為同底數(shù)冪的乘法．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·江蘇徐州·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）（1）已知，求的值．（2）已知，求n的值．【答案】（1）；（2）【分析】（1）先根據(jù)冪的乘方的逆運(yùn)算得到，再根據(jù)同底數(shù)冪乘法計(jì)算法則求解即；（2）先根據(jù)冪的乘方和冪的乘方的逆運(yùn)算法則得到，進(jìn)一步推出，由此得到，則，即．【詳解】解：（1）∵，∴，∵，∴；（2）∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了同底數(shù)冪乘法，冪的乘方，冪的乘方的逆運(yùn)算，熟知相關(guān)計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵．2．（2023下·江蘇泰州·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）（1）已知，求的值；（2）已知，求的值．【答案】（）；（）．【分析】（）利用積的乘方的逆運(yùn)算，再列方程即可求解；（）利用冪的乘方和同底數(shù)冪的乘法的逆運(yùn)算即可求解．【詳解】（）解：，，∴，解得：；（）解：，∵，∴，∴原式．【點(diǎn)睛】此題考查了冪和積的乘方運(yùn)算以及同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算，正確將原式變形是解題關(guān)鍵．3．（2023春·江蘇·七年級(jí)?？贾軠y(cè)）（1）已知，求的值；（2）已知，求的值．【答案】（1）81（2）【分析】（1）首先將變形為，再將變形為，然后利用冪的乘方與同底數(shù)冪乘法得到，再把代入計(jì)算即可；（2）首先將變形為，即，則，求得,代入計(jì)算即可．【詳解】解：（1）∵，∴，∴；（2）∵，∴，，，∴，解得：，∴．【點(diǎn)睛】本題考查代數(shù)式求值，熟練掌握冪的乘方和同底數(shù)冪的乘方法則及其靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．4．（2023春·江蘇·七年級(jí)期中）求值：(1)已知，求的值．(2)已知，，求的值．(3)已知，求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】直接利用同底數(shù)冪的乘除運(yùn)算法則以及冪的乘方運(yùn)算法則分別計(jì)算得出答案．【詳解】（1）解：∵，∴，∴，∴；（2）∵，，∴；（3）∵，∴，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查同底數(shù)冪的乘除運(yùn)算以及冪的乘方運(yùn)算．正確掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．5．（2023下·安徽滁州·七年級(jí)校考階段練習(xí)）在算的運(yùn)等中規(guī)定：若且，，是正整數(shù)），則，利用上面結(jié)論解答下列問題：(1)若，求的值；(2)若，求的值；(3)若，，用含的代數(shù)式表示．【答案】(1)；(2)；(3)．【分析】（1）根據(jù)冪的乘方運(yùn)算法則把兩邊底數(shù)為成一樣，再根據(jù)題目規(guī)定解答即可；（2）根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則把變形為即可解答；（3）把代入即可．【詳解】（1）∵，∴，∴；（2）∵，∴，∴，∴∴（3）∵，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了同底數(shù)冪的乘法以及冪的乘方，解題的關(guān)鍵是熟練利用冪的乘方對(duì)式子進(jìn)行變形．【考點(diǎn)三利用冪的運(yùn)算比較大小】例題：（2023春·江蘇無錫·七年級(jí)無錫市太湖格致中學(xué)校考階段練習(xí)）比較下列各題中冪的大?。?1)比較，，，這4個(gè)數(shù)的大小關(guān)系；(2)已知，，，比較a、b、c的大小關(guān)系；(3)已知，，比較P，Q的大小關(guān)系；【答案】(1)；(2)；(3)．【分析】（1）根據(jù)冪的乘方的逆用進(jìn)行轉(zhuǎn)換得、、，，比較即可；（2）根據(jù)冪的乘方的逆用進(jìn)行轉(zhuǎn)換得、、，比較即可；（3）依據(jù)積的乘方公式及同底數(shù)的冪的除法化簡(jiǎn)可得即可得結(jié)果．【詳解】（1）解：，，，，，；（2），，，，，；（3）．【點(diǎn)睛】此題考查了冪的乘方的逆用，積的乘方以及同底數(shù)冪的除法；解題的關(guān)鍵是利用相關(guān)公式將底數(shù)或指數(shù)統(tǒng)一．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·北京海淀·八年級(jí)校考期中）閱讀下列材料：若，比較a，b的大?。猓阂?yàn)椋?，所以．依照上述方法解答下列問題：已知，試比較x與y的大?。敬鸢浮俊痉治觥糠抡疹}意分別求出，由此可得．【詳解】解：∵，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了冪的乘方的逆運(yùn)算，熟知是解題的關(guān)鍵．2．（2023下·山東棗莊·七年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）閱讀下列材料若，則a，b的大小關(guān)系是a_____b（填“<”或“>”），解：因?yàn)?，所以所以，解答下列問題：(1)上述求解過程中，逆用了哪一條冪的運(yùn)算性質(zhì)________A．同底數(shù)冪的乘法

B．同底數(shù)冪的除法

C．冪的乘方

D．積的乘方(2)已知，試比較x與y的大小關(guān)系．(3)已知，比較a，b，c的大小關(guān)系．【答案】(1)C(2)(3)【分析】分別根據(jù)冪的乘方法則的逆運(yùn)算計(jì)算．【詳解】（1）解：上述求解過程中，逆用了冪的乘方運(yùn)算性質(zhì)．故選：C．（2），，，；（3），，，且，．【點(diǎn)睛】本題考查冪的乘方，實(shí)數(shù)的大小比較，關(guān)鍵是掌握冪的乘方的法則．3．（2023上·全國·八年級(jí)課堂例題）在比較和的大小時(shí)，我們可以這樣來處理：．，即．根據(jù)上述材料，回答下列問題：(1)請(qǐng)比較下列兩組數(shù)的大小：①和；②和．(2)（1）中的兩道題都是通過“冪的乘方”公式構(gòu)造了相同的____________，從而比較大小，試用類似的方法，比較的大?。敬鸢浮?1)①；②(2)指數(shù)，【分析】（1）根據(jù)閱讀材料，利用冪的乘方運(yùn)算及其逆運(yùn)