七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)講義（北師大版）第一章第06講 平方差公式和完全平方公式(10類熱點(diǎn)題型講練)（原卷版）

第06講平方差公式和完全平方公式(10類熱點(diǎn)題型講練)1.理解并掌握平方差公式和完全平方公式的推導(dǎo)和應(yīng)用；2.理解平方差公式和完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征，并能運(yùn)用公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的運(yùn)算；3.會(huì)用幾何圖形說(shuō)明公式的意義，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想方法.知識(shí)點(diǎn)01平方差公式平方差公式:兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積,等于這兩個(gè)數(shù)的平方差.即(a+b)(a-b)=a2-b2公式的幾種變化：①位置變化：（b+a)（-b+a）=(a+b)(a-b)=a2-b2；（-a-b）(a-b)=(-b-a)(-b+a)=(-b+a)(-b-a)=(-b)2-a2=b2-a2②系數(shù)變化：（2a+3b）(2a-3b)=(2a)2-(3b)2=4a2-9b2③指數(shù)變化：（a2+b2）(a2-b2)=（a2）2-（b2）2=④增項(xiàng)變化：（a-b-c）(a-b+c)=(a-b)2-c2⑤連用公式變化：（a+b）(a-b)(a2+b2)=（a2-b2）(a2+b2)=（a2）2-（b2）2=⑥公式逆運(yùn)算：a2-b2=(a+b)(a-b)知識(shí)點(diǎn)02完全平方公式完全平方公式:兩數(shù)和(差)的平方,等于它們的平方和,加(減)它們積的2倍.即完全平方和(a+b)2=a2+2ab+b2完全平方差(a-b)2=a2-2ab+b2公式的特征：前平方，后平方，中間是乘積的2倍公式的變化：①a2+b2=(a+b)2-2ab；②a2+b2=(a-b)2+2ab；③(a+b)2=(a-b)2+4ab；④(a-b)2=(a+b)2-4ab⑤(a+b)2-(a-b)2=4ab知識(shí)點(diǎn)03平方差和完全平方差區(qū)別平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2完全平方差公式：(a-b)2=a2-2ab+b2平方差公式和完全平方差公式易混淆，切記完全平方差中間有乘積的2倍題型01判斷是否可用平方差公式運(yùn)算.【例題】下列各式中不能用平方差公式計(jì)算的是（）A． B．C． D．【變式訓(xùn)練】1．下列能使用平方差公式的是（

）A． B． C． D．2．下列各式中，不能用平方差公式計(jì)算的是（

）A． B．C． D．題型02運(yùn)用平方差公式進(jìn)行運(yùn)算.【例題】（2023上·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)；(3)；(4)．2．（2023·上?！て吣昙?jí)假期作業(yè)）計(jì)算：(1)；(2)．題型03利用平方差公式進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算.【例題】（2023上·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）用簡(jiǎn)便方法計(jì)算：(1)(2)【變式訓(xùn)練】1．（2023上·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)．2．（2023上·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）計(jì)算：(1)．(2)．(3)．題型04平方差公式與幾何圖形.【例題】（2023上·江蘇泰州·七年級(jí)靖江市靖城中學(xué)校聯(lián)考期中）圖1、圖2分別由兩個(gè)長(zhǎng)方形拼成．(1)圖1中圖形的面積為，圖2中圖形的面積為．（用含有a、b的代數(shù)式表示）(2)由（1）可以得到等式：．(3)根據(jù)你得到的等式解決下列問(wèn)題：①計(jì)算：．②若，求的值．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·陜西安康·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）【實(shí)踐操作】（1）如圖，在邊長(zhǎng)為的大正方形中剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形（），把圖中形的紙片按圖剪拼，改造成了一個(gè)大長(zhǎng)方形如圖，用含、的式子表示圖中大長(zhǎng)方形的面積為______；

（2）請(qǐng)寫出圖、圖、圖驗(yàn)證的乘法公式為：______；【應(yīng)用探究】（3）利用（）中驗(yàn)證的公式簡(jiǎn)便計(jì)算：；（4）計(jì)算：．2．（2023上·山東濟(jì)南·七年級(jí)山東省濟(jì)南稼軒學(xué)校?？茧A段練習(xí)）實(shí)戰(zhàn)與探究，如圖1，邊長(zhǎng)為a的大正方形有一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形，把圖1中的陰影部分拼成一個(gè)長(zhǎng)方形（如圖2所示）．(1)上述操作能驗(yàn)證的公式是______（請(qǐng)選擇正確的一個(gè)）．A．

B．

C．(2)請(qǐng)應(yīng)用上面的公式完成下列各題：①已知，，則______；②計(jì)算：；③計(jì)算：題型05運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行運(yùn)算【例題】（2023上·河南信陽(yáng)·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）用乘法公式計(jì)算(1)(2)【變式訓(xùn)練】1．（2023上·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)；(3)；(4)．2．（2023上·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)；(3)．題型06利用完全平方公式進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算【例題】用簡(jiǎn)便方法計(jì)算：．【變式訓(xùn)練】1．用簡(jiǎn)便算法計(jì)算(1)(2)題型07通過(guò)對(duì)完全平方公式變形求值【例題】（2023上·四川宜賓·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知：，，求下列各式的值：(1)；(2)．【變式訓(xùn)練】1．已知，，求下列代數(shù)式的值．(1)(2)2．已知，求下列式子的值：(1)；(2)．題型08求完全平方式中的字母系數(shù)【例題】已知關(guān)于x的式子是某個(gè)多項(xiàng)式的完全平方，那么A是．【變式訓(xùn)練】1．若是一個(gè)完全平方式，則．2．若整式是完全平方式，請(qǐng)寫出所有滿足條件的是．題型09完全平方式在幾何圖形中的應(yīng)用【例題】（2023上·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了乘法公式的多種運(yùn)用，可以運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解答：求代數(shù)式的最小值．解答如下：解：，，∴當(dāng)時(shí)，的值最小，最小值是，∴，∴當(dāng)時(shí)，的值最小，最小值是，∴的最小值是．請(qǐng)你根據(jù)上述方法，解答下列各題．(1)知識(shí)再現(xiàn)：當(dāng)______時(shí)，代數(shù)式的最小值是______；(2)知識(shí)運(yùn)用：若，當(dāng)______時(shí)，有最______值（填“大”或“小”），這個(gè)值是______；(3)知識(shí)拓展：若，求的最小值．【變式訓(xùn)練】1．例：求代數(shù)式的最小值.解：，，，當(dāng)時(shí)，代數(shù)式有最小值，仿照以上方法，完成下列問(wèn)題：(1)求代數(shù)式的最小值；(2)求代數(shù)式的最大值.2．我們已學(xué)完全平方公式：，觀察下列式子：，，原式有最小值是；，，原式有最大值是；并完成下列問(wèn)題：(1)代數(shù)式有最（填大或?。┲担@個(gè)值=．(2)解決實(shí)際問(wèn)題：在緊靠圍墻的空地上，利用圍墻及一段長(zhǎng)為100米的木欄圍成一個(gè)長(zhǎng)方形花圃，為了設(shè)計(jì)一個(gè)盡可能大的花圃，如圖設(shè)長(zhǎng)方形一邊長(zhǎng)度為米，完成下列任務(wù)．①用含的式子表示花圃的面積；②請(qǐng)說(shuō)明當(dāng)取何值時(shí)，花圃的最大面積是多少平方米？題型10完全平方公式在幾何圖形中的應(yīng)用【例題】現(xiàn)有長(zhǎng)與寬分別為、的小長(zhǎng)方形若干個(gè)，用兩個(gè)這樣的小長(zhǎng)方形，拼成如圖1的圖形，用四個(gè)相同的小長(zhǎng)方形拼成圖2的圖形，請(qǐng)認(rèn)真觀察圖形，解答下列問(wèn)題：(1)根據(jù)圖中條件，請(qǐng)寫出圖1和圖2所驗(yàn)證的關(guān)于、的關(guān)系式：（用、的代數(shù)式表示出來(lái)）；圖1表示：；圖2表示：；根據(jù)上面的解題思路與方法，解決下列問(wèn)題：(2)若，，則；；(3)如圖3，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，以，為邊向兩邊作正方形，設(shè)，兩正方形的面積和，求圖中陰影部分面積．【變式訓(xùn)練】1．將完全平方公式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃危梢越鉀Q很多的數(shù)學(xué)問(wèn)題，例如：若，，求的值．解：因?yàn)?，所以，即．又因?yàn)?，所以．根?jù)上面的解題思路與方法，解決下列問(wèn)題：(1)若，，則；(2)若，，求的值；(3)兩個(gè)正方形如圖擺放，面積和為34，，則圖中陰影部分面積和為．2．如圖①，正方形是由兩個(gè)長(zhǎng)為a、寬為b的長(zhǎng)方形和兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為a、b的正方形拼成的．(1)利用正方形面積的不同表示方法，直接寫出、、之間的關(guān)系式，這個(gè)關(guān)系式是；(2)若m滿足，請(qǐng)利用（1）中的數(shù)量關(guān)系，求的值；(3)若將正方形的邊、分別與圖①中的、重疊，如圖②所示，已知，，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果必須是一個(gè)具體數(shù)值）．一、單選題1．（2023上·河南駐馬店·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）下列算式能用平方差公式計(jì)算的是（

）A． B．C． D．2．（2023上·河南南陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）下列式子：①；②；③，其中正確的是（

）A．①②③ B．只有①② C．只有② D．只有①3．（2023上·四川宜賓·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）若，，則的值是（

）A．27 B．28 C．29 D．304．（2023上·山東濟(jì)南·七年級(jí)山東省濟(jì)南稼軒學(xué)校校考階段練習(xí)）若，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．5．（2023上·山東青島·八年級(jí)統(tǒng)考期中）我們知道，對(duì)于一個(gè)圖形，通過(guò)兩種不同的方法計(jì)算它的面積，可以得到一個(gè)數(shù)學(xué)等式．例如由圖1可以得到．若已知，由圖2所表示的數(shù)學(xué)等式，則的值為（

）A．12 B．11 C．10 D．9二、填空題6．（2023上·上海楊浦·七年級(jí)統(tǒng)考期末）計(jì)算：.7．（2023上·重慶開州·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）若是一個(gè)完全平方式，那么．8．（2023上·河南新鄉(xiāng)·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在邊長(zhǎng)為a的正方形中減去一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形，把剩下的部分拼成一個(gè)梯形，分別計(jì)算這兩個(gè)圖形陰影部分面積，驗(yàn)證了公式．9．（2023上·黑龍江牡丹江·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）設(shè)是實(shí)數(shù)，定義一種新運(yùn)算；．下面有四個(gè)推斷：①；②；③；④．其中正確推斷的序號(hào)是．10．（2023上·甘肅蘭州·七年級(jí)蘭州市第五十五中學(xué)?？奸_學(xué)考試）對(duì)于任意的代數(shù)式a，b，c，d，我們規(guī)定一種新運(yùn)算：．根據(jù)這一規(guī)定，計(jì)算．三、解答題11．（2023上·江蘇南通·八年級(jí)校聯(lián)考期中）計(jì)算：(1)；(2)；(3)；(4)．12．（2023上·河南南陽(yáng)·八年級(jí)校考階段練習(xí)）利用乘法公式計(jì)算下列各題(1)(2)(3)(4)13．（2023上·四川宜賓·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）（1）已知，求代數(shù)式的值．（2）若，求14．（2023上·吉林白城·八年級(jí)校聯(lián)考期末）符號(hào)“”稱為二階行列式，規(guī)定它的運(yùn)算法規(guī)為．(1)計(jì)算：_______；(2)化簡(jiǎn)二階行列式的值．15．（2023上·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)統(tǒng)考期末）下面是小明同學(xué)化簡(jiǎn)求值的過(guò)程，請(qǐng)你認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)．先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．解：原式……第一步……第二步……第三步當(dāng)時(shí)，原式．……第四步(1)小明同學(xué)第________步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤．(2)寫出正確的化簡(jiǎn)求值過(guò)程．16．（2023上·安徽阜陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，圖1為邊長(zhǎng)為a的大正方形中有一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形，圖2是由圖1中的陰影部分拼成的一個(gè)長(zhǎng)方形．(1)設(shè)圖1中陰影部分的面積為，圖2中陰影部分的面積為，則______，______（請(qǐng)用含a，b的代數(shù)式表示，只需表示，不必化簡(jiǎn)）．(2)以上結(jié)果可以驗(yàn)證哪個(gè)乘法公式？這個(gè)乘法公式是______(3)運(yùn)用（2）中得到的公式，計(jì)算：．17．（2023上·甘肅武威·八年級(jí)?？计谀?shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師準(zhǔn)備了若干個(gè)如圖的三種紙片，種紙片是邊長(zhǎng)為的正方形，種紙片是邊長(zhǎng)為的正方形，種紙片是長(zhǎng)為、寬為