吉林省白城市洮北區(qū)第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題理含解析

PAGE17-吉林省白城市洮北區(qū)第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題理（含解析）一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求。）1.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】即,,焦點(diǎn)在軸負(fù)半軸上，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故選C.2.下列命題中為真命題的是()A.命題“若，則”的逆命題B.命題“，則”的否命題C.命題“若，則”的否命題D.命題“若，則”的逆否命題【答案】A【解析】命題“若,則”的逆命題為“若,則”，所以為真命題；命題“若,則”的否命題為“若,則”，因?yàn)?2,但，所以為假命題；命題“若,則”的否命題為“若,則”，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以為假命題；命題“若,則”為假命題，所以其逆否命題為假命題，因此選A3.已知直線l與平面α垂直，直線l的一個(gè)方向向量為＝(1，－3，z)，向量＝(3，－2,1)與平面α平行，則z等于（）A.3 B.6 C.－9 D.9【答案】C【解析】【分析】由題意可得，可得，即可得出．【詳解】由題意可得，，解得．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了線面位置關(guān)系、方程思想方法，考查了推理實(shí)力與計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題．4.已知，那么命題的一個(gè)必要不充分條件是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】解:p：x2－x<0的充要條件為0<x<1,則比該集合大的集合都是符合題意的，所以選擇B5.過點(diǎn)與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有()A.1條 B.2條 C.3條 D.多數(shù)條【答案】B【解析】因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線外面，與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)的直線有2條切線，1條和對(duì)稱軸平行，故3條。6.若雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)到一條漸近線的距離等于焦距的，則該雙曲線的漸近線方程是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】試題分析：因?yàn)殡p曲線一個(gè)焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為所以因此因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為所以該雙曲線的漸近線方程是.考點(diǎn)：雙曲線的漸近線方程7.過點(diǎn)P(2,2)作拋物線的弦AB,恰好被P平分，則弦AB所在的直線方程是（）A.x-y=0 B.2x-y-2=0 C.x+y-4=0 D.x+2y-6=0【答案】A【解析】【分析】先設(shè)出直線方程，再聯(lián)立直線方程與拋物線方程整理可得，的橫坐標(biāo)與直線的斜率之間的關(guān)系式，結(jié)合弦恰好是以為中點(diǎn)，以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求出直線的斜率，進(jìn)而求出直線方程．【詳解】由題得直線存在斜率，設(shè)，，，，弦所在直線方程為：，即，聯(lián)立，消去整理得．不滿意題意，當(dāng)時(shí)，由題得且，弦恰好是以為中點(diǎn)，．解得．滿意所以直線方程為，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合問題．解決本題的關(guān)鍵在于利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式以及韋達(dá)定理得到關(guān)于直線的斜率的等式，是中檔題．8.直三棱柱ABC—A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，E為BB′的中點(diǎn)，異面直線CE與所成角的余弦值是（）A. B. C.- D.【答案】D【解析】【分析】以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線與所成角的余弦值．【詳解】直三棱柱中，，，為的中點(diǎn)．以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，0，，，2，，，0，，，0，，，2，，，0，，設(shè)異面直線與所成角為，則．異面直線與所成角的余弦值為．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)學(xué)問，考查運(yùn)算求解實(shí)力，是基礎(chǔ)題．9.已知雙曲線(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)為F，若過點(diǎn)F且傾斜角為60°的直線l與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則此雙曲線的離心率e的取值范圍是（）A. B.(1,2), C. D.【答案】A【解析】【分析】若過點(diǎn)且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則該直線的斜率的肯定值小于等于漸近線的斜率．依據(jù)這個(gè)結(jié)論可以求出雙曲線離心率的取值范圍．【詳解】已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，若過點(diǎn)且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則該直線的斜率的肯定值小于等于漸近線的斜率，，離心率，，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的性質(zhì)及其應(yīng)用，解題時(shí)要留意挖掘隱含條件．10.在橢圓上有一點(diǎn)P，F(xiàn)1、F2是橢圓的左、右焦點(diǎn)，△F1PF2為直角三角形，這樣的點(diǎn)P有（）A.2個(gè) B.4個(gè) C.6個(gè) D.8個(gè)【答案】C【解析】【分析】由橢圓的性質(zhì)可知：橢圓的上下頂點(diǎn)對(duì)、張開的角最大，可得．當(dāng)軸或軸時(shí)，也滿意題意．即可得出．【詳解】由橢圓的性質(zhì)可知：橢圓的上下頂點(diǎn)對(duì)、張開的角最大，，，，此時(shí)．這樣的點(diǎn)P有兩個(gè)；當(dāng)軸或軸時(shí)，也滿意題意．這樣的點(diǎn)P有4個(gè)；因此△為直角三角形，則這樣的點(diǎn)有6個(gè)．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直角三角形，考查了推理實(shí)力與計(jì)算實(shí)力，屬于中檔題．11.設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，P在雙曲線上，當(dāng)△F1PF2的面積為時(shí)，的值為（）A.2 B.3 C.4 D.6【答案】C【解析】【分析】求得雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用△的面積為，確定的坐標(biāo)，運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式，即可求得結(jié)論．【詳解】雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)的坐標(biāo)為，則△的面積為，，，代入雙曲線方程解得，不妨取，，，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，考查兩點(diǎn)的距離公式，確定的坐標(biāo)是關(guān)鍵，是中檔題．12.橢圓C：（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，過F2作x軸的垂線與C交于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)1A與y軸相交于點(diǎn)D，若BD⊥F1A，則橢圓C的離心率等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意可得，的坐標(biāo)，且知點(diǎn)為的中點(diǎn)，再由，利用斜率之積等于列式求解．【詳解】由題意可得，，，則點(diǎn)為的中點(diǎn)，，由，得，即，整理得，，∴解得．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的簡(jiǎn)潔幾何性質(zhì)，考查兩直線垂直與斜率的關(guān)系，是中檔題．二、填空題（本大題共4小題，共20分）13.已知點(diǎn)是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則到點(diǎn)的距離與到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值為__________．【答案】.【解析】分析：先求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，再由拋物線的定義可得，再求出的值即可.詳解：依題設(shè)P在拋物線準(zhǔn)線的投影為，拋物線的焦點(diǎn)為F，則，依拋物線的定義知P到該拋物線準(zhǔn)線的距離為，則點(diǎn)P到點(diǎn)的距離與P到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和，.故答案為：.點(diǎn)睛：本題主要考查拋物線的定義解題，考查了拋物線的應(yīng)用，考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化和化歸，數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想.14.命題“?x0∈R,”為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】由題得“x0∈R,”為真命題，依據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)得到關(guān)于的不等式，解不等式即得解.【詳解】由題得“x0∈R,”為真命題,所以，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查特稱命題的否定，考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)這些學(xué)問的理解駕馭水平.15.如圖，平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，，∠BAD＝∠BAA1＝120°，∠DAA1＝60°，則線段AC1的長度是_______?！敬鸢浮俊窘馕觥俊痉治觥坷茫纯汕蠼猓驹斀狻?，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了空間向量的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對(duì)這些學(xué)問的理解駕馭水平．16.已知是拋物線的焦點(diǎn)，過且斜率為的直線交于兩點(diǎn)．設(shè)，則的值等于．【答案】【解析】試題分析：F（1,0），設(shè)A（x1，y1）B（x2，y2）由整理得3x2-10x+3=0，所以x1=3，x2=，（x1＞x2）∴由拋物線的定義知==，故答案為3?？键c(diǎn)：本題主要考查拋物線的定義，拋物線的幾何性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系。點(diǎn)評(píng)：中檔題，涉及直線與拋物線的位置關(guān)系，由于曲線方程已確定，所以通過解方程組，得到點(diǎn)的坐標(biāo)，利用拋物線的定義，得到線段長度得解。三、解答題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.17.設(shè)命題p：實(shí)數(shù)x滿意，其中；命題q：實(shí)數(shù)x滿意若，且為真，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．若是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】若，分別求出p，q成立的等價(jià)條件，利用為真，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；利用是的充分不必要條件，即q是p的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【詳解】由得，其中，得，，則p：，．由解得．即q：．若，則p：，若為真，則p，q同時(shí)為真，即，解得，實(shí)數(shù)x的取值范圍．若是的充分不必要條件，即q是p的充分不必要條件，，即，解得．【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)合命題與簡(jiǎn)潔命題之間的關(guān)系，利用逆否命題的等價(jià)性將是的充分不必要條件，轉(zhuǎn)化為q是p的充分不必要條件是解決本題的關(guān)鍵．18.已知雙曲線與橢圓有相同焦點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)(46)．(1)求雙曲線方程；(2)若雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，試問在雙曲線上是否存在點(diǎn)P，使得|PF1|＝5|PF2|.請(qǐng)說明理由.【答案】（1）；（2）不存在【解析】【分析】（1）由題得，解方程組即得雙曲線方程；（2）假設(shè)在雙曲線上存在點(diǎn)P，使得|PF1|＝5|PF2|，則點(diǎn)P只能在右支上．先求出|PF1|＝5，|PF2|＝1，分析得到此種狀況不存在.【詳解】(1)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，且，即焦點(diǎn)為(±4,0)，于是可設(shè)雙曲線方程為，則有解得a2＝4，b2＝12，故雙曲線方程為.(2)假設(shè)在雙曲線上存在點(diǎn)P，使得|PF1|＝5|PF2|，則點(diǎn)P只能在右支上．由于在雙曲線中，由雙曲線定義知，|PF1|-5|PF2|＝2a＝4，于是得|PF1|＝5，|PF2|＝1.但當(dāng)點(diǎn)P在雙曲線右支上時(shí)，點(diǎn)P到左焦點(diǎn)F1的距離的最小值應(yīng)為a＋c＝6，故不行能有|PF1|＝5，即在雙曲線上不存在點(diǎn)P，使得|PF1|＝5|PF2|【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查雙曲線的定義和簡(jiǎn)潔幾何性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)這些學(xué)問的理解駕馭水平.19.已知定點(diǎn)A(a,0)，其中0<a<3，它到橢圓上點(diǎn)的距離的最小值為1，求的值．【答案】2【解析】【分析】設(shè)橢圓上任一點(diǎn)為P(x，y)(－3≤x≤3)，求出|PA|的解析式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)分析解答得解.【詳解】設(shè)橢圓上任一點(diǎn)P(x，y)(－3≤x≤3)，則，當(dāng)時(shí)，有.∴當(dāng)時(shí)，，得(舍)，當(dāng)時(shí)，有，當(dāng)且僅當(dāng)x＝3時(shí)，故a＝2或a＝4(舍)，綜上得a＝2.【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的簡(jiǎn)潔幾何性質(zhì)，考查函數(shù)的最值的求法，考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)這些學(xué)問的理解駕馭水平.20.如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,PC=2,在四邊形ABCD中,∠B=∠C=90°,AB=4,CD=1,點(diǎn)M在PB上,PB=4PM,PB與平面ABCD成30°的角.求證:(1)CM∥平面PAD.(2)平面PAB⊥平面PAD.【答案】見解析【解析】建立空間直角坐標(biāo)系.(1)可證明與平面PAD法向量垂直;也可將分解為平面PAD內(nèi)的兩個(gè)向量的線性組合,利用共面對(duì)量定理證明.(2)取AP中點(diǎn)E,利用向量證明BE⊥平面PAD即可.【證明】由題意可知:以C為坐標(biāo)原點(diǎn),CB所在直線為x軸,CD所在直線為y軸,CP所在直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Cxyz.∵PC⊥平面ABCD,∴∠PBC為PB與平面ABCD所成的角,∴∠PBC=30°.∵PC=2,∴BC=2,PB=4.∴D(0,1,0),B(2,0,0),A(2,4,0),P(0,0,2),M(,0,),∴=(0,-1,2),=(2,3,0),=(,0,).(1)方法一:令n=(x,y,z)為平面PAD的一個(gè)法向量,則即∴令y=2,得n=(-,2,1).∵n·=-×+2×0+1×=0,∴n⊥.又CM?平面PAD,∴CM∥平面PAD.方法二:∵=(0,1,-2),=(2,4,-2),假設(shè)∥平面PAD,則存在x0,y0使=x0+y0,則方程組的解為∴=-+.由共面對(duì)量定理知與,共面,故假設(shè)成立.又∵CM?平面PAD∴CM∥平面PAD.(2)取AP的中點(diǎn)E,連接BE,則E(,2,1),=(-,2,1).易知PB=AB,∴BE⊥PA.又∵·=(-,2,1)·(2,3,0)=0,∴⊥,∴BE⊥DA.又PA∩DA=A,∴BE⊥平面PAD.又∵BE?平面PAB,∴平面PAB⊥平面PAD.21.已知?jiǎng)訄A恒過點(diǎn)，且與直線：相切.（1）求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程；（2）探究在曲線上，是否存在異于原點(diǎn)的兩點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，直線恒過定點(diǎn)？若存在，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）軌跡方程為；（2）直線過定點(diǎn).【解析】(1)因?yàn)閯?dòng)圓M,過點(diǎn)F且與直線相切,所以圓心M到F的距離等于到直線的距離.依據(jù)拋物線的定義可以確定點(diǎn)M的軌跡是拋物線，易求其方程.（II）本小題屬于存在性命題，先假設(shè)存在A,B在上,直線AB的方程:,即AB的方程為,然后依據(jù),∴AB的方程為,從而可確定其所過定點(diǎn).解：(1)因?yàn)閯?dòng)圓M,過點(diǎn)F且與直線相切,所以圓心M到F的距離等于到直線的距離.…………2分所以,點(diǎn)M的軌跡是以F為焦點(diǎn),