河南省洛陽市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題含解析

PAGE19-河南省洛陽市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題（含解析）第I卷（選擇題，共60分）留意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考號填寫在答題卡上.2.考試結(jié)束，將答題卡交回.一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若，那么下列不等式中不正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)題中條件，結(jié)合不等式的性質(zhì)，逐項推斷，即可得出結(jié)果.【詳解】因為，所以，，，則，即，故A正確；由，即，故B正確；由，即，故C錯誤；由，所以，故D正確.故選：C【點睛】本題主要考查由題中條件推斷所給的不等式，熟記不等式的性質(zhì)即可，屬于常考題型.2.在中，內(nèi)角的對邊分別為，若，則肯定是（）A.等邊三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形【答案】B【解析】【分析】先由正弦定理得到，推出，即可得出結(jié)果.【詳解】因為，由正弦定理得：，所以，故，所以肯定是等腰三角形.故選：B【點睛】本題主要考查三角形形態(tài)的推斷，熟記正弦定理即可，屬于?？碱}型.3.若數(shù)列的通項公式，則此數(shù)列是（）A.遞增數(shù)列 B.遞減數(shù)列 C.搖擺數(shù)列 D.以上都不【答案】A【解析】【分析】由，計算，得出，即可推斷出結(jié)果.【詳解】因為，所以，因此數(shù)列是遞增數(shù)列.故選：A【點睛】本題主要考查遞增數(shù)列的推斷，依據(jù)作差法比較大小即可，屬于?？碱}型.4.下列函數(shù)中，的最小值為的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)基本不等式，逐項推斷，即可得出結(jié)果.【詳解】對于A選項，當時，，當且僅當，即時，等號成立；當時，，當且僅當，即時，等號成立；故A錯誤；對于B選項，，當且僅當，即時，取等號，而明顯不成立；函數(shù)取不到最小值，故B錯誤；對于C選項，，當且僅當，即時，等號成立；故C正確；對于D選項，因為，所以，又，當且僅當，即時，等號成立，但，故D錯誤；故選：C【點睛】本題主要考查基本不等式的應(yīng)用，熟記基本不等式，并留意取等號的條件即可，屬于?？碱}型.5.已知等比數(shù)列滿意：，且，則等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)得到，依據(jù)題意解得，且，依據(jù)等比數(shù)列的通項公式，即可求出結(jié)果.【詳解】因為等比數(shù)列滿意：，所以，解得或，又，所以，且，因此，則，故.故選：A【點睛】本題主要考查等比數(shù)列基本量的運算，熟記等比數(shù)列的通項公式與性質(zhì)即可，屬于?？碱}型.6.已知銳角三角形的三邊分別為，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先由題意知三角形三個內(nèi)角都是銳角，分別依據(jù)邊長為所對的角為銳角，邊長為所對的角為銳角兩種狀況，結(jié)合余弦定理，即可求出結(jié)果.【詳解】因為銳角三角形的三邊分別為，則三角形的三個內(nèi)角都是銳角，設(shè)邊長為所對的銳角為，由余弦定理可得：，則；設(shè)邊長為所對的銳角為，由余弦定理可得：，則；綜上，的取值范圍是.故選：D【點睛】本題主要考查由三角形的形態(tài)求參數(shù)的問題，熟記余弦定理即可，屬于?？碱}型.7.若，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)對數(shù)運算，得到，推出，再由基本不等式得到，求解，即可得出結(jié)果.【詳解】因為，所以，且，即，所以，即，解得或（舍），所以，當且僅當時，取等號.故選：A【點睛】本題主要考查對數(shù)的運用，以及由基本不等式求積的最小值，熟記對數(shù)運算法則，以及基本不等式即可，屬于?？碱}型.8.已知數(shù)列的前項積為，且滿意，若，則為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)題意，求出前項，確定數(shù)列是以為周期的數(shù)列，求出前項的乘積，即可求出結(jié)果.【詳解】因為，，所以，所以，所以，所以，所以數(shù)列以為周期，又，所以.故選：B【點睛】本題主要考查周期數(shù)列的應(yīng)用，會依據(jù)遞推公式推出數(shù)列的周期即可，屬于?？碱}型.9.如圖，在中，是邊上一點，，則的長為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先由余弦定理求出，得出，再由正弦定理得到，即可求出結(jié)果.【詳解】因為，，所以，因此，所以，又，，由正弦定理可得：，所以.故選：D【點睛】本題主要考查解三角形，熟記正弦定理與余弦定理即可，屬于常考題型.10.實數(shù)滿意條件.當目標函數(shù)在該約束條件下取到最小值時，的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先將目標函數(shù)化為，由題中約束條件作出可行域，結(jié)合圖像，由題意得到，再由，結(jié)合基本不等式，即可求出結(jié)果.【詳解】由得，因為，所以直線的斜率為，作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域如下：由圖像可得：當直線經(jīng)過點時，直線在軸截距最小，此時最小。由解得，即，此時目標函數(shù)的最小值為，即，所以.當且僅當，即時，等號成立.故選：D【點睛】本題主要考查簡潔線性規(guī)劃與基本不等式綜合，熟記基本不等式，會求解簡潔的線性規(guī)劃問題即可，屬于?？碱}型.11.設(shè)等差數(shù)列的前項和分別為，若，則使的的個數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先由題意，依據(jù)等差數(shù)列前項和的性質(zhì)，得到，再由，得到，從而即可求出結(jié)果.【詳解】因為等差數(shù)列的前項和分別為，所以，又，所以，為使，只需，又，所以可能取的值為：，因此可能取的值為：.故選：C【點睛】本題主要考查等差數(shù)列前項和的應(yīng)用，熟記等差數(shù)列前項和的公式與性質(zhì)即可，屬于?？碱}型.12.在中，角的對邊分別為，已知，點是的中點，若，則面積的最大值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先由題意得到，結(jié)合余弦定理得到，且，再由余弦定理，得到，求出，依據(jù)三角形面積公式，得到，即可求出結(jié)果.【詳解】因為點是的中點，，，所以，即，即，所以，整理得：，因此，即，當且僅當時，等號成立；且；又，所以，因此面積為，當且僅當時，取得最大值.故選：A【點睛】本題主要考查解三角形，熟記余弦定理，結(jié)合基本不等式，以及二次函數(shù)性質(zhì)即可求解，屬于?？碱}型.第Ⅱ卷（共90分）二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13.設(shè)，則四個數(shù)，，，中最小的是__________．【答案】【解析】【分析】依據(jù)基本不等式，先得到，，再由作商法，比較與，即可得出結(jié)果.【詳解】因為，所以，，又，所以，綜上，最小.故答案為：【點睛】本題主要考查由不等式性質(zhì)比較大小，熟記不等式的性質(zhì)，以及基本不等式即可，屬于?？碱}型.14.若實數(shù)滿意，則的取值范圍是__________．【答案】【解析】【分析】先由約束條件作出可行域，化目標函數(shù)為，令，則表示平面區(qū)域內(nèi)的點與定點連線的斜率，結(jié)合圖像求出的范圍，進而可求出結(jié)果.【詳解】由約束條件作出可行域如下：因為，令，則表示平面區(qū)域內(nèi)的點與定點連線的斜率，由圖像可得：；由直線，易得，，因此，，所以，所以.故答案為：【點睛】本題主要考查簡潔的線性規(guī)劃問題，依據(jù)約束條件作出可行域，會分析目標函數(shù)的幾何意義即可，屬于常考題型.15.已知數(shù)列的前項和，若此數(shù)列為等比數(shù)列，則__________．【答案】【解析】【分析】先由，求出，；再由數(shù)列是等比數(shù)列，得到也滿意，列出等式，即可求出結(jié)果.【詳解】因為數(shù)列的前項和，所以，；又，因為數(shù)列為等比數(shù)列，則也滿意，即，解得.故答案為：【點睛】本題主要考查由等比數(shù)列的前項和求參數(shù)，熟記等比數(shù)列的通項公式與求和公式即可，屬于?？碱}型.16.在銳角中，內(nèi)角的對邊分別為，若，則的最小值為__________．【答案】【解析】【分析】先由題意，結(jié)合正弦定理與兩角和的正弦公式，得到，再由，依據(jù)三角形形態(tài)推斷，令，將所求式子化為，依據(jù)基本不等式，即可求出結(jié)果.【詳解】因為，所以，即，即，所以，又，因為為銳角三角形，所以，因此；所以，令，則，當且僅當，即時，取等號；【點睛】本題主要考查解三角形的應(yīng)用，熟記正弦定理，兩角和的正弦、正切公式，以及基本不等式即可，屬于常考題型.三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.設(shè)為等差數(shù)列的前項和.已知.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）先設(shè)等差數(shù)列的公差為，依據(jù)題意列出方程組，求出首項與公差，即可求出通項公式；（2）由（1）的結(jié)果，得到，進而可求出前項和.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意可得，解得，所以的通項公式為；由得，從而【點睛】本題主要考查求數(shù)列的通項公式，以及數(shù)列的求和，熟記等差數(shù)列的通項公式，以及裂項相消法求數(shù)列的和即可，屬于?？碱}型。18.在中，角“的對邊分別為.已知（1）求的值；（2）若，求的面積.【答案】(1)(2)3或1【解析】【分析】（1）依據(jù)正弦定理，由，得到，即可求出結(jié)果；（2）先由，求出，由余弦定理，求出或，再由三角形面積公式，即可求出結(jié)果【詳解】在中，因為，所以由正弦定理得；（2）因為，所以.由余弦定理得，整理得，解得或.所以的面積或1.【點睛】本題主要考查解三角形，熟記正弦定理與余弦定理即可，屬于?？碱}型.19.為促進全民健身運動，公司為員工購買某健身俱樂部的健身卡，每張元，運用規(guī)定：不記名，每卡每次僅限人，每天僅限次.公司共名員工，公司領(lǐng)導(dǎo)準備組織員工分批去健身，除需購買若干張健身卡外，每次去俱樂部還要包租一輛汽車，費用是每次元，假如要使每位員工健身次，那么公司購買多少張健身卡最合算，共需花費多少元錢？【答案】公司購買張健身卡最合算，共需花費元.【解析】【分析】設(shè)購買張健身卡，這項健身活動的總支出為，依據(jù)題意得到，由基本不等式，即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)購買張健身卡，這項健身活動的總支出為,則,即當且僅當即時取等號.所以公司購買張健身卡最合算，共需花費元.【點睛】本題主要考查基本不等式的應(yīng)用，熟記基本不等式即可，屬于?？碱}型.20.（1）設(shè)不等式對于滿意的實數(shù)x都成立，求正實數(shù)的取值范圍；（2）設(shè)不等式對于滿意的實數(shù)都成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）先由得，令，由，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，只需，求解，即可得出結(jié)果；（2）先將原不等式化為，令，原問題可轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)在上的函數(shù)值恒小于，只需，求解，即可得出結(jié)果.【詳解】（1）由得令，因為只需解得，即正實數(shù)的取值范圍是（2）原不等式可化為令，其中，則不等式對于滿意的實數(shù)都成立等價于關(guān)于的函數(shù)在上的函數(shù)值恒小于，只需，即，解得，即實數(shù)的取值范圍是.【點睛】本題主要考查一元二次不等式恒成立求參數(shù)的問題，熟記三個二次之間關(guān)系，熟記二次函數(shù)的性質(zhì)，以及轉(zhuǎn)化與化歸的思想即可，屬于?？碱}型.21.在中，分別為角的對邊，且.（1）求角；（2）若的內(nèi)切圓面積為，求面積的最小值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）依據(jù)題意，由正弦定理得到，化簡整理求出，即可得出結(jié)果；（2）依據(jù)題意，得到內(nèi)切圓的半徑為，作出圖形，記內(nèi)切圓的圓心為，為切點，得到，由余弦定理得到，依據(jù)基本不等式，推出，再由三角形面積公式，即可得出結(jié)果.【詳解】（1）因為所以即，所以，即，；（2）由題意知內(nèi)切圓的半徑為，如圖，內(nèi)切圓的圓心為，為切點，則，從而，由余弦定理得，整理得，解得或（舍去），從而，即面積的最小值為.【點睛】本題主要考查解三角形，熟記正弦定理與余弦定理，敏捷運用基本不等式即可，屬于?？碱}型.22.設(shè)為正項數(shù)列的前項和，且.數(shù)列滿意：，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和；（3）設(shè)，問是否存在整數(shù)，使數(shù)列為遞增數(shù)列？若存在求的值，若不存在說明理由.【答案】(1)；.(2)(3)存在，【解析】【分析】（1）先由題意求出，再由時，，推出數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列，求出的通項；依據(jù)，得到，推出數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列，進而可求出數(shù)列的通項公式；（2）先由（1）得到，依據(jù)錯位相減法，即可求出結(jié)果；（3）先由（1）得，假設(shè)存在，滿意為遞增數(shù)列