七年級數(shù)學試卷整式乘法與因式分解易錯壓軸解答題訓練經(jīng)典題目(及答案)50

七年級數(shù)學試卷整式乘法與因式分解易錯壓軸解答題訓練經(jīng)典題目(及答案)50一、整式乘法與因式分解易錯壓軸解答題1．如圖1是一個長為，寬為

的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長方形，然后用四塊小長方形拼成的一個“回形”正方形（如圖2）．

（1）圖2中的陰影部分的面積為

；（2）觀察圖2請你寫出，，之間的等量關系是________；（3）根據(jù)（2）中的結論，若，，則

________；（4）實際上我們可以用圖形的面積表示許多恒等式，下面請你設計一個幾何圖形來表示恒等式．在圖形上把每一部分的面積標寫清楚．2．如圖1，有A型、B型正方形卡片和C型長方形卡片各若干張.（1）用1張A型卡片，1張B型卡片，2張C型卡片拼成一個正方形，如圖2，用兩種方法計算這個正方形面積，可以得到一個等式，請你寫出這個等式________；（2）選取1張A型卡片，10張C型卡片，________張B型卡片，可以拼成一個正方形，這個正方形的邊長用含a，b的代數(shù)式表示為________；（3）如圖3，兩個正方形邊長分別為m、n，m+n=10，mn=19，求陰影部分的面積.3．【閱讀材料】我們知道，圖形也是一種重要的數(shù)學語言，它直觀形象，能有效地表現(xiàn)一些代數(shù)中的數(shù)量關系，而運用代數(shù)思想也能巧妙地解決一些圖形問題。在一次數(shù)學活動課上，張老師準備了若干張如圖1所示的甲、乙、丙三種紙片，其中甲種紙片是邊長為x的正方形，乙種紙片是邊長為y的正方形，丙種紙片是長為y，寬為x的長方形，并用甲種紙片一張，乙種紙片一張，丙種紙片兩張拼成了如圖2所示的一個大正方形。（1）【理解應用】觀察圖2，用兩種不同方式表示陰影部分的面積可得到一個等式，請你直接寫出這個等式。（2）【拓展升華】利用(1)中的等式解決下列問題：①已知a2+b2=10，a+b=6，求ab的值。②已知(2021-c)(c-2019)=2020，求(2021-c)2+(c-2019)2的值。4．閱讀下列材料:對于多項式x2+x-2，如果我們把x=1代入此多項式，發(fā)現(xiàn)x2+x-2的值為0，這時可以確定多項式中有因式(x-1):同理，可以確定多項式中有另一個因式(x+2)，于是我們可以得到:x2+x-2=(x-1)(x+2)又如:對于多項式2x2-3x-2，發(fā)現(xiàn)當x=2時，2x2-3x-2的值為0，則多項式2x2-3x-2有一個因式(x-2)，我們可以設2x2-3x-2=(x-2)(mx+n)，解得m=2，n=1，于是我們可以得到:2x2-3x-2=(x-2)(2x+1)請你根據(jù)以上材料，解答以下問題:（1）當x=________時，多項式6x2-x-5的值為0，所以多項式6x2-x-5有因式________

，從而因式分解6x2-x-5=________.（2）以上這種因式分解的方法叫試根法，常用來分解一些比較復雜的多項式.請你嘗試用試根法分解多項式:①2x2+5x+3;②x3-7x+6（3）小聰用試根法成功解決了以上多項式的因式分解，于是他猜想:代數(shù)式(x-2)3-(y-2)3-(x-y)3有因式________

，________

，

________

，所以分解因式(x-2)3-(y-2)3-(x-y)3=________。5．

（1）若m2+n2=13，m+n=3，則mn=________

。（2）請仿照上述方法解答下列問題：若(a-b-2017)2+(2019-a+b)2=5，則代數(shù)式的值為________。6．效學活動課上老師準備了若干個如圖1的三種紙片，A種紙片是邊長為a的正方形，B種紙片是邊長為b的正方形，C種紙片是長為b，寬為a的長方形．并用A種紙片一張，B種紙片一張，C種紙片兩張拼成如圖2的大正方形．（1）請用兩種不同的方法求圖2大正方形的面積．方法1：________，方法2：________；（2）觀察圖2，請你寫出代數(shù)式：（a+b）2，a2+b2，ab之間的等量關系________；（3）根據(jù)（2）題中的等量關系，解決如下問題：①已知：a+b=5，a2+b2=13，求ab的值；②已知（2019-a）2+（a-2018）2=5，求（2019-a）（a-2018）的值．7．數(shù)形結合是解決數(shù)學問題的一種重要的思想方法，借助圖的直觀性，可以幫助理解數(shù)學問題．（1）請寫出圖1、圖2、圖3分別能解釋的乘法公式．（2）用4個全等的長和寬分別為a、b的長方形拼擺成一個如圖4的正方形，請你寫出這三個代數(shù)式（a+b）2、（a﹣b）2、ab之間的等量關系．（3）根據(jù)（2）中你探索發(fā)現(xiàn)的結論，完成下列問題：①當a+b＝5，ab＝﹣6時，則a﹣b的值為________．②設，B＝x﹣2y﹣3，計算：（A+B）2﹣（A﹣B）2的結果________．8．閱讀材料：如果一個數(shù)的平方等于﹣1，記為i2＝﹣1，這個數(shù)i叫做虛數(shù)單位，那么形如a+bi（a，b為實數(shù)）的數(shù)就叫做復數(shù)，a叫這個復數(shù)的實部，b叫做這個復數(shù)的虛部．它有如下特點：①它的加，減，乘法運算與整式的加，減，乘法運算類似例如計算：（2+i）+（3﹣4i）＝（2+3）+（1﹣4）i＝5﹣3i；（3+i）i＝3i+i2＝3i﹣1②若他們的實部和虛部分別相等，則稱這兩個復數(shù)相等若它們的實部相等，虛部互為相反數(shù)，則稱這兩個復數(shù)共軛，如1+2i的共軛復數(shù)為1﹣2i．（1）填空：（3i﹣2）（3+i）＝________；（1+2i）3（1﹣2i）3＝________；（2）若a+bi是（1+2i）2的共軛復數(shù)，求（b﹣a）a的值；（3）已知（a+i）（b+i）＝1﹣3i，求（a2+b2）（i2+i3+i4+…+i2019）的值．9．先閱讀下列材料，再解答下列問題：材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．解：將“x+y”看成整體，令x+y=A，則原式=A2+2A+1=（A+1）2再將“A”還原，得：原式=（x+y+1）2．上述解題中用到的是“整體思想”，整體思想是數(shù)學解題中常用的一種思想方法，請你解答下列問題：（1）因式分解：1+2（x﹣y）+（x﹣y）2=________．（2）因式分解：（a+b）（a+b﹣4）+4（3）證明：若n為正整數(shù)，則式子（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某一個整數(shù)的平方．10．著名的瑞士數(shù)學家歐拉曾指出：可以表示為四個整數(shù)平方之和的甲、乙兩數(shù)相乘，其乘積仍然可以表示為四個整數(shù)平方之和，即

，這就是著名的歐拉恒等式，有人稱這樣的數(shù)為“不變心的數(shù)”．實際上，上述結論可概括為：可以表示為兩個整數(shù)平方之和的甲、乙兩數(shù)相乘，其乘積仍然可以表示為兩個整數(shù)平方之和．【閱讀思考】在數(shù)學思想中，有種解題技巧稱之為“無中生有”．例如問題：將代數(shù)式改成兩個平方之差的形式．解：原式﹒（1）【動手一試】試將改成兩個整數(shù)平方之和的形式．（12+52）（22+72）=________；（2）【解決問題】請你靈活運用利用上述思想來解決“不變心的數(shù)”問題：將代數(shù)式改成兩個整數(shù)平方之和的形式（其中a、b、c、d均為整數(shù)），并給出詳細的推導過程﹒11．現(xiàn)有若干張如圖1所示的正方形紙片A，B和長方形紙片C．（1）小王利用這些紙片拼成了如圖2的一個新正方形，通過用兩種不同的方法計算新正方形面積，由此，他得到了一個等式：________；（2）小王再取其中的若干張紙片（三種紙片都要取到）拼成一個面積為a2+3ab+nb2的長方形，則n可取的正整數(shù)值是________，并請你在圖3位置畫出拼成的長方形________；（3）根據(jù)拼圖經(jīng)驗，請將多項式a2+5ab+4b2分解因式．12．如圖，有足夠多的邊長為a的小正方形（A類）、寬為a長為b的長方形（B類）以及邊長為b的大正方形（C類），發(fā)現(xiàn)利用圖①中的三種材料若干可以拼出一些長方形來解釋某些等式．嘗試解決：（1）取圖①中的若干個（三類圖形都要取到）拼成一個長方形，使其面積為（a+b）（a+b），在下面虛線框中畫出圖形，并根據(jù)圖形回答（a+b）（a+b）=________．（2）圖②是由圖①中的三種材料拼出的一個長方形，根據(jù)②可以得到并解釋等式：________（3）若取其中的若干個（三類圖形都要取到）拼成一個長方形，使其面積為3a2+4ab+b2．你畫的圖中需要B類卡片________張；（4）分解因式：3a2+4ab+b2．拓展研究：如圖③，大正方形的邊長為m，小正方形的邊長為n，若用m、n表示四個直角三角形的兩直角邊邊長（b＞a），觀察圖案，以下關系式中正確的有________．（填寫正確選項的序號）（1）ab=（2）a+b=m（3）a2+b2=（4）a2+b2=m2【參考答案】***試卷處理標記，請不要刪除一、整式乘法與因式分解易錯壓軸解答題1．（1）(b-a)2（2）（3）±5（4）解：符合等式(a+2b)(2a+b)=2a2+5ab+2b2的圖形如圖所示，【解析】【解答】解：（1）陰影部分為一個正方形，其邊長為b-a解析：（1）（2）（3）±5（4）解：符合等式的圖形如圖所示，【解析】【解答】解：（1）陰影部分為一個正方形，其邊長為b-a，∴其面積為：，故答案為：；（2）大正方形面積為：小正方形面積為：=，四周四個長方形的面積為：，∴，故答案為：；（3）由（2）知，，∴，∴=，故答案為：±5；【分析】（1）表示出陰影部分正方形的邊長，然后根據(jù)正方形的面積公式列式即可；（2）根據(jù)大正方形的面積減去小正方形的面積等于四個小長方形的面積列式即可；（3）將（x-y）2變形為（x+y）2—4xy，再代入求值即可；（4）由已知的恒等式，畫出相應的圖形，如圖所示．2．（1）(a+b)2=a2+b2+2ab（2）25；a+5b（3）解：陰影部分的面積為則陰影部分的面積為=432答：陰影部分的面積為432.【解析】【解答解析：（1）（2）25；（3）解：陰影部分的面積為則陰影部分的面積為答：陰影部分的面積為.【解析】【解答】（1）方法一：這個正方形的邊長為，則其面積為方法二：這個正方形的面積等于兩個小正方形的面積與兩個長方形的面積之和則其面積為因此，可以得到一個等式故答案為：；（2）設選取x張B型卡片，x為正整數(shù)由（1）的方法二得：拼成的正方形的面積為由題意得：是一個完全平方公式則因此，拼成的正方形的面積為所以其邊長為故答案為：25，；【分析】（1）方法一：先求出這個正方形的邊長，再利用正方形的面積公式即可得；方法二：這個正方形的面積等于兩個小正方形的面積與兩個長方形的面積之和即可得；然后根據(jù)方法一與方法二的面積相等可得出所求的等式；（2）設選取x張B型卡片，根據(jù)（1）中的方法二求出拼成的正方形的面積，然后利用完全平方公式即可求出x的值，最后根據(jù)正方形的面積公式即可得其邊長；（3）先利用陰影部分的面積等于大正方形的面積減去兩個直角三角形的面積求出陰影部分的面積，再利用完全平方公式進行變形，然后將已知等式的值代入求解即可.3．（1）解：x2+y2=(x+y)2-2xy（2）解：①由題意得：ab=把a2+b2=10，a+b=6代入上式得，ab==13②由題意得：(2021-c)2+(c-2019)解析：（1）解：x2+y2=(x+y)2-2xy（2）解：①由題意得：ab=把a2+b2=10，a+b=6代入上式得，ab==13②由題意得：(2021-c)2+(c-2019)2=(2021-c+c-2019)2-2(2021-c)(c-2019)=22-2×2020=-4036【解析】【分析】（1）方法一是直接求出陰影部分面積x2＋y2，方法二是間接求出陰影部分面積，即（x＋y）為邊的正方形面積減去兩個x為寬、y為長的矩形面積，即（x＋y）2?2xy,進而根據(jù)用兩個不同的算式表示同一個圖形的面積，則這兩個式子應該相等即可得出等式；（2）①根據(jù)等式的性質(zhì)將（1）所得的等式變形后將a2＋b2＝10，a＋b＝6代入即可解決問題；②根據(jù)完全平方公式的恒等變形，a2+b2=（a+b）2-2ab，可以將2021?c看作a，將c?2019看作b，整體代入就可算出答案.4．（1）1；x-1；(x-1)(6x+5)（2）解：①2x2+5x+3=(x+1)(2x+3)②x3-7x+6=(x-1)(x-2)x+3)（3）x-2；y-2；x-y；(x-2)2-(解析：（1）1；x-1；(x-1)(6x+5)（2）解：①2x2+5x+3=(x+1)(2x+3)②x3-7x+6=(x-1)(x-2)x+3)（3）x-2；y-2；x-y；(x-2)2-(y-2)3-(x-y)3=3(x-2)(y-2)(x-y)【解析】【分析】（1）根據(jù)閱讀材料可知當x=1時多項式6x2-x-5的值為0，從而可得到多項式6x2-x-5的一個因式為（x-1）即可將此多項式分解因式。（2）將x=-1代入2x2+5x+3，可知其值為0，因此可將此多項式分解因式；將x=1代入x3-7x+6，可知x3-7x+6=0，再將x=2代入，可知x3-7x+6=0，從而可將其多項式進行分解因式。（2）利用試根法，將已知多項式進行分解因式即可。5．（1）-2（2）-4038【解析】【解答】解：（1）∵m+n=3，則（m+n）2=9,m2+n2+2mn=9,,∴mn=(9-13)÷2=-2，（2）設a-b-解析：（1）-2（2）-4038【解析】【解答】解：（1）∵m+n=3，則（m+n）2=9,m2+n2+2mn=9,,∴mn=(9-13)÷2=-2，（2）設a-b-2017=m,

2019-a+b=n,則m+n=a-b-2017+2019-a+b=2,∴(m+n)2=4,則故答案為：-4038.【分析】（1）利用完全平方公式進行代數(shù)式變形求得：，把m2+n2和m+n的值代入即可求出mn的值.（2）根據(jù)題（1），設a-b-2017=m,

2019-a+b=n，先求m+n的值，利用題（1）的結論代值即可求出mn的值，則求值式的值可求。6．（1）（a+b）2；a2+b2+2ab（2）（a+b）2=a2+b2+2ab（3）解：①∵（a+b）2=a2+b2+2ab，∴25=13+2ab，∴ab=6；②∵（a+b）2=a2+解析：（1）（a+b）2；a2+b2+2ab（2）（a+b）2=a2+b2+2ab（3）解：①∵（a+b）2=a2+b2+2ab，∴25=13+2ab，∴ab=6；②∵（a+b）2=a2+b2+2ab，∴[（2019-a）+（a-2018）]2=（2019-a）2+（a-2018）2+2（2019-a）（a-2018），即1=5+2（2019-a）（a-2018），∴（2019-a）（a-2018）=-2．【解析】【解答】解：方法1：S=（a+b）2，方法2：S=a2+b2+2ab；故答案為（a+b）2，a2+b2+2ab；（2）由面積相等，可得（a+b）2=a2+b2+2ab；故答案為（a+b）2=a2+b2+2ab【分析】（1）正方形面積可以從整體直接求，還可以是四個圖形的面積和；（2）由同一圖形面積相等即可得到關系式；（3）根據(jù)（a+b）2=a2+b2+2ab，將所給條件代入即可求解7．（1）圖1：（a+b）2＝a2+2ab+b2；圖2：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2；圖3：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，（2）圖4：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab（3解析：（1）圖1：（a+b）2＝a2+2ab+b2；圖2：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2；圖3：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，（2）圖4：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab（3）±7；∵，B＝x﹣2y﹣3，∴（A+B）2﹣（A﹣B）2＝4×A×B＝4××（x﹣2y﹣3）＝（x+2y﹣3）（x﹣2y﹣3）＝[（x﹣3）+2y][（x﹣3）﹣2y]＝x2﹣6x+9﹣4y2．【解析】【解答】（3）①由（2）知：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，∵a+b＝5，ab＝﹣6，∴52﹣（a﹣b）2＝4×（﹣6），（a﹣b）2＝25+24＝49，∴a﹣b＝±7，故答案為：±7；【分析】（1）根據(jù)圖形面積直接得出即可；（2）用兩種方法表示陰影部分的面積可得結論；（3）①根據(jù)（2）中的等量關系代入計算可得結論；②同理根據(jù)（2）中的公式代入可得結論．8．（1）7i﹣9；125（2）解：∵（1+2i）2＝1+4i+4i2＝1+4i﹣4＝﹣3+4i，又a+bi是（1+2i）2的共軛復數(shù)，∴a＝﹣3，b＝﹣4，∴（b﹣a）a＝（﹣4解析：（1）7i﹣9；125（2）解：∵（1+2i）2＝1+4i+4i2＝1+4i﹣4＝﹣3+4i，又a+bi是（1+2i）2的共軛復數(shù)，∴a＝﹣3，b＝﹣4，∴（b﹣a）a＝（﹣4+3）﹣3＝﹣1，∴（b﹣a）a的值為﹣1（3）解：∵（a+i）（b+i）＝1﹣3i，∴ab+（a+b）i﹣1＝1﹣3i，∴ab﹣1＝1，a+b＝﹣3，∴ab＝2，a+b＝﹣3，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝9﹣2×2＝5，∵i2+i3+i4+i5＝﹣1﹣i+1+i＝0，i2+i3+i4+…+i2019有2018個加數(shù)，2018÷4＝504…2，∴i2+i3+i4+…+i2019＝0+i2018+i2019＝i2016?i2+i2016?i3＝﹣1﹣i，∴（a2+b2）（i2+i3+i4+…+i2019）＝5（﹣1﹣i）＝﹣5﹣5i．【解析】【解答】（1）解：（3i﹣2）（3+i）＝9i﹣3﹣6﹣2i＝7i﹣9；（1+2i）3（1﹣2i）3＝[（1+2i）（1﹣2i）]3＝（1﹣4i2）3＝（1+4）3＝125；故答案為：7i﹣9；125【分析】（1）按照定義計算即可；（2）先按照完全平方式及定義展開運算，求出a和b的值，再代入要求得式子求解即可；（3）按照定義計算ab及a+b的值，再利用配方法得出（a2+b2）的值；由于i2+i3+i4+i5=-1-i+1+i=0，4個一組，剩下兩項，單獨計算這兩項的和，其余每相鄰四項的和均為0，從而可得答案．9．（1）（x﹣y+1）2（2）解：令A=a+b，則原式變?yōu)锳（A﹣4）+4=A2﹣4A+4=（A﹣2）2，故（a+b）（a+b﹣4）+4=（a+b﹣2）2（3）證明：（n+1）（解析：（1）（x﹣y+1）2（2）解：令A=a+b，則原式變?yōu)锳（A﹣4）+4=A2﹣4A+4=（A﹣2）2，故（a+b）（a+b﹣4）+4=（a+b﹣2）2（3）證明：（n+1）（n+2）（n2+3n）+1=（n2+3n）[（n+1）（n+2）]+1.=（n2+3n）（n2+3n+2）+1.=（n2+3n）2+2（n2+3n）+1.=（n2+3n+1）2，∵n為正整數(shù)，∴n2+3n+1也為正整數(shù)，∴代數(shù)式（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某一個整數(shù)的平方.【解析】【分析】（1）把（x-y）看作一個整體，直接利用完全平方公式因式分解即可；(2)令A=a+b,帶入后因式分解即可將原式因式分解；(3)將原式轉(zhuǎn)化為(n2+3n)[(n+1)（n+2）]+1,進一步整理為(n2+3n+1)2,根據(jù)n為正整數(shù)，從而說明原式是整數(shù)的平方.10．（1）(12+52)(22+72)=32+372（2）解：(a2+b2)(c2+d2)=(ac+bd)2+(ad-bc)2，證明如下：

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