第六章概率全章總結(jié)提升課件高二上學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版選擇性

第六章概率本章總結(jié)提升北師大版

數(shù)學(xué)

選擇性必修第一冊(cè)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)·整合構(gòu)建專題突破·素養(yǎng)提升目錄索引

易錯(cuò)易混·銜接高考網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建·歸納整合知識(shí)網(wǎng)絡(luò)·整合構(gòu)建專題一常見(jiàn)概率類型及求法常見(jiàn)的概率問(wèn)題多為求條件概率或相互獨(dú)立事件的概率以及利用全概率公式求概率.對(duì)于一些復(fù)雜事件,我們往往需要先將該事件分解成若干個(gè)互斥事件的和,然后利用互斥事件加法公式求解,考查的核心素養(yǎng)為邏輯推理和數(shù)學(xué)建模.角度1.條件概率的應(yīng)用【例1】

[2024湖北黃岡期末]現(xiàn)有甲、乙兩名游客來(lái)某地旅游,都準(zhǔn)備從H,G,L,Y四個(gè)著名旅游景點(diǎn)中隨機(jī)選擇一個(gè)游玩,設(shè)事件A為“甲和乙至少一人選擇景點(diǎn)G”,事件B為“甲和乙選擇的景點(diǎn)不同”,則條件概率P(B|A)=(

)A解析

由題知兩名游客從4個(gè)著名旅游景點(diǎn)中各隨機(jī)選擇一個(gè)游玩,共有4×4=16(種),其中事件A的情況有4×4-3×3=7(種),事件A和事件B共同發(fā)生的情況有2×3=6(種),所以規(guī)律方法

1.關(guān)鍵:理清條件和結(jié)論,建立條件概率模型;2.注意:事件AB的含義;變式訓(xùn)練1盒中有10個(gè)零件,其中8個(gè)是合格品,2個(gè)是不合格品,不放回地抽取2次,每次抽1個(gè).已知第一次抽出的是合格品,則第二次抽出的是合格品的概率是(

)C解析

第一次抽出的是合格品,則還有9個(gè)零件,其中7個(gè)為合格品,故第二次抽出的是合格品的概率是

,故選C.角度2.互斥事件與相互獨(dú)立事件的概率【例2】

小王某天乘坐火車從重慶到上海去辦事,若當(dāng)天從重慶到上海的三列火車正點(diǎn)到達(dá)的概率分別為0.8,0.7,0.9,假設(shè)這三列火車之間是否正點(diǎn)到達(dá)互不影響.求:(1)這三列火車恰好有兩列正點(diǎn)到達(dá)的概率;(2)這三列火車至少有一列正點(diǎn)到達(dá)的概率;(3)這三列火車恰有一列火車正點(diǎn)到達(dá)的概率.解

(1)設(shè)這三列火車恰好有兩列正點(diǎn)到達(dá)的概率為p1:p1=0.8×0.7×0.1+0.8×0.3×0.9+0.2×0.7×0.9=0.398.(2)設(shè)這三列火車至少有一列正點(diǎn)到達(dá)的概率為p2:p2=1-0.2×0.3×0.1=0.994.(3)設(shè)這三列火車恰有一列火車正點(diǎn)到達(dá)的概率為p3:p3=0.8×0.3×0.1+0.2×0.7×0.1+0.2×0.3×0.9=0.092.規(guī)律方法

本題求解的關(guān)鍵是將復(fù)雜的事件分解為簡(jiǎn)單事件的和或積,這個(gè)過(guò)程體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想以及邏輯推理的核心素養(yǎng),同時(shí)通過(guò)利用概率的加法、乘法公式計(jì)算概率體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).變式訓(xùn)練2某項(xiàng)選拔共有三輪考核,每輪設(shè)有一個(gè)問(wèn)題,能正確回答問(wèn)題者進(jìn)入下一輪考核,否則即被淘汰.已知某選手能正確回答第一、二、三輪問(wèn)題的概率分別為,且各輪問(wèn)題能否正確回答互不影響,求該選手被淘汰的概率.角度3.全概率公式的應(yīng)用【例3】

甲箱的產(chǎn)品中有5個(gè)正品和3個(gè)次品,乙箱的產(chǎn)品中有4個(gè)正品和3個(gè)次品.(1)從甲箱中任取2個(gè)產(chǎn)品,求這2個(gè)產(chǎn)品都是次品的概率;(2)若從甲箱中任取2個(gè)產(chǎn)品放入乙箱中,然后再?gòu)囊蚁渲腥稳∫粋€(gè)產(chǎn)品,求取出的這個(gè)產(chǎn)品是正品的概率.(2)設(shè)事件A為“從乙箱中取出的一個(gè)產(chǎn)品是正品”,事件B1為“從甲箱中取出2個(gè)產(chǎn)品都是正品”,事件B2為“從甲箱中取出1個(gè)正品1個(gè)次品”,事件B3為“從甲箱中取出2個(gè)產(chǎn)品都是次品”,則事件B1、事件B2、事件B3彼此互斥.規(guī)律方法

通過(guò)本例我們發(fā)現(xiàn),當(dāng)不好直接求事件A發(fā)生的概率時(shí),可以采用化整為零的方式,即把事件A分解,然后借助全概率公式間接求出事件A發(fā)生的概率.變式訓(xùn)練3[2024福建三明檢測(cè)]某同學(xué)買了7個(gè)盲盒,每個(gè)盲盒中都有一個(gè)禮物,有4個(gè)裝小兔玩偶和3個(gè)裝小狗玩偶.(1)依次不放回地從中取出2個(gè)盲盒,在第一次取到小兔玩偶盲盒的條件下,第二次取到小兔玩偶盲盒的概率;(2)依次不放回地從中取出2個(gè)盲盒,求第2次取到的是小狗玩偶盲盒的概率.專題二離散型隨機(jī)變量的分布列、期望與方差【例4】

甲、乙、丙三支足球隊(duì)進(jìn)行比賽,根據(jù)規(guī)則:每支隊(duì)伍比賽兩場(chǎng),共賽三場(chǎng),每場(chǎng)比賽勝者得3分,負(fù)者得0分,沒(méi)有平局.已知乙隊(duì)勝丙隊(duì)的概率為,甲隊(duì)獲得第一名的概率為,乙隊(duì)獲得第一名的概率為

.(1)求甲隊(duì)分別勝乙隊(duì)和丙隊(duì)的概率P1,P2;(2)設(shè)在該次比賽中,甲隊(duì)得分為ξ,求ξ的分布列及其均值、方差.變式訓(xùn)練4某校辯論隊(duì)計(jì)劃在周六、周日各參加一場(chǎng)辯論賽,分別由正、副隊(duì)長(zhǎng)負(fù)責(zé),已知該校辯論隊(duì)共有10位成員(包含正、副隊(duì)長(zhǎng)),每場(chǎng)比賽除負(fù)責(zé)人外均另需3位隊(duì)員(同一隊(duì)員可同時(shí)參加兩天的比賽,正、副隊(duì)長(zhǎng)只能參加一場(chǎng)比賽).假設(shè)正、副隊(duì)長(zhǎng)分別將各自比賽的通知信息獨(dú)立、隨機(jī)地發(fā)給辯論隊(duì)8名隊(duì)員中的3位,且所發(fā)信息都能收到.(1)求辯論隊(duì)員甲收到正隊(duì)長(zhǎng)或副隊(duì)長(zhǎng)所發(fā)比賽通知信息的概率;(2)設(shè)辯論隊(duì)收到正隊(duì)長(zhǎng)或副隊(duì)長(zhǎng)所發(fā)比賽通知信息的隊(duì)員人數(shù)為X,求X的分布列及其數(shù)學(xué)期望和方差.專題三幾種重要分布本章學(xué)習(xí)的四種重要的概率分布是考試的重點(diǎn),即兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布、超幾何分布、正態(tài)分布,其中二項(xiàng)分布和超幾何分布尤為重要,并且容易混淆,必須根據(jù)問(wèn)題情境作出正確的判斷,考查的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為數(shù)學(xué)建模和邏輯推理.角度1.二項(xiàng)分布【例5】

已知某種從太空飛船中帶回來(lái)的植物種子每粒成功發(fā)芽的概率都為,某植物研究所分兩個(gè)小組分別獨(dú)立開(kāi)展該種子的發(fā)芽試驗(yàn),每次試驗(yàn)種一粒種子,如果某次沒(méi)有發(fā)芽,則稱該次試驗(yàn)是失敗的.(1)第一小組做了3次試驗(yàn),記該小組試驗(yàn)成功的次數(shù)為X,求X的分布列;(2)第二小組進(jìn)行試驗(yàn),到成功了4次為止,求在第4次成功之前共有3次失敗的概率.(2)第二小組第7次試驗(yàn)成功,前面6次試驗(yàn)中有3次失敗,3次成功,每次試驗(yàn)又是相互獨(dú)立的,因此所求概率為規(guī)律方法

解決二項(xiàng)分布問(wèn)題的步驟

變式訓(xùn)練5[2024重慶開(kāi)州月考]某種疾病的歷史資料顯示,這種疾病的自然痊愈率為20%.為試驗(yàn)一種新藥,在有關(guān)部門批準(zhǔn)后,某醫(yī)院把此藥給10個(gè)病人服用,試驗(yàn)方案為:若這10個(gè)病人中至少有5人痊愈,則認(rèn)為這種藥有效,提高了治愈率;否則認(rèn)為這種藥無(wú)效.假設(shè)每個(gè)病人是否痊愈是相互獨(dú)立的.(1)如果新藥有效,把治愈率提高到了80%,求經(jīng)試驗(yàn)認(rèn)定該藥無(wú)效的概率p;(精確到0.001,參考數(shù)據(jù):(2)根據(jù)(1)中p值的大小解釋試驗(yàn)方案是否合理.解

(1)設(shè)通過(guò)試驗(yàn)痊愈的人數(shù)為變量X,則X~B(10,0.8),所以經(jīng)試驗(yàn)認(rèn)定該藥無(wú)效的概率為(2)由題意,新藥是有效的,由(1)得經(jīng)試驗(yàn)認(rèn)定該藥無(wú)效的概率為p=0.006,為小概率事件,故試驗(yàn)方案合理.角度2.超幾何分布【例6】

[2024江蘇泰州質(zhì)檢]幸福農(nóng)場(chǎng)生產(chǎn)的某批次20件產(chǎn)品中含有n(3≤n≤13)件次品,從中一次任取10件,其中次品恰有X件.(1)若n=3,求取出的產(chǎn)品中次品不超過(guò)1件的概率;(2)記f(n)=P(X=3),則當(dāng)n為何值時(shí),f(n)取得最大值.解

(1)記“取出的產(chǎn)品中次品不超過(guò)1件”為事件A,則P(A)=P(X=0)+P(X=1)則n(14-n)>(n-3)(21-n),解得n<6.3.故當(dāng)n<6.3時(shí),f(n)>f(n-1);當(dāng)n>6.3時(shí),f(n)<f(n-1).故當(dāng)n=6時(shí),f(n)取得最大值.規(guī)律方法

1.在超幾何分布中,隨機(jī)變量X取每個(gè)值的概率是用古典概型計(jì)算的,明確每一個(gè)事件的意義是正確解答此類問(wèn)題的關(guān)鍵.2.超幾何分布具有廣泛的應(yīng)用,它可以用來(lái)描述產(chǎn)品抽樣中的次品數(shù)的分布規(guī)律,也可用來(lái)研究我們熟悉的抽獎(jiǎng)或摸球游戲中的某些概率問(wèn)題.在其概率的表達(dá)式中,各個(gè)字母的含義在不同的背景下會(huì)有所不同.變式訓(xùn)練6盒內(nèi)有大小相同的9個(gè)球,其中2個(gè)紅色球、3個(gè)白色球、4個(gè)黑色球.規(guī)定取出1個(gè)紅色球得1分,取出1個(gè)白色球得0分,取出1個(gè)黑色球得-1分.現(xiàn)從盒內(nèi)任取3個(gè)球.(1)求取出的3個(gè)球中至少有一個(gè)紅色球的概率;(2)求取出的3個(gè)球得分之和恰為1分的概率;(3)設(shè)ξ為取出的3個(gè)球中白色球的個(gè)數(shù),求ξ的分布列.角度3.正態(tài)分布【例7】

某學(xué)校高三2500名學(xué)生第二次模擬考試總成績(jī)服從正態(tài)分布X~N(500,502),請(qǐng)估計(jì)考生成績(jī)(單位:分)X在區(qū)間(550,600]的人數(shù).規(guī)律方法

正態(tài)分布的概率通常有以下兩種解法:(1)“3σ原則”的應(yīng)用.記住正態(tài)總體在三個(gè)區(qū)間內(nèi)取值的概率.(2)注意數(shù)形結(jié)合.由于正態(tài)分布密度曲線具有完美的對(duì)稱性,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的重要思想,因此可以運(yùn)用對(duì)稱性結(jié)合圖象解決某一區(qū)間內(nèi)的概率問(wèn)題.變式訓(xùn)練7[2024山東濟(jì)寧檢測(cè)]某校數(shù)學(xué)組老師為了解學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)整體發(fā)展水平,組織本校8000名學(xué)生進(jìn)行針對(duì)性檢測(cè)(檢測(cè)分為初試和復(fù)試),并隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的初試成績(jī),繪制了頻率分布直方圖,如圖所示.(1)根據(jù)頻率分布直方圖,求樣本平均數(shù)的估計(jì)值;(2)若所有學(xué)生的初試成績(jī)X近似服從正態(tài)分布N(μ,σ2),其中μ為樣本平均數(shù)的估計(jì)值,σ≈14.初試成績(jī)不低于90分的學(xué)生才能參加復(fù)試,試估計(jì)能參加復(fù)試的人數(shù).(附:若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(μ,σ2),則P(μ-σ<X≤μ+σ)≈0.6826,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈0.9544,P(μ-3σ<X≤μ+3σ)≈0.9974.)解

樣本平均數(shù)的估計(jì)值為

,則

=10×(40×0.01+50×0.02+60×0.03+70×0.024+80×0.012+90×0.004)=62,所以樣本平均數(shù)的估計(jì)值為62.(2)因?yàn)閷W(xué)生的初試成績(jī)X近似服從正態(tài)分布N(μ,σ2),其中μ=62,σ≈14,所以μ+2σ≈62+2×14=90.所以P(x≥90)=P(x≥μ+2σ)≈×(1-0.954

4)=0.022

8.所以估計(jì)能參加復(fù)試的人數(shù)約為0.022

8×8

000≈182.易錯(cuò)易混·銜接高考12345671.[2024浙江嘉興檢測(cè)]下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是(

)A.已知隨機(jī)變量X~B(6,),則D(2X-1)=6B.已知隨機(jī)變量ξ~N(μ,σ2),若函數(shù)f(x)=P(x-1<ξ<x+1)為偶函數(shù),則μ=0C.數(shù)據(jù)1,3,4,5,7,8,10的第80百分位數(shù)是8D解析

對(duì)于A,D(2X-1)=22D(X)=4×6=6,A正確;對(duì)于B,由函數(shù)f(x)=P(x-1<ξ<x+1)為偶函數(shù),則f(-x)=f(x),所以P(-x-1<ξ<-x+1)=P(x-1<ξ<x+1),區(qū)間(-x-1,-x+1),(x-1,x+1)關(guān)于x=μ對(duì)稱,則μ=0,B正確;對(duì)于C,7×0.8=5.6,所以數(shù)據(jù)1,3,4,5,7,8,10的第80百分位數(shù)是第六個(gè)數(shù)據(jù)8,C正確;對(duì)于D,由按分層隨機(jī)抽樣樣本方差的計(jì)算公式可知選項(xiàng)缺少平均數(shù)的相關(guān)數(shù)據(jù),D錯(cuò)誤.故選D.123456712345672.(多選題)[2024陜西西安期末]設(shè)隨機(jī)變量,則下列說(shuō)法正確的是(

)A.X,Y服從正態(tài)分布B.P(X>6)=C.EX<EY,DX=DYD.當(dāng)且僅當(dāng)k=5時(shí),P(Y=k)取最大值BC123456712345673.[2024山西大同月考]一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在隨機(jī)外力的作用下,從原點(diǎn)O出發(fā),每隔1s等可能地向左或向右移動(dòng)一個(gè)單位,共移動(dòng)8次.移動(dòng)后,事件“質(zhì)點(diǎn)位于原點(diǎn)O”的概率為

;事件“質(zhì)點(diǎn)位于4的位置”的概率為

.

123456712345674.[2024山東煙臺(tái)檢測(cè)]假設(shè)某市場(chǎng)供應(yīng)的燈泡中,甲廠產(chǎn)品占60%,乙廠產(chǎn)品占40%,甲廠產(chǎn)品的合格率是90%,乙廠產(chǎn)品的合格率是80%,在該市場(chǎng)中隨機(jī)購(gòu)買一個(gè)燈泡,是合格品的概率為

;如果買到的燈泡是合格品,那么它是甲廠產(chǎn)品的概率為

.

0.86

0.63

解析

設(shè)A為甲廠產(chǎn)品,B為乙廠產(chǎn)品,C表示合格產(chǎn)品,則P(A)=0.6,P(B)=0.4,P(C|A)=0.9,P(C|B)=0.8,所以P(C)=P(A)·P(C|A)+P(B)·P(C|B)=0.6×0.9+0.4×0.8=0.86,燈泡是甲廠生產(chǎn)的概率為60%×90%=0.54,所以12345675.[2024四川內(nèi)江月考]某汽車公司最近研發(fā)了一款新能源汽車,并在出廠前對(duì)100輛汽車進(jìn)行了單次最大續(xù)航里程的測(cè)試.現(xiàn)對(duì)測(cè)試數(shù)據(jù)進(jìn)行分析,得到如圖所示的頻率分布直方圖,根據(jù)大量的測(cè)試數(shù)據(jù),可以認(rèn)為這款汽車的單次最大續(xù)航里程X近似地服從正態(tài)分布N(μ,σ2),用樣本平均數(shù)

和標(biāo)準(zhǔn)差s分別作為μ,σ的近似值,其中樣本標(biāo)準(zhǔn)差s的近似值為50,現(xiàn)任取一輛汽車,則它的單次最大續(xù)航里程X∈[250,400]的概率為

.(參考數(shù)據(jù):若隨機(jī)變量X~N(μ,σ2),則P(μ-σ<X≤μ+σ)≈0.6826,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈0.9544,P(μ-3σ<X≤μ+3σ)≈0.9974)

0.8185

123456712345676.[2023全國(guó)高考新課標(biāo)Ⅱ卷,19]某研究小組經(jīng)過(guò)研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差異,經(jīng)過(guò)大量調(diào)查,得到如下的患病者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布直方圖:1234567利用該指標(biāo)制定一個(gè)檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn),需要確定臨界值c,將該指標(biāo)大于c的人判定為陽(yáng)性,小于或等于c的人判定為陰性.此檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率,記為p(c);誤診率是將未患病者判定為陽(yáng)性的概率,記為q(c).假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布.以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.(1)當(dāng)漏診率p(c)=0.5%時(shí),求臨界值c和誤診率q(c);(2)設(shè)函數(shù)f(c)=p(c)+q(c).當(dāng)c∈[95,105]時(shí),求f(c)的解析式,并求f(c)在區(qū)間[95,105]的最小值.1234567解

(1)當(dāng)p(c)=0.5%時(shí),由患病者頻率分布直方圖可得第一個(gè)小矩形面積為0.002×5=0.01,∴c==97.5.由未患病者頻率分布直方圖可得q(c)=0.01×(100-97.5)+0.002×5=0.035.(2)當(dāng)c∈[95,100)時(shí),p(c)=(c-95)×0.002,q(c)=(100-c)×0.01+0.01,∴