4.2.2等差數(shù)列的前n項和公式（第2課時等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)及應(yīng)用）課件高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

第四章數(shù)列

等差數(shù)列的前n項和公式第2課時等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)及應(yīng)用人教A版

數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊課程標(biāo)準1.掌握等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)及其應(yīng)用.2.掌握等差數(shù)列前n項和的最值的求法.3.掌握等差數(shù)列各項絕對值的和的求法.基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過關(guān)知識點1等差數(shù)列前n項和的函數(shù)特征等差數(shù)列的前n項和公式轉(zhuǎn)移到二次函數(shù)的過程當(dāng)d≠0時,Sn是關(guān)于n的二次函數(shù)Sn=na1+,整理得Sn=,所以Sn可以看成y=

當(dāng)x=n(n∈N*)時的函數(shù)值等差數(shù)列的前n項和公式與二次函數(shù)的關(guān)系令A(yù)=,B=a1-,則Sn=An2+Bn.①當(dāng)A=0,B=0(即d=0,a1=0)時,Sn=0是關(guān)于n的常函數(shù),{an}是各項為0的常數(shù)列.②當(dāng)A=0,B≠0(即d=0,a1≠0)時,Sn=Bn是關(guān)于n的正比例函數(shù),{an}為各項非零的常數(shù)列.③當(dāng)A≠0(即d≠0)時,Sn=An2+Bn是關(guān)于n的二次函數(shù)(常數(shù)項為0)名師點睛(1)若a1<0,d>0,則數(shù)列的前面若干項為負數(shù)(或0),所以將這些項相加即得Sn的最小值.(2)若a1>0,d<0,則數(shù)列的前面若干項為正數(shù)(或0),所以將這些項相加即得Sn的最大值.(3)特別地,若an>0,d>0,則S1是{Sn}的最小項;若an<0,d<0,則S1是{Sn}的最大項.思考辨析已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且Sn=2n2-11n,當(dāng)n取何值時Sn取得最小值?提示

Sn可看作關(guān)于n的二次函數(shù),函數(shù)圖象的對稱軸方程為n=,又因為n∈N*,所以當(dāng)n=3時,Sn取得最小值.自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)等差數(shù)列{an}的前n項和Sn是關(guān)于n的二次函數(shù).(

)(2)等差數(shù)列的前n項和Sn取得最大或最小值時的n不一定唯一.(

)(3)若等差數(shù)列{an}的公差d>0,則{an}的前n項和一定有最小值.(

)(4)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且Sp=Sq(p,q∈N*),則Sn在

處取得最大值或最小值.(

)×√√×2.[人教B版教材習(xí)題]等差數(shù)列14,11,8,…前多少項的和最大?為什么?提示因為前5項均是正數(shù),從第6項開始為負數(shù),所以前5項的和最大.也可以用求二次函數(shù)的最值的方法解決.知識點2等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)2.設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,Sn為其前n項和,則Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…仍構(gòu)成等差數(shù)列,且公差為m2d.3.設(shè)兩個等差數(shù)列{an},{bn}的前n項和分別為Sn,Tn,則思考辨析已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,那么S2m-Sm是哪些項的和,共有多少項?提示

S2m-Sm=am+1+am+2+…+a2m-1+a2m,共有m項.自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)等差數(shù)列{an}的前n項和

.(

)(2)若等差數(shù)列的項數(shù)為偶數(shù),則偶數(shù)項的和等于奇數(shù)項的和.(

)(3)設(shè)兩個等差數(shù)列{an},{bn}的前n項和分別為Sn,Tn,則√××2.已知某等差數(shù)列共有10項,其奇數(shù)項之和為15,偶數(shù)項之和為30,則其公差為(

)A.5 B.4

C.3

D.2C解析

設(shè)等差數(shù)列的公差為d,由題意,得S偶-S奇=30-15=5d,解得d=3.3.在等差數(shù)列{an}中,其前n項和為Sn,S2=4,S4=9,則S6=

.

15解析

∵S2,S4-S2,S6-S4成等差數(shù)列,∴4+(S6-9)=2×5,解得S6=15.重難探究·能力素養(yǎng)速提升重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點一等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)及其應(yīng)用【例1】

(1)等差數(shù)列{an}的前m項和為30,前2m項和為100,則數(shù)列{an}的前3m項的和S3m為

.

210解析

(方法1)在等差數(shù)列中,∵Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差數(shù)列,∴30,70,S3m-100成等差數(shù)列.∴2×70=30+(S3m-100),∴S3m=210.-18規(guī)律方法

利用等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)簡化計算(1)在解決等差數(shù)列相關(guān)問題時,先利用已知條件求出a1,d,再求所求,是基本解法(有時運算量大些).(2)如果利用等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)或利用等差數(shù)列通項公式的性質(zhì),可簡化運算,為最優(yōu)解法.(3)設(shè)而不求,整體代換也是很好的解題方法.A解析

在等差數(shù)列{an}中,S7,S14-S7,S21-S14成等差數(shù)列,即2(S14-S7)=S7+(S21-S14),設(shè)S7=m(m≠0),則由題意得S14=7m,于是12m=m+(S21-7m),解得S21=18m,(2)在等差數(shù)列{an}中,a1=-2024,其前n項和為Sn,若

=2,則S2024=(

)A.2023 B.-2023 C.-2024 D.2024C(3)[2024北京高二月考]等差數(shù)列{an}中,a5-a3=a7-10,則{an}的前9項和為

.

90解析

因為a5-a3=a7-10,所以a5+10=a7+a3,又因為在等差數(shù)列{an}中,a7+a3=2a5,所以a5+10=2a5,即a5=10,所以(4)一個等差數(shù)列的前10項和為100,前100項和為10,則前110項之和為

.

-110解析

(方法1)設(shè)Sn=an2+bn.∵S10=100,S100=10,探究點二等差數(shù)列前n項和的最值問題【例2】

在等差數(shù)列{an}中,Sn為前n項和,且a1=25,S17=S9,請問數(shù)列{an}前多少項和最大?(方法3)∵S17=S9,∴a10+a11+…+a17=0.∴a10+a17=a11+a16=…=a13+a14=0.∵a1=25>0,∴當(dāng)n≤13時,an>0;當(dāng)n≥14時,an<0.∴S13最大.規(guī)律方法

一般地,在等差數(shù)列{an}中,若a1>0,d<0,則其前n項和Sn有最大值;若a1<0,d>0,則其前n項和Sn有最小值,具體求解方法如下:(2)利用等差數(shù)列的性質(zhì),找出數(shù)列{an}中正、負項的分界項.當(dāng)a1>0,d<0時,前n項和Sn有最大值,可由an≥0且an+1≤0,求得n的值;當(dāng)a1<0,d>0時,前n項和Sn有最小值,可由an≤0且an+1≥0,求得n的值.變式訓(xùn)練2[2024甘肅金昌高二期中]已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a4=-2,S10=25.(1)求數(shù)列{an}的通項公式;(2)求Sn的最小值及取得最小值時n的值.解

(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,由a4=-2,S10=25,得a1+3d=-2,10a1+d=25,解得a1=-11,d=3,所以an=a1+(n-1)d=3n-14.(2)(方法1)由d=3知{an}是遞增數(shù)列,當(dāng)n≤4時,an<0;當(dāng)n≥5時,an>0.所以S1>S2>S3>S4<S5<…,又n∈N*,所以當(dāng)n=4時,Sn最小,最小值為-26.探究點三

求數(shù)列{|an|}的前n項和問題

【例3】

已知數(shù)列{an}的前n項和,求數(shù)列{|an|}的前n項和Tn.分析先求出通項an,再確定數(shù)列中項的正負,去掉絕對值號,利用Sn求解.變式探究(變條件)在本例中,若將條件改為“等差數(shù)列{an}的通項公式為an=3n-23”,求數(shù)列{|an|}的前n項和Tn.規(guī)律方法

已知等差數(shù)列{an},求{|an|}的前n項和的步驟(1)確定通項公式an;(2)根據(jù)通項公式確定數(shù)列{an}中項的符號,即判斷數(shù)列{an}是先負后正,還是先正后負;(3)去掉數(shù)列{|an|}中各項的絕對值,轉(zhuǎn)化為{an}的前n項和求解,轉(zhuǎn)化過程中有時需添加一部分項,以直接利用數(shù)列{an}的前n項和公式;(4)將{|an|}的前n項和寫成分段函數(shù)的形式.本節(jié)要點歸納1.知識清單:(1)等差數(shù)列前n項和性質(zhì)的應(yīng)用.(2)等差數(shù)列前n項和的最值問題.(3)等差數(shù)列中的絕對值求和問題.2.方法歸納:公式法、構(gòu)造法、函數(shù)法、整體代換法.3.常見誤區(qū):(1)等差數(shù)列前n項和性質(zhì)應(yīng)用的前提是等差數(shù)列;(2)易混淆項數(shù)為奇數(shù)與奇數(shù)項等概念.重難探究·能力素養(yǎng)速提升學(xué)以致用·隨堂檢測促達標(biāo)1234561.[2024黑龍江牡丹江高二期末]在等差數(shù)列{an}中,已知S6=10,S12=30,則S18=(

)A.90 B.40

C.50

D.60D解析

因為{an}為等差數(shù)列,所以S6,S12-S6,S18-S12成等差數(shù)列,因為S6=10,S12-S6=20,故S18-S12=2(S12-S6)-S6=30,所以S18=30+30=60.故選D.1234562.已知數(shù)列{an}滿足an=26-2n,則使其前n項和Sn取最大值的n的值為(

)A.11或12 B.12C.13 D.12或13D1234561234564.已知數(shù)列{