13.3.1等腰三角形 課件2024-2025學(xué)年人教版數(shù)學(xué)八年級上冊_第1頁
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文檔簡介

13.3.1等腰三角形我們知道,由等腰三角形的定義,可以判斷一個三角形是否為等腰三角形,即如果給定的三角形有兩條邊相等,就說這個三角形是等腰三角形.還有沒有別的判定方法呢?我們知道,等腰三角形的兩底角相等.反過來,在一個三角形中,如果有兩個角相等,那么它是等腰三角形嗎?知識回顧操作探究:在半透明紙上畫一線段BC,然后以BC為始邊,分別以點(diǎn)B和點(diǎn)C為頂點(diǎn),畫兩個相等的角(使用量角器),如下圖所示,兩角終邊的交點(diǎn)為點(diǎn)A,那么,在△ABC中,∠B=∠C.用刻度尺找出邊BC的中點(diǎn)D,連接AD,然后沿AD對折,觀察邊AB與AC能否重合?操作探究邊AB與AC是完全重合的,即AB=AC.結(jié)論:如果一個三角形有兩個角相等,那么這兩個角所對的邊也相等.結(jié)論:如果一個三角形有兩個角相等,那么這兩個角所對的邊也相等.探究證明你能從理論上證明這個結(jié)論嗎?已知:如圖,在△ABC中,∠B=∠C.求證:△ABC是等腰三角形.證明:如圖,過點(diǎn)A作邊BC上的高線AD.則∠ADC=∠ADB=90°.∵在△ABD和△ACD中,∴△ABD≌△ACD(AAS).∴AB=AC.即△ABC是等腰三角形.D等腰三角形的判定定理:

如果一個三角形有兩個角相等,那么這兩個角所對的邊也相等(簡稱“等角對等邊”).典型例題例1在△ABC中,已知∠A=40°,∠B=70°.

判斷△ABC是什么三角形,為什么?提示:要判定一個三角形是否為等腰三角形,可以用兩邊相等,也可以用兩角相等進(jìn)行判斷.本題給出的條件都是角的大小,因此我們可以運(yùn)用是否有兩角相等進(jìn)行判斷.解:∵∠A+∠B+∠C=180°,∴∠C=180-∠A-∠B=180°-40°-70°=70°.∵∠B=70°,∴∠C=∠B.∴△ABC是等腰三角形(等角對等邊).解:本題共有兩種情況.第一種情況:過點(diǎn)P作PD∥OB交OC于點(diǎn)D.∵OC平分∠AOB,∴∠AOC=∠BOC.∵DP∥OB,∴∠PDO=∠BOC.∴∠AOC=∠PDO.∴OP=PD.∴△OPD為等腰三角形.例2如圖,OC是∠AOB的平分線,P為OA上一點(diǎn),請過P點(diǎn)添加條平行線,構(gòu)造出等腰三角形.提示:經(jīng)過直線外一點(diǎn),有且只有一條直線已知直線平行.所以,過P點(diǎn)可以分別作OB和OC的平行線.如圖所示.例2如圖,OC是∠AOB的平分線,P為OA上一點(diǎn),請過P點(diǎn)添加條平行線,構(gòu)造出等腰三角形.提示:經(jīng)過直線外一點(diǎn),有且只有一條直線已知直線平行.所以,過P點(diǎn)可以分別作OB和OC的平行線.如圖所示.解:

第二種情況:過點(diǎn)P作PE∥OC交OB的反向延長線于點(diǎn)E.∵PE∥OC,∴∠EPO=∠AOC.∴∠E=∠BOC.∵OC平分∠AOB,∴∠AOC=∠BOC.∴∠EPO=∠E.∴OP=OE.∴△OPE是等腰三角形.這兩個圖形是關(guān)于角平分線、平行線、等腰三角形的一個基本圖形,通過探究,我們發(fā)現(xiàn)上述例題將結(jié)論和條件之一互換,結(jié)論還成立,即等腰三角形中,角平分線和平行線往往同時出現(xiàn).且滿足我們常說的“知二推一”,上述圖形是基本圖形,要認(rèn)真領(lǐng)會.探究發(fā)現(xiàn)探究1:如圖,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分線交于點(diǎn)O.(1)圖中有幾個等腰三角形?(2)若過O點(diǎn)作DE∥BC,分別交AB,AC于D,E兩點(diǎn),則圖中有幾個等腰三角形?說明理由.兩個等腰三角形:△ABC和△OBC.等腰三角形:△ABC,△OBC,△ADE,△BCD,△COE.探究發(fā)現(xiàn)探究2:如圖,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分線交于點(diǎn)O.(1)若過O點(diǎn)作DE∥BC,分別交AB,AC于點(diǎn)D,E,則圖中有幾個等腰三角形?說明理由.(2)探究DE,BD,CE之間滿足的等量關(guān)系.△BOD和△COE是等腰三角形,所以BD=OD,CE=OE.則DE=OD+OE=BD+CE.探究發(fā)現(xiàn)探究3:如圖,在△ABC中,∠ABC和外角∠ACP的平分線交于點(diǎn)O,過點(diǎn)O作OD∥BC,交AB于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)E.探究DE,BD,CE之間滿足的等量關(guān)系.在圖1中,OB平分∠ABC,OD∥BC,則有∠1=∠2=∠3.所以BD=OD.在圖2中,OC平分∠ACP,OE∥PC,則有∠4=∠5=∠O.所以EO=EC.在圖3中,BD=OD,EO=EC,而OD=DE+OE,所以DE,BD,CE之間滿足的等量關(guān)系為BD=DE+CE.例3已知:如圖,AB=AD,∠ABC=∠ADC,點(diǎn)E為BD的中點(diǎn).求證:CE平分∠BCD.證明:∵AB=AD,∴∠ADB=∠ABD(等邊對等角).∵∠ADC=∠ABC,∴∠ADC-∠ADB=∠ABC-∠ABD.即∠BDC=∠DBC.∴BC=DC(等角對等邊).∵E點(diǎn)為BD的中點(diǎn),∴CE平分∠BCD(三線合一).例4已知:如圖,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D.求證:點(diǎn)D在AB的垂直平分線上.證明:∵∠C=90°,∠A=30°(已知),∴∠ABC=60°(三角形的內(nèi)角和為180°).∵BD平分∠ABC(已知),∴∠DBA=∠ABC=30°(角平分線的定義).∴∠DBA=∠A.∴BD=AD(等角對等邊).∴點(diǎn)D在AB的垂直平分線上(垂直平分線的判定定理).例5已知:如圖,在△ABC中,∠A=100°,AB=AC,BD是角平分線.求證:BC=AD+BD.證明一:如圖,在BC上截取BE=BD,BF=AB,連接DE,DF.證明二:如圖,延長BD至E,使得BE=BC,在BC上截取BF=AB,連接CE,DF.還有其他方法嗎?深入探究通過對等腰三角形的學(xué)習(xí),我們知道了相等的邊所對的角相等,相等的角所對的邊也相等.那么不相等的邊(或角)所對的角(或邊)之間的大小關(guān)系怎樣呢?大邊所對的角也大嗎?請你畫出幾個不同的三角形探索一下.下面我們把這兩個命題證明一下.首先看命題:大邊對大角.已知:如圖,在△ABC中,AB>AC.求證:∠ACB>∠ABC.證明:在大邊AB上截取AD=AC,連接CD,那么△ACD為等腰三角形.∴∠ACD=∠ADC(等邊對等角).∵∠ADC是△BCD的外角,∴∠ADC>∠ABC.∵∠ACB>∠ACD,∴∠ACB>∠ABC.還有其他方法嗎?再看另一個命題:大角對大邊.已知:如圖,在△ABC中,∠ACB>∠ABC.求證:AB>AC.證明:在∠ACB內(nèi)部截取∠DCB,使得∠DCB=∠ABC,且點(diǎn)D在邊AB上.∵∠DCB=∠ABC,∴DC=DB(等角對等邊).∵AB=AD+DB,∴AB=AD+DC.又∵在△ADC中,AD+DC>AC(兩邊之和大于第三邊),∴AB>AC.請大家回顧本節(jié)課的內(nèi)容,總結(jié)梳理:1.等腰三角形的判定方法有哪幾種?2.結(jié)合本節(jié)課的學(xué)習(xí),談?wù)劦妊切蔚男再|(zhì)和判定的區(qū)別和聯(lián)系.總結(jié)提升達(dá)標(biāo)檢測1.如圖,AB=AC,∠A=36°,BD平分∠ABC,圖中除BC外,與BC相等的線段分別是____________.2.如圖,在△ABC中,AC+BC=24,AO,BO分別是∠BAC,∠ABC的平分線,MN過O點(diǎn),且MN∥BA,分別交AC于點(diǎn)N,交BC于點(diǎn)M.則△CMN的周長為__________.3.如圖,已知BD是△ABC的角平分線,DE∥BC交AB于點(diǎn)E.求證:△BED是等腰三角形.4.如圖,在△ABC內(nèi),∠B

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