12.5 因式分解的綜合應用 課件 2024-2025學年華東師大版八年級數(shù)學上冊

微專題2題型應用因式分解的綜合應用類型一因式分解的三種方法及應用1.用分組分解法分解因式一般適用于四項式以及超過四項的因式,恰當?shù)姆纸M是關鍵,一般分成“2+2”式或者“3+1”式.如:x2-2xy+y2-4=(x2-2xy+y2)-4=(x-y)2-4=(x-y+2)(x-y-2).2.用拆項法分解因式適用于三項以及三項以上的式子.拆項的目的是使多項式能夠進行分組從而進行因式分解.首先考慮項數(shù)比較多的完全平方公式.如:x2+2x-3=x2+2x+1-4=(x+1)2-4=(x+3)(x-1).3.十字相乘法用于二次三項式的分解因式時,初中階段只研究二次項系數(shù)為1的二次三項式,其公式為x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q),這個方法的關鍵是把常數(shù)項pq分解成兩個因數(shù)p,q的積,并使p+q正好等于一次項的系數(shù).如:x2+x-2=x2+(2-1)x+(-1)×2=(x+2)(x-1).針對訓練1.用分組分解法將x2-xy+2y-2x分解因式,下列分組不恰當?shù)氖?)A.(x2-2x)+(2y-xy) B.(x2-xy)+(2y-2x)C.(x2+2y)+(-xy-2x) D.(x2-2x)-(xy-2y)C2.用分組分解法分解因式:x2-10x+25-y2.【解析】x2-10x+25-y2=(x2-10x+25)-y2=(x-5)2-y2=(x-5+y)(x-5-y).3.利用拆項法,分解因式:x2-6x-7.【解析】x2-6x-7=x2-6x+9-16=(x-3)2-42=(x-3+4)(x-3-4)=(x+1)(x-7).4.用十字相乘法分解因式:(1)a2-6a-16.【解析】(1)a2-6a-16=a2+(-8+2)a+(-8)×2=(a-8)(a+2).(2)(x+1)(x-2)-4.【解析】(2)(x+1)(x-2)-4=x2-2x+x-2-4=x2-x-6=(x-3)(x+2).類型二簡便運算用因式分解進行簡便計算的策略1.觀察式子,若是兩個數(shù)都臨近某個數(shù),一般考慮用平方差公式進行計算,若是三項式一般考慮用完全平方公式進行計算.2.若多個數(shù)相乘,則需進行因式分解后再觀察式子的特點并轉化為實數(shù)的計算技巧進行運算.

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8.計算:(2+1)×(22+1)×(24+1)×…×(2128+1)+1.【解析】原式=(2-1)(2+1)×(22+1)×(24+1)×…×(2128+1)+1=(22-1)×(22+1)×(24+1)×…×(2128+1)+1=(24-1)×(24+1)×…×(2128+1)+1=2256-1+1=2256.類型三整體代入求值1.分析給出的代數(shù)式的值的特點;2.把給出的代數(shù)式分解因式;3.若分解出的式子正好符合給出的多項式的值,則直接代入求值;若不符合,則把給出的多項式的值進行變形再代入求值.針對訓練9.已知m+2n=3,m-2n=1,則代數(shù)式16m2n2-(m2+4n2)2的值為()A.8 B.-8 C.9 D.-910.若m3+m-1=0,則m4+m3+m2-2=_______.

11.(2024·資陽期中)已知2x-y-3=0,則4x2-y2-6y=_______.

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12.(2024·南陽期中)同學們知道數(shù)學中的整體思想嗎?在解決某些問題時,常常需要運用整體的方式對問題進行處理,如:整體思考、整體變形、把一個式子看作整體等,這樣可以使問題簡化并迅速求解.試運用整體的數(shù)學思想方法解決下列問題:(1)把下列各式分解因式:①(1-x)-x(1-x);②(a+b)2+2(a+b)+1;【解析】(1)①原式=(1-x)(1-x)=(1-x)2;②原式=(a+b+1)2;

12類型四說理應用用因式分解的知識解決論證類問題的一般過程1.分析題意,寫成整式的運算形式;2.觀察寫出的式子,用哪種方法進行因式分解;3.因式分解得出結論.針對訓練13.當m為自然數(shù)時,(4m+5)2-9一定能被下列哪個數(shù)整除()A.5 B.6 C.7 D.8D14.(2024·涼山州期末)已知a,b,c為三角形的三邊,且滿足a2+b2+c2-ab-bc-ac=0,試說明該三角形是等邊三角形.【解析】∵a2+b2+c2-ab-bc-ac=0,∴2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc=0,∴(a2-2ab+b2)+(b2-2bc+c2)+(c