2025年高考科學(xué)復(fù)習(xí)創(chuàng)新方案數(shù)學(xué)提升版第一章含答案

2025年高考科學(xué)復(fù)習(xí)創(chuàng)新方案數(shù)學(xué)提升版第一章第1講集合[課程標(biāo)準(zhǔn)]1.了解集合的含義，理解元素與集合的屬于關(guān)系，能夠在自然語言和圖形語言的基礎(chǔ)上，用符號語言刻畫集合，了解全集與空集的含義.2.理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集.3.理解兩個集合的并集與交集的含義，能求兩個集合的并集與交集，理解在給定集合中一個子集的補集的含義，能求給定子集的補集，能使用Venn圖表達集合的基本關(guān)系與基本運算，體會圖形對理解抽象概念的作用．1．集合的概念(1)集合中元素的三個特征：eq\x(\s\up1(01))確定性、eq\x(\s\up1(02))互異性、eq\x(\s\up1(03))無序性．(2)元素與集合的關(guān)系是eq\x(\s\up1(04))屬于或eq\x(\s\up1(05))不屬于兩種，用符號eq\x(\s\up1(06))∈或eq\x(\s\up1(07))?表示．(3)集合的表示法：eq\x(\s\up1(08))列舉法、eq\x(\s\up1(09))描述法、eq\x(\s\up1(10))圖示法．(4)常見數(shù)集的記法集合自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集符號eq\x(\s\up1(11))Neq\x(\s\up1(12))N*(或N＋)eq\x(\s\up1(13))Zeq\x(\s\up1(14))Qeq\x(\s\up1(15))R2.集合間的基本關(guān)系表示關(guān)系文字語言符號語言相等構(gòu)成兩個集合的元素是eq\x(\s\up1(16))一樣的eq\x(\s\up1(17))A?B且eq\x(\s\up1(18))B?A?A＝B子集集合A中任意一個元素都是集合B中的元素eq\x(\s\up1(19))A?B或B?A真子集集合A是集合B的子集，但存在元素x∈B，且x?Aeq\x(\s\up1(20))AB或BA結(jié)論任何一個集合是它本身的子集A?A若A是B的子集，B是C的子集，則A是C的子集A?B，B?C?eq\x(\s\up1(21))A?C空集是eq\x(\s\up1(22))任何集合的子集，是eq\x(\s\up1(23))任何非空集合的真子集??A?B(B≠?)3．集合的基本運算并集交集補集圖形符號A∪B＝eq\x(\s\up1(24)){x|x∈A，或x∈B}A∩B＝eq\x(\s\up1(25)){x|x∈A，且x∈B}eq\a\vs4\al(?UA)＝eq\x(\s\up1(26)){x|x∈U，且x?A}4.集合的運算性質(zhì)(1)并集的性質(zhì)：(A∪B)?A；(A∪B)?B；A∪A＝A；A∪?＝A；A∪B＝B∪A.(2)交集的性質(zhì)：(A∩B)?A；(A∩B)?B；A∩A＝A；A∩?＝?；A∩B＝B∩A.(3)補集的性質(zhì)：?U(?UA)＝A；?UU＝?；?U?＝U；A∩(?UA)＝?；A∪(?UA)＝U.1．交集與并集的轉(zhuǎn)化(?UA)∩(?UB)＝?U(A∪B)，(?UA)∪(?UB)＝?U(A∩B)．2．子集個數(shù)若有限集A中有n個元素，則集合A的子集個數(shù)為2n，真子集的個數(shù)為2n－1，非空真子集的個數(shù)為2n－2.3．元素個數(shù)用card(A)表示有限集合A中元素的個數(shù)．對任意兩個有限集合A，B，有card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)．1．(2023·銀川模擬)下列五個式子：①a?{a}；②??{a}；③{a}∈{a，b}；④{a}?{a}；⑤a∈{b，c，a}中，正確的是()A．②④⑤ B．②③④⑤C．②④ D．①⑤答案A解析①錯誤，應(yīng)改為a∈{a}；②正確；③錯誤，應(yīng)改為{a}{a，b}；④正確；⑤正確．2．(2024·重慶月考)已知集合A＝{x|x2<2，x∈Z}，則A的真子集的個數(shù)為()A．3 B．4C．6 D．7答案D解析因為A＝{x|x2<2，x∈Z}＝{－1，0，1}，所以其真子集的個數(shù)為23－1＝7.故選D.3．(人教A必修第一冊習(xí)題1.2T5(1)改編)設(shè)集合M＝{5，x2}，N＝{5x，5}，若M＝N，則實數(shù)x的值組成的集合為()A．{5} B．{1}C．{0，5} D．{0，1}答案C解析因為M＝N，所以x2＝5x，解得x＝0或5，所以實數(shù)x的值組成的集合為{0，5}．故選C.4．已知集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|x>0}，則(?RA)∩(?RB)＝________．答案{x|x≤－1}解析因為A∪B＝{x|x>－1}，所以(?RA)∩(?RB)＝?R(A∪B)＝{x|x≤－1}．5．(人教B必修第一冊習(xí)題1－1BT6改編)已知A＝[－2，1]，B＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(p,3)))，且B?RA，則實數(shù)p的取值范圍是________．答案[6，＋∞)解析因為A＝[－2，1]，所以?RA＝(－∞，－2)∪(1，＋∞)，又因為B＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(p,3)))，且B?RA，所以－eq\f(p,3)≤－2，解得p≥6，所以實數(shù)p的取值范圍是[6，＋∞)．考向一集合的含義及表示例1(1)(2023·秦皇島模擬)已知集合A＝{1，2，3}，則B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，|x－y|∈A}中所含元素的個數(shù)為()A．2 B．4C．6 D．8答案C解析因為A＝{1，2，3}，根據(jù)x∈A，y∈A，|x－y|∈A可知，B＝{(2，1)，(3，1)，(3，2)，(1，2)，(1，3)，(2，3)}，B中含有6個元素．故選C.(2)已知集合A＝{y|y＝x2＋1}，B＝{(x，y)|y＝x2＋1}(A，B中x∈R，y∈R)，則下列結(jié)論中元素與集合的關(guān)系正確的是()A．2∈A，且2∈B B．(1，2)∈A，且(1，2)∈BC．2∈A，且(3，10)∈B D．(3，10)∈A，且2∈B答案C解析由x2≥0，得x2＋1≥1，所以A＝{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}，所以2∈A，(1，2)?A，(3，10)?A；B＝{(x，y)|y＝x2＋1}中的元素是函數(shù)y＝x2＋1圖象上的點構(gòu)成的集合，所以2?B，因為y＝12＋1＝2，y＝32＋1＝10，所以(1，2)∈B，(3，10)∈B.(3)(2024·廣東實驗中學(xué)月考)若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一個元素，則a＝()A.eq\f(9,2) B.eq\f(9,8)C．0 D．0或eq\f(9,8)答案D解析集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一個元素，當(dāng)a＝0時，可得x＝eq\f(2,3)，集合A中只有一個元素為eq\f(2,3)；當(dāng)a≠0時，方程ax2－3x＋2＝0只有一個解，即Δ＝9－8a＝0，可得a＝eq\f(9,8).故選D.理解集合的含義的兩個關(guān)注點(1)明確構(gòu)成集合的元素是什么，即弄清該集合是數(shù)集、點集，還是其他集合．(2)看集合的構(gòu)成元素滿足的限制條件是什么．注意：利用集合元素的限制條件或元素與集合的關(guān)系求參數(shù)的值或確定集合中元素的個數(shù)時，要注意檢驗集合是否滿足元素的互異性．1.(多選)(2024·長沙一中階段考試)已知集合A＝{x|x＝3k－1，k∈Z}，則下列表示正確的是()A．－1?A B．－11?AC．3k2－1∈A D．－34∈A答案BCD解析當(dāng)k＝0時，x＝－1，所以－1∈A，所以A錯誤；令－11＝3k－1，得k＝－eq\f(10,3)?Z，所以－11?A，所以B正確；令－34＝3k－1，得k＝－11，所以－34∈A，所以D正確；因為k∈Z，所以k2∈Z，則3k2－1∈A，所以C正確．2．(2023·徐州模擬)已知集合A＝{x|x2≤4}，B＝{x|x∈N*，且x－1∈A}，則B＝()A．{0，1} B．{0，1，2}C．{1，2，3} D．{1，2，3，4}答案C解析由已知得A＝{x|－2≤x≤2}，對于集合B，由x－1∈A，得－2≤x－1≤2，即－1≤x≤3，又x∈N*，所以x＝1，2，3，即B＝{1，2，3}．3．已知集合A＝{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}，若1∈A，則2023a的值為________；若1?A，則a不可能取得的值為________．答案1－2，－1，0，eq\f(－1＋\r(5),2)，eq\f(－1－\r(5),2)解析若1∈A，a＋2＝1，則a＝－1，A＝{1，0，1}，不符合集合中元素的互異性；(a＋1)2＝1，則a＝0或－2，當(dāng)a＝0時，A＝{2，1，3}，符合集合中元素的互異性，當(dāng)a＝－2時，A＝{0，1，1}，不符合集合中元素的互異性；a2＋3a＋3＝1，則a＝－1或－2，顯然都不符合集合中元素的互異性．因此a＝0，20230＝1.若1?A，a＋2≠1，解得a≠－1；(a＋1)2≠1，解得a≠0，－2；a2＋3a＋3≠1，解得a≠－1，－2.又a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3互不相等，由a＋2≠(a＋1)2得a≠eq\f(－1±\r(5),2)；由a＋2≠a2＋3a＋3得a≠－1；由(a＋1)2≠a2＋3a＋3得a≠－2.綜上，a的值不可能為－2，－1，0，eq\f(－1＋\r(5),2)，eq\f(－1－\r(5),2).考向二集合間的基本關(guān)系例2(1)(2023·茂名二模)已知集合A＝{x||x|≤1}，B＝{x|2x－a<0}，若A?B，則實數(shù)a的取值范圍是()A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)C．(－∞，2) D．(－∞，2]答案A解析由已知得A＝{x|－1≤x≤1}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＜\f(a,2)))，若A?B，則eq\f(a,2)＞1，所以a＞2.(2)已知集合A＝{x|y＝eq\r(x－1)＋2}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,a－1)，1<a≤\f(3,2)))))，則下列結(jié)論正確的是()A．A＝B B．A?BC．BA D．AB答案C解析因為A＝{x|y＝eq\r(x－1)＋2}＝{x|x≥1}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,a－1)，1<a≤\f(3,2)))))＝{x|x≥2}，所以BA.(3)設(shè)A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}，①若B?A，則實數(shù)a的取值范圍為________；②若A?B，則實數(shù)a的取值范圍為________．答案①{a|a≤－1或a＝1}②{1}解析由題意，得A＝{－4，0}．①∵B?A，∴B＝?或B＝{－4}或B＝{0}或B＝{－4，0}．當(dāng)B＝?時，x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0無解，即Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝8a＋8<0，解得a<－1；當(dāng)B＝{－4}或B＝{0}時，x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0有兩個相等的實數(shù)根，則Δ＝8a＋8＝0，∴a＝－1，此時B＝{0}，符合條件；當(dāng)B＝{－4，0}時，－4和0是方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的兩個根，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ＝8a＋8>0，,－4＋0＝－2（a＋1），,－4×0＝a2－1，))解得a＝1.綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為{a|a≤－1或a＝1}．②∵A?B，∴B＝{－4，0}．由①知a＝1.1．判斷兩集合間關(guān)系的三種方法2．由集合間的關(guān)系求參數(shù)的解題策略(1)若集合元素是一一列舉的，則將集合間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素間的關(guān)系，進而轉(zhuǎn)化為參數(shù)滿足的關(guān)系，此時注意集合中元素的互異性．(2)若集合表示的是不等式的解集，常借助數(shù)軸轉(zhuǎn)化為區(qū)間端點間的關(guān)系，進而轉(zhuǎn)化為參數(shù)滿足的關(guān)系，此時需注意端點值能否取到．提醒：題目中若有條件B?A，則應(yīng)分B＝?和B≠?兩種情況進行討論．1.(2023·新課標(biāo)Ⅱ卷)設(shè)集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A?B，則a＝()A．2 B．1C．eq\f(2,3) D．－1答案B解析因為A?B，若a－2＝0，解得a＝2，此時A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不符合題意；若2a－2＝0，解得a＝1，此時A＝{0，－1}，B＝{1，－1，0}，符合題意．綜上所述，a＝1.故選B.2．(2024·合肥模擬)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|0<x<6，x∈N}，則滿足條件AC?B的集合C的個數(shù)為()A．3 B．4C．7 D．8答案C解析由已知得A＝{1，2}，B＝{1，2，3，4，5}，因為AC?B，所以集合C的個數(shù)為23－1＝7.故選C.3．已知集合A＝{x|(x＋1)(x－6)≤0}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}．若B?A，則實數(shù)m的取值范圍為________．答案eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(m<－2或0≤m≤\f(5,2)))))解析A＝{x|－1≤x≤6}，若B?A，則當(dāng)B＝?時，有m－1>2m＋1，即m<－2，符合題意；當(dāng)B≠?時，有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m－1≤2m＋1，,m－1≥－1，,2m＋1≤6，))解得0≤m≤eq\f(5,2).綜上，實數(shù)m的取值范圍是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(m<－2或0≤m≤\f(5,2))))).多角度探究突破考向三集合的基本運算角度集合間的交、并、補運算例3(1)(2023·新課標(biāo)Ⅰ卷)已知集合M＝{－2，－1，0，1，2}，N＝{x|x2－x－6≥0}，則M∩N＝()A．{－2，－1，0，1} B．{0，1，2}C．{－2} D．2答案C解析因為N＝{x|x2－x－6≥0}＝(－∞，－2]∪[3，＋∞)，而M＝{－2，－1，0，1，2}，所以M∩N＝{－2}．故選C.(2)(2023·全國乙卷)設(shè)集合U＝R，集合M＝{x|x<1}，N＝{x|－1<x<2}，則{x|x≥2}＝()A．?U(M∪N) B．N∪?UMC．?U(M∩N) D．M∪?UN答案A解析由題意可得M∪N＝{x|x<2}，則?U(M∪N)＝{x|x≥2}，A正確；?UM＝{x|x≥1}，則N∪?UM＝{x|x>－1}，B錯誤；M∩N＝{x|－1<x<1}，則?U(M∩N)＝{x|x≤－1或x≥1}，C錯誤；?UN＝{x|x≤－1或x≥2}，則M∪?UN＝{x|x<1或x≥2}，D錯誤．故選A.集合基本運算的求解策略(1)當(dāng)集合是用列舉法表示的數(shù)集時，可以通過列舉集合的元素進行運算，也可借助Venn圖運算．(2)當(dāng)集合是用不等式表示時，可運用數(shù)軸求解．對于端點處的取舍，可以單獨檢驗．(3)解決抽象集合(沒有給出具體元素的集合)間的關(guān)系判斷和運算的問題的途徑有兩條：一是利用特殊值法將抽象集合具體化；二是利用圖形化抽象為直觀．1.(2023·運城四模)已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(y＝\f(1,\r(1－2x))))))，B＝{y|y＝－|x－3|－2}，則A∪B＝()A．? B．(－∞，－2]C．(－∞，0) D．(－∞，0]答案C解析A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(y＝\f(1,\r(1－2x))))))＝{x|x<0}，B＝{y|y＝－|x－3|－2}＝{y|y≤－2}，則A∪B＝(－∞，0)．故選C.2．(2024·廣州模擬)已知全集U＝R，集合A＝{x|x≥4或x≤0}，B＝{x|x>4或x≤－2}，則圖中陰影部分表示的集合為()A．(－2，0] B．[－2，0]C．[－2，0]∪{4} D．(－2，0]∪{4}答案D解析因為A＝{x|x≥4或x≤0}，B＝{x|x>4或x≤－2}，所以A∪B＝{x|x≥4或x≤0}∪{x|x>4或x≤－2}＝{x|x≥4或x≤0}，A∩B＝{x|x≥4或x≤0}∩{x|x>4或x≤－2}＝{x|x>4或x≤－2}．由題意可知陰影部分表示的集合為[?U(A∩B)]∩(A∪B)，因為?U(A∩B)＝{x|－2<x≤4}，所以[?U(A∩B)]∩(A∪B)＝{x|－2<x≤0或x＝4}．故選D.3．已知M，N均為R的子集，且?RM?N，則M∪(?RN)＝()A．? B．MC．N D．R答案B解析解法一：∵?RM?N，∴M??RN，據(jù)此可得M∪(?RN)＝M.故選B.解法二：如圖所示，設(shè)矩形區(qū)域ABCD表示全集R，矩形區(qū)域ABHE表示集合M，則矩形區(qū)域CDEH表示集合?RM，矩形區(qū)域CDFG表示集合N，滿足?RM?N，結(jié)合圖形可得M∪(?RN)＝M.故選B.角度利用集合運算求參數(shù)例4(1)(2024·無錫模擬)已知集合A＝{x∈Z|－1<x<3}，B＝{x|3x－a<0}，且A∩(?RB)＝{1，2}，則實數(shù)a的取值范圍為()A．(0，4) B．(0，4]C．(0，3] D．(0，3)答案C解析由集合A＝{x∈Z|－1<x<3}＝{0，1，2}，B＝{x|3x－a<0}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x<\f(a,3)))))，可得?RB＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≥\f(a,3)))))，因為A∩(?RB)＝{1，2}，所以0<eq\f(a,3)≤1，解得0<a≤3，即實數(shù)a的取值范圍是(0，3]．故選C.(2)已知集合A＝{x|3x2－2x－1≤0}，B＝{x|2a<x<a＋3}，若A∩B＝?，則實數(shù)a的取值范圍是________．答案eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(a≤－\f(10,3)或a≥\f(1,2)))))解析A＝{x|3x2－2x－1≤0}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)≤x≤1))))，①若B＝?，則2a≥a＋3，解得a≥3，符合題意；②若B≠?，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<3，,a＋3≤－\f(1,3)))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<3，,2a≥1，))解得a≤－eq\f(10,3)或eq\f(1,2)≤a<3，所以實數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(a≤－\f(10,3)或a≥\f(1,2))))).根據(jù)集合的運算結(jié)果求參數(shù)的值或取值范圍的方法(1)將集合中的運算關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個集合之間的關(guān)系．若集合中的元素能一一列舉，則用觀察法得到不同集合中元素之間的關(guān)系；若集合是與不等式有關(guān)的集合，則一般利用數(shù)軸解決，要注意端點值能否取到．(2)將集合之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為解方程(組)或不等式(組)問題求解．(3)根據(jù)求解結(jié)果來確定參數(shù)的值或取值范圍．1.已知集合A＝{x|3x2－2x－5<0}，B＝{x|x>a}，若A∪B＝B，則實數(shù)a的取值范圍為()A．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(5,3))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(5,3)))C．(－∞，－1] D．(－∞，－1)答案C解析依題意A＝{x|3x2－2x－5<0}＝{x|(3x－5)(x＋1)<0}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－1<x<\f(5,3)))))，而A∪B＝B，故A?B，得a≤－1.故選C.2．已知集合P＝{y|y2－y－2>0}，Q＝{x|x2＋ax＋b≤0}，若P∪Q＝R，P∩Q＝(2，3]，則a＋b＝________．答案－5解析P＝{y|y2－y－2>0}＝{y|y>2或y<－1}，∵P∪Q＝R，P∩Q＝(2，3]，∴Q＝{x|－1≤x≤3}，∴－1，3是方程x2＋ax＋b＝0的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系得，－a＝－1＋3＝2，b＝－3，∴a＋b＝－5.角度集合的新定義問題例5(2023·青島模擬)若一個集合是另一個集合的子集，稱兩個集合構(gòu)成“全食”；若兩個集合有公共元素，但互不為對方子集，則稱兩個集合構(gòu)成“偏食”．對于集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)，1))，B＝{x|ax2＝1，a≥0}，若兩個集合構(gòu)成“全食”或“偏食”，則a的值為________．答案0或1或4解析因為B＝{x|ax2＝1，a≥0}，若a＝0，則B＝?，滿足B為A的真子集，此時A與B構(gòu)成“全食”；若a>0，則B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x2＝\f(1,a)))))＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(a))，－\f(1,\r(a)))).若A與B構(gòu)成“全食”或“偏食”，則eq\f(1,\r(a))＝1或eq\f(1,\r(a))＝eq\f(1,2)，解得a＝1或a＝4.綜上，a的值為0或1或4.解決以集合為背景的新定義問題要抓住的兩點(1)緊扣新定義．首先分析新定義的特點，把新定義所敘述的問題的本質(zhì)弄清楚，并能夠應(yīng)用到具體的解題過程之中，這是破解新定義型集合問題難點的關(guān)鍵所在．(2)用好集合的性質(zhì)．解題時要善于從試題中發(fā)現(xiàn)可以使用集合性質(zhì)的一些因素，在關(guān)鍵之處用好集合的運算與性質(zhì)．(2024·泰安期中)對于非空數(shù)集A＝{a1，a2，a3，…，an}(n∈N*)，其所有元素的算術(shù)平均數(shù)記為E(A)，即E(A)＝eq\f(a1＋a2＋a3＋…＋an,n).若非空數(shù)集B滿足下列兩個條件：①B?A；②E(B)＝E(A)，則稱B為A的一個“保均值子集”．據(jù)此，集合{1，2，3，4，5}的“保均值子集”有()A．4個 B．5個C．6個 D．7個答案D解析設(shè)集合A＝{1，2，3，4，5}，則該集合中所有元素的算術(shù)平均數(shù)E(A)＝eq\f(1＋2＋3＋4＋5,5)＝3，所以由新定義可知，只需找到非空數(shù)集B滿足B?A，且E(B)＝3即可．據(jù)此分析易知，集合{1，2，3，4，5}，{1，2，4，5}，{1，3，5}，{2，3，4}，{1，5}，{2，4}，{3}都符合要求．故集合{1，2，3，4，5}的“保均值子集”有7個．故選D.課時作業(yè)一、單項選擇題1．(2024·武漢二中質(zhì)檢)已知集合M＝{a，2a－1，2a2－1}，若1∈M，則M中所有元素之和為()A．3 B．1C．－3 D．－1答案C解析若a＝1，則2a－1＝1，不滿足集合元素的互異性；若2a－1＝1，則a＝1，不滿足集合元素的互異性，故2a2－1＝1，解得a＝1(舍去)或a＝－1，故M＝{－1，－3，1}，M中所有元素之和為－3.故選C.2．(2023·四省高考適應(yīng)性測試)設(shè)集合A＝{2，3，a2－2a－3}，B＝{0，3}，C＝{2，a}．若B?A，A∩C＝{2}，則a＝()A．－3 B．－1C．1 D．3答案B解析因為B?A，所以a2－2a－3＝0，解得a＝－1或a＝3.若a＝－1，則A＝{2，3，0}，C＝{2，－1}，此時A∩C＝{2}，符合題意；若a＝3，則A＝{2，3，0}，C＝{2，3}，此時A∩C＝{2，3}，不符合題意．故選B.3．(2023·全國甲卷)設(shè)集合A＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，B＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，U為整數(shù)集，?U(A∪B)＝()A．{x|x＝3k，k∈Z} B．{x|x＝3k－1，k∈Z}C．{x|x＝3k－2，k∈Z} D．?答案A解析因為整數(shù)集Z＝{x|x＝3k，k∈Z}∪{x|x＝3k＋1，k∈Z}∪{x|x＝3k＋2，k∈Z}，U＝Z，所以?U(A∪B)＝{x|x＝3k，k∈Z}．故選A.4．(2023·南京一模)已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(x－1,x－a)<0))))，若A∩N*＝?，則實數(shù)a的取值范圍是()A．{1} B．(－∞，1)C．[1，2] D．(－∞，2]答案D解析解法一：由題意，得A＝{x|(x－1)(x－a)<0}，當(dāng)a>1時，A＝{x|1<x<a}，因為A∩N*＝?，所以1<a≤2；當(dāng)a<1時，A＝{x|a<x<1}，因為A∩N*＝?，所以a<1；當(dāng)a＝1時，A＝?，滿足題意．綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是(－∞，2]．故選D.解法二：當(dāng)a＝2時，A＝{x|1<x<2}，A∩N*＝?，故排除A，B；當(dāng)a＝0時，A＝{x|0<x<1}，A∩N*＝?，故排除C.故選D.5．(2023·青島二模)已知A，B均為R的子集，且A∩(?RB)＝A，則下列結(jié)論中一定成立的是()A．B?A B．A∪B＝RC．A∩B＝? D．A＝?RB答案C解析∵A∩(?RB)＝A，∴A??RB，用Venn圖表示如右．由圖可知，A∩B＝?，即C一定成立，A一定不成立，B，D都不一定成立．故選C.6．(2024·鄭州一中質(zhì)檢)已知集合M＝{x|x2－3x<0}，N＝{x|log2x<4}，且全集U＝[－1，20]，則U＝()A．M∩(?UN) B．N∩(?UM)C．M∪(?UN) D．N∪(?UM)答案D解析由已知得集合M＝(0，3)，N＝(0，16)，則M∩(?UN)＝?，N∩(?UM)＝[3，16)，M∪(?UN)＝[－1，3)∪[16，20]，N∪(?UM)＝[－1，20]＝U.故選D.7．(2024·濰坊模擬)設(shè)集合M＝{x∈Z|x2<100<2x}，則M的所有子集的個數(shù)為()A．3 B．4C．8 D．16答案C解析解不等式x2<100，得－10<x<10，解不等式100<2x，得x>log2100，由于log226<log2100<log227，所以M＝{x∈Z|x2<100<2x}＝{x∈Z|log2100<x<10}＝{7，8，9}，所以M的所有子集的個數(shù)為23＝8.故選C.8．調(diào)查了100名攜帶藥品出國的旅游者，其中75人帶有感冒藥，80人帶有胃藥，那么對于既帶感冒藥又帶胃藥的人數(shù)統(tǒng)計中，下列說法正確的是()A．最多人數(shù)是55 B．最少人數(shù)是55C．最少人數(shù)是75 D．最多人數(shù)是80答案B解析設(shè)100名攜帶藥品出國的旅游者組成全集I，其中帶感冒藥的人組成集合A，帶胃藥的人組成集合B.又設(shè)所攜帶藥品既非感冒藥又非胃藥的人數(shù)為x，則x∈[0，20]，以上兩種藥都帶的人數(shù)為y.根據(jù)題意列出Venn圖，如圖所示．由圖可知，x＋75＋80－y＝100，∴y＝55＋x.∵0≤x≤20，∴55≤y≤75，故最少人數(shù)是55.故選B.二、多項選擇題9．(2024·無錫一中月考)已知集合A＝{x|－1<x≤3}，B＝{x||x|≤2}，則下列關(guān)系式正確的是()A．A∩B＝? B．A∪B＝{x|－2≤x≤3}C．A∪(?RB)＝{x|x≤－1或x>2} D．A∩(?RB)＝{x|2<x≤3}答案BD解析∵A＝{x|－1<x≤3}，B＝{x||x|≤2}＝{x|－2≤x≤2}，∴A∩B＝{x|－1<x≤3}∩{x|－2≤x≤2}＝{x|－1<x≤2}，A不正確；A∪B＝{x|－1<x≤3}∪{x|－2≤x≤2}＝{x|－2≤x≤3}，B正確；∵?RB＝{x|x<－2或x>2}，∴A∪(?RB)＝{x|x<－2或x>－1}，A∩(?RB)＝{x|2<x≤3}，C不正確，D正確．10.(2023·濟南模擬)圖中陰影部分用集合符號可以表示為()A．A∩(B∪C) B．A∪(B∩C)C．A∩?U(B∩C) D．(A∩B)∪(A∩C)答案AD解析圖中陰影部分用集合符號可以表示為A∩(B∪C)或(A∩B)∪(A∩C)．故選AD.11．設(shè)集合A＝{x|x＝m＋eq\r(3)n，m，n∈N*}，若對于任意x1∈A，x2∈A，均有x1⊕x2∈A，則運算⊕可能是()A．加法 B．減法C．乘法 D．除法答案AC解析由題意可設(shè)x1＝m1＋eq\r(3)n1，x2＝m2＋eq\r(3)n2，其中m1，m2，n1，n2∈N*，則x1＋x2＝(m1＋m2)＋eq\r(3)(n1＋n2)，x1＋x2∈A，所以加法滿足條件，A正確；x1－x2＝(m1－m2)＋eq\r(3)(n1－n2)，當(dāng)n1＝n2時，x1－x2?A，所以減法不滿足條件，B錯誤；x1x2＝m1m2＋3n1n2＋eq\r(3)(m1n2＋m2n1)，x1x2∈A，所以乘法滿足條件，C正確；eq\f(x1,x2)＝eq\f(m1＋\r(3)n1,m2＋\r(3)n2)，當(dāng)eq\f(m1,m2)＝eq\f(n1,n2)＝λ(λ>0)時，eq\f(x1,x2)?A，所以除法不滿足條件，D錯誤．三、填空題12．已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(2x，\f(y－1,x)，1))，B＝{x2，x＋y，0}，若A＝B，則x＋y＝________．答案2解析顯然y＝1，即A＝{2x，0，1}，B＝{x2，x＋1，0}．若x＋1＝1，則x＝0，集合A中元素不滿足互異性，舍去，∴x2＝1，且2x＝x＋1，∴x＝1，故x＋y＝2.13．(2024·西安鐵一中月考)已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，B＝{x∈R|(x－m)(x－2)<0}，且A∩B＝(－1，n)，則m＝________，n＝________．答案－11解析A＝{x∈R||x＋2|<3}＝{x∈R|－5<x<1}，由A∩B＝(－1，n)，可知m<1，則B＝{x|m<x<2}，畫出數(shù)軸，可得m＝－1，n＝1.14．(2024·南昌二中質(zhì)檢)已知集合A＝{x|y＝lg(a－x)}，B＝{x|1<x<2}，且(?RB)∪A＝R，則實數(shù)a的取值范圍是________．答案[2，＋∞)解析由已知可得A＝(－∞，a)，?RB＝(－∞，1]∪[2，＋∞)，∵(?RB)∪A＝R，∴a≥2.四、解答題15．已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(y＝\r(\f(2x－1,x＋1)－1)))))，B＝{x|－1≤x＋a≤2}．(1)求集合A；(2)若B?A，求實數(shù)a的取值范圍．解(1)由eq\f(2x－1,x＋1)－1≥0，即eq\f(x－2,x＋1)≥0得x<－1或x≥2，所以集合A＝{x|x<－1或x≥2}．(2)集合B＝{x|－1≤x＋a≤2}＝{x|－1－a≤x≤2－a}，由B?A得2－a<－1或－1－a≥2，解得a>3或a≤－3，所以實數(shù)a的取值范圍為(－∞，－3]∪(3，＋∞)．16．(2023·臨沂模擬)在①A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(4,x＋1)>1))))；②A＝{x|x2－2x－3<0}；③A＝{x||x－1|<2}這三個條件中任選一個，補充在下面橫線上，并解答問題：設(shè)集合________，B＝{x|(x－2m)(x－m2－1)<0}(m≠1)，(1)當(dāng)m＝－1時，求A∩B，B∪(?RA)；(2)若A∪B＝A，求實數(shù)m的取值范圍．解(1)當(dāng)m＝－1時，B＝{x|(x＋2)(x－2)<0}＝{x|－2<x<2}，若選①：eq\f(4,x＋1)>1?eq\f(4,x＋1)－1>0?eq\f(3－x,x＋1)>0?(x－3)(x＋1)<0，解得－1<x<3，所以A＝{x|－1<x<3}，所以A∩B＝{x|－1<x<2}，?RA＝{x|x≤－1或x≥3}，B∪(?RA)＝{x|x<2或x≥3}．若選②：x2－2x－3<0?(x－3)(x＋1)<0，解得－1<x<3，所以A＝{x|－1<x<3}，下同選①.若選③：由|x－1|<2得－2<x－1<2，解得－1<x<3，所以A＝{x|－1<x<3}，下同選①.(2)由(1)知A＝{x|－1<x<3}．因為m≠1，所以m2＋1－2m＝(m－1)2>0，即m2＋1>2m，B＝(2m，m2＋1)，因為A∪B＝A，所以B?A，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2m≥－1，,m2＋1≤3，))解得－eq\f(1,2)≤m≤eq\r(2).所以實數(shù)m的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))∪(1，eq\r(2)]．第2講充分條件與必要條件[課程標(biāo)準(zhǔn)]1.理解必要條件的意義，理解性質(zhì)定理與必要條件的關(guān)系.2.理解充分條件的意義，理解判定定理與充分條件的關(guān)系.3.理解充要條件的意義，理解數(shù)學(xué)定義與充要條件的關(guān)系．充分條件、必要條件與充要條件若p?q，則p是q的eq\x(\s\up1(01))充分條件，q是p的eq\x(\s\up1(02))必要條件p是q的eq\x(\s\up1(03))充分不必要條件p?q且qpp是q的eq\x(\s\up1(04))必要不充分條件pq且q?pp是q的eq\x(\s\up1(05))充要條件p?qp是q的eq\x(\s\up1(06))既不充分也不必要條件pq且q?p1．(1)若p是q的充分不必要條件，q是r的充分不必要條件，則p是r的充分不必要條件．(2)若p是q的充分不必要條件，則q是p的必要不充分條件．2．若A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，則(1)若A?B，則p是q的充分條件；(2)若A?B，則p是q的必要條件；(3)若A＝B，則p是q的充要條件；(4)若AB，則p是q的充分不必要條件；(5)若AB，則p是q的必要不充分條件；(6)若AB且AB，則p是q的既不充分也不必要條件．總結(jié)：小推大，大不可推小．1．(2024·福清三中月考)已知p：x(x－1)＝0，q：x＝1，則p是q的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件答案B解析x(x－1)＝0?x＝0或x＝1，因此由p：x(x－1)＝0不一定能推出q：x＝1，但是由q：x＝1一定能推出p：x(x－1)＝0，所以p是q的必要不充分條件．故選B.2．(人教A必修第一冊習(xí)題1.4T6改編)在△ABC中，“AB2＋BC2＝AC2”是“△ABC為直角三角形”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件答案A解析在△ABC中，若AB2＋BC2＝AC2，則∠B＝90°，即△ABC為直角三角形；若△ABC為直角三角形，推不出∠B＝90°，所以AB2＋BC2＝AC2不一定成立．綜上，“AB2＋BC2＝AC2”是“△ABC為直角三角形”的充分不必要條件．故選A.3．(人教A必修第一冊習(xí)題1.4T3(3)改編)若p：AB，q：A∪B＝B，則p是q的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件答案A解析因為AB，所以可以推出A∪B＝B；又因為A∪B＝B，所以A?B，當(dāng)A＝B時，推不出AB.故選A.4．(人教A必修第一冊習(xí)題1.4T2(2)改編)已知命題p：一元二次方程x2－x＋m＝0有實數(shù)根，q：m≤eq\f(1,4)，則p是q的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件答案C解析若方程x2－x＋m＝0有實數(shù)根，則Δ＝1－4m≥0，解得m≤eq\f(1,4)，所以p是q的充要條件．故選C.5．已知p：x>a是q：2<x<3的必要不充分條件，則實數(shù)a的取值范圍是________．答案(－∞，2]解析由已知，得{x|2<x<3}{x|x>a}，所以實數(shù)a的取值范圍是(－∞，2]．考向一充分、必要條件的判斷例1(1)(2024·濟南模擬)“x>y”的一個充分條件可以是()A．2x－y>eq\f(1,2) B．x2>y2C.eq\f(x,y)>1 D．xt2>yt2答案D解析因為由xt2>yt2，可得x>y，所以“xt2>yt2”是“x>y”的充分條件，所以D符合題意．由2x－y>eq\f(1,2)＝2－1，得x－y>－1，當(dāng)x＝1，y＝eq\f(3,2)時成立，所以由2x－y>eq\f(1,2)不能推出x>y；由x2>y2，可得|x|>|y|，不一定能推出x>y，例如當(dāng)x＝－3，y＝2時，x2>y2成立，但x>y不成立；若eq\f(x,y)>1，當(dāng)y<0時，可得x<y.因此A，B，C均不符合題意．故選D.(2)(2023·全國甲卷)“sin2α＋sin2β＝1”是“sinα＋cosβ＝0”的()A．充分條件但不是必要條件B．必要條件但不是充分條件C．充要條件D．既不是充分條件也不是必要條件答案B解析當(dāng)sin2α＋sin2β＝1時，例如α＝eq\f(π,2)，β＝0，但sinα＋cosβ≠0，即sin2α＋sin2β＝1推不出sinα＋cosβ＝0；當(dāng)sinα＋cosβ＝0時，sin2α＋sin2β＝(－cosβ)2＋sin2β＝1，即sinα＋cosβ＝0能推出sin2α＋sin2β＝1.綜上可知，“sin2α＋sin2β＝1”是“sinα＋cosβ＝0”的必要條件但不是充分條件．故選B.(3)(2023·南京師范大學(xué)附屬揚子中學(xué)模擬)設(shè)乙的充分不必要條件是甲，乙是丙的充要條件，丁是丙的必要不充分條件，那么甲是丁的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件答案A解析由已知條件可知甲乙?丙丁，所以甲?丁，丁甲，即甲是丁的充分不必要條件．故選A.判斷充分條件、必要條件的兩種方法(1)定義法(2)集合法基本思路根據(jù)p，q成立的對象的集合之間的包含關(guān)系進行判斷適用范圍多適用于命題中涉及字母取值范圍的推斷問題解題技巧抓住“以小推大”的技巧，即小范圍推得大范圍，簡記為“小充分，大必要”1.(2023·無錫模擬)已知x∈R，則“x≠0”是“x＋|x|>0”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件答案B解析由x＋|x|>0可解得x>0，∵“x≠0”是“x>0”的必要不充分條件，∴“x≠0”是“x＋|x|>0”的必要不充分條件．故選B.2．(2023·湖南師大附中二模)設(shè)等比數(shù)列{an}的首項為a1，公比為q，則“a1<0且0<q<1”是“對于任意n∈N*都有an＋1>an”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件答案A解析∵an＋1＝anq，∴“a1<0且0<q<1”?“對于任意n∈N*都有an＋1>an”；“對于任意n∈N*都有an＋1>an”“a1<0且0<q<1”，如an＝2n，滿足an＋1>an，n∈N*，但a1＝2，q＝2，∴“a1<0且0<q<1”是“對于任意n∈N*都有an＋1>an”的充分不必要條件．故選A.考向二根據(jù)充分、必要條件求參數(shù)的范圍例2已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．(1)若“x∈P”是“x∈S”的必要條件，則m的取值范圍為________；(2)若“x∈P”是“x∈S”的充分不必要條件，則m的取值范圍為________．答案(1)[0，3](2)[9，＋∞)解析由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，∴P＝{x|－2≤x≤10}．(1)若“x∈P”是“x∈S”的必要條件，則S?P，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－m≥－2，,1＋m≤10，,1－m≤1＋m，))解得0≤m≤3，故m的取值范圍為[0，3]．(2)若“x∈P”是“x∈S”的充分不必要條件，則PS，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－m≤－2，,1＋m>10))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－m<－2，,1＋m≥10，))∴m≥9，則m的取值范圍為[9，＋∞)．由充分、必要條件求參數(shù)范圍的策略巧用轉(zhuǎn)化求參數(shù)把充分、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合的包含、相等關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出有關(guān)參數(shù)的不等式(組)求解，注意條件的等價變形端點值慎取舍在求參數(shù)范圍時，要注意區(qū)間端點值的檢驗，從而確定取舍已知p：(x－m)2>3(x－m)是q：x2＋3x－4<0的必要不充分條件，則實數(shù)m的取值范圍為()A．(－∞，－7)∪(1，＋∞) B．(－∞，－7]∪[1，＋∞)C．(－7，1) D．[－7，1]答案B解析由(x－m)2>3(x－m)得x<m或x>3＋m，所以p：x<m或x>3＋m；由x2＋3x－4<0得－4<x<1，所以q：－4<x<1.因為p是q的必要不充分條件，所以m≥1或m＋3≤－4，得m≥1或m≤－7.故選B.課時作業(yè)一、單項選擇題1．(2024·廣州模擬)已知a∈R，若集合M＝{1，a}，N＝{－1，0，1}，則“a＝0”是“M?N”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件答案A解析當(dāng)a＝0時，集合M＝{1，0}，N＝{－1，0，1}，可得M?N，滿足充分性；若M?N，則a＝0或a＝－1，不滿足必要性，所以“a＝0”是“M?N”的充分不必要條件．故選A.2．復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為eq\o(z,\s\up6(－))，則“z為純虛數(shù)”是“z＋eq\o(z,\s\up6(－))＝0”的()A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件答案B解析由z為純虛數(shù)，設(shè)z＝bi，b∈R，且b≠0，可得eq\o(z,\s\up6(－))＝－bi，則z＋eq\o(z,\s\up6(－))＝bi－bi＝0；當(dāng)z＝0時，可得eq\o(z,\s\up6(－))＝0，則z＋eq\o(z,\s\up6(－))＝0＋0＝0，但此時z不是純虛數(shù)，所以“z為純虛數(shù)”是“z＋eq\o(z,\s\up6(－))＝0”的充分不必要條件．故選B.3．已知非零向量a，b，c，則“a·c＝b·c”是“a＝b”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件答案B解析由a·c＝b·c可得(a－b)·c＝0，所以(a－b)⊥c或a＝b，所以“a·c＝b·c”是“a＝b”的必要不充分條件．故選B.4．(2023·濟寧模擬)已知f(x)是R上的奇函數(shù)，則“x1＋x2＝0”是“f(x1)＋f(x2)＝0”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件答案A解析∵函數(shù)f(x)是R上的奇函數(shù)，∴若x1＋x2＝0，則x1＝－x2，則f(x1)＝f(－x2)＝－f(x2)，即f(x1)＋f(x2)＝0成立，即充分性成立；若f(x)＝0，滿足f(x)是R上的奇函數(shù)，當(dāng)x1＝x2＝2時，f(x1)＝f(x2)＝0，此時滿足f(x1)＋f(x2)＝0，但x1＋x2＝4≠0，即必要性不成立．故“x1＋x2＝0”是“f(x1)＋f(x2)＝0”的充分不必要條件．5．(2023·北京高考)若xy≠0，則“x＋y＝0”是“eq\f(y,x)＋eq\f(x,y)＝－2”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件答案C解析解法一：因為xy≠0，且eq\f(y,x)＋eq\f(x,y)＝－2，所以x2＋y2＝－2xy，即x2＋y2＋2xy＝0，即(x＋y)2＝0，所以x＋y＝0.所以“x＋y＝0”是“eq\f(y,x)＋eq\f(x,y)＝－2”的充要條件．故選C.解法二：充分性：因為xy≠0，且x＋y＝0，所以x＝－y，所以eq\f(y,x)＋eq\f(x,y)＝eq\f(y,－y)＋eq\f(－y,y)＝－1－1＝－2，所以充分性成立；必要性：因為xy≠0，且eq\f(y,x)＋eq\f(x,y)＝－2，所以x2＋y2＝－2xy，即x2＋y2＋2xy＝0，即(x＋y)2＝0，所以x＋y＝0，所以必要性成立．所以“x＋y＝0”是“eq\f(y,x)＋eq\f(x,y)＝－2”的充要條件．故選C.解法三：充分性：因為xy≠0，且x＋y＝0，所以eq\f(y,x)＋eq\f(x,y)＝eq\f(x2＋y2,xy)＝eq\f(x2＋y2＋2xy－2xy,xy)＝eq\f(（x＋y）2－2xy,xy)＝eq\f(－2xy,xy)＝－2，所以充分性成立；必要性：因為xy≠0，且eq\f(y,x)＋eq\f(x,y)＝－2，所以eq\f(y,x)＋eq\f(x,y)＝eq\f(x2＋y2,xy)＝eq\f(x2＋y2＋2xy－2xy,xy)＝eq\f(（x＋y）2－2xy,xy)＝eq\f(（x＋y）2,xy)－2＝－2，所以eq\f(（x＋y）2,xy)＝0，所以(x＋y)2＝0，所以x＋y＝0，所以必要性成立．所以“x＋y＝0”是“eq\f(y,x)＋eq\f(x,y)＝－2”的充要條件．故選C.6．(2023·八省聯(lián)考)已知Sn是數(shù)列{an}的前n項和，則“an>0”是“{Sn}是遞增數(shù)列”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件答案A解析若an>0，則Sn>Sn－1，∴{Sn}是遞增數(shù)列，∴“an>0”是“{Sn}是遞增數(shù)列”的充分條件；若{Sn}是遞增數(shù)列，則Sn>Sn－1，∴an>0(n≥2)，但是a1的符號不確定，∴“an>0”不是“{Sn}是遞增數(shù)列”的必要條件．故選A.7．(2023·煙臺一模)在△ABC中，“A>eq\f(π,6)”是“sinA>eq\f(1,2)”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件答案B解析在△ABC中，A∈(0，π)，由sinA>eq\f(1,2)，可得eq\f(π,6)<A<eq\f(5π,6)，所以“A>eq\f(π,6)”是“sinA>eq\f(1,2)”的必要不充分條件．故選B.8．(2024·深圳羅湖區(qū)期末)已知實數(shù)a>0，且a≠1，則“2a>2”是“l(fā)ogaeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)))>0”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件答案A解析由2a>2，得a>1；由logaeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)))>0，可得logaeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)))>loga1，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>1，,a＋\f(1,2)>1))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0<a<1，,0<a＋\f(1,2)<1，))解得a>1或0<a<eq\f(1,2).因此“2a>2”是“l(fā)ogaeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)))>0”的充分不必要條件．故選A.二、多項選擇題9．下列四個選項中，q是p的充要條件的是()A．p：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b＝0，))q：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b＝0，,ab＝0))B．p：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝1，))q：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b＝2，,ab＝1))C．p：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0，,b>0，))q：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b>0，,ab>0))D．p：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>1，,b>1，))q：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b>2，,ab>1))答案ABC解析對于A，由a＝0，b＝0，可得a＋b＝0，ab＝0，反之也成立，∴q是p的充要條件；對于B，由a＝1，b＝1，可得a＋b＝2，ab＝1，反之也成立，∴q是p的充要條件；對于C，由a>0，b>0，可得a＋b>0，ab>0，反之也成立，∴q是p的充要條件；對于D，由a>1，b>1，可得a＋b>2，ab>1，反之不成立，例如取a＝6，b＝eq\f(1,2)，∴q是p的必要不充分條件．故選ABC.10．已知兩條直線l，m及三個平面α，β，γ，則α⊥β的充分條件是()A．l?α，l⊥β B．l⊥α，m⊥β，l⊥mC．α⊥γ，β∥γ D．l?α，m?β，l⊥m答案ABC解析由面面垂直的判定可以判斷A，B，C符合題意；對于D，l?α，m?β，l⊥m，則α，β相交或平行，D不符合題意．故選ABC.11．(2023·長沙一模)下列選項中，與“x2>x”互為充要條件的是()A．x>1 B．2x2>2xC.eq\f(1,x)<1 D．|x(x－1)|＝x(x－1)答案BC解析x2>x的解集為(－∞，0)∪(1，＋∞)，對于A，因為(1，＋∞)為(－∞，0)∪(1，＋∞)的真子集，故A不符合題意；對于B，因為2x2>2x等價于x2>x，其解集也是(－∞，0)∪(1，＋∞)，故B符合題意；對于C，eq\f(1,x)<1即x(x－1)>0，其解集為(－∞，0)∪(1，＋∞)，故C符合題意；對于D，|x(x－1)|＝x(x－1)即x(x－1)≥0，其解集為(－∞，0]∪[1，＋∞)，(－∞，0)∪(1，＋∞)為(－∞，0]∪[1，＋∞)的真子集，故D不符合題意．故選BC.三、填空題12．《墨子·經(jīng)說上》上說：“小故，有之不必然，無之必不然．體也，若有端，大故，有之必然，若見之成見也．”這一段文字蘊含著十分豐富的邏輯思想，那么文中的“小故”指的是邏輯中的________(填“充分條件”“必要條件”“充要條件”或“既不充分也不必要條件”)．答案必要條件解析由“小故，有之不必然，無之必不然”，知“小故”是導(dǎo)致某個結(jié)果出現(xiàn)的幾個條件中的一個或一部分條件，故“小故”指的是邏輯中的必要條件．13．直線x－y－k＝0與圓(x－1)2＋y2＝2有兩個不同交點的充要條件是________．答案－1<k<3解析直線x－y－k＝0與圓(x－1)2＋y2＝2有兩個不同交點等價于eq\f(|1－0－k|,\r(2))<eq\r(2)，解得－1<k<3.14．(2023·衡水一中第一次調(diào)研)若集合A＝{x|x>2}，B＝{x|bx>1}，其中b為實數(shù)．(1)若A是B的充要條件，則b＝________；(2)若A是B的充分不必要條件，則b的取值范圍是________．答案(1)eq\f(1,2)(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))解析(1)由已知可得A＝B，則x＝2是方程bx＝1的解，且有b>0，解得b＝eq\f(1,2).(2)若A是B的充分不必要條件，則AB，則有b>0，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x>\f(1,b)))))，由(2，＋∞)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)，＋∞))，得eq\f(1,b)<2，b>eq\f(1,2)，所以若A是B的充分不必要條件，則b的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)).四、解答題15．設(shè)p：{x|x2＋2x－3＜0}，q：{x|x2＋(m－1)x－m＜0，m≠－1}．(1)若m＝4，判斷p是q的充分條件還是必要條件；(2)若p是q的________，求m的取值集合．在①充分不必要條件；②必要不充分條件這兩個條件中任選一個，補充在第(2)問中的橫線上，并解答．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分．解設(shè)集合A＝{x|x2＋2x－3＜0}＝{x|－3＜x＜1}，B＝{x|x2＋(m－1)x－m＜0}．(1)當(dāng)m＝4時，B＝{x|x2＋3x－4＜0}＝{x|－4＜x＜1}，∵AB，∴p是q的充分條件．(2)選①，若p是q的充分不必要條件，則AB，∵A＝{x|－3＜x＜1}，當(dāng)m＜－1時，B＝{x|1＜x＜－m}，AB不可能；當(dāng)m＞－1時，B＝{x|－m＜x＜1}，由AB，得－m<－3，即m>3.∴m的取值集合為{m|m＞3}．選②，若p是q的必要不充分條件，則BA.∵A＝{x|－3＜x＜1}，當(dāng)m＜－1時，B＝{x|1＜x＜－m}，BA不可能；當(dāng)m＞－1時，B＝{x|－m＜x＜1}，由BA，得－m>－3，即－1<m<3.∴m的取值集合為{m|－1＜m＜3}．16．設(shè)x，y∈R，求證：|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要條件是xy≥0.證明設(shè)p：xy≥0，q：|x＋y|＝|x|＋|y|.①充分性(p?q)：如果xy≥0，則有xy＝0和xy>0兩種情況：當(dāng)xy＝0時，不妨設(shè)x＝0，則|x＋y|＝|y|，|x|＋|y|＝|y|，所以等式成立；當(dāng)xy>0時，則x>0，y>0或x<0，y<0.又當(dāng)x>0，y>0時，|x＋y|＝x＋y，|x|＋|y|＝x＋y，所以等式成立；當(dāng)x<0，y<0時，|x＋y|＝－(x＋y)，|x|＋|y|＝－x－y，所以等式成立．綜上，當(dāng)xy≥0時，|x＋y|＝|x|＋|y|成立．②必要性(q?p)：若|x＋y|＝|x|＋|y|且x，y∈R，則|x＋y|2＝(|x|＋|y|)2，即x2＋2xy＋y2＝x2＋y2＋2|x||y|，所以|xy|＝xy，所以xy≥0.由①②可得，|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要條件是xy≥0.第3講全稱量詞與存在量詞[課程標(biāo)準(zhǔn)]1.理解全稱量詞與存在量詞的意義.2.能正確使用存在量詞對全稱量詞命題進行否定.3.能正確使用全稱量詞對存在量詞命題進行否定．1．全稱量詞和存在量詞(1)全稱量詞有：所有的、任意一個、任給一個，用符號“eq\x(\s\up1(01))?”表示；存在量詞有：存在一個、至少有一個、有些，用符號“eq\x(\s\up1(02))?”表示．(2)含有全稱量詞的命題，叫做全稱量詞命題．“對M中任意一個x，有p(x)成立”用符號簡記為eq\x(\s\up1(03))?x∈M，p(x)．(3)含有存在量詞的命題，叫做存在量詞命題．“存在M中元素x，使p(x)成立”用符號簡記為eq\x(\s\up1(04))?x∈M，p(x)．2．含有一個量詞的命題的否定命題命題的否定?x∈M，p(x)eq\x(\s\up1(05))?x∈M，?p(x)?x∈M，p(x)eq\x(\s\up1(06))?x∈M，?p(x)1．含有一個量詞的命題的否定規(guī)律是“改量詞，否結(jié)論”．2．常用的正面敘述詞語和它的否定詞語正面詞語等于(＝)大于(>)小于(<)是否定詞語不等于(≠)不大于(≤)不小于(≥)不是正面詞語都是任意的所有的至多有一個至少有一個否定詞語不都是某個某些至少有兩個一個也沒有3.因為命題p與?p的真假性相反，所以不管是全稱量詞命題還是存在量詞命題，當(dāng)其真假不易判斷時，可先判斷其否定的真假．1．(人教A必修第一冊習(xí)題1.5T3(1)改編)命題“?x∈Q，|x|∈N”的否定是()A．?x?Q，|x|?N B．?x∈Q，|x|∈NC．?x?Q，|x|?N D．?x∈Q，|x|?N答案D解析存在量詞命題的否定需要把存在量詞改為全稱量詞，并否定結(jié)論．故選D.2．(2023·廈門模擬)已知集合M，N滿足M∩N≠?，則()A．?x∈M，x∈N B．?x∈M，x?NC．?x∈M，x∈N D．?x∈M，x?N答案C解析∵集合M，N滿足M∩N≠?，∴由交集定義得?x∈M，x∈N.故選C.3．(2024·寧德一中質(zhì)檢)若命題“?x∈R，x2＋(a－1)x＋1<0”是真命題，則實數(shù)a的取值范圍是()A．[－1，3] B．(－1，3)C．(－∞，－1]∪[3，＋∞) D．(－∞，－1)∪(3，＋∞)答案D解析因為命題“?x∈R，x2＋(a－1)x＋1<0”等價于“x2＋(a－1)x＋1＝0有兩個不等的實根”，所以Δ＝(a－1)2－4>0，即a2－2a－3>0，解得a<－1或a>3.4．(人教A必修第一冊1.5.2練習(xí)T2改編)“等邊三角形都是等腰三角形”的否定是________．答案存在一個等邊三角形，它不是等腰三角形解析全稱量詞命題的否定是存在量詞命題．故命題的否定是存在一個等邊三角形，它不是等腰三角形．5．(人教B必修第一冊1.2.1練習(xí)BT4改編)若“?x∈[－1，2]，x2－m≤1”為真命題，則實數(shù)m的最小值為________．答案3解析因為“?x∈[－1，2]，x2－m≤1”為真命題，所以m≥x2－1對x∈[－1，2]恒成立，即m≥(x2－1)max＝3.考向一全稱量詞命題、存在量詞命題真假的判斷例1(1)(2023·沈陽東北育才學(xué)校模擬)已知P，Q為R的兩個非空真子集，若?RQ?RP，則下列結(jié)論正確的是()A．?x∈Q，x∈P B．?x∈?RP，x∈?RQC．?x?Q，x∈P D．?x∈?RP，x∈?RQ答案B解析因為?RQ?RP，所以PQ，如圖，對于A，由題意知P是Q的真子集，故?x∈Q，x?P，故A不正確；對于B，由?RQ是?RP的真子集且?RQ，?RP都不是空集知，?x∈?RP，x∈?RQ，故B正確；對于C，由P是Q的真子集知，?x?Q，x?P，故C不正確；對于D，?RQ是?RP的真子集，故?x∈?RP，x??RQ，故D不正確．故選B.(2)(多選)(2024·廈門外國語學(xué)校期中)下列命題中為真命題的是()A．?x∈(0，＋∞)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)＜eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(x)B．?x∈(0，1)，logeq\s\do10(\f(1,2))x＞logeq\s\do10(\f(1,3))xC．?x∈(0，＋∞)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)＞logeq\s\do10(\f(1,2))xD．?x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)＜logeq\s\do10(\f(1,3))x答案BD解析當(dāng)x＞0時，y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)的圖象永遠(yuǎn)在y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(x)的圖象上方，因此A是假命題；當(dāng)0＜x＜1時，y＝logeq\s\do10(\f(1,2))x的圖象永遠(yuǎn)在y＝logeq\s\do10(\f(1,3))x的圖象上方，因此B是真命題；當(dāng)x＝eq\f(1,2)時，eq\r(\f(1,2))＜1＝logeq\s\do10(\f(1,2))eq\f(1,2)，因此C是假命題；當(dāng)0＜x＜eq\f(1,3)時，logeq\s\do10(\f(1,3))x＞1＞eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)，因此D是真命題．故選BD.判斷全稱量詞命題、存在量詞命題真假的思路1.已知定義域為R的函數(shù)f(x)不是偶函數(shù)，則下列命題一定為真命題的是()A．?x∈R，f(－x)≠f(x) B．?x∈R，f(－x)≠－f(x)C．?x∈R，f(－x)≠f(x) D．?x∈R，f(－x)≠－f(x)答案C解析∵定義域為R的函數(shù)f(x)不是偶函數(shù)，∴?x∈R，f(－x)＝f(x)為假命題，∴?x∈R，f(－x)≠f(x)為真命題．2．(2024·江西師大附中月考)下列命題為真命題的是()A．?x∈R，ln(x2＋1)<0B．?x>2，2x>x2C．?α，β∈R，sin(α－β)＝sinα－sinβD．?x∈(0，π)，sinx>cosx答案C解析∵x2＋1≥1，∴l(xiāng)n(x2＋1)≥0，故A是假命題；當(dāng)x＝3時，23<32，故B是假命題；當(dāng)α＝β＝0時，sin(α－β)＝sinα－sinβ，故C是真命題；當(dāng)x＝eq\f(π,6)∈(0，π)時，sinx＝eq\f(1,2)，cosx＝eq\f(\r(3),2)，sinx<cosx，故D是假命題．故選C.考向二含有一個量詞的命題的否定例2(1)(2023·濰坊二模)十七世紀(jì)，數(shù)學(xué)家費馬提出猜想：“對任意正整數(shù)n>2，關(guān)于x，y，z的方程xn＋yn＝zn沒有正整數(shù)解”，經(jīng)歷三百多年，1995年數(shù)學(xué)家安德魯·懷爾斯給出了證明，使它終成費馬大定理，則費馬定理的否定為()A．對任意正整數(shù)n≤2，關(guān)于x，y，z的方程xn＋yn＝zn都沒有正整數(shù)解B．對任意正整數(shù)n>2，關(guān)于x，y，z的方程xn＋yn＝zn至少存在一組正整數(shù)解C．存在正整數(shù)n≤2，關(guān)于x，y，z的方程xn＋yn＝zn至少存在一組正整數(shù)解D．存在正整數(shù)n>2，關(guān)于x，y，z的方程xn＋yn＝zn至少存在一組正整數(shù)解答案D解析命題為全稱量詞命題，則命題的否定為“存在正整數(shù)n>2，關(guān)于x，y，z的方程xn＋yn＝zn至少存在一組正整數(shù)解”．故選D.(2)(2023·德州調(diào)研)命題“?x∈R，1<f(x)≤2”的否定是()A．?x∈R，1<f(x)≤2 B．?x∈R，1<f(x)≤2C．?x∈R，f(x)≤1或f(x)>2 D．?x∈R，f(x)≤1或f(x)>2答案D解析存在量詞命題的否定是全稱量詞命題，原命題的否定為“?x∈R，f(x)≤1或f(x)>2”．故選D.寫出全稱量詞命題與存在量詞命題的否定的步驟1.(2023·泰安三模)命題“奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱”的否定是()A．所有奇函數(shù)的圖象都不關(guān)于原點對稱B．所有非奇函數(shù)的圖象都關(guān)于原點對稱C．存在一個奇函數(shù)的圖象不關(guān)于原點對稱D．存在一個奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱答案C解析全稱量詞命題“所有奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱”的否定是存在量詞命題，所以命題“奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱”的否定是“存在一個奇函數(shù)的圖象不關(guān)于原點對稱”．故選C.2．(2024·商丘月考)命題“存在一個無理數(shù)，它的平方是有理數(shù)”的否定是()A．任意一個有理數(shù)，它的平方是有理數(shù)B．任意一個無理數(shù)，它的平方不是有理數(shù)C．存在一個有理數(shù)，它的平方是有理數(shù)D．存在一個無理數(shù)，它的平方不是有理數(shù)答案B解析根據(jù)存在量詞命題的否定為全稱量詞命題，需先將存在量詞改為全稱量詞，然后否定結(jié)論，故該命題的否定為“任意一個無理數(shù)，它的平方不是有理數(shù)”．考向三由命題的真假求參數(shù)的取值范圍例3(1)(2023·南通模擬)若“?x∈(0，π)，sin2x－ksinx<0”為假命題，則k的取值范圍為()A．(－∞，－2] B．(－∞，2]C．(－∞，－2) D．(－∞，2)答案A解析依題意知，命題“?x∈(0，π)，sin2x－ksinx<0”為假命題，則“?x∈(0，π)，sin2x－ksinx≥0”為真命題，所以2sinxcosx≥ksinx，則k≤2cosx，解得k≤－2，所以k的取值范圍為(－∞，－2]．故選A.(2)(2024·運城期末)函數(shù)g(x)＝ax＋2(a>0)，f(x)＝x2－2x，若?x1∈[－1，2]，?x0∈[－1，2]，使g(x1)＝f(x0)成立，則a的取值范圍是____