第02講 單調(diào)性問題（講義）（原卷版）

第02講單調(diào)性問題目錄考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析（1）結(jié)合實(shí)例，借助幾何直觀了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系．（2）能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過三次）．2022年甲卷第12題，5分2022年I卷第7題，5分2021年浙江卷第7題，5分高考對單調(diào)性的考查相對穩(wěn)定，考查內(nèi)容、頻率、題型、難度均變化不大．高考在本節(jié)內(nèi)容上無論試題怎樣變化，我們只要把握好導(dǎo)數(shù)作為研究函數(shù)的有力工具這一點(diǎn)，將函數(shù)的單調(diào)性本質(zhì)問題利用圖像直觀明了地展示出來，其余的就是具體問題的轉(zhuǎn)化了．知識點(diǎn)一：單調(diào)性基礎(chǔ)問題1、函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)單調(diào)性的判定方法：設(shè)函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果，則為增函數(shù)；如果，則為減函數(shù)．2、已知函數(shù)的單調(diào)性問題=1\*GB3①若在某個區(qū)間上單調(diào)遞增，則在該區(qū)間上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要滿足，才能得出在某個區(qū)間上單調(diào)遞增；=2\*GB3②若在某個區(qū)間上單調(diào)遞減，則在該區(qū)間上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要滿足，才能得出在某個區(qū)間上單調(diào)遞減．知識點(diǎn)二：討論單調(diào)區(qū)間問題類型一：不含參數(shù)單調(diào)性討論（1）求導(dǎo)化簡定義域（化簡應(yīng)先通分，盡可能因式分解；定義域需要注意是否是連續(xù)的區(qū)間）；（2）變號保留定號去（變號部分：導(dǎo)函數(shù)中未知正負(fù)，需要單獨(dú)討論的部分．定號部分：已知恒正或恒負(fù)，無需單獨(dú)討論的部分）；（3）求根作圖得結(jié)論（如能直接求出導(dǎo)函數(shù)等于0的根，并能做出導(dǎo)函數(shù)與x軸位置關(guān)系圖，則導(dǎo)函數(shù)正負(fù)區(qū)間段已知，可直接得出結(jié)論）；（4）未得結(jié)論斷正負(fù)（若不能通過第三步直接得出結(jié)論，則先觀察導(dǎo)函數(shù)整體的正負(fù)）；（5）正負(fù)未知看零點(diǎn)（若導(dǎo)函數(shù)正負(fù)難判斷，則觀察導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)）；（6）一階復(fù)雜求二階（找到零點(diǎn)后仍難確定正負(fù)區(qū)間段，或一階導(dǎo)函數(shù)無法觀察出零點(diǎn)，則求二階導(dǎo)）；求二階導(dǎo)往往需要構(gòu)造新函數(shù)，令一階導(dǎo)函數(shù)或一階導(dǎo)函數(shù)中變號部分為新函數(shù)，對新函數(shù)再求導(dǎo)．（7）借助二階定區(qū)間（通過二階導(dǎo)正負(fù)判斷一階導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而判斷一階導(dǎo)函數(shù)正負(fù)區(qū)間段）；類型二：含參數(shù)單調(diào)性討論（1）求導(dǎo)化簡定義域（化簡應(yīng)先通分，然后能因式分解要進(jìn)行因式分解，定義域需要注意是否是一個連續(xù)的區(qū)間）；（2）變號保留定號去（變號部分：導(dǎo)函數(shù)中未知正負(fù)，需要單獨(dú)討論的部分．定號部分：已知恒正或恒負(fù)，無需單獨(dú)討論的部分）；（3）恒正恒負(fù)先討論（變號部分因?yàn)閰?shù)的取值恒正恒負(fù)）；然后再求有效根；（4）根的分布來定參（此處需要從兩方面考慮：根是否在定義域內(nèi)和多根之間的大小關(guān)系）；（5）導(dǎo)數(shù)圖像定區(qū)間；【解題方法總結(jié)】1、求可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟（1）確定函數(shù)的定義域；（2）求，令，解此方程，求出它在定義域內(nèi)的一切實(shí)數(shù)；（3）把函數(shù)的間斷點(diǎn)（即的無定義點(diǎn)）的橫坐標(biāo)和的各實(shí)根按由小到大的順序排列起來，然后用這些點(diǎn)把函數(shù)的定義域分成若干個小區(qū)間；（4）確定在各小區(qū)間內(nèi)的符號，根據(jù)的符號判斷函數(shù)在每個相應(yīng)小區(qū)間內(nèi)的增減性．注：①使的離散點(diǎn)不影響函數(shù)的單調(diào)性，即當(dāng)在某個區(qū)間內(nèi)離散點(diǎn)處為零，在其余點(diǎn)處均為正（或負(fù)）時，在這個區(qū)間上仍舊是單調(diào)遞增（或遞減）的．例如，在上，，當(dāng)時，；當(dāng)時，，而顯然在上是單調(diào)遞增函數(shù)．②若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則（不恒為0），反之不成立．因?yàn)?，即或，?dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增．當(dāng)時，在這個區(qū)間為常值函數(shù)；同理，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則（不恒為0），反之不成立．這說明在一個區(qū)間上函數(shù)的導(dǎo)數(shù)大于零，是這個函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞增的充分不必要條件．于是有如下結(jié)論：單調(diào)遞增；單調(diào)遞增；單調(diào)遞減；單調(diào)遞減．題型一：利用導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系確定原函數(shù)圖像【例1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，的圖象如圖所示，則的圖象最有可能的是（

）A． B．C． D．【對點(diǎn)訓(xùn)練1】（多選題）（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)榍覍?dǎo)函數(shù)為，如圖是函數(shù)的圖像，則下列說法正確的是A．函數(shù)的增區(qū)間是B．函數(shù)的增區(qū)間是C．是函數(shù)的極小值點(diǎn)D．是函數(shù)的極小值點(diǎn)【對點(diǎn)訓(xùn)練2】（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)的圖象如圖所示（其中是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)），下面四個圖象中可能是圖象的是（

）A． B．C． D．【對點(diǎn)訓(xùn)練3】（2023·陜西西安·校聯(lián)考一模）已知定義在上的函數(shù)的大致圖像如圖所示，是的導(dǎo)函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【解題方法總結(jié)】原函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值的符號的關(guān)系，原函數(shù)單調(diào)遞增導(dǎo)函數(shù)（導(dǎo)函數(shù)等于0，只在離散點(diǎn)成立，其余點(diǎn)滿足）；原函數(shù)單調(diào)遞減導(dǎo)函數(shù)（導(dǎo)函數(shù)等于0，只在離散點(diǎn)成立，其余點(diǎn)滿足）．題型二：求單調(diào)區(qū)間【例2】（2023·江西鷹潭·高三貴溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（

）A． B． C． D．【對點(diǎn)訓(xùn)練4】（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)（）A．嚴(yán)格增函數(shù)B．在上是嚴(yán)格增函數(shù)，在上是嚴(yán)格減函數(shù)C．嚴(yán)格減函數(shù)D．在上是嚴(yán)格減函數(shù)，在上是嚴(yán)格增函數(shù)【對點(diǎn)訓(xùn)練5】（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間（

）A． B． C． D．【對點(diǎn)訓(xùn)練6】（2023·高三課時練習(xí)）函數(shù)（a、b為正數(shù)）的嚴(yán)格減區(qū)間是（

）．A． B．與C．與 D．【解題方法總結(jié)】求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的步驟如下：（1）求的定義域（2）求出．（3）令，求出其全部根，把全部的根在軸上標(biāo)出，穿針引線．（4）在定義域內(nèi)，令，解出的取值范圍，得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；令，解出的取值范圍，得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間．若一個函數(shù)具有相同單調(diào)性的區(qū)間不只一個，則這些單調(diào)區(qū)間不能用“”、“或”連接，而應(yīng)用“和”、“，”隔開．題型三：已知含量參函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)或不單調(diào)或存在單調(diào)區(qū)間，求參數(shù)范圍【例3】（2023·寧夏銀川·銀川一中?？既＃┤艉瘮?shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A． B．C． D．m>1【對點(diǎn)訓(xùn)練7】（2023·陜西西安·統(tǒng)考三模）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【對點(diǎn)訓(xùn)練8】（2023·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)且在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【對點(diǎn)訓(xùn)練9】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【對點(diǎn)訓(xùn)練10】（2023·全國·高三專題練習(xí)）三次函數(shù)在上是減函數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【對點(diǎn)訓(xùn)練11】（2023·青海西寧·高三校考開學(xué)考試）已知函數(shù).若對任意，，且，都有，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【對點(diǎn)訓(xùn)練12】（2023·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【對點(diǎn)訓(xùn)練13】（2023·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)在其定義域的一個子區(qū)間內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【對點(diǎn)訓(xùn)練14】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)（）在區(qū)間上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．【例4】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B．C． D．【對點(diǎn)訓(xùn)練15】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，則（

）A．3 B． C．2 D．【解題方法總結(jié)】（1）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)恒大于等于或恒小于等于零求解，先分析導(dǎo)函數(shù)的形式及圖像特點(diǎn)，如一次函數(shù)最值落在端點(diǎn)，開口向上的拋物線最大值落在端點(diǎn)，開口向下的拋物線最小值落在端點(diǎn)等．（2）已知區(qū)間上函數(shù)不單調(diào)，轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在變號零點(diǎn)，通常用分離變量法求解參變量范圍．（3）已知函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)遞增或遞減區(qū)間，轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上大于零或小于零有解．題型四：不含參數(shù)單調(diào)性討論【例5】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).試判斷函數(shù)在上單調(diào)性并證明你的結(jié)論；【對點(diǎn)訓(xùn)練16】（2023·廣東深圳·高三深圳外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知若，討論的單調(diào)性；【對點(diǎn)訓(xùn)練17】（2023·貴州·校聯(lián)考二模）已知函數(shù)．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)討論在上的單調(diào)性．【對點(diǎn)訓(xùn)練18】（2023·湖南長沙·高三長沙一中校考階段練習(xí)）已知函數(shù)，.(1)若，求a的取值范圍；(2)求函數(shù)在上的單調(diào)性；【對點(diǎn)訓(xùn)練19】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．判斷的單調(diào)性，并說明理由；【解題方法總結(jié)】確定不含參的函數(shù)的單調(diào)性，按照判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟即可，但應(yīng)注意一是不能漏掉求函數(shù)的定義域，二是函數(shù)的單調(diào)區(qū)間不能用并集，要用“逗號”或“和”隔開．題型五：含參數(shù)單調(diào)性討論情形一：函數(shù)為一次函數(shù)【例6】（2023·山東聊城·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)．討論的單調(diào)性；【對點(diǎn)訓(xùn)練20】（2023·湖北黃岡·黃岡中學(xué)?？级＃┮阎瘮?shù).討論函數(shù)的單調(diào)性；【對點(diǎn)訓(xùn)練21】（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù).討論函數(shù)的單調(diào)性；【對點(diǎn)訓(xùn)練22】（2023·福建泉州·泉州五中?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)．討論的單調(diào)性；情形二：函數(shù)為準(zhǔn)一次函數(shù)【對點(diǎn)訓(xùn)練23】（2023·云南師大附中高三階段練習(xí)）已知函數(shù).討論的單調(diào)性；【對點(diǎn)訓(xùn)練24】（2023·北京·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求曲線在處的切線方程；(2)設(shè)，討論函數(shù)的單調(diào)性；【對點(diǎn)訓(xùn)練25】（2023·陜西安康·高三陜西省安康中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù).討論的單調(diào)性；情形三：函數(shù)為二次函數(shù)型方向1、可因式分解【對點(diǎn)訓(xùn)練26】（2023·山東濟(jì)寧·嘉祥縣第一中學(xué)統(tǒng)考三模）已知函數(shù).討論函數(shù)的單調(diào)性；【對點(diǎn)訓(xùn)練27】（2023·湖北咸寧·?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)，其中.討論函數(shù)的單調(diào)性；【對點(diǎn)訓(xùn)練28】（2023·北京海淀·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)．(1)若曲線在點(diǎn)處的切線與軸平行，求；(2)求的單調(diào)區(qū)間．【對點(diǎn)訓(xùn)練29】（2023·廣西玉林·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，.討論的單調(diào)區(qū)間；【對點(diǎn)訓(xùn)練30】（2023·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知.討論的單調(diào)性；方向2、不可因式分解型【對點(diǎn)訓(xùn)練31】（2023·河南駐馬店·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)，．討論的單調(diào)性；【對點(diǎn)訓(xùn)練32】（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)．討論函數(shù)的單調(diào)性；【對點(diǎn)訓(xùn)練33】（2023·廣東·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，.討論的單調(diào)性；【對點(diǎn)訓(xùn)練34】（2023·江蘇·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù).討論函數(shù)的單調(diào)性；【解題方法總結(jié)】1、關(guān)于含參函數(shù)單調(diào)性的討論問題，要根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的情況來作出選擇，通過對新函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)的討論，從而得到原函數(shù)對應(yīng)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，最終判斷原函數(shù)的增減．（注意定義域的間斷情況）．2、需要求二階導(dǎo)的題目，往往通過二階導(dǎo)的正負(fù)來判斷一階導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合一階導(dǎo)函數(shù)端點(diǎn)處的函數(shù)值或零點(diǎn)可判斷一階導(dǎo)函數(shù)正負(fù)區(qū)間段．3、利用草稿圖像輔助說明．情形四：函數(shù)為準(zhǔn)二次函數(shù)型【對點(diǎn)訓(xùn)練35】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，其中.討論函數(shù)的單調(diào)性；【對點(diǎn)訓(xùn)練36】（2023·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知．（）討論的單調(diào)性；【對點(diǎn)訓(xùn)練37】（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知.討論函數(shù)的單調(diào)性；【對點(diǎn)訓(xùn)練38】（2023·重慶沙坪壩·重慶八中校考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，討論函數(shù)的單調(diào)性；題型六：分段分析法討論【例7】（2023·陜西·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知函數(shù)（，且）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；【對點(diǎn)訓(xùn)練39】（2023·廣東廣州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)，其中.討論的單調(diào)性；【對點(diǎn)訓(xùn)練40】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).判斷