第01講 三角函數(shù)的概念與誘導(dǎo)公式（八大題型）（講義）（解析版）

第01講三角函數(shù)的概念與誘導(dǎo)公式目錄考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析（1）了解任意角的概念和弧度制，能進(jìn)行弧度與角度的互化，體會引入弧度制的必要性．（2）理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，．（3）掌握誘導(dǎo)公式，并會簡單應(yīng)用．2023年甲卷第14題，5分2022年浙江卷第13題，5分2021年甲卷第8題，5分高考對此也經(jīng)常以不同的方式進(jìn)行考查，將三角函數(shù)的定義、同角三角函數(shù)關(guān)系式和誘導(dǎo)公式綜合起來考查，且考查得較為靈活，需要深人理解概念、熟練運(yùn)用公式．知識點(diǎn)一：三角函數(shù)基本概念1、角的概念（1）任意角：①定義：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形；②分類：角按旋轉(zhuǎn)方向分為正角、負(fù)角和零角．（2）所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，構(gòu)成的角的集合是．（3）象限角：使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，那么，角的終邊在第幾象限，就說這個角是第幾象限角；如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個角不屬于任何一個象限．（4）象限角的集合表示方法：2、弧度制（1）定義：把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，用符號rad表示，讀作弧度．正角的弧度數(shù)是一個正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是一個負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是0．（2）角度制和弧度制的互化：，，．（3）扇形的弧長公式：，扇形的面積公式：．3、任意角的三角函數(shù)（1）定義：任意角的終邊與單位圓交于點(diǎn)時，則，，．（2）推廣：三角函數(shù)坐標(biāo)法定義中，若取點(diǎn)P是角終邊上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為，則，，三角函數(shù)的性質(zhì)如下表：三角函數(shù)定義域第一象限符號第二象限符號第三象限符號第四象限符號＋＋－－＋－－＋＋－＋－記憶口訣INCLUDEPICTURE"\\\\張紅\\f\\原文件\\2019\\一輪\\數(shù)學(xué)\\A版理\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"\\\\張紅\\f\\原文件\\2019\\一輪\\數(shù)學(xué)\\A版理\\右括.TIF"INET：三角函數(shù)值在各象限的符號規(guī)律：一全正、二正弦、三正切、四余弦．4、三角函數(shù)線如下圖，設(shè)角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P，過P作PM⊥x軸，垂足為M，過A（1，0）作單位圓的切線與α的終邊或終邊的反向延長線相交于點(diǎn)T．三角函數(shù)線有向線段MP為正弦線；有向線段OM為余弦線；有向線段AT為正切線知識點(diǎn)二：同角三角函數(shù)基本關(guān)系1、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系（1）平方關(guān)系：．（2）商數(shù)關(guān)系：；知識點(diǎn)三：三角函數(shù)誘導(dǎo)公式公式一二三四五六角正弦余弦正切口訣函數(shù)名不變，符號看象限函數(shù)名改變，符號看象限【記憶口訣】奇變偶不變，符號看象限，說明：（1）先將誘導(dǎo)三角函數(shù)式中的角統(tǒng)一寫作；（2）無論有多大，一律視為銳角，判斷所處的象限，并判斷題設(shè)三角函數(shù)在該象限的正負(fù)；（3）當(dāng)為奇數(shù)是，“奇變”，正變余，余變正；當(dāng)為偶數(shù)時，“偶不變”函數(shù)名保持不變即可．【解題方法總結(jié)】1、利用可以實(shí)現(xiàn)角的正弦、余弦的互化，利用可以實(shí)現(xiàn)角的弦切互化．2、“”方程思想知一求二．題型一：終邊相同的角的集合的表示與區(qū)別例1．（2023·遼寧·校聯(lián)考一模）已知角的終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的最小正值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，而，所以角的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)可寫為：，所以，因此的最小正值為.故選：D例2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）下列與角的終邊相同的角的表達(dá)式中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】對于A，B，，中角度和弧度混用，不正確；對于C，因?yàn)榕c是終邊相同的角，故與角的終邊相同的角可表示為，C正確；對于D，，不妨取，則表示的角與終邊不相同，D錯誤，故選：C例3．（2023·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）下列各角中與角的終邊相同的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】與角的終邊相同的角為，當(dāng)時，，B正確；經(jīng)驗(yàn)證，其他三個選項(xiàng)均不合要求.故選：B變式1．（2023·北京·高三北大附中?？茧A段練習(xí)）已知角的終邊為射線，則下列正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)榻堑慕K邊為射線，所以，角時，，所以，角的集合為，故A選項(xiàng)錯誤；所以，，故B選項(xiàng)錯誤；，故C選項(xiàng)正確；，故D選項(xiàng)錯誤.故選：C【解題方法總結(jié)】（1）終邊相同的角的集合的表示與識別可用列舉歸納法和雙向等差數(shù)列的方法解決．（2）注意正角、第一象限角和銳角的聯(lián)系與區(qū)別，正角可以是任一象限角，也可以是坐標(biāo)軸角；銳角是正角，也是第一象限角，第一象限角不包含坐標(biāo)軸角．題型二：等分角的象限問題例4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知是銳角，那么是（

）．A．第一象限角 B．第二象限角C．小于180°的正角 D．第一或第二象限角【答案】C【解析】因?yàn)槭卿J角,所以,所以,滿足小于180°的正角.其中D選項(xiàng)不包括，故錯誤.故選：C例5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若角α是第二象限角，則角2α的終邊不可能在()A．第一、二象限 B．第二、三象限C．第三、四象限 D．第一、四象限【答案】A【解析】∵角α是第二象限角，∴k×360°＋90°＜α＜k×360°＋180°，k∈Z.∴2k×360°＋180°＜2α＜2k×360°＋360°，k∈Z.∴2α可能是第三或第四象限角或是終邊在y軸的非正半軸上的角，即其終邊不可能在第一、二象限.故選A.例6．（2023·浙江·高三專題練習(xí)）若角滿足＝(k∈Z)，則的終邊一定在()A．第一象限或第二象限或第三象限B．第一象限或第二象限或第四象限C．第一象限或第二象限或x軸非正半軸上D．第一象限或第二象限或y軸非正半軸上【答案】D【解析】當(dāng)時，，終邊位于第一象限當(dāng)時，，終邊位于第二象限當(dāng)時，，終邊位于軸的非正半軸上當(dāng)時，，終邊位于第一象限綜上可知，則的終邊一定在第一象限或第二象限或軸的非正半軸上故選變式2．（1990·上?！じ呖颊骖}）設(shè)角屬于第二象限，且，則角屬于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】C【解析】為第二象限角，，；當(dāng)時，為第一象限角；當(dāng)時，為第三象限角；為第一或第三象限角；，，為第三象限角.故選：C.變式3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知角的終邊與的終邊重合，則的終邊不可能在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【解析】因?yàn)榻堑慕K邊與的終邊重合，所以，，所以，，令，則，此時的終邊位于第二象限；令，則，此時的終邊位于第三象限；令，則，此時的終邊位于第四象限．所以的終邊不可能在第一象限，故選：A．變式4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若角是第一象限角，則是（

）A．第一象限角 B．第二象限角C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角【答案】C【解析】因?yàn)槭堑谌笙藿牵?，所以，?dāng)為偶數(shù)時，是第一象限角，當(dāng)為奇數(shù)時，是第三象限角.故選：C．【解題方法總結(jié)】先從的范圍出發(fā)，利用不等式性質(zhì)，具體有：（1）雙向等差數(shù)列法；（2）的象限分布圖示．題型三：弧長與扇形面積公式的計(jì)算例7．（2023·上海松江·高三上海市松江二中?？茧A段練習(xí)）已知扇形的圓心角為，扇形的面積為，則該扇形的周長為__________.【答案】【解析】設(shè)扇形的半徑為，利用扇形面積計(jì)算公式，可得；所以該扇形的弧長為，所以周長為.故答案為：例8．（2023·上海徐匯·上海市南洋模范中學(xué)?？既＃┮阎刃螆A心角所對的弧長，則該扇形面積為__________.【答案】【解析】由弧長公式可得，所以扇形面積為，故答案為：例9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在東方設(shè)計(jì)中存在著一個名為“白銀比例”的理念，這個比例為，它在東方文化中的重要程度不亞于西方文化中的“黃金分割比例”，傳達(dá)出一種獨(dú)特的東方審美觀.如圖，假設(shè)扇子是從一個圓面剪下的，扇形的面積為，圓面剩余部分的面積為，當(dāng)時，扇面較為美觀.那么按“白銀比例”制作折扇時，扇子圓心角的弧度數(shù)為____________.【答案】【解析】設(shè)扇子圓心角為，則圓面剩余部分的圓心角為，圓的半徑為，則，，因?yàn)?，即，即，所?故答案為：變式5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）《九章算術(shù)》是中國古代數(shù)學(xué)名著，其對扇形田面積給出“以徑乘周四而一”的算法與現(xiàn)代的算法一致，根據(jù)這一算法解決下列問題：現(xiàn)有一扇形田，下周長（弧長）為20米，徑長（兩段半徑的和）為20米，則該扇形田的面積為_____平方米.【答案】100【解析】因?yàn)閺介L為20米，下周長為20米，所以由題意中“以徑乘周四而一”可知，該扇形菜田的面積平方米。故答案為：100.變式6．（2023·福建廈門·高三福建省廈門第六中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若一個扇形的周長是4為定值，則當(dāng)該扇形面積最大時，其圓心角的弧度數(shù)是__.【答案】2【解析】設(shè)扇形的圓心角弧度數(shù)為，半徑為，則，，當(dāng)且僅當(dāng)，解得時，扇形面積最大.此時.故答案為：2.變式7．（2023·江西鷹潭·高三鷹潭一中校考階段練習(xí)）已知一扇形的圓心角為，半徑為r，弧長為l，若扇形周長為20，當(dāng)這個扇形的面積最大時，則圓心角______弧度．【答案】.【解析】由題意，扇形的圓心角為，半徑為r，弧長為l，且扇形周長為20，可得，即，則扇形的面積，當(dāng)時，扇形面積取得最大值，此時.故答案為：.

【解題方法總結(jié)】應(yīng)用弧度制解決問題的方法（1）利用扇形的弧長和面積公式解題時，要注意角的單位必須是弧度．（2）求扇形面積最大值的問題時，常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題．（3）在解決弧長問題和扇形面積問題時，要合理地利用圓心角所在的三角形．題型四：三角函數(shù)定義題例10．（2023·湖南邵陽·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知是角終邊上的一點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由三角函數(shù)的定義可知，故選：B例11．（2023·全國·高三對口高考）如果點(diǎn)P在角的終邊上，且，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由三角函數(shù)定義知：，，所以，，即P的坐標(biāo)是.故選：B例12．（2023·北京豐臺·北京豐臺二中校考三模）已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，將繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)至，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．1【答案】D【解析】設(shè)射線與軸非負(fù)半軸所成夾角為，則，，射線與軸非負(fù)半軸所成夾角為，則，所以，又，，所以.故選：D變式8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，角的終邊與圓的交點(diǎn)為，那么（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】畫圖，角的終邊與圓的交點(diǎn)為，設(shè)，則，，代入得，解得，∵，∴，∴，又∵在單位圓中，，，∴，，∴，故選：D變式9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，動點(diǎn)P，Q從點(diǎn)出發(fā)在單位圓上運(yùn)動，點(diǎn)P按逆時針方向每秒鐘轉(zhuǎn)弧度，點(diǎn)Q按順時針方向每秒鐘轉(zhuǎn)弧度，則P，Q兩點(diǎn)在第2019次相遇時，點(diǎn)P的坐標(biāo)為________.【答案】【解析】由題意求得，P，Q兩點(diǎn)每一秒鐘相遇一次，則P，Q兩點(diǎn)在第2019次相遇時，經(jīng)過了2019秒，求得點(diǎn)P轉(zhuǎn)過的周數(shù)，可得點(diǎn)P的坐標(biāo)．因?yàn)辄c(diǎn)P按逆時針方向每秒鐘轉(zhuǎn)弧度，點(diǎn)Q按順時針方向每秒鐘轉(zhuǎn)弧度，所以兩點(diǎn)相遇1次的路程是單位圓的周長，即，所以兩點(diǎn)相遇一次用了1秒，因此當(dāng)兩點(diǎn)相遇2019次時，共用了2019秒，所以此時點(diǎn)P所轉(zhuǎn)過的弧度為，由終邊相同的角的概念可知，與的終邊相同，所以此時點(diǎn)P位于y軸上，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為.故答案為：.【解題方法總結(jié)】（1）利用三角函數(shù)的定義，已知角α終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)可求α的三角函數(shù)值；已知角α的三角函數(shù)值，也可以求出角α終邊的位置．（2）判斷三角函數(shù)值的符號，關(guān)鍵是確定角的終邊所在的象限，然后結(jié)合三角函數(shù)值在各象限的符號確定所求三角函數(shù)值的符號，特別要注意不要忽略角的終邊在坐標(biāo)軸上的情況．題型五：象限符號與坐標(biāo)軸角的三角函數(shù)值例13．（2023·全國·高三對口高考）若，則（

）A．且 B．且C．且 D．且【答案】C【解析】由，即為第四象限角，所以且.故選：C例14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)是角終邊上一點(diǎn)，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，則點(diǎn)在第四象限，由，故.故選：C.例15．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知是第二象限角，則點(diǎn)所在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】因?yàn)槭堑诙笙藿牵?，，進(jìn)而硧定，.所以點(diǎn)在第四象限.故選：D變式10．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知是第二象限角，則點(diǎn)（，）所在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【解析】由題意知：，，進(jìn)而得到，，所以點(diǎn)（，）位于第三象限.故選：C變式11．（2023·河南許昌·高三?？计谀┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，點(diǎn)位于第（

）象限A．一 B．二 C．三 D．四【答案】B【解析】因?yàn)椋?，所以點(diǎn)位于第二象限.故選：B變式12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)是第二象限的點(diǎn)，則的終邊位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【解析】∵點(diǎn)是第二象限的點(diǎn)，∴，，由可得，的終邊位于第二象限或第三象限或軸的非正半軸；由可得，的終邊位于第一象限或第三象限，綜上所述，的終邊位于第三象限.故選：C.【解題方法總結(jié)】正弦函數(shù)值在第一、二象限為正，第三、四象限為負(fù)；．余弦函數(shù)值在第一、四象限為正，第二、三象限為負(fù)；．正切函數(shù)值在第一、三象限為正，第二、四象限為負(fù)．題型六：同角求值—條件中出現(xiàn)的角和結(jié)論中出現(xiàn)的角是相同的例16．（2023·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知是三角形的一個內(nèi)角，且滿足，則（

）A．2 B．1 C．3 D．【答案】A【解析】將兩邊同時平方可得，即；所以若，解得，這與是三角形的一個內(nèi)角矛盾，所以，解得，此時求得.故選：A.例17．（2023·山西陽泉·統(tǒng)考二模）已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)椋裕?，所?因?yàn)?，所以，所?因?yàn)?，所?故選：B.例18．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，且，（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，兩邊平方得，故，所以與導(dǎo)號，又因?yàn)?，所以，，所?故選：C.變式13．（2023·貴州銅仁·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?，由題意可得，解得，因此，.故選：B.變式14．（2023·上海浦東新·華師大二附中?？寄M預(yù)測）已知是關(guān)于的方程的兩根，則__________.【答案】【解析】由題意：，所以，所以，即，解得.故答案為：.變式15．（2023·湖南衡陽·高三衡陽市一中?？计谥校┮阎?，則________．【答案】【解析】兩邊平方得：，解得：.故答案為：變式16．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，則______．【答案】【解析】已知①，則，，，，則，，②，聯(lián)立①②，得，，故答案為：.變式17．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若，則________．【答案】【解析】因?yàn)?，則，又因?yàn)?，則，且，解得或（舍去），所以.故答案為：.變式18．（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測）已知，則的值是__________．【答案】5【解析】因?yàn)椋?，故答案為?.變式19．（2023·浙江溫州·樂清市知臨中學(xué)?？级＃┮阎?，則__________.【答案】【解析】因?yàn)?，所以?故答案為：變式20．（2023·全國·高三對口高考）若，求的值為__________.【答案】/【解析】由可得，因?yàn)椴贿m合，故，所以，故，故答案為：【解題方法總結(jié)】（1）若已知角的象限條件，先確定所求三角函數(shù)的符號，再利用三角形三角函數(shù)定義求未知三角函數(shù)值．（2）若無象限條件，一般“弦化切”．題型七：誘導(dǎo)求值與變形例19．（2023·山西陽泉·統(tǒng)考三模）已知，且，則_______．【答案】/【解析】因?yàn)?，所以，故，所?。故答案為：例20．（2023·四川綿陽·統(tǒng)考三模）已知，，則______.【答案】/【解析】由得，由可得，故.故答案為：例21．（2023·陜西西安·高三西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由得，所以在第一、二象限，所以.故選：D.變式21．（2023·陜西西安·高三西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校考階段練習(xí)）若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】利用誘導(dǎo)公式可得，故選：B.變式22．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，的值為，故選：變式23．（2023·陜西西安·長安一中?？级＃┮阎?，則（

）A． B． C．- D．【答案】A【解析】.故選：A.【解題方法總結(jié)】（1）誘導(dǎo)公式用于角的變換，凡遇到與整數(shù)倍角的和差問題可用誘導(dǎo)公式，用誘導(dǎo)公式可以把任意角的三角函數(shù)化成銳角三角函數(shù)．（2）通過等誘導(dǎo)變形把所給三角函數(shù)化成所需三角函數(shù)．（3）等可利用誘導(dǎo)公式把的三角函數(shù)化題型八：同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用例2