2025年高考數學一輪專題復習-數列專題六（含解析）

21世紀教育網精品試卷·第2頁（共2頁）人教A版數學--數列專題六知識點一由遞推數列研究數列的有關性質,由遞推關系證明數列是等差數列,數列新定義典例1、已知為有窮數列．若對任意的,都有（規(guī)定）,則稱具有性質．設．（1）判斷數列是否具有性質？若具有性質,寫出對應的集合;（2）若具有性質,證明:;（3）給定正整數,對所有具有性質的數列,求中元素個數的最小值．隨堂練習：已知數列滿足，，數列的前項和記為.（1）寫出的最大值和最小值；（2）若，求的值；（3）是否存在數列，使得？如果存在，寫出此時的值；如果不存在，說明理由.典例2、已知為實數，數列滿足.（1）當和時，分別寫出數列的前5項；（2）證明：當時，存在正整數，使得；（3）當時，是否存在實數及正整數，使得數列的前項和？若存在，求出實數及正整數的值；若不存在，請說明理由.

隨堂練習：已知數列滿足：，且.記集合.（1）若，寫出集合的所有元素；（2）若集合存在一個元素是3的倍數，證明：的所有元素都是3的倍數；（3）求集合的元素個數的最大值.典例3、已知數列的首項，其中，令集合，．（1）若是數列中首次為1的項，請寫出所有這樣數列的前三項；（2）求證：；（3）當時，求集合中元素個數的最大值．

隨堂練習：已知無窮數列滿足公式，設.（1）若，求的值；（2）若，求的值；（3）給定整數，是否存在這樣的實數，使數列滿足：①數列的前項都不為零；②數列中從第項起，每一項都是零.若存在，請將所有這樣的實數從小到大排列形成數列，并寫出數列的通項公式；若不存在，請說明理由.知識點二利用定義求等差數列通項公式,由遞推關系證明數列是等差數列,反證法證明,利用an與sn關系求通項或項典例4、已知數列{an}的前n項和為Sn，且滿足an＋Sn＝2.(1)求數列{an}的通項公式；(2)求證：數列{an}中不存在三項按原來順序成等差數列．

隨堂練習：已知數列滿足：，，記數列，（1）證明數列是等比數列；（2）求數列的通項公式；（3）是否存在數列的不同項使之稱為等差數列？若存在，請求出這樣的不同項；若不存在，請說明理由．典例5、設數列的前項和為，且，.（1）求證：數列為等比數列；（2）設數列的前項和為，求證：為定值；（3）判斷數列中是否存在三項成等差數列，并證明你的結論.

隨堂練習：已知數列的前項和滿足，數列的前項和滿足且.(1)求數列，的通項公式；(2)設，求數列的前項和;(3)數列中是否存在不同的三項，，，使這三項恰好構成等差數列?若存在，求出，，的關系；若不存在，請說明理由.典例6、已知等比數列的前項和為，，．數列的前項和為，且，．（1）分別求數列和的通項公式；（2）若，為數列的前項和，是否存在不同的正整數，，（其中，，成等差數列），使得，，成等比數列？若存在，求出所有滿足條件的，，的值；若不存在，說明理由．

隨堂練習：若數列的前項和為，且滿足等式.（1）求數列的通項公式；（2）能否在數列中找到這樣的三項，它們按原來的順序構成等差數列？說明理由；（3）令，記函數的圖像在軸上截得的線段長為，設，求，并證明：.人教A版數學--數列專題六典例1、答案：（1）不具有性質,具有性質,（2）證明見解析（3）解：（1）解:由題知,即因為,所以不具有性質,由于,即因為故具有性質,因為故;（2）“”等價于“證明兩個元素至少有一個在中”,假設兩個元素均不在中,則有不妨設,若,則由,可得,與矛盾,故,同理,從而,所以,與具有性質矛盾,所以假設不成立,即;（3）設規(guī)定時,,時,,則,所以,考慮數列,,由題設可知,他們均具有性質,設中元素個數最小值為,所以,所以,由(2)知,從而,當時,令,當時,令,此時均有,所以中元素個數的最小值為.隨堂練習：答案：（1），；（2）0；（3）不存在，理由見解析.解：（1）因為，，所以，解得或，當時，由，解得或，當時，由，解得，所以或或，所以最大值為，最小值為.（2）當時，，則或，此時由知，不滿足，舍去；當時，，則或，滿足，不滿足，舍去；當時，由，得或，由知滿足題意，當時，不滿足題意，綜上，或，或，所以或或，故.（3）由，可得為整數，，所以，則，所以，若存在數列，使得，則，又為整數，所以方程無解，故不存在數列，使得.典例2、答案：（1）當時，當時，（2）證明見解析；（3）存在，與，解：（1）當時，當時，當時，，在數列中直到第一個小于等于的項出現之前，數列是以為首項，為公差的遞減的等差數列即當足夠大時，總可以找到，則存在正整數，使得（i）若，令，則存在正整數，使得（ii）若，，則令，則存在正整數，使得綜上所述，則存在正整數，使得.（3）①當時，當時，當時，令，而此時為奇數，成立，又不成立，所以存在正整數，使得.②當時，所以數列的周期為，當時，當時，當時，當時，所以所以或者是偶數，或者不是整數，即不存在正整數，使得③當時，，當時，綜上所述，當與，時，.隨堂練習：答案：（1）（2）見解析（3）5解：（1）若，則，，，，故中的項的大小從第3項開始周期變化，且周期為2.故.（2）設，若，則，因互質，故為3的倍數；若，則即，因互質，故為3的倍數，依次類推，有均為3的倍數.當時，我們用數學歸納法證明：也是3的倍數.當時，若，則，故為3的倍數；若，則，故為3的倍數，設當時，是3的倍數即為3的倍數，若，則，故為3的倍數；若，則，因為3的倍數，故為3的倍數，故當時，是3的倍數也成立，由數學歸納法可得是3的倍數成立，綜上，的所有元素都是3的倍數.（3）當，則，，，，故的元素個數為5；當，則，故的元素個數為4；當，則，故的元素個數為5；當，則，故的元素個數為5；當，則，故的元素個數為4；當，則，故的元素個數為5；當，則，故的元素個數為5；當，則，故的元素個數為4；當，則，故的元素個數為5；當，則，故的元素個數為5；當，則，故的元素個數為4；當，則，故的元素個數為5；當，則，故的元素個數為1；當時，的元素個數不超過為5，綜上，的元素個數的最大值為5.典例3、答案：（1）27，9，3；8，9，3；6，2，3（2）證明見解析（3）21解：（1）是數列中首次為1的項，又，；或，即或2；同理或，當時，即或8，當時，或1（不合題意，舍去）；所以，滿足條件的數列的前三項為：27，9，3；或8，9，3；或6，2，3．（2）若被3除余1，則由已知可得，，；若被3除余2，則由已知可得，，；若被3除余0，則由已知可得，；所以，所以所以，對于數列中的任意一項，若“，則”．因為，所以．所以數列中必存在某一項（否則會與上述結論矛盾?。┤簦瑒t，；若，則，，若，，由遞推關系易得．（3）集合中元素個數的最大值為21．由已知遞推關系可推得數列滿足：當時，總有成立，其中，，，．下面考慮當時，數列中大于3的各項：按逆序排列各項，構成的數列記為，由（1）可得或9，由（2）的證明過程可知數列的項滿足：，且當是3的倍數時，若使最小，需使，所以，滿足最小的數列中，或7，且，所以，所以數列是首項為或的公比為3的等比數列，所以或，即或，因為，所以，當時，的最大值是6，所以，所以集合中元素個數的最大值為21．隨堂練習：答案：（1）（2）（3）存在這樣的，，理由見解析解：（1）因為，所以；（2）因為，（i）當時，，所以，此時，若，則；若，則.（ii）當時，，所以，此時，若，則；若，則.綜上所述，；（3）存在這樣的，因為，由（2）可知，（i）當時，，所以，（ii）當時，，所以，以此類推，，所以數列的通項公式為.典例4、答案：(1).(2)見證明解：(1)當n＝1時，a1＋S1＝2a1＝2，則a1＝1.又an＋Sn＝2，所以an＋1＋Sn＋1＝2，兩式相減得，所以{an}是首項為1，公比為的等比數列，所以.(2)證明：(反證法)假設存在三項按原來順序成等差數列，記為ap＋1，aq＋1，ar＋1(p＜q＜r，且p，q，r∈N*)，則，所以2·2r－q＝2r－p＋1.①又因為p＜q＜r，所以r－q，r－p∈N*.所以①式左邊是偶數，右邊是奇數，等式不成立．所以假設不成立，原命題得證．隨堂練習：答案：（1）證明見解析；（2）；（3）不存在，理由見解析．解：（1）由已知

，

，

所以

是

為首項，為公比的等比數列

（2）由（1）得

所以

（3）假設存在

滿足題意成等差數列，

代入得

，所以，即

，左偶右奇不可能成立．所以假設不成立，這樣三項不存在典例5、答案：（1）（2）證明見解析（3）數列中不存在三項成等差數列，證明見解析.解:（1）1°當時,,解得.2°當時,,即.因為,所以,從而數列是以2為首項,2為公比的等比數列,所以.（2）因為,所以,故數列是以4為首項,4為公比的等比數列,從而,而,所以.（3）不存在.理由如下.假設中存在三項成等差數列,不妨設第m,n,k（）項成等差數列,則,即.因為,且m,n,,所以.令（）,則,顯然在上是增函數,所以,即,所以,所以,其左邊為負數,右邊為正數,故矛盾,所以數列中不存在三項成等差數列.隨堂練習：答案：(1)；(2)(3)不存在不同的三項，，，使之成等差數列.理由見解析解:(1)當時，.，①當時，.②①-②得，，，故成等比數列，公比，又，.，，數列是一個首項為，公差為的等差數列，，，當時，，且滿足，.（2），.①.②①-②，得..（3）且，.假設存在不同的三項，，，恰好構成等差數列，則，即，化簡得.兩邊同除以，得.（*）不妨設，則，則，且，，與（*）矛盾.不存在不同的三項，，，使之成等差數列.典例6、答案：（1），；（2）不存在，理由見解析.解:（1）因為數列為等比數列，設首項為，公比為，由題意可知，所以，所以，由②可得，即，所以或2，因為，所以，所以，所以，由，可得，所以數列為等差數列，首項為，公差為1，故，則，當時，，當時，也適合上式，故．（2）由，可得，所以，所以，假設存在不同的正整數，，（其中，，成等差數列），使得，，成等比數列，則有，所以，則，即，