2025年高考數(shù)學一輪專題復習-空間向量和立體幾何專題十五（含解析）

21世紀教育網(wǎng)精品試卷·第2頁（共2頁）空間向量和立體幾何高考復習專題十五知識點一證明線面垂直,線面垂直證明線線垂直,線面角的向量求法典例1、如圖，在三棱柱中，平面，，．（1）求證：平面；（2）記和的交點為M，點N在線段上，滿足平面，求直線與平面所成角的正弦值．

隨堂練習：如圖，在三棱柱中，，F(xiàn)是的中點．（1）證明：；（2）求與平面所成角的正弦值．

典例2、在直角梯形中，，，，，M為線段中點，將沿折起，使平面平面，得到幾何體.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.

隨堂練習：如圖，在四邊形ABCD中，BC＝CD，BC⊥CD，AD⊥BD，以BD為折痕把△ABD折起，使點A到達點P的位置，且PC⊥BC．（1）證明：PD⊥平面BCD；（2）若M為PB的中點，二面角P﹣BC﹣D等于60°，求直線PC與平面MCD所成角的正弦值．知識點二證明線面平行,求組合體的體積典例3、如圖所示，在直三棱柱中，D是的中點．（1）證明：平面；（2）設，求三棱錐的體積．

隨堂練習：已知四棱錐中，，平面，點為三等分點（靠近點），，，.（1）求證：平面；（2）求三棱錐的體積．

典例4、如圖，已知在長方體中，，，點E是的中點.（1）求證：平面EBD；（2）求三棱錐的體積.

隨堂練習：如圖，在四棱錐中，是邊長為2的等邊三角形，梯形滿足，，，為的中點．（1）求證：平面；（2）若，求三棱錐的體積．

典例5、如圖所示，在直三棱柱中，（1）當P為的中點時，求證：平面；（2）當時，求三棱錐的體積.

隨堂練習：如圖，在三棱柱中，側棱平面，，，，，點是的中點．（1）求證：平面；（2）求三棱錐的體積．

典例6、如圖，在四棱柱中，點M是線段上的一個動點，E，F(xiàn)分別是的中點.（1）設G為棱上的一點，問：當G在什么位置時，平面平面？（2）設三棱錐的體積為，四棱柱的體積為，求.

隨堂練習：已知正三棱柱中，，是的中點.（1）求證：平面；（2）點是直線上的一點，當與平面所成的角的正切值為時，求三棱錐的體積．空間向量和立體幾何高考復習專題十五答案典例1、答案：（1）證明見解析（2）解：（1）證明：∵在三棱柱中，平面，因為平面，故，因為，，所以平面，∵平面，∴，因為∥，所以，因為，故四邊形為菱形，故，∵，∴平面（2）由平面，平面，平面平面，故，又M為中點，故N為中點.以B為坐標原點，分別以為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系.則，，設平面的法向量，由，得，取，又，設直線與平面所成的角大小為，則即直線與平面所成角的正弦值為.隨堂練習：答案：（1）證明見解析（2）解：（1）取中點為G，連接，在中，根據(jù)勾股定理可得，因此，而已知平面，∴，∴，由余弦定理可得，故,因此平面，而平面，∴．（2）由（1）得，，又平面，故以C為坐標原點，分別為x,y,z軸建立如圖空間直角坐標系，則：，，設平面的法向量為，則，令，可取，又，所以與平面所成角的正弦值．典例2、答案：（1）證明見解析（2）解：（1）證明：在直角梯形中，，，，∴，，從而又平面平面，且平面平面∴平面，平面，∴.又，且，∴平面（2）取的中點O，連接，由題設知為等腰直角三角形，又平面平面，且平面平面，平面連接，因為M，O分別為和的中點，由（1）可知，以分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，則，，，，，，設平面的法向量為，則，令，則設直線與平面所成角為θ，故直線與平面所成角的正弦值為.隨堂練習：答案：（1）證明見解析（2）解：（1）∵BC⊥CD，BC⊥PC，且PC∩CD＝C，∴BC⊥平面PCD，又∵PD?平面PCD，∴BC⊥PD．∵PD⊥BD，BD∩BC＝B，∴PD⊥平面BCD；（2）∵PC⊥BC，CD⊥BC，∴∠PCD是二面角P﹣BC﹣D的平面角，則∠PCD＝60°，因此，取BD的中點O，連接OM，OC，由已知可得OM，OC，OD兩兩互相垂直，以O為坐標原點，分別以OC，OD，OM所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，設OB＝1，則P（0，1，），C（1，0，0），D（0，1，0），M（0，0，），，，．設平面MCD的一個法向量為，由，取z，得．∴cos．故直線PC與平面MCD所成角的正弦值為．典例3、答案：（1）證明見解析（2）.解：（1）連，交于，則為的中點，連，因為為的中點，所以，因為平面，平面，所以平面.（2）因為，，所以，所以，所以.隨堂練習：答案：（1）證明見解析（2）解：（1）取三等分點，所以，，即又因為，，，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，即平面.（2）因為為三等分點，所以，，平面，平面平面，且平面平面，過點作的垂線交延長線于，如下圖所示：由線面垂直的性質有平面，所以點到平面的距離為，記，因為，，，所以，，，.即三棱錐的體積為.典例4、答案：（1）證明見解析（2）1解：（1）因為四邊形ABCD為矩形，且，則O為AC的中點，又因為E為的中點，則，∵平面EBD，平面EBD，因此，平面EBD；（2）在長方體中，平面，因此，.隨堂練習：答案：（1）證明見解析；（2）解：（1）取中點，連接，易得且，又，，則，則四邊形為平行四邊形，則，又平面，平面，則平面；（2）取中點，連接，則，又，則四邊形為平行四邊形，則，，又，，則，又平面，，則平面，又，，則.典例5、答案：（1）證明見解析（2）解：（1）連接交于點，連接，因為為棱柱，所以四邊形為平行四邊形，所以為的中點，又為的中點，所以，因為平面，平面所以∥平面..（2）因為為直棱柱，所以平面，平面，所以，又，交于C點，平面，所以平面，同理平面，又平面，所以，因為，，平面，所以平面，平面，所以在直棱柱中.，則，所以，則.所以，所以又，平面，隨堂練習：答案：（1）證明見解析；（2）4.解：（1）證明：設與的交點為，連接，∵是的中點，是的中點，∴，∵平面，平面，∴平面．（2）取的中點，連接，，直三棱柱中，平面，而平面，故，∵為的中點，∴且．又∵，，，∴平面，∴平面．∵，∴．典例6、答案：（1）G為中點時，平面平面；（2）解：（1）G為中點時，平面平面，理由如下：連接，取的中點，連接，因為E，F(xiàn)分別是的中點，則，平面，平面，則平面，同理可得，平面，平面，則平面，又，平面，則平面平面；（2）由F是的中點得，又，平面，平面，則平面，又點M是線段上的一個動點，則，則，則.隨堂練習：答案：（1）證明見解析