2025高考總復(fù)習(xí)專項(xiàng)復(fù)習(xí)-圓錐曲線的方程專題一

21世紀(jì)教育網(wǎng)精品試卷·第2頁(yè)（共2頁(yè)）人教A版數(shù)學(xué)--高考解析幾何復(fù)習(xí)專題一知識(shí)點(diǎn)一求橢圓中的最值問題典例1、如圖，橢圓的左、右焦點(diǎn)為，過的直線與橢圓相交于、兩點(diǎn).（1）若，且求橢圓的離心率.（2）若，求的最大值和最小值.

隨堂練習(xí)：已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，橢圓E的離心率為，且通徑長(zhǎng)為1．（1）求E的方程；（2）直線l與E交于M，N兩點(diǎn)（M，N在x軸的同側(cè)），當(dāng)時(shí)，求四邊形面積的最大值．典例2、已知橢圓：與拋物線：有相同的焦點(diǎn)，拋物線的準(zhǔn)線交橢圓于，兩點(diǎn)，且.（1）求橢圓與拋物線的方程；（2）為坐標(biāo)原點(diǎn)，過焦點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，求面積的最大值.

隨堂練習(xí)：在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的離心率為，過點(diǎn)，且是橢圓的內(nèi)接三角形.（1）若點(diǎn)為橢圓的上頂點(diǎn)，且原點(diǎn)為的垂心，求線段的長(zhǎng)；（2）若點(diǎn)為橢圓上的一動(dòng)點(diǎn)，且原點(diǎn)為的重心，求原點(diǎn)到直線距離的最小值.典例3、在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，過點(diǎn)的動(dòng)直線與過點(diǎn)的動(dòng)直線的交點(diǎn)為P，，的斜率均存在且乘積為，設(shè)動(dòng)點(diǎn)Р的軌跡為曲線C.（1）求曲線C的方程;（2）若點(diǎn)M在曲線C上，過點(diǎn)M且垂直于OM的直線交C于另一點(diǎn)N，點(diǎn)M關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為Q.直線NQ交x軸于點(diǎn)T，求的最大值.

隨堂練習(xí)：對(duì)于橢圓，有如下性質(zhì)：若點(diǎn)是橢圓外一點(diǎn)，，是橢圓的兩條切線，則切點(diǎn)A，B所在直線的方程是，可利用此結(jié)論解答下列問題．已知橢圓C：和點(diǎn)，過點(diǎn)P作橢圓C的兩條切線，切點(diǎn)是A，B，記點(diǎn)A，B到直線（O是坐標(biāo)原點(diǎn)）的距離是，．（1）當(dāng)時(shí)，求線段的長(zhǎng)；（2）求的最大值．

知識(shí)點(diǎn)二根據(jù)橢圓過的點(diǎn)求標(biāo)準(zhǔn)方程,橢圓中的直線過定點(diǎn)問題典例4、已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，且經(jīng)過點(diǎn).（1）求C的方程；（2）過點(diǎn)斜率互為相反數(shù)的兩條直線，分別交橢圓C于A，B兩點(diǎn)（A，B在x軸同一側(cè)）.求證：直線過定點(diǎn)，并求定點(diǎn)的坐標(biāo).隨堂練習(xí)：已知橢圓：過點(diǎn)，過右焦點(diǎn)作軸的垂線交橢圓于，兩點(diǎn)，且.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）點(diǎn)，在橢圓上，且.證明：直線恒過定點(diǎn).典例5、已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，其右頂點(diǎn)為．（1）求橢圓的方程；（2）若點(diǎn)、在橢圓上，且滿足直線與的斜率之積為，證明直線經(jīng)過定點(diǎn)．隨堂練習(xí)：已知F是橢圓的左焦點(diǎn)，焦距為4，且C過點(diǎn)．（1）求C的方程；（2）過點(diǎn)F作兩條互相垂直的直線l1，l2，若l1與C交于A，B兩點(diǎn)，l2與C交于D，E兩點(diǎn)，記AB的中點(diǎn)為M，DE的中點(diǎn)為N，試判斷直線MN是否過定點(diǎn)，若過點(diǎn)，請(qǐng)求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由．典例6、已知橢圓T：經(jīng)過以下四個(gè)不同點(diǎn)中的某三個(gè)點(diǎn)：，，，．（1）求橢圓T的方程；（2）將橢圓T上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)縮短為原來(lái)的倍，橫坐標(biāo)不變，得到橢圓E．已知M，N兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，點(diǎn)F是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且直線，分別交橢圓E于G，H（G，H分別異于M，N點(diǎn)）兩點(diǎn)，試判斷直線是否恒過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由．隨堂練習(xí)：已知橢圓：（）的左、右頂點(diǎn)分別為，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線：與的兩個(gè)交點(diǎn)和，構(gòu)成一個(gè)面積為的菱形.（1）求的方程；（2）圓過，，交于點(diǎn)，，直線，分別交于另一點(diǎn)，.①求的值；②證明：直線過定點(diǎn).人教A版數(shù)學(xué)--高考解析幾何復(fù)習(xí)專題一答案典例1、答案：（1）；（2）最大值；最小值.解:（1），因?yàn)?。所以，所以，所以?）由于，得，則.①若垂直于軸，則，所以，所以②若與軸不垂直，設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為由得，方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根.設(shè)，.,=，所以當(dāng)直線垂于軸時(shí)，取得最大值當(dāng)直線與軸重合時(shí)，取得最小值隨堂練習(xí)：答案：（1）；（2）2.解:（1）依題意可知，解得故橢圓的方程為．（2）延長(zhǎng)交E于點(diǎn)，由（1）可知，設(shè)，設(shè)的方程為，由得，故．設(shè)與的距離為d，則四邊形的面積為S，，又因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故四邊形面積的最大值為2．典例2、答案：（1）橢圓的方程為：，拋物線的方程為：；（2）最大值為1.解：（1）因?yàn)?，所以不妨設(shè)的坐標(biāo)為，的坐標(biāo)為，所以有：，∴，，∴橢圓的方程為：，拋物線的方程為：；（2）由（1）可知：的坐標(biāo)為：，設(shè)直線的方程為：，到的距離為，則，聯(lián)立可得：，則，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故面積的最大值為1.隨堂練習(xí)：答案：（1）；（2）.解：（1）設(shè)焦距為，由題意知：，因此，橢圓的方程為：；由題意知：，故軸，設(shè)，則，，，解得：或，，不重合，故，，故；（2）設(shè)中點(diǎn)為，直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，為的重心，則，當(dāng)斜率不存在時(shí)，點(diǎn)在軸上，所以此時(shí)點(diǎn)在長(zhǎng)軸的端點(diǎn)處由,則，則到直線的距離為1；當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)：，，，則，所以，所以，即也即，則，則：，，代入式子得：，設(shè)到直線的距離為，則時(shí)，；綜上，原點(diǎn)到直線距離的最小值為.典例3、答案：（1）（2）解：（1）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，定點(diǎn)，，直線與直線的斜率之積為，，（2）設(shè)，，，則，，所以又，所以，又即，則直線：，直線：，由，解得，即，所以令，則，所以因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，所以的最大值為；隨堂練習(xí)：答案：（1）；（2）．解:（1）當(dāng)時(shí)，直線方程為，聯(lián)立，得．設(shè)，，則，．則．（2）直線：，即，直線：．設(shè)，，則，記，則，法一：常規(guī)換元法令，，則，當(dāng)即時(shí)取得等號(hào)，則的最大值是．法二：分離常數(shù)法，顯然時(shí)不取得最大值，則，當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，則的最大值是．典例4、答案：（1）；（2）證明見解析，.解:（1）由題意得，得，所以橢圓方程為：，將代入橢圓方程得：，解得，故橢圓C的方程為（2）證明：由題意可知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得.設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為，則，且，因?yàn)橹本€，斜率互為相反數(shù)，即，所以，則，即，即，所以，化簡(jiǎn)得，所以直線的方程為，故直線過定點(diǎn)隨堂練習(xí)：答案：（1）（2）證明見解析解：（1）由已知得當(dāng)時(shí)，，又因?yàn)闄E圓過點(diǎn)，則，聯(lián)立解得，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）證明設(shè)點(diǎn)，，因?yàn)?，即，?*當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為.代入橢圓方程消去得，，，，根據(jù)，.代入*整理，得，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系可得，.即，當(dāng)時(shí)，直線方程為.過點(diǎn)，不符合條件.當(dāng)時(shí)，直線方程為，故直線恒過定點(diǎn).當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，令點(diǎn)，此時(shí)，又.可得（舍去）或.當(dāng)時(shí)，與點(diǎn)重合，與已知條件不符，∴直線的斜率一定存在，故直線恒過定點(diǎn).典例5、答案：（1）（2）證明見解析解：（1）由題意可知，，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓的方程可得，可得，因此，橢圓的方程為.（2）證明：若軸，則點(diǎn)、關(guān)于軸對(duì)稱，則直線與也關(guān)于軸對(duì)稱，從而直線與的斜率互為相反數(shù)，不合乎題意.設(shè)直線方程為，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立，可得，，可得，由韋達(dá)定理可得，，因?yàn)?，整理可得，即，化?jiǎn)得，即，可得或.當(dāng)時(shí)，直線的方程為，此時(shí)直線過點(diǎn)，不合乎題意；當(dāng)時(shí)，直線的方程為，此時(shí)直線過定點(diǎn)，合乎題意.隨堂練習(xí)：答案：（1）（2）過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為解：（1）依題意，由解得，所以橢圓的方程為.（2）由題意知，當(dāng)其中一條的斜率不存在時(shí)，另外一條的斜率為，此時(shí)直線為軸；當(dāng)?shù)男甭识即嬖谇也粸闀r(shí)，設(shè)，設(shè)，聯(lián)立，整理得，，，則，所以的中點(diǎn)，同理由，可得的中點(diǎn)，則，所以直線的方程為，化簡(jiǎn)得，故直線恒過定點(diǎn)．綜上，直線過定點(diǎn).典例6、答案：（1）；（2）直線恒過定點(diǎn).解:（1）由題意可得A，C一定在橢圓上，即①，若B在橢圓上，則②，由①②可得，不存在，所以D在橢圓上，可得③，由①③可得，，所以橢圓的方程為：；（2）將橢圓T上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)縮短為原來(lái)的倍，橫坐標(biāo)不變，設(shè)E上的點(diǎn)為：，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，由題意可得，，所以，，所以E的方程，設(shè)，，，，所以直線的方程為：，直線的方程，聯(lián)立直線與橢圓的方程整理可得，所以，，即，聯(lián)立直線NF與橢圓的方程：整理可得，所以，即，所以直線的斜率為：，所以直線的方程為：，整理可得，當(dāng)，.所以直線恒過定點(diǎn)．隨堂練習(xí)：答案：（1）（2）①②證明見解析解：（1）因?yàn)橹本€：與的兩個(gè)交點(diǎn)和，構(gòu)成的四邊形是菱形，所以垂直平分，所以，.設(shè)為直線與的一個(gè)交點(diǎn)，則菱形的面積為.因?yàn)榱庑蔚拿娣e為，所以，解得，即.