2025高考總復(fù)習(xí)專項(xiàng)復(fù)習(xí)-概率專題十三（含解析）

21世紀(jì)教育網(wǎng)精品試卷·第2頁(yè)（共2頁(yè)）人教A版數(shù)學(xué)--概率專題十三知識(shí)點(diǎn)一頻率分布直方圖的實(shí)際應(yīng)用,由頻率分布直方圖估計(jì)平均數(shù),利用對(duì)立事件的概率公式求概率典例1、如圖是某校高三（1）班的一次數(shù)學(xué)知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的莖葉圖（圖中僅列出、的數(shù)據(jù)）和頻率分布直方圖.（1）求全班人數(shù)以及頻率分布直方圖中的、；（2）估計(jì)學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)的平均數(shù)和中位數(shù)（保留兩位小數(shù)）.（3）從得分在和中學(xué)生中隨機(jī)抽取兩人，求所抽取的兩人中至少有一人的得分在區(qū)間的概率是多少？

隨堂練習(xí)：為了選擇奧賽培訓(xùn)對(duì)象，今年月我校進(jìn)行一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽，從參加競(jìng)賽的同學(xué)中，選取名同學(xué)將其成績(jī)分成六組：第組，第組，第組，第組，第組，第組，得到頻率分布直方圖（如圖），觀察圖形中的信息，回答下列問(wèn)題：（1）利用組中值估計(jì)本次考試成績(jī)的平均數(shù)；（2）從頻率分布直方圖中，估計(jì)第百分位數(shù)是多少；（3）已知學(xué)生成績(jī)?cè)u(píng)定等級(jí)有優(yōu)秀?良好?一般三個(gè)等級(jí)，其中成績(jī)不小于分時(shí)為優(yōu)秀等級(jí)，若從第組和第組兩組學(xué)生中，隨機(jī)抽取人，求所抽取的人中至少人成績(jī)優(yōu)秀的概率.典例2、某中學(xué)為研究本校高三學(xué)生在市聯(lián)考中的語(yǔ)文成績(jī)，隨機(jī)抽取了100位同學(xué)的語(yǔ)文成績(jī)作為樣本，得到以分組的樣本頻率分布直方圖如圖．（1）求直方圖中的值；（2）請(qǐng)估計(jì)本次聯(lián)考該校語(yǔ)文成績(jī)的中位數(shù)和平均數(shù)；（3）樣本內(nèi)語(yǔ)文分?jǐn)?shù)在的兩組學(xué)生中，用分層抽樣的方法抽取5名學(xué)生，再?gòu)倪@5名學(xué)生中隨機(jī)選出2人，求選出的兩名學(xué)生中恰有一人成績(jī)?cè)谥械母怕剩?/p>

隨堂練習(xí)：某校為檢測(cè)高一年級(jí)學(xué)生疫情期間網(wǎng)課的聽課效果，從年級(jí)隨機(jī)抽取名學(xué)生期初考試數(shù)學(xué)成績(jī)（單位：分），畫出頻率分布直方圖如圖所示，其中成績(jī)分組區(qū)間是、、、、.（1）求圖中的值，并根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)這名學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分；（2）從和分?jǐn)?shù)段內(nèi)采用分層抽樣的方法抽取名學(xué)生，再?gòu)倪@名學(xué)生中隨機(jī)抽取名學(xué)生進(jìn)行座談，求這名學(xué)生中有兩名成績(jī)?cè)诘母怕剩唬?）已知（2）問(wèn)中抽取的名同學(xué)中含有甲、乙兩人，甲已經(jīng)被抽出座談，求乙也參與座談的概率.

典例3、為響應(yīng)國(guó)家“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”的號(hào)召、培養(yǎng)同學(xué)們的“社會(huì)主義核心價(jià)值觀”，我校團(tuán)委鼓勵(lì)全校學(xué)生積極學(xué)習(xí)相關(guān)知識(shí)，并組織知識(shí)競(jìng)賽．今隨機(jī)對(duì)其中的名同學(xué)的初賽成績(jī)滿分：分作統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖有數(shù)據(jù)缺失．請(qǐng)大家完成下面的問(wèn)題：（1）根據(jù)直方圖求以下表格中、的值；成績(jī)頻數(shù)（2）求參賽同學(xué)初賽成績(jī)的平均數(shù)同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表；（3）若從這名參加初賽的同學(xué)中按等比例分層抽樣的方法抽取一個(gè)容量為的樣本，再在該樣本中成績(jī)不低于分的同學(xué)里任選人繼續(xù)參加教育局組織的校際比賽，求抽到的人中恰好人的分?jǐn)?shù)低于分且人的分?jǐn)?shù)不低于分的概率．（寫出求解步驟）

隨堂練習(xí)：《漢字聽寫大會(huì)》不斷創(chuàng)收視新高，為了避免“書寫危機(jī)”，弘揚(yáng)傳統(tǒng)文化，某市大約10萬(wàn)名市民進(jìn)行了漢字聽寫測(cè)試現(xiàn)從某社區(qū)居民中隨機(jī)抽取50名市民的聽寫測(cè)試情況，發(fā)現(xiàn)被測(cè)試市民正確書寫漢字的個(gè)數(shù)全部在160到184之間，將測(cè)試結(jié)果按如下方式分成六組：第1組，第2組，…，第6組，如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖．（1）若電視臺(tái)記者要從抽取的市民中選1人進(jìn)行采訪，求被采訪人恰好在第2組或第6組的概率；（2）試估計(jì)該市市民正確書寫漢字的個(gè)數(shù)的平均數(shù)與中位數(shù)；（3）已知第4組市民中有3名男性，組織方要從第4組中隨機(jī)抽取2名市民組成弘揚(yáng)傳統(tǒng)文化宣傳隊(duì)，求至少有1名女性市民的概率．知識(shí)點(diǎn)二觀察莖葉圖比較數(shù)據(jù)的特征,獨(dú)立性檢驗(yàn)解決實(shí)際問(wèn)題典例4、某商場(chǎng)為提高服務(wù)質(zhì)量，隨機(jī)調(diào)查了20名男顧客和20名女顧客，根據(jù)每位顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)質(zhì)量的評(píng)分（滿分100分）繪制了如圖所示的莖葉圖.（1）根據(jù)莖葉圖判斷男、女顧客中，哪類顧客對(duì)該商場(chǎng)的服務(wù)質(zhì)量更認(rèn)可？并說(shuō)明理由；（2）將這40名顧客的評(píng)分的中位數(shù)記為，并將評(píng)分超過(guò)和不超過(guò)的顧客數(shù)填入下面的列聯(lián)表；超過(guò)不超過(guò)男顧客女顧客（3）根據(jù)（2）中的列聯(lián)表，能否有90％的把握認(rèn)為顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)質(zhì)量的評(píng)分與性別有關(guān)？附：.0.100.050.0100.0012.7063.8416.63510.828

隨堂練習(xí)：根據(jù)某賽季甲、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員每場(chǎng)比賽得分的原始記錄數(shù)據(jù)繪制了如下莖葉圖：（1）根據(jù)莖葉圖判斷哪位運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)更好？并說(shuō)明理由；（2）求24個(gè)得分的中位數(shù)m，并將所得分超過(guò)m和不超過(guò)m的得分?jǐn)?shù)填入下面的列聯(lián)表，并根據(jù)該列聯(lián)表，判斷能否有90%的把握認(rèn)為甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員的每場(chǎng)比賽得分有差異？超過(guò)m不超過(guò)m甲乙附：52.0722.7063.841典例5、為推行“新課堂”教學(xué)法，某老師分別用傳統(tǒng)教學(xué)和“新課堂”兩種不同的教學(xué)方式在甲、乙兩個(gè)平行班進(jìn)行教學(xué)實(shí)驗(yàn)，為了解教學(xué)效果，期中考試后，分別從兩個(gè)班級(jí)中各隨機(jī)抽取20名學(xué)生的成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，作出如圖所示的莖葉圖，若成績(jī)大于70分為“成績(jī)優(yōu)良”.（1）由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫下面2×2列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的前提下認(rèn)為“成績(jī)優(yōu)良與教學(xué)方式有關(guān)”?甲班乙班總計(jì)成績(jī)優(yōu)良成績(jī)不優(yōu)良總計(jì)（2）從甲、乙兩班40個(gè)樣本中，成績(jī)?cè)?0分以下(不含60分)的學(xué)生中任意選取2人，記ξ為所抽取的2人中來(lái)自乙班的人數(shù)，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望.附:K2=(n=a+b+c+d)，P(K2≥k0)0.100.050.0250.010k02.7063.8415.0246.635

隨堂練習(xí)：某單位隨機(jī)抽取了15名男職工和15名女職工，對(duì)他們的飲食習(xí)慣進(jìn)行了一次調(diào)查，并用如圖所示的莖葉圖表示他們的飲食指數(shù).（說(shuō)明：圖中飲食指數(shù)低于70的人，喜食蔬菜；飲食指數(shù)高于70的人，喜食肉類.）喜食蔬菜喜食肉類總計(jì)男女合計(jì)（1）通過(guò)觀察莖葉圖，對(duì)男?女職工的飲食指數(shù)進(jìn)行比較，請(qǐng)直接寫出兩條統(tǒng)計(jì)結(jié)論；（2）完成列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認(rèn)為該單位員工的飲食習(xí)慣與性別有關(guān).參考公式及附表：.0.050.0250.0100.0050.0013.8415.0246.6357.87910.828典例6、為考查某種藥物預(yù)防疾病的效果，進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn)，得到如下丟失數(shù)據(jù)的列聯(lián)表：患病未患病總計(jì)沒服用藥203050服用藥xy50總計(jì)MN100設(shè)從沒服用藥的動(dòng)物中任取2只，未患病數(shù)為：從服用藥物的動(dòng)物中任取2只，未患病數(shù)為，工作人員曾計(jì)算過(guò)（1）求出列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，y，M，N的值：（2）求與的均值（期望）并比較大小，請(qǐng)解釋所得結(jié)論的實(shí)際含義：（3）能夠以99%的把握認(rèn)為藥物有效嗎？（參考公式，其中P（K2≥k）0.100.050.0100.001k2.7063.8416.63510.828

隨堂練習(xí)：某種疾病可分為Ⅰ、Ⅱ兩種類型．為了解該疾病類型與性別的關(guān)系，在某地隨機(jī)抽取了患該疾病的病人進(jìn)行調(diào)查，其中男性人數(shù)為z，女性人數(shù)為2z，男性患Ⅰ型病的人數(shù)占男性病人的，女性患Ⅰ型病的人數(shù)占女性病人的．（1）完成下面的2×2列聯(lián)表．若在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的前提下認(rèn)為“所患疾病類型”與“性別”有關(guān)，則男性患者至少有多少人？Ⅰ型?、蛐筒『嫌?jì)男女合計(jì)（2）某藥品研發(fā)公司欲安排甲、乙兩個(gè)研發(fā)團(tuán)隊(duì)來(lái)研發(fā)此疾病的治療藥物，兩個(gè)團(tuán)隊(duì)各至多安排2個(gè)接種周期進(jìn)行試驗(yàn)，每人每次接種花費(fèi)元．甲團(tuán)隊(duì)研發(fā)的藥物每次接種后產(chǎn)生抗體的概率為p，根據(jù)以往試驗(yàn)統(tǒng)計(jì)，甲團(tuán)隊(duì)平均花費(fèi)為；乙團(tuán)隊(duì)研發(fā)的藥物每次接種后產(chǎn)生抗體的概率為q，每個(gè)周期必須完成3次接種，若一個(gè)周期內(nèi)至少出現(xiàn)2次抗體，則該周期結(jié)束后終止試驗(yàn)，否則進(jìn)入第二個(gè)接種周期．假設(shè)兩個(gè)研發(fā)團(tuán)隊(duì)每次接種后產(chǎn)生抗體與否均相互獨(dú)立．若，從兩個(gè)團(tuán)隊(duì)試驗(yàn)的平均花費(fèi)考慮，該公司應(yīng)選擇哪個(gè)團(tuán)隊(duì)進(jìn)行藥品研發(fā)？人教A版數(shù)學(xué)--概率專題十三答案典例1、答案：（1）25（人），，（2）平均數(shù)為71.4，中位數(shù)約為；（3）.解：（1）分?jǐn)?shù)在的頻率為，由莖葉圖知，分?jǐn)?shù)在之間的頻數(shù)為，∴全班人數(shù)為（人），（2）分?jǐn)?shù)在之間的頻數(shù)為，則，由解得；平均數(shù)為，∵，∴中位數(shù)在內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為，則，解得，∴中位數(shù)約為；（3）得分在內(nèi)的人數(shù)為人，記為、、，得分在內(nèi)的人數(shù)為人，記為、，從這人中隨機(jī)抽取兩人的所有基本事件為：、、、、、、、、、，共個(gè)，其中所抽取的兩人都在的基本事件為：、、共個(gè)，則所抽取的兩人中至少有一人的得分在區(qū)間的概率為.隨堂練習(xí)：答案：（1）（2）（3）解：（1）由頻率分布直方圖可知平均數(shù)（2）成績(jī)?cè)诘念l率為，成績(jī)?cè)诘念l率為，第百分位數(shù)位于，設(shè)其為，則，解得：，第百分位數(shù)為.（3）第組的人數(shù)為：人，可記為；第組的人數(shù)為：人，可記為；則從中任取人，有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共種情況；其中至少人成績(jī)優(yōu)秀的情況有：，，，，，，，，，，，，，，，共種情況；至少人成績(jī)優(yōu)秀的概率.典例2、答案：（1）0.01；（2）中位數(shù)是，平均數(shù)是；（3）.解：（1）由頻率分布直方圖得：.（2）由頻率分布直方圖知，分?jǐn)?shù)在區(qū)間、的頻率分別為0.34，0.62，因此，該校語(yǔ)文成績(jī)的中位數(shù)，則，解得，語(yǔ)文成績(jī)的平均數(shù)為，所以該校語(yǔ)文成績(jī)的中位數(shù)是，語(yǔ)文成績(jī)的平均數(shù)是.（3）由頻率分布直方圖知，分?jǐn)?shù)在內(nèi)分別有8人和2人，因此抽取的5人中，分?jǐn)?shù)在內(nèi)有人，在內(nèi)有1人，記內(nèi)的4人為a，b，c，d，在內(nèi)的1人為F，從5人中任取2人的結(jié)果有：，共10個(gè)不同結(jié)果，它們等可能，選出的2人中恰有一人成績(jī)?cè)谥械慕Y(jié)果是：，所以選出的兩名學(xué)生中恰有一人成績(jī)?cè)谥械母怕适?隨堂練習(xí)：答案：（1），平均分為（分）（2）（3）解：（1）依題意得，解得，這名學(xué)生的數(shù)學(xué)平均分為（分）.（2）由（1）可知，成績(jī)?cè)诤椭械膶W(xué)生人數(shù)比為，所以用分層抽樣方法抽取成績(jī)?cè)诤椭械膶W(xué)生人數(shù)分別為人和人，設(shè)成績(jī)?cè)谥械娜藶?、、，成?jī)?cè)谥械亩藶椤ⅲ瑥倪@人中任取三人的所有可能情況為：、、、、、、、、、，共種，而有兩名成績(jī)?cè)谥械挠?、、、、、，共種，故所求概率為.（3）由題可知，乙也參加座談屬于條件概率，設(shè)（2）中人分別為：甲、乙、、、，甲被抽出的情況為：甲乙、甲乙、甲乙、甲、甲、甲，共6種，在甲參加的條件下乙也參加的情況有：甲乙、甲乙、甲乙，共種，故甲已經(jīng)被抽出座談，乙也參與座談的概率為.典例3、答案：（1），；（2）（3）解：（1）因?yàn)閭€(gè)體在區(qū)間內(nèi)的頻率是，所以頻數(shù)在內(nèi)的頻率是，所以頻數(shù)（2）平均數(shù)為；（3）由等比例分層抽樣的方法抽取一個(gè)容量為的樣本，則抽樣比例為，在區(qū)間和內(nèi)抽取的人數(shù)各為和，分別記這人為、、、、和、，則事件的總體是，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共有個(gè)基本事件，記所求的事件為，則中包含的基本事件為：，，，，，，，，，，共個(gè)基本事件，所以.隨堂練習(xí)：答案：（1）（2）平均數(shù)；中位數(shù)（3）解：（1）由頻率分布直方圖可知：被采訪人恰好在第2組或第6組的概率（2）設(shè)平均數(shù)為,則（3）設(shè)中位數(shù)為，則∴中位數(shù)共人，其中男生3人，設(shè)為，，，女生三人，設(shè)為，，，則任選2人，基本事件有，，，，，，，，，，，，共15種，其中兩個(gè)全是男生的有，，共3種情況，設(shè)事件：至少有1名女性，則至少有1名女性市民的概率典例4、答案：（1）男顧客，理由見解析（2）列聯(lián)表見解析（3）沒有解：（1）男顧客對(duì)該商場(chǎng)的服務(wù)質(zhì)量更認(rèn)可.理由如下：由莖葉圖可知，男顧客的評(píng)分更多集中在，女顧客的評(píng)分更多集中在，故男顧客對(duì)該商場(chǎng)的服務(wù)質(zhì)量更認(rèn)可.（考生如果給出其他合理理由也可得分）（2）由莖葉圖可知，.列聯(lián)表如下：超過(guò)不超過(guò)男顧客119女顧客713（3）故沒有90％的把握認(rèn)為對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)質(zhì)量的評(píng)分與性別有關(guān).隨堂練習(xí)：答案：（1）乙運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)更好，答案見解析（2）表格見解析，沒有解：（1）乙運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)更好，理由如下：（?。┯汕o葉圖可知：乙運(yùn)動(dòng)員的得分基本上是對(duì)稱的，葉的分布是“單峰”的，有的葉集中在莖3，4上；甲運(yùn)動(dòng)員的得分基本上也是對(duì)稱的，只有的葉集中在莖3，4上．所以乙運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)更好．（ⅱ）由莖葉圖可知：乙運(yùn)動(dòng)員得分的中位數(shù)是36；甲運(yùn)動(dòng)員得分的中位數(shù)是27．所以乙運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)更好．（ⅲ）從葉在莖上的分布看，乙運(yùn)動(dòng)員的得分更集中于單峰值附近，這說(shuō)明乙運(yùn)動(dòng)員的發(fā)揮更穩(wěn)定．以上給出3種理由，學(xué)生答出其中一種或其他合理理由均可得分．（2）由莖葉圖可知，列聯(lián)表如下：超過(guò)m不超過(guò)m甲57乙75由于，所以沒有90%的把握認(rèn)為甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員的每場(chǎng)比賽得分有差異．典例5、答案：（1）表格見解析，能（2）分布列見解析，根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)作出列聯(lián)表如表所示：甲班乙班總計(jì)成績(jī)優(yōu)良101626成績(jī)不優(yōu)良10414總計(jì)202040解：（1）根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得的觀測(cè)值為，所以能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的前提下認(rèn)為“成績(jī)優(yōu)良與教學(xué)方式有關(guān)”.（2）樣本中成績(jī)?cè)?0分以下的學(xué)生中甲班有4人，乙班有2人，所以的所有可能取值為，則=，，=，則隨機(jī)變量的分布列為：012P則數(shù)學(xué)期望.隨堂練習(xí)：答案：（1）答案見解析（2）列聯(lián)表答案見解析，有95%的把握認(rèn)為該單位員工的飲食習(xí)慣與性別有關(guān)解：（1）①男性職工飲食指數(shù)的平均值大于女性職工飲食指數(shù)的平均值；②男