考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)三）模擬試卷8（共226題）

考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)三）模擬試卷8（共9套）（共226題）考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)三）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、下列命題正確的是()．A、若收斂B、設(shè)收斂C、若收斂D、設(shè)an＞0，bn＞0，且收斂標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：2、設(shè)f(x，y)在(0，0)處連續(xù)，且，則()．A、f(x，y)在(0，0)處不可偏導(dǎo)B、f(x，y)在(0，0)處可偏導(dǎo)但不可微C、fx’(0，0)=fy’(0，0)=4且f(x，y)在(0，0)處可微分D、fx’(0，0)=fy’(0，0)=0且f(x，y)在(0，0)處可微分標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：3、設(shè)A為三階矩陣的解，則()．A、當(dāng)t≠2時(shí)，r(A)=1B、當(dāng)t≠2時(shí)，r(A)=2C、當(dāng)t=2時(shí)，r(A)=1D、當(dāng)t=2時(shí)，r(A)=2標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：當(dāng)t≠2時(shí),為AX=0的兩個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的解，從而3一r(A)≥2，r(A)≤1，又由A≠0得r(A)≥1，即r(A)=1，應(yīng)選A．4、設(shè)α，β為四維非零的正交向量，且A=αβT，則A的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量個(gè)數(shù)為()．A、1個(gè)B、2個(gè)C、3個(gè)D、4個(gè)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：令A(yù)X=λX，則A2X=λ2X，因?yàn)棣?，β正交，所以αTβ=βTα=0，A2=αβT.αβT=0，于是λ2X=0，故λ1=λ2=λ3—λ4=0，因?yàn)棣粒聻榉橇阆蛄?，所以A為非零矩陣，故r(A)≥1；又r(A)=r(αβT)≤r(α)一1，所以r(A)=1．因?yàn)?一r(OE—A)=4一r(A)=3，所以A的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量是3個(gè)，選C．5、設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)=0．2F1(x)+0．8F1(2x)，其中F1(y)是服從參數(shù)為1的指數(shù)分布的隨機(jī)變量的分布函數(shù)，則D(X)為()．A、0．36B、0．44C、0．64D、1標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)X1～E(1)，其密度函數(shù)為其分布函數(shù)為F1(x)=且E(X1)=D(X1)=1，則E(X12)=D(X1)+EE(X1)]2=2．6、設(shè)X1，X2，X3，X4，X5是來(lái)自總體N(1，4)的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，則a=()A、2B、C、D、1標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：7、設(shè)隨機(jī)變量x與y的聯(lián)合分布是二維正態(tài)分布，X與Y相互獨(dú)立的充分必要條件是()A、E(X－Y)=0。B、D(X－Y)=0。C、E(X2－Y2)=0。D、E[X(Y－EY)]=0。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：(X，Y)服從二維正態(tài)分布，則X與Y獨(dú)立的充分必要條件是它們的相關(guān)系數(shù)ρxy=0。而對(duì)任何兩個(gè)隨機(jī)變量X與Y有ρxy=0Cov(X，Y)=0E(XY)=E(X)．E(Y)，而E(XY)=E(X)．E(Y)又可以變形為E(XY)－E(X)．E(Y)＝E[X(Y－EY)]=0。因此應(yīng)選D。8、假設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，X服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，Y的分布律為P{Y=1}=P{Y=－1}=，則X+Y的分布函數(shù)()A、是連續(xù)函數(shù)。B、恰有一個(gè)間斷點(diǎn)的階梯函數(shù)。C、恰有一個(gè)間斷點(diǎn)的非階梯函數(shù)。D、至少有兩個(gè)間斷點(diǎn)。標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：方法一(分布函數(shù)法)：已知X～FX(x)＝又X與Y相互獨(dú)立，所以應(yīng)用全概率公式得Z=X+Y的分布函數(shù)：FZ(z)=P{X+Y≤z}=P{X+Y≤z，Y=1}+P{X+Y≤z，Y=－1}=P{X≤z－1，Y=1}+P{X≤z+1，Y＝－1}=P(X≤z一1)+P(x≤z+1)=FX(z－1)+FX(z+1)=FX(z)是連續(xù)函數(shù)，應(yīng)選擇A。方法二(概率法)：由全概率公式知，對(duì)于任意的口∈R，P{X+Y=a}=P{X+Y=a，Y=1}+P{X+Y=a，Y=－1}=P{X=a－1，Y=1}+P{X=a+1，Y=－1}≤P{X=a－1}+P{X=a+1}=0，所以X+Y的分布函數(shù)是連續(xù)函數(shù)，選擇A。二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、=______。標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識(shí)點(diǎn)解析：。因?yàn)椋?1-1=0。10、函數(shù)y=f(x)由方程e2x＋y—cosxy=e一1所確定，則曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)(0，1)處的法線(xiàn)方程為_(kāi)_____。標(biāo)準(zhǔn)答案：x-2y+2=0知識(shí)點(diǎn)解析：方程e2x＋y-cosxy=e一1兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)，得，則有。因此，=－2。于是可得曲線(xiàn)在點(diǎn)(0，1)處的法線(xiàn)斜率為，由點(diǎn)斜式得法線(xiàn)方程為x－2y+2=0。11、函數(shù)u=f(x+y，xy)，則=______。標(biāo)準(zhǔn)答案：f’’11+(x+y)f’’12+xyf’’22+f’2知識(shí)點(diǎn)解析：由多元函數(shù)求導(dǎo)法則=f’1＋yf’2=f’’11＋xf’’12＋f’2＋y(f’’21＋xf’’22)=f’’11＋(x＋y)f’’12＋xyf’’22＋f’2。12、設(shè)y=y(x)由方程x=∫1y－xsin2(t)dt確定，則=______。標(biāo)準(zhǔn)答案：－2π知識(shí)點(diǎn)解析：由x=∫1y－xsin2(t)dt，將x=0代入得y=1，再將所給方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得1=sin2[(y－x)]．(y’－1)。于是y’=cos2[(y－x)]＋1從而y’’=。將x=0，y=1代入得y’｜x=0=3，y’’｜x=0=－2π。13、行列式Dn==______。標(biāo)準(zhǔn)答案：n+1知識(shí)點(diǎn)解析：將各列加到第一列=Dn－1+(－1)n＋1(一1)n－1=Dn－1+1。又因?yàn)镈1=2，所以Dn=n+1。14、從正態(tài)總體N(μ，σ2)中抽取一容量為16的樣本，S2為樣本方差，則D()=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：將其轉(zhuǎn)化為X2分布，利用X2分布的方差計(jì)算，樣本容量為16，則～X2(16－1)，即～X2(15)。因X2=～X2(16－1)，故。三、解答題(本題共13題，每題1.0分，共13分。)15、求極限。標(biāo)準(zhǔn)答案：由等價(jià)無(wú)窮小替換得，上述極限為型，且含有變上限積分函數(shù)，由洛必達(dá)法則，原式==。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、設(shè)企業(yè)生產(chǎn)一種產(chǎn)品，其成本C(Q)＝Q3－16Q2+100Q+1000，平均收益=a－bQ(a>0,0P＝時(shí)，獲得最大利潤(rùn)，求獲得最大利潤(rùn)時(shí)產(chǎn)品的產(chǎn)量Q及常數(shù)a，b的值。標(biāo)準(zhǔn)答案：收益函數(shù)R(Q)=，當(dāng)獲得最大利潤(rùn)時(shí)，邊際收益等于邊際成本，即MR=MC=44又MR==a-bQ，MC==2Q2-32Q＋100=44，即Q2-16Q＋28=0，解得Q1=14，Q2=2。又，因此當(dāng)Q=14時(shí)，，此時(shí)企業(yè)利潤(rùn)取得最大值。又因?yàn)镸R=，即44=，得p=82。由=p，因此當(dāng)Q=14時(shí)，有可得a=120，b=。當(dāng)Q=2時(shí)，得b=38，不滿(mǎn)足0＜b＜24的條件。故舍去。綜合分析：Q=14時(shí)企業(yè)利潤(rùn)最大，此時(shí)a=120，b=。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、令x=cost(0＜t＜π)將方程(1－x2)y’’一xy’+y=0化為y關(guān)于t的微分方程，并求滿(mǎn)足y｜x=0=1，y’｜x=0=2的解．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析設(shè)f(x)二階可導(dǎo)，f(0)=f(1)=0，且f(x)在[0，1]上的最小值為一1．證明：存在ξ∈(0，1)，使得f''(ξ)≥8．18、設(shè)f(x)二階可導(dǎo)，f(0)=f(1)=0，且f(x)在[0，1]上的最小值為一1．證明：存在ξ∈(0，1)，使得f’’(ξ)≥8．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閒(x)在[0，1]上連續(xù)，所以f(x)在[0，1]上取到最小值和最大值，又因?yàn)閒(0)=f(1)=0，且f(x)在[0，1]上的最小值為一1，所以存在c∈(0，1)，使得f(C)=一1，f’(C)=0，由泰勒公式得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、試求曲線(xiàn)L的方程；標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)曲線(xiàn)L過(guò)點(diǎn)P(x，y)的切線(xiàn)方程為Y-y=y’(X-x)，令X=0，則Y=-xy’＋y，即它在y軸上的截距為-xy’＋y。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、求L位于第一象限部分的一條切線(xiàn)，使該切線(xiàn)與曲線(xiàn)L以及兩坐標(biāo)軸所圍圖形面積最小。標(biāo)準(zhǔn)答案：由(I)知y=-x2，則y’=－2x，點(diǎn)P(x，y)=P(x，-x2)，所以在點(diǎn)P處的切線(xiàn)方程為：Y－（-x2)＝－2x（X－x），分別令X＝0，Y＝0，解得在y軸，z軸上的截距分別為。此切線(xiàn)與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為A（x）=，x＞0，由于該曲線(xiàn)在第一象限中與兩坐標(biāo)軸所圍成的面積為定值，記S0，于是題中所求的面積為：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、求冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)域與和函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、設(shè)A為m×n矩陣，且．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析(已知A，B為三階非零方陣，A＝，B1＝，B2＝，B3＝為齊次線(xiàn)性方次線(xiàn)性方程組Bx=0的三個(gè)解向量，且Ax=B3有解。23、求a，b的值；標(biāo)準(zhǔn)答案：由β1，β2，β3均為Bx=0的解，而B(niǎo)≠O知，β1，β2，β3必線(xiàn)性相關(guān)，于是｜β1，β2，β3｜=＝0，由此解得a=3b。由Ax=B3有解，知r(A:β3)＝r(A)，，可見(jiàn)有b=5，a=15。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析24、求Bx＝0的通解。標(biāo)準(zhǔn)答案：由題設(shè)r(B)≥1，于是3－r(R)≤2，而β1，β2為Bx=0的兩個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的解，故3一r(B)=2，可見(jiàn)β1，β2即可作為Bx＝0的基礎(chǔ)解系，故通解為x=k1B1+k2B2(k1，k2為任意常數(shù))。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析設(shè)隨機(jī)變量X~U(0，1)，Y～E(1)，且X，Y相互獨(dú)立，求Z=X+Y的密度函數(shù)fZ(z)．25、設(shè)隨機(jī)變量X~U(0，1)，Y～E(1)，且X，Y相互獨(dú)立，求Z=X+Y的密度函數(shù)fZ(z)．標(biāo)準(zhǔn)答案：X，Y的邊緣密度分別為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析26、求X1和X2的聯(lián)合概率分布；標(biāo)準(zhǔn)答案：因y服從參數(shù)為A=1的指數(shù)分布，則其分布函數(shù)為由Xk=，知(X1，X2)只有四種可能取值(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)。因事件{X1=0}相當(dāng)于事件{Y≤1}；事件{X2=0}相當(dāng)于事件{Y≤2}；事件{x=1}相當(dāng)于事件{Y>1}；事件{X2=1}相當(dāng)于事件{Y>2}。故P{x1=0，X2=0}＝P{Y≤1，Y≤2}=P{Y≤1}=F(1)=1一e－1，P{X1=0，X2=1}=P{y≤1，Y>2}=0，P{X=1，X2=0}=P{Y>1，Y≤2}=P{1－2)一(1一e－1)＝e－1一e－2，P{X1=1，X2＝1}=P{Y>1，Y>2}=P{Y>2}=1一P{Y≤2}=1一F(2)＝1一(1一e－2)=e－2。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析27、求E(X1+X2)。標(biāo)準(zhǔn)答案：由期望的性質(zhì)和離散型隨機(jī)變量期望的定義，有E(X1)=0×P{X1=0}+1×P{X1=1}＝P｛Y>1}=1－P｛y≤1}=1一F(1)=1一(1一e－1)=e－1，E(X2)＝0×P{X2=0}=1×P{X2=1}=P｛Y>2}=1－P｛y≤2}=1一F(2)=1一(1－e－2)=e－2，故E(X1+X2)=E(X1)+E(X2)＝e－1+e－2。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析28、設(shè)總體X的概率密度為其中參數(shù)為λ，X1，X2，…，Xn是來(lái)自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，求未知參數(shù)λ的矩估計(jì)和最大似然估計(jì)。標(biāo)準(zhǔn)答案：最大似然估計(jì)法的求解步驟：第一步，寫(xiě)出樣本的似然函數(shù)。第二步，求出使L(θ)達(dá)到最大值的θ1，…，θK。(Ⅰ)由于L(θ)與lnL(θ)在同一θ處取到極值，則如果L(θ)或lnL(θ)關(guān)于ι可微，則θ可以從方程=0或=0中解得，若總體X的分布中含有K個(gè)未知參數(shù)θ1，θ2，…，θk，則θ(i=1，2，…，k)可以由似然方程組=0或=0(i=1，2，…，k)解得，從而得到θi的最大似然估計(jì)量。(Ⅱ)如果p(Xi；θ1，…，θk)或f(xi；θ1，…，θk)關(guān)于θi不可微，或似然方程無(wú)解，此時(shí)應(yīng)考慮利用似然函數(shù)的單調(diào)性找到極值點(diǎn)。由題可知E(X)＝，所以λ的矩估計(jì)量為。設(shè)樣本X1，X2，…，Xn的一組取值為x1，x2，…，xn，則似然函數(shù)為L(zhǎng)(x1，x2，…，xn；λ)＝，，當(dāng)＝0時(shí)，得λ的最大似然估計(jì)量為。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)三）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共28題，每題1.0分，共28分。)1、曲線(xiàn)A、沒(méi)有漸近線(xiàn)B、僅有水平漸近線(xiàn)C、僅有鉛直漸近線(xiàn)D、既有水平漸近線(xiàn)也有鉛直漸近線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閯t原曲線(xiàn)有水平漸近線(xiàn)，則原曲線(xiàn)有鉛直漸近線(xiàn)x=0，所以應(yīng)選D．2、設(shè)g(x)=x3+x4，則當(dāng)x→0時(shí)，f(x)是g(x)的A、等價(jià)無(wú)窮小B、同階但非等價(jià)無(wú)窮小C、高階無(wú)窮小D、低階無(wú)窮小標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：3、設(shè)周期函數(shù)f(x)在(一∞，+∞)內(nèi)可導(dǎo)，周期為4，又則曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)(5，f(5))處的切線(xiàn)斜率為A、B、0C、一1D、一2標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：則f’(1)=一2，由f’(x)周期性知，f’(5)=f’(1)=一2．故應(yīng)選D．4、設(shè)在區(qū)間[a，b]上f(x)＞0，f’(x)＜0，f’(x)＞0，令則A、S1＜S2＜S3B、S2＜S1＜S3C、S3＜S1＜S2D、S2＜S3＜S1標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由題設(shè)可知，在[a，b]上，f(x)＞0單調(diào)減。曲線(xiàn)y=f(x)上凹，如圖1．5，S1表示y=f(x)和x=a，x=b及x軸圍成曲邊梯形面積，S2表示矩形abBC的面積，S2表示梯形AabB的面積．由圖1．5可知，S2＜S1＜S3．故應(yīng)選B．5、若f(一x)=f(x)，(一∞＜x＜+∞)，在(一∞，0)內(nèi)f’(x)＞0，且f’’(x)＜0，則在(0，+∞)內(nèi)A、f’(x)＞0，f’’(x)＜0B、f’(x)＞0，f’’(x)＞0C、f’(x)＜0，f’’(x)＜0D、f’(x)＜0，f’’(x)＞0標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由f(一x)=f(x)知，f(x)為偶函數(shù)．而由在(一∞，0)內(nèi)f’(x)＞0，且f’’(x)＜0知在(一∞，0)內(nèi)，y=f(x)的圖形下凹單調(diào)增，則f(x)由圖1．6圖形可知，在(0，+∞)內(nèi)，f’(x)＜0，f’’(x)＜0，則應(yīng)選C．6、設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)是φ(x)，且φ(一x)=φ(x)，f(x)是X的分布函數(shù)，則對(duì)任意實(shí)數(shù)a，有A、B、C、F(一a)=F(a)D、F(一a)=2F(a)一1標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由φ(一x)=φ(x)知，φ(x)為儡函數(shù)，其圖形關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，如圖1．7由幾何意義可知，F(xiàn)(一a)=S17、設(shè)兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量X和Y分別服從正態(tài)分布N(0，1)和N(1，1)，則A、B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由于獨(dú)立正態(tài)分布的隨機(jī)變量的線(xiàn)性組合仍服從正態(tài)，則由正態(tài)分布的幾何意義知，正態(tài)分布的密度函數(shù)關(guān)于均值左右對(duì)稱(chēng)，則其小于均值的概率為，則故應(yīng)選B．8、設(shè)函數(shù)y=f(x)具有二階導(dǎo)數(shù)，且f’(x)＞0，f’’(x)＞0，△x為自變量x在點(diǎn)x0處的增量，Ay與dy分別為f(x)在點(diǎn)x0處對(duì)應(yīng)的增量與微分，若△x＞0，則A、0＜dy＜△y．B、0＜△y＜dy．C、△y＜dy＜0．D、dy＜△y＜0．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：令f(x)=x2，在(0，+∞)上，f’(x)=2x＞0，f’’(x)一2＞0，取x0=1，則dy=2△x△y=f(1+△x)一f(1)一(1+ax)2一12=2Ax+(ax)2由于△x＞0，則0＜dy＜△y，從而B(niǎo)CD均不正確，故應(yīng)選A．9、設(shè)函數(shù)f(x)在x=0處連續(xù)，且，則A、f(0)=0且f-’(0)存在．B、f(0)=1且f-’(0)存在．C、f(0)=0且f+’(0)存在．D、f(0)=1且f+’(0)存在．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：令顯然f(x)滿(mǎn)足原題設(shè)條件，而，(不存在)，則ABD均不正確，故應(yīng)選C．10、以下四個(gè)命題中正確的是A、若f’(x)在(0，1)內(nèi)連續(xù)，則f(x)在(0，1)內(nèi)有界．B、若f(x)在(0，1)內(nèi)連續(xù)，則f(x)在(0，1)內(nèi)有界．C、若f’(x)在(0，1)內(nèi)有界，則f(x)在(0，1)內(nèi)有界．D、若f(x)在(0，1)內(nèi)有界，則f’(x)在(0，1)內(nèi)有界．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：令，顯然f(x)，都在(0，1)內(nèi)連續(xù)，但在(0，1)內(nèi)無(wú)界，則AB不正確．若令顯然f(x)在(0，1)內(nèi)有界，但．在(0，1)內(nèi)無(wú)界，則D不正確，故應(yīng)選C．11、設(shè)an＞0(n=1，2，…)，若收斂，則下列結(jié)論正確的是A、B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：令A(yù)BC均不正確，故應(yīng)選D．12、設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(一δ，δ)內(nèi)有定義，若當(dāng)x∈(一δ，δ)時(shí)，恒有｜f(x)｜≤x2，則x=0必是f(x)A、間斷點(diǎn)．B、連續(xù)而不可導(dǎo)的點(diǎn)．C、可導(dǎo)的點(diǎn)，且f’(0)=0．D、可導(dǎo)的點(diǎn)，且f’(0)≠0．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：令f(x)=x3，顯然x∈(一δ，δ)時(shí)，｜f(x)｜=｜x3｜≤x2．且f’(x)=3x2，f’(0)=0，則ABD均不正確，故應(yīng)選C．13、已知f(x)在x=0某鄰域內(nèi)連續(xù)，且則在點(diǎn)x=0處f(x)A、不可導(dǎo)．B、可導(dǎo)且f’(x)≠0．C、取得極大值．D、取得極小值．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由于當(dāng)x→0時(shí)，所以令f(x)=x2，則f(x)符合原題設(shè)條件．而f(x)在x=0處可導(dǎo)，f’(0)=0，取極小值，則ABC均不正確，故應(yīng)選D．14、設(shè)f(x)的導(dǎo)數(shù)在x=a處連續(xù)，又則A、x=a是f(x)的極小值點(diǎn)．B、x=a是f(x)的極大值點(diǎn)．C、(a，f(a)是曲線(xiàn)y=f(x)的拐點(diǎn)D、x=a不是f(x)的極值點(diǎn)，(a，f(a)也不是曲線(xiàn)y=f(x)的拐點(diǎn)．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：若取f’(x)=一(x一a)，即令則顯然f(x)符合原題條件，在x=0取極大值，且(a，f(a)也不是的拐點(diǎn)，則ACD均不正確，故應(yīng)選B．15、設(shè)f(x)是連續(xù)函數(shù)，F(xiàn)(x)是f(x)的原函數(shù)，則A、當(dāng)f(x)是奇函數(shù)時(shí)，F(xiàn)(x)必是偶函數(shù)．B、當(dāng)f(x)是偶函數(shù)時(shí)，F(xiàn)(x)必是奇函數(shù)．C、當(dāng)f(x)是周期函數(shù)時(shí)，F(xiàn)(x)必是周期函數(shù)．D、當(dāng)f(x)是單調(diào)增函數(shù)時(shí)，F(xiàn)(x)必是單調(diào)增函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：令f(x)=cosx+1，F(xiàn)(x)=sinx+x+1．顯然f(x)是偶函數(shù)，周期函數(shù)，但F(x)不是奇函數(shù)，也不是周期函數(shù)，則BC均不正確．若令f(x)=x，則f(x)單調(diào)增，但F(x)不單調(diào)增，因此，D也不正確，故應(yīng)選A．16、設(shè)f(x)處處可導(dǎo)，則A、當(dāng)時(shí)，必有B、當(dāng)時(shí)，必有C、當(dāng)時(shí)，必有D、當(dāng)時(shí)，必有標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：令f(x)=x，則f’(x)≡1則B和D均不正確若令f(x)=x2，則f’(x)=2x所以C也不正確，故應(yīng)選A．17、設(shè)f(x)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，f(0)=0，f’(0)≠0，且當(dāng)x→0時(shí)，F(xiàn)’(x)與xk是同階無(wú)窮小，則k等于A、1B、2C、3D、4標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由f(0)=0，f’(0)≠0．取f(x)=x，則F’(x)=x3．由x→0時(shí)，F(xiàn)’(x)與x4是同階無(wú)窮小，知k=3，從而，ABD均不正確，故應(yīng)選C．18、設(shè)f(x)在x=a處可導(dǎo)，則等于A、f’(a)B、2f’(a)C、0D、f’(2a)標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：令f(x)=x，則但f’(x)=1，從而f’(a)=f’(2a)=1，則ACD均不正確，故應(yīng)選B．19、若連續(xù)函數(shù)f(x)滿(mǎn)足關(guān)系式則，f(x)等于A、exln2B、e2xln2C、ex+ln2D、e2x+ln2標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由知f(0)=ln2(1)f’(x)=2f(x)(2)顯然CD選項(xiàng)不符合(1)式，A選項(xiàng)不符合(2)式，故應(yīng)選B．20、設(shè)f(x)和φ(x)在(一∞，+∞)內(nèi)有定義，f(x)為連續(xù)函數(shù)，且f(x)≠0，φ(x)有間斷點(diǎn)，則A、φ[f(x)]必有間斷點(diǎn)．B、[φ(x)]2必有間斷點(diǎn)．C、f[φ(x)]必有間斷點(diǎn)．D、必有間斷點(diǎn)．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：令顯然f(x)和φ(x)符合原題條件，而φ[f(x)]=1，φ2(z)一1，f[φ(x)]=2均無(wú)間斷點(diǎn)，則ABC均不正確，故應(yīng)選D．21、若f(x)=一f(一x)，在(0，+∞)內(nèi)，f’(x)＞0，f’’(x)＞0，則f(x)在(一∞，0)內(nèi)A、f’(x)＜0，f’’(x)＜0B、f’(x)＜0，f’’(x)＞0C、f’(x)＞0，f’’(x)＜0D、f’(x)＞0，f’’(x)＞0標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由原題設(shè)可令f(x)=x3，顯然f(x)符合原題條件．而在(一∞，0)內(nèi)，f’(x)=3x2＞0，f’’(x)=6x＜0．則ABD均不正確，故應(yīng)選C．22、設(shè)f’(x0)=f(x0)=0，f’’’(x0)＞0，則下列選項(xiàng)正確的是A、f’(x0)是f’(x)的極大值．B、f(x0)是f(x)的極大值．C、f(x0)是f(x)的極小值．D、(x0，f(x0))是曲線(xiàn)y=f(x)的拐點(diǎn)．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由題設(shè)f’(x0)=f’’(x0)=0，f’’’(x0)＞0．可令f(x)=(x—x0)3．顯然此f(x)符合原題條件，而f’(x)=3(x-x0)2顯然f’(x0)是f’(x)極小值而不是極大值，則A不正確，又f(x0)=0，而在x0任何鄰域內(nèi)f(x)可正也可負(fù)，從而f(x0)不是f(x)的極值點(diǎn)，因此B和C也不正確，故應(yīng)選D．23、設(shè)f(x)連續(xù)，則A、xf(x2)B、一xf(x2)C、2xf(x2)D、一2xf(x2)標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：令f(x)≡1，則顯然BCD均不正確，故應(yīng)選A．24、設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且f(x)＞0，則方程在開(kāi)區(qū)間(a，b)內(nèi)的根有A、0個(gè)B、1個(gè)C、2個(gè)D、無(wú)窮多個(gè)標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由題設(shè)條件，可令f(x)≡1，此時(shí)方程變?yōu)?x一a)+(c一b)=0，即2x一(a+b)=0．該方程在(a，b)內(nèi)有且僅有一個(gè)實(shí)根則ACD均不正確，故應(yīng)選B．25、設(shè)f(x)為不恒等于零的奇函數(shù)，且f’(0)存在，則函數(shù)A、在x=0處左極限不存在．B、有跳躍間斷點(diǎn)x=0．C、在x=0處右極限不存在．D、有可去間斷點(diǎn)x=0．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：令f(x)=x，顯然f(x)滿(mǎn)足原題條件，而顯然ABC均不正確，故應(yīng)選D．26、設(shè)A是m×n矩陣，B是n×m矩陣，則A、當(dāng)m＞n時(shí)，必有行列式｜AB｜≠0．B、當(dāng)m＞n時(shí)，必有行列式｜AB｜=0．C、當(dāng)n＞m時(shí)，必有行列式｜AB｜≠0．D、當(dāng)n＞m時(shí)，必有行列式｜AB｜=0．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：用排除法；當(dāng)m＞n時(shí)，若B=[3，4]，則有故A不對(duì)；當(dāng)n＞m時(shí)，若則有｜AB｜=0，故C不對(duì)；當(dāng)n＞m時(shí)，若則有｜AB｜=3≠0，故D不對(duì)；因此，只有B正確．27、設(shè)有向量組α1=(1，一1，2，4)，α2=(0，3，1，2)，α3=(3，0，7，14)，α4=(1，一2，2，0)，α5=(2，1，5,10)．則該向量組的極大無(wú)關(guān)組是A、α1,α2,α3B、α1,α2,α4C、α1,α2,αSD、α1,α2,α3,α4,α5標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：觀察易知α3=3α1+α2，α5=2α1+α2．故AC都是線(xiàn)性相關(guān)組，AC都不對(duì)．當(dāng)C組線(xiàn)性相關(guān)時(shí)，D組也線(xiàn)性相關(guān)，故D也不對(duì)，于是只有B正確．28、設(shè)n階矩陣A非奇異(n≥2)，A*是矩陣A的伴隨矩陣，則(A*)*等于A、｜A｜n-1AB、｜A｜n+1AC、｜A｜n-2AD、｜A｜n+2A標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：令顯然A符合愿題條件，由伴隨矩陣定義易知而｜A｜=2，則｜A｜n-1=2，｜A｜n+1=8，｜A｜n+2=16．故ABD均不正確，故應(yīng)選C．二、解答題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)29、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：本題常規(guī)的求解方法是先把根號(hào)里面配方，再用三角代換，但計(jì)算量較大，實(shí)際上，本題根據(jù)定積分幾何意義立刻知道應(yīng)填，事實(shí)上，該積分在幾何上表示單位圓(x一1)2+y2≤1面積的，如圖1．1．30、若隨機(jī)變量X服從均值為2，方差為σ2的正態(tài)分布，且P{2＜X＜4)=0．3，則P{X＜0}=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：0．2知識(shí)點(diǎn)解析：由于正態(tài)分布的密度函數(shù)是關(guān)于均值x=2對(duì)稱(chēng)．由圖1．2易知P{X＜0)=S2=0．5一S1=0．5一0．3=0．231、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：事實(shí)上，在幾何上原題中積分應(yīng)等于球體x2+y2+z2≤a2的體積的一半，因此應(yīng)為32、設(shè)D={(x，y)｜x2+y2≤x+y+1)，則________.標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：積分域D實(shí)際上是圓域由形心公式知：其中分別表示區(qū)域D形心的x坐標(biāo)和y坐標(biāo)，SD表示區(qū)域D的面積.本題中的圓域形心顯然是圓心則33、設(shè)D是由直線(xiàn)x=一2，y=0，y=2以及曲線(xiàn)x=所圍成的平面域，則標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：積分域D如圖1．3所示，由圖1．3不難看出，積分域D的面積SD應(yīng)為正方形面積減去半圓面積，即因此，34、標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識(shí)點(diǎn)解析：由于x4sinx為奇函數(shù)，且積分區(qū)間[一π，π]關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)35、標(biāo)準(zhǔn)答案：ln3知識(shí)點(diǎn)解析：36、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析37、設(shè)區(qū)域D為x2+y2≤R2，則．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由于本題積分域?yàn)閤2+y2≤R2，由x和y的對(duì)稱(chēng)性知38、設(shè)平面域D由直線(xiàn)y=x，y=一1及X=1所圍成．則標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：先畫(huà)出積分域D如圖1．4△ABC．用y=一x將D分為兩部分D1(△ABO)和D2(△BOC)考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)三）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、函數(shù)f(x)=x3—3x+k只有一個(gè)零點(diǎn)，則k的取值范圍為A、｜k｜＞2．B、｜k｜＞1．C、｜k｜＜1．D、｜k｜＜2．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：2、設(shè)y=y(x)是由方程y2+xy+x2+x=0所確定的滿(mǎn)足y(一1)=1的隱函數(shù)，則=A、1．B、2．C、一2．D、一1．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由y(x)所滿(mǎn)足的隱函數(shù)方程知函數(shù)y=y(x)在x=一1的鄰域內(nèi)任意次可導(dǎo)，將隱函數(shù)方程求導(dǎo)一次與兩次可得y(x)的一、二階導(dǎo)函數(shù)y’(x)與y"(x)分別滿(mǎn)足2yy’+xy’+y+2x+1=0，2yy"+xy"+2(y’)2+2y’+2=0，在以上二式中分別令x=一1并利用y(一1)=1可知y’(一1)=0，y"(一1)=一2．再利用洛必達(dá)法則即可得到故應(yīng)選(D).3、設(shè)，則A、I2＞1＞I1B、I2＞I1＞1．C、1＞I2＞I1．D、1＞I1＞I2．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：4、已知冪級(jí)數(shù)在x＞0時(shí)發(fā)散，且在x=0時(shí)收斂，則A、a=1．B、a=一1．C、一1≤a＜1．D、一1＜a≤1．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：5、已知η1，η2，η3，η4是齊次方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系，則下列向量組中也是Ax=0基礎(chǔ)解系的是A、η1+η2，η2一η3，η3一η4，η4一η1．B、η1+η2，η2一η3，η3一η4，η4+η1·C、η1+η2，η2+η3，η3一η4，η4一η1．D、η1，η2，η3，η4的等價(jià)向量組．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：等價(jià)向量組不能保證向量個(gè)數(shù)相同，因而不能保證線(xiàn)性無(wú)關(guān)．例如向量組η1，η2，η3，η4，η1+η2與向量組η1，η2，η3，η4等價(jià)，但前者線(xiàn)性相關(guān)，因而不能是基礎(chǔ)解系．故(D)不正確．(B)、(C)均線(xiàn)性相關(guān)，因此不能是基礎(chǔ)解系．故(B)與(C)也不正確．注意到：(η1+η2)一(η2一η3)一(η3一η4)一(η4+η1)=0，(η1+η2)一(η2+η3)+(η3一η4)+(η4一η1)=0，唯有(A)，η1+η2，η2一η3，η3一η4，η4一η1是Ax=0的解，又由(η1+η2，η2一η3，η3一η4，η4一η1)=且，知η1+η2，η2—η3，η3一η4，η4一η1線(xiàn)性無(wú)關(guān)，且向量個(gè)數(shù)與η1，η2，η3，η4相同．所以(A)也是Ax=0的基礎(chǔ)解系．故選(A)．6、已知P-1AP=B，若Aα=λα，α≠0，則A、B的特征值為λ，對(duì)應(yīng)的特征向量是Pα．B、B的特征值為，對(duì)應(yīng)的特征向量是Pα．C、B的特征值為λ，對(duì)應(yīng)的特征向量是P-1α．D、B的特征值為，對(duì)應(yīng)的特征向量是P-1α．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)榫仃嘇與B相似，所以它們有相同的特征值，故可排除(B)、(D)．由P-1AP=B→P-1A=BP-1→P-1Aα=BP-1α，于是有B(P-1α)=P-1(λα)=λ(P-1α)．故應(yīng)選(C)．7、設(shè)隨機(jī)變量X與Y獨(dú)立同分布，，則D｜X一Y｜=_________A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：8、設(shè)X1，X2，…，X6獨(dú)立同分布．且X1～N(0，4)，Y=a(X1+2X2)2+b(2X3+3X4)2+c(3X5+4X6)2一χ2(3)則a，b，c的值分別為A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：10、反常積分=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：11、已知函數(shù)f(x)=ax3+x2+2在x=0和x=一1處取得極值．則曲線(xiàn))y=f(x)的拐點(diǎn)是___________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：12、微分方程2x2y’=(x+y)2滿(mǎn)足定解條件y(1)=1的特解是_____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：13、已知α1=(1，2，一1)T，α2=(1，一3，2)T，α3=(4，11，一6)T，若Aα1=(0，2)T，Aα2=(5，2)T，Aα3=(一3，7)T，則A=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：14、設(shè)隨機(jī)變量(X，Y)服從二維正態(tài)分布，其密度函數(shù)為則常數(shù)a=____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：三、解答題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)15、求不定積分．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、若曲線(xiàn)與x軸、y軸及直線(xiàn)所圍圖形的面積被曲線(xiàn)y=asinx，y=bsinx(a＞b＞0)三等分，求a與b的值．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、求二元函數(shù)在區(qū)域D={(x，y)｜x≥0，y≥0}上的最大值與最小值．標(biāo)準(zhǔn)答案：區(qū)域D在平面直角坐標(biāo)系Oxy上的第一象限，區(qū)域D有兩條邊界與，它們分別是平面直角坐標(biāo)系Oxy的x軸與y軸的正半軸，在這兩條邊界上F(x，y)=0．又因知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、設(shè)連續(xù)函數(shù)f(x)滿(mǎn)足．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、設(shè)函數(shù)，其中n=1，2，3，…為任意自然數(shù)，f(x)為[0，+∞)上正值連續(xù)函數(shù)．求證：(I)Fn(x)在(0，+∞)存在唯一零點(diǎn)xn；(Ⅱ)收斂；(Ⅲ)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、已知A是2×4矩陣，齊次方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系是η1=(1，3，0，2)T，η2=(1，2，一1，3)T，又知齊次方程組Bx=0的基礎(chǔ)解系是β1=(1，1，2，1)T，β2=(O，一3，1，a)T，(I)求矩陣A；(Ⅱ)如果齊次線(xiàn)性方程組Ax=0與Bx=0有非零公共解，求a的值并求公共解．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)記C=(η1，η2)，由AC=A(η1，η2)=0知CTAT=0，則矩陣AT的列向量(即矩陣A的行向量)是齊次線(xiàn)性方程組CTx=0的解．對(duì)CT作初等行變換，有得到CTx=0的基礎(chǔ)解系為α1=(3，一1，1，0)T，α2=(一5，1，0，1)T．所以矩陣(Ⅱ)設(shè)齊次線(xiàn)性方程組Ax=0與Bx=0的非零公共解為γ，則γ既可由η1，η2線(xiàn)性表出，也可由β1，β2線(xiàn)性表出，故可設(shè)γ=x1η1+x2η2=-x3β1一x4β2，于是x1η1+x2η2+x3β1+x4β2=0．對(duì)(η1，η2，β1，β2)作初等行變換，有當(dāng)a=0時(shí)，解出x4=t，x3=一t，x2=一t，x1=2t．因此Ax=0與Bx=0的公共解為γ=2tη1—tη2=t(1，4，1，1)T，其中t為任意常數(shù)。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、已知A是3階矩陣，α1，α2，α3是3維線(xiàn)性無(wú)關(guān)列向量，且Aα1=3α1+3α2—2α3，Aα2=一α2，Aα3=8α1+6α2—5α3．(I)寫(xiě)出與A相似的矩陣B；(Ⅱ)求A的特征值和特征向量；(Ⅲ)求秩r(A+E)．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)(Ⅱ)知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、設(shè)隨機(jī)變量X服從(0，2)上的均勻分布，Y服從參數(shù)λ=2的指數(shù)分布，且X，Y相互獨(dú)立，記隨機(jī)變量Z=X+2Y．(I)求Z的概率密度；(Ⅱ)求EZ，DZ．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)(Ⅱ)知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)三）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、(ex2－1)sinx＝()．A、0B、1C、2D、3標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：極限函數(shù)為冪指函數(shù)，可用換底法求其極限．2、設(shè)f(x)在(a，b)內(nèi)可微，且f(a)＝f(b)＝0，f′(a)＜0，f′(b)＜0，則方程f′(x)＝0在(a，b)內(nèi)()．A、沒(méi)有實(shí)根B、有且僅有一個(gè)實(shí)根C、有且僅有兩個(gè)不等實(shí)根D、至少有兩個(gè)不等實(shí)根標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：利用極限的保號(hào)性及f′(a)＜0，f′(b)＜0．先證明存在一點(diǎn)c∈(a，b)，使f(c)＝0．于是f(x)有三個(gè)零點(diǎn)，兩次使用羅爾定理便得到結(jié)論(D)成立．因利用極限的保號(hào)性，在a的右鄰域內(nèi)必存在點(diǎn)x1，使f(x1)＜0，其中a＜x1＜．同理由f′(b)＜0知，必存在一點(diǎn)x2，使f(x2)＞0，其中＜x2＜b．由連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)定理知，必存在C∈(x1，x2)(a，b)，使f(c)＝0．在閉區(qū)間[a，c]，[(c，b]上對(duì)f(x)分別使用羅爾定理可知，至少存在一點(diǎn)ξ1∈(a，C)使得f′(ξ1)＝0，至少存在一點(diǎn)ξ2∈(c，b)使f′(ξ2)一0．故方程f′(x)＝0在(a，b)內(nèi)至少有兩個(gè)不等實(shí)根，僅(D)入選．3、設(shè)f(x)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且(x0，f(x0))為曲線(xiàn)y＝f(x)的拐點(diǎn)，則＝()A、0B、1C、-1D、不存在標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：因f(x)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，故可對(duì)左邊的極限式兩次使用洛必達(dá)法則，利用題設(shè)有f″(x0)＝0，從而所求極限的值即可得到．而點(diǎn)(x0，f(x0))為曲線(xiàn)的拐點(diǎn)，故f″(x0)＝0．僅(A)入選．4、設(shè)D＝｛(x，y)｜x2＋y2≤R2，R＞0｝，常數(shù)λ≠0，則積分(eλrcosθ－e－λrsinθ)rdr的值()．A、為正B、為負(fù)C、為零D、λ＞0時(shí)為正，λ＜0時(shí)為負(fù)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：化為直角坐標(biāo)系下的二重積分，便于利用積分的對(duì)稱(chēng)性及被積分函數(shù)的奇偶性求解．原式＝(eλx一e－λy)dσ．因D關(guān)于y＝x對(duì)稱(chēng)，故e－λxdσ．又D關(guān)于Y軸對(duì)稱(chēng)，而eλx一e－λx為奇函數(shù)(自變量帶相反符號(hào)的兩同名函數(shù)之差為奇函數(shù))，故(eλx一e－λx)dσ＝0，即(eλx一e－λx)dσ＝0．僅(C)入選．5、設(shè)A是n階矩陣，A*是A的伴隨矩陣，若｜A｜＝a，則行列式等于()．A、一anB、anC、(一1)n22anD、(一1)n22nan標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：利用行列式性質(zhì)及｜A*｜＝｜A｜n－1求之．僅(D)入選．6、設(shè)A是三節(jié)矩陣，P是三階可逆矩陣，已知P－1AP＝，且Aα1＝α1，Aα2＝α2，Aα3＝0，則p是()．A、[α1，α1，α1＋α3]B、[α2，α3，α1]C、[2α1＋3α2，一8α2，4α3]D、[α1＋α2，α2＋α3，α3＋α1]標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：P的三個(gè)列向量是A的對(duì)直于特征值的特征向量，判別時(shí)要利用下述三條原則：(1)A的對(duì)于同一特征值的特征向量α1，α2的線(xiàn)性組合如kα1，kα1＋kα2仍是A的屬于同一特征值的特征向量；(2)對(duì)于不同特征值的特征向量的線(xiàn)性組合(例如其和或其差)不再是A的特征向量；(3)P中特征向量的排列次序與對(duì)角陣中特征值的排列次序一致．利用上述原則即可判定正確的選項(xiàng)．解一(A)中α1＋α3不是A的特征向量，(D)中α2＋α3，α3＋α1，也不再是A的特征向量，(B)中特征向量與對(duì)角陣中特征值的排列不一致，故均不能充當(dāng)P．僅(C)入選．解二因?yàn)棣?、α2是λ＝1的特征向量，α3是λ＝0的特征向量，2α1＋3α2，一8α2仍是λ＝1的特征向量，4α3仍是λ＝0的特征向量，且其排列次序與對(duì)角陣中特征值的排列次序一致．僅(C)入選．7、設(shè)A，B為隨機(jī)事件，P(A)＝0．7，P(A－B)＝0．3，則P()＝()．A、0.4B、0.5C、0.6D、0.7標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：先用事件的運(yùn)算將，則所求概率歸結(jié)為求P()＝1一P(AB)．利用全集分解有P(AB)＋P(A)＝P(AB)＋P(A—B)＝P(A)．僅(C)入選．＝1－(0．7－0．3)＝1—0．4＝0．6．8、設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(0，σ2)(σ2已知)，X1，X2，…，Xn是取自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，S2為樣本方差，則()．A、～χ2(n)B、～χ2(n一1)C、～χ2(n)D、～χ2(n)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：利用χ2分布的下述可加性求之．利用χ2分布的下述可加性求之．設(shè)Xi～χ2(mi)(i＝1，2，…，k)，X1，X2，…，Xk相互獨(dú)立，則X1＋X2＋…＋Xk～χ2(m1＋m2＋…＋mk)．且與S2相互獨(dú)立，由χ2分布的可加性得到～χ2(n)．僅(C)入選．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、＝____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：e2005知識(shí)點(diǎn)解析：所求極限的函數(shù)為冪指函數(shù)，先用換底法將其化為以e為底的指數(shù)函數(shù)，再用等價(jià)無(wú)窮小代換：ln(1＋f(x))～f(x)(f(x)→0)求其極限．而＝5.401＝2005．故原式＝e2005．10、＝___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：2.e2(π／4－1)知識(shí)點(diǎn)解析：對(duì)n項(xiàng)乘積先取對(duì)數(shù)，產(chǎn)生因子1／n，再用定積分定義求之．令，在其兩邊取對(duì)數(shù)，得到再用定積分定義得到故原式＝2.e2(π／4－1)．11、設(shè)方程x2＝y(tǒng)2y確定y是x的函數(shù)，則dy＝___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：所給方程含冪指函數(shù)，先取對(duì)數(shù)或化為以e為底的指數(shù)函數(shù)求出y′即得dy．lnx2＝lny2y，即2lnx＝2ylny，兩邊求導(dǎo)得到2.y′＝2y′lny＋2y′故y′＝．所以dy＝y(tǒng)′dx＝dx．12、e－x2dx＝___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：按題設(shè)積分次序求不出積分值，需換坐標(biāo)系．為此先畫(huà)出二重積分的區(qū)域．所給積分的積分區(qū)域用D表示．如下圖所示．該積分改用極坐標(biāo)系計(jì)算，得到13、已知A＝，矩陣B滿(mǎn)足BA*＋2A－1＝B，其中A*是A的伴隨矩陣，則｜B｜＝___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：矩陣方程中出現(xiàn)未知矩陣A*或A－1時(shí)，尤其是同時(shí)出現(xiàn)A*與A－1時(shí)，常在矩陣方程兩邊左乘或右乘矩陣A，利用A*A＝AA*＝｜A｜E及A－1A＝AA－1＝E消掉A*與A－1，從而簡(jiǎn)化矩陣方程，在此基礎(chǔ)上再提公因式使所求矩陣化為因子矩陣．在原方程兩邊右乘A，得到BA*A＋2A－1A＝BA．得｜A｜B＋2E＝3B＋2E＝BA亦即BA－3B＝2E，B(A－3E)＝2E，故｜B｜｜A一3E｜＝｜2E｜，｜B｜＝8，｜B｜＝14、已知隨機(jī)變量Y的概率密度為隨機(jī)變量Z＝的數(shù)學(xué)期望E(Z)＝___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：求E(Z)就是求隨機(jī)變量Z的函數(shù)的期望，可用一般公式求之．計(jì)算時(shí)，盡量使用Γ函數(shù)的結(jié)果．三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)15、證明方程xe2x－2x－cosx＋x2／2＝0有且僅有兩個(gè)根．標(biāo)準(zhǔn)答案：令f(x)＝xe2x一2x—cosx＋x2／2，則f(x)為連續(xù)函數(shù)，且f(一1)＝－e－2＋2一cos1＋1／2＝1－e－2＋1一cos1＋1／2＞0，f(0)＝一1＜0，f(1)＝e2一2一cos1＋1／2＞0．根據(jù)零點(diǎn)定理知，f(x)＝0在(一1，1)內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根．下證f(x)＝0在(一1，1)內(nèi)不可能有三個(gè)根．事實(shí)上，如果f(x)在(一1，1)內(nèi)有三個(gè)實(shí)根，不妨設(shè)為x1，x2，x3，則f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝0．由于f(x)二階可導(dǎo)，故存在ξ∈(x1，x3)使f″(ξ)＝0，但這是不可能的．這是因?yàn)閒′(x)＝e2x(1＋2x)一2＋sinx＋x，f″(x)＝4e2x(1＋x)＋cosx＋1＞0，x∈(一1，1)．此外當(dāng)x＜一1時(shí)，f′(x)＜0，當(dāng)x＞1時(shí)，f′(x)＞0，而f(一1)＜0，f(1)＞0，故函數(shù)f(x)在區(qū)間(一∞，一1)內(nèi)單調(diào)減少且f(x)＜0；在(1，＋∞)內(nèi)f(x)單調(diào)增加，且f(x)＞0，故在(一∞，一1)內(nèi)及在(1，＋∞)內(nèi)f(x)不可能有根，因而f(x)＝0僅有兩根．知識(shí)點(diǎn)解析：為證題設(shè)方程有兩個(gè)根，需在兩個(gè)區(qū)間利用零點(diǎn)定理，為此要找出三點(diǎn)，函數(shù)f(x)＝xe2x一2x—cosx＋x2／2在此三點(diǎn)相繼反號(hào)．為證f(x)＝0僅有兩根，還要利用f(x)的單調(diào)性．16、已知f′(x)＝arctan(x－1)2，且f(0)＝0，求f(x)dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：分部積分兩次得知識(shí)點(diǎn)解析：已知被積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，常用分部積分法求其積分的值．17、求微分方程y″一3y′一4y＝(10x一7)e－x＋34sinx的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：齊次方程y″一3y′一4y＝0的特征方程為λ2一3λ一4＝0，由此求得特征根λ1＝4，λ2＝一1．對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為Y＝C1e4x＋C2e－x．則f1(x)＝(10x一7)e－x的特解形式為y1*＝x(A＋Bx)e－x＝(Ax＋Bx2)e－x，f2(x)＝34sinx的特解形式為y2*＝Csinx＋Dcosx。于是由疊加原理知，非齊次方程的特解為y*＝y(tǒng)1*＋y2*＝(Ax＋Bx2)e－x＋Csinx＋Dcosx，則(y*)′＝(A＋2Bx—Ax一Bx2)e－x＋Ccosx－Dsinx，(y*)″＝(2B一2A一4Bx＋Ax＋Bx2)e－x一Ccosx—Dsinx，代入原方程，求得A＝1，B＝一1，C＝一5，D＝3，從而y*＝x(1一x)e－x一5sinx＋3cosx．于是原方程的通解為y＝Y(jié)＋y*＝C1A4x＋(C2＋x－x2)e－x一5sinx＋3cosx．知識(shí)點(diǎn)解析：利用二階非齊次線(xiàn)性方程解的疊加原理求之．設(shè)y1*(x)與y2*(x)分別是方程y″＋p(x)y′＋q(x)y＝f1(x)與y″＋p(x)y′＋q(x)y＝f2(x)的特解，則y*(x)＝y(tǒng)1*(x)＋y2*(x)是方程y″＋p(x)y′＋q(x)y＝f1(x)＋f2(x)的特解．18、已知函數(shù)z＝u(x，y)eax＋by，且，試確定常數(shù)a，b，使函數(shù)z＝z(x，y)能滿(mǎn)足方程標(biāo)準(zhǔn)答案：代入方程①的左邊得到為使方程①即(b—1)＋(ab—a—b＋1)u＝0成立，由此可確定a＝1，b＝1．知識(shí)點(diǎn)解析：按二元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，先求出，再代入所給的方程．為使方程等于0確定常數(shù)a，b．19、求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和．標(biāo)準(zhǔn)答案：解一，故冪級(jí)數(shù)的收斂半徑R＝1．當(dāng)x＝1時(shí)，得調(diào)和級(jí)數(shù)，顯然它發(fā)散．當(dāng)x＝一1時(shí)，得級(jí)數(shù)．由交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茲判別法易知該數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，因而冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)閇一1，1)下求其和函數(shù)．設(shè)s(x)＝，x∈［一1，1)．為消掉分母中的系數(shù)n，可采用先求導(dǎo)后積分的方法求之：S′(x)＝x∈[－1，x)，則S(x)＝dt＝－ln(1一x)，x∈[一1，x)，故＝ln3－ln2．解二直接利用冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)的結(jié)果求之：＝－ln(1－x)，x∈[－1，1)．顯然代入上式中即得＝ln3－ln2．注意下面幾個(gè)冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)及其收斂域很常用，應(yīng)記住：知識(shí)點(diǎn)解析：由所給數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的形式，應(yīng)考察冪級(jí)數(shù)，求出其收斂區(qū)域及和函數(shù)s(x)，將x＝代入S(x)中即得所求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和．20、設(shè)，問(wèn)方程組什么時(shí)候有解?什么時(shí)候無(wú)解?有解時(shí)，求出其相應(yīng)的解．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)｜A｜＝(1＋k)(4－k)≠0即k≠1，4時(shí)．r()＝r(A)＝3，方程組有唯一解，且由克拉默法則易求得唯一解為當(dāng)k＝－1時(shí)，方程組為因r(A)＝2＜r()＝3，故方程組無(wú)解．當(dāng)k＝4時(shí)，方程組為因r()＝r(A)＝2＜n＝3，故方程組有解，且有無(wú)窮多解．由基礎(chǔ)解系和特解的簡(jiǎn)便求法即得基礎(chǔ)解系為α＝[一3，一1，1]T，特解為η＝[0，4，0]T，故所求通解為η＋Kα＝[0，4，0]T＋k[－3，一1，1]T，k為任意常數(shù)．知識(shí)點(diǎn)解析：使用初等行變換將其增廣矩陣化為行階梯形矩陣，分別討論k取何值時(shí)，r()＝r(A)＜3．有解時(shí)，再求其解．21、設(shè)二次型f(x1，x2，x3)＝XTAX＝[x1，x2，x3]滿(mǎn)足aii＝2，AB＝0，其中B＝．(1)用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，并求所作的正交變換；(2)求該二次型．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)由AB＝0即知B中三個(gè)列向量均為A的屬于零特征值的特征向量．事實(shí)上，設(shè)B＝[α1，α2，α3]，則Aαi＝0(i＝1，2，3)．顯然α1，α2線(xiàn)性無(wú)關(guān)，且α3＝α1＋α2，故λ1＝0至少是二重特征值．又因故λ1＝λ2＝0，λ3＝2．設(shè)對(duì)應(yīng)于λ3＝2的特征向量為β3＝[x1，x2，x3]T，則α1與β3，α2與β3正交，于是有由知，該方程組的基礎(chǔ)解系為[一1／2，一1／2，1]T．為方便計(jì)，取β3＝[1，1，－2]T．注意到α1，α2，β3兩兩相交，只需單位化則Q＝[η1，η2，η3]為正交矩陣，作正交變換X＝QY，則f＝XTAX＝(QY)TA(QY)＝Y(jié)T(QTAQ)Y知識(shí)點(diǎn)解析：為解決問(wèn)題(1)與(2)需先求出A的特征值、特征向量．因A為抽象矩陣，故只能由定義及其性質(zhì)求之．22、設(shè)鋼管內(nèi)徑X眼從正態(tài)分布N(μ，σ2)，規(guī)定內(nèi)徑在98到102之間的為合格品；超過(guò)102的為廢品，不是98的為次品．已知該批產(chǎn)品的次品率為15．9％，內(nèi)徑超過(guò)101的產(chǎn)品在總產(chǎn)品中占2．28％，求整批產(chǎn)品的合格率．標(biāo)準(zhǔn)答案：要求產(chǎn)品合格率，即要計(jì)算P(98≤X≤102)，而計(jì)算正態(tài)分布隨機(jī)變量取值的概率，需要已知分布參數(shù)μ與σ2．為此，應(yīng)先根據(jù)條件確定μ與σ2的值．依題意知P(X＜98)＝0．159，P(X＞101)＝0．0228。0．159＝P(X＜98)＝P(X≤98)＝Ф，＝0．841，①0．0228＝P(x＞101)＝1－P(X≤101)＝1一Ф，Ф＝0．9772．②根據(jù)式①與式②，查正態(tài)分布表可得關(guān)于μ與σ的二元方程組：于是P(98≤X≤102)＝Ф(102—99)一Ф(98—99)＝Ф(3)一Ф(一1)＝0．83995．知識(shí)點(diǎn)解析：求正態(tài)分布隨機(jī)變量滿(mǎn)足一定條件的概率，一般都應(yīng)先標(biāo)準(zhǔn)化．利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布求概率或建立未知參數(shù)的函數(shù)關(guān)系，這是常用的方法與技巧．要計(jì)算P(98≤X≤102)，必標(biāo)準(zhǔn)化，要標(biāo)準(zhǔn)化必須知道參數(shù)μ和σ2．為此，先利用題設(shè)條件求出μ與σ2的值．23、已知總體X的概率密度函數(shù)為現(xiàn)抽取n＝6的樣本，樣本觀察值分別為0．2，0．3，0．9，0．7，0．8，0．7．試用矩估計(jì)法和極大似然估計(jì)法求出β的估計(jì)值．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)E(x)＝令E(x)＝．而故β的矩估計(jì)值為(2)極大似然函數(shù)為L(zhǎng)＝＝(β＋1)n(x1x2…xn)β，lnL＝nln(β＋1)＋βln(x1x2…xn)，＋ln(x1x2…xn)，令，則所求的極大似然估計(jì)值為知識(shí)點(diǎn)解析：先求出E(X)及樣本均值代替E(X)，解出參數(shù)β即可求出β的矩估計(jì)值．按極大似然估計(jì)的一般求法求出，再用觀察值代替表達(dá)式中的xi(i＝1，2，…，6)即可．考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)三）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、函數(shù)在點(diǎn)x=0處()．A、極限不存在B、極限存在，但不連續(xù)C、連續(xù)，但不可導(dǎo)D、可導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的連續(xù)性和可導(dǎo)性通常用連續(xù)和可導(dǎo)的定義來(lái)討論．顯然上述極限不存在，故f(x)在x=0處不可導(dǎo)，但這是因?yàn)?一為無(wú)窮小量(x→0)，而為有界變量．因而f(x)在x=0處連續(xù)，但不可導(dǎo)，僅(C)入選．2、判別級(jí)數(shù)的斂散性：A、絕對(duì)收斂B、條件收斂C、發(fā)散D、無(wú)從判斷標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：將被積函數(shù)放大，使之積分后產(chǎn)生收斂的比較級(jí)數(shù)．因?yàn)槎諗?，由比較判別法知收斂，且為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，故必定絕對(duì)收斂，僅(A)入選．3、已知某商品的需求量Q對(duì)價(jià)格的彈性為pln3，假設(shè)該商品的最大需求量為1200，則需求量Q關(guān)于價(jià)格p的函數(shù)關(guān)系是()．A、Q=1200．3一pB、Q=1200．3e一pC、Q=1200．e一3pD、Q=1200．3p標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：利用彈性定義建立微分方程解之，也可逐個(gè)檢驗(yàn)四個(gè)選項(xiàng)中的結(jié)果是否符合題目的要求，從而確定選項(xiàng)．根據(jù)需求彈性的定義與題設(shè)可知，由此即得解此微分方程，有Q=Ce一pln3=C．3一p，其中C為待定常數(shù)．再由最大需求量為1200的假定，即知Q(0)=C．3一0=1200，故C=1200，則Q=1200．3一p，所以(A)是正確的，僅(A)入選．4、設(shè)I=|xy|dxdy，其中D是以a為半徑、以原點(diǎn)為圓心的圓，則I的值為()．A、a4/4B、a4/3C、a4/2D、a4標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：被積函數(shù)關(guān)于x，y都是偶函數(shù)，且積分區(qū)域關(guān)于坐標(biāo)軸、坐標(biāo)原點(diǎn)都對(duì)稱(chēng)，故所求積分等于第一象限積分區(qū)域上的4倍．以此簡(jiǎn)化計(jì)算．設(shè)D1={(x，y)|x2+y2≤a2，x＞0，y＞0}，則5、已知n階矩陣A，B，C，其中B，C均可逆，且2A=AB一1+C，則A=()．A、C(2E一B)B、C、B(2B一E)一1CD、C(2B一E)一1B標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：解矩陣方程常先作恒等變形，其次要正確運(yùn)用矩陣的運(yùn)算法則，將待求矩陣化為因子矩陣．做乘法時(shí)，要說(shuō)清楚是左乘還是右乘，特別要注意(A±B)一1≠A一1±B一1．由于2A=AB一1+C，有2A一AB一1=C，且A(2E一B一1)=C，又C可逆，則A(2E—B一1)C一1=E，故A可逆，且得A=[(2E一B一1)C一1]一1=C(2B一1B—B一1)一1=C[B一1(2B一E)]一1=C(2B一E)一1B．僅(D)入選．注意化簡(jiǎn)(2E—B一1)一1時(shí)常見(jiàn)下述錯(cuò)誤：(2E一B一1)一1=(2E)一1一(B一1)一1=E一B，或(2E一B一1)一1=2E一B．這是把可逆的性質(zhì)與矩陣轉(zhuǎn)置的性質(zhì)相混淆造成的，一定要防止這種錯(cuò)誤！6、A是m×n矩陣，線(xiàn)性方程組AX=b有唯一解的充分必要條件是()．A、m一n且|A|≠0B、導(dǎo)出組AX=0有且僅有零解C、A的列向量組α1，α2，…，αn與α1，α2，…，αn，b等價(jià)D、r(A)=n，且b可由A的列向量組線(xiàn)性表出標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：利用A=b有唯一解的充分必要條件是r(A)=r(A|b)=n去判別．當(dāng)m=n時(shí)，必有因而必有解．又|A|≠0，即m=n=r(A)，則AX=b必有唯一解，這也可由克拉默法則得知．但并不必要，當(dāng)m≠n時(shí)，方程組也可能有唯一解．例如AX=b有唯一解．(C)是AX=b有唯一解的必要條件，并非充分條件，即兩個(gè)向量組α1，α2，…，αn與α1，α2，…，αn，b等價(jià)是方程組AX=b有解的充要條件，是有唯一解的必要條件，例如AX=b有解，但解不唯一．(B)是AX=b有唯一解的必要條件，并非充分條件．因這時(shí)不能保證r(A)=r(A|b)．如AX=0有非零解，則AX=b必沒(méi)有唯一解，它可能有無(wú)窮多解，亦可能無(wú)解，當(dāng)AX=0只有零解時(shí)，AX=b可能有唯一解，也可能無(wú)解，并不能保證必有唯一解．例如AX=0僅有零解，而AX=b并無(wú)解．(D)秩r(A)=n表明A的列向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)，因而如AX=b有解，則解必唯一．僅r(A)=n還不能保證，因而不能保證AX=b有解(參見(jiàn)(B)中反例)，b可由A的列向量組線(xiàn)性表出是AX=b有解的充要條件，這兩個(gè)條件結(jié)合才能保證因而它們才是AX=b有唯一解的充要條件，僅(D)入選。注意(B)、(C)均是必要條件，前者不能保證r(A)=，因而不能保證AX=b必有解，后者不能保證AX=b的解唯一．A的列向量線(xiàn)性相關(guān)，AX=b絕對(duì)沒(méi)有唯一解，列向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)最多有唯一解．7、設(shè)隨機(jī)變量X與Y都服從0一1分布，且X，Y相互獨(dú)立，P(X=0，Y=0)=1/6，P(X=1，Y=0)=1/12，P(X=0，Y=1)=a，P(X=1，Y=1)=b，則()．A、a=1/159b=25/36B、a=25/36，b=1/18C、a=1/2，b=1/4D、a=1/6，b=1/12標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由X與Y的獨(dú)立性及邊緣分布的歸一性建立a與b的兩個(gè)方程求之．由題設(shè)得到(X，Y)的聯(lián)合分布律如下表：因X，Y相互獨(dú)立，故P(X=0，Y=0)=P(X=0)P(Y=0)．(1/6+a)(3/12)=1/6，解得a=1/2．由分布的歸一性得到3/12+a+b=1，故b=1/4．僅(C)入選．8、設(shè)總體X～N(0，σ2)，X1，X2，…，Xn為來(lái)自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，則σ2的無(wú)偏估計(jì)量為()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：按照無(wú)偏估計(jì)量的定義，只需證明哪個(gè)統(tǒng)計(jì)量的期望等于σ2．E(Xi2)=E(Xi2)=D(Xi2)+E2(Xi)=σ2+0=σ2．僅(B)入選。二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、若則f[φ(x)]=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：兩分段函數(shù)的分段點(diǎn)相同，且僅有一個(gè)分段點(diǎn)．常用分段代入法求其復(fù)合函數(shù)，且常將內(nèi)層函數(shù)的表達(dá)式代入，然后將外層函數(shù)的表達(dá)式代入，常簡(jiǎn)稱(chēng)“先內(nèi)后外法”。當(dāng)0＜x＜1時(shí)，1＜φ(x)=2x＜2，故f[φ(x)]一f(2x)=ln2x=xln2．當(dāng)x=1時(shí)，φ(x)=1，f[φ(x)]=1．當(dāng)1＜x＜2時(shí)，0＜φ(x)=x一1＜1，則f[φ(x)]=f(x一1)=1一(x一1)=2一x．綜上，可得10、設(shè)a，b是某兩個(gè)常數(shù)，且=b，則a，b分別等于________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由所給極限與ex=+∞，得到事實(shí)上，如dt+a的極限不等于0，那么所給極限必不等于常數(shù)，與題設(shè)即可求得a的值，再用洛必達(dá)法則即可求得b．11、標(biāo)準(zhǔn)答案：10ln3．知識(shí)點(diǎn)解析：12、對(duì)數(shù)螺線(xiàn)ρ=eθ在點(diǎn)(ρ，θ)=處的切線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程為_(kāi)_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：只需將點(diǎn)化為直角坐標(biāo)，曲線(xiàn)ρθ在點(diǎn)處的切線(xiàn)斜率用直角坐標(biāo)表示即可。對(duì)數(shù)螺線(xiàn)ρ=eθ的參數(shù)方程為13、已知二次型f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32+2ax1x2+2bx2x3+2x1x3經(jīng)正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形f(x1，x2，x3)=y22+2y32，則a，b取值為_(kāi)_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識(shí)點(diǎn)解析：由標(biāo)準(zhǔn)形即知二次型矩陣A的特征值，將其代入特征多項(xiàng)式可得a，b滿(mǎn)足的兩個(gè)方程，解之即得a，b．對(duì)應(yīng)二次型矩陣A=，其特征值為0，1，2，將λ=0，1代入特征方程|λE一A|=0，得|0．E一A|=一(a一b)2=0，及|E一A|=一2ab=0，解得a一b=0．14、設(shè)A，B，C是三個(gè)隨機(jī)事件，，P(A∪B)=0．72，PcAC∪BC)=0．32，則P(C)=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：0．6．知識(shí)點(diǎn)解析：利用和事件概率的計(jì)算公式求之．因未給出P(AC)與P(BC)，僅給出P(AC∪BC)，需將三事件之和A∪B∪C看成兩事件A∪B與C之和，利用兩事件之和的概率公式計(jì)算。因?yàn)樗訟∪B∪C=Ω，P(A∪B∪C)=1．又P(A∪B∪C)=P[(A∪B)UC]=P(A∪B)+P(C)一P((A∪B)C)，故P(C)=P(A∪B∪C)一P(A∪B)+P(AC∪BC)=1一0．72+0．32=0．6．三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)15、證明方程xe2x一2x一COSX+x2/2=0有且僅有兩個(gè)根．標(biāo)準(zhǔn)答案：令f(x)=xe2x一2x一cosx+x2/2，則f(x)為連續(xù)函數(shù)，且f(一1)=一e一2+2一cos1+1/2=1一e一2+1一cos1+1/2＞0，f(0)=一1＜0，f(1)=e2一2一cos1+1/2＞0．根據(jù)零點(diǎn)定理知，f(x)=0在(一1，1)內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根．下證f(x)=0在(一1，1)內(nèi)不可能有三個(gè)根．事實(shí)上，如果f(x)在(一1，1)內(nèi)有三個(gè)實(shí)根，不妨設(shè)為x1，x2，x3，則f(x1)=f(x2)=f(x3)=0．由于f(x)二階可導(dǎo)，故存在ξ∈(x1，x3)使f"(ξ)=0，但這是不可能的．這是因?yàn)閒’(x)=e2x(1+2x)一2+sinx+x，f"(x)=4e2x±(1+x)+cosx+l＞0，x∈(一1，1)．此外當(dāng)x＜一1時(shí)，f’(x)＜0，當(dāng)x＞1時(shí)，f’(x)＞0，而f(一1)＜0，f(1)＞0，故函數(shù)f(x)在區(qū)間(一∞，一1)內(nèi)單調(diào)減少且f(x)＜0；在(1，+∞)內(nèi)f(x)單調(diào)增加，且f(x)＞0，故在(一∞，一1)內(nèi)及在(1，+∞)內(nèi)f(x)不可能有根，因而f(x)=0僅有兩根．知識(shí)點(diǎn)解析：為證題設(shè)方程有兩個(gè)根，需在兩個(gè)區(qū)間利用零點(diǎn)定理，為此要找出三點(diǎn)，函數(shù)f(x)=xe2x一2x一cosx+x2/2在此三點(diǎn)相繼反號(hào)．為證f(x)=0僅有兩根，還要利用f(x)的單調(diào)性．16、設(shè)函數(shù)f(x)在[0，1]上連續(xù)且非負(fù)，證明：在(0，1)內(nèi)存在一點(diǎn)ξ，線(xiàn)ξf(ξ)=∫ξ1f(x)dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：由題設(shè)知，顯然F(x)在[0，1]上連續(xù)，在(0，1)內(nèi)可導(dǎo)．且F(0)=0，F(xiàn)(1)=0，則F(x)在[0，1]上滿(mǎn)足羅爾定理的諸條件．由該定理知，存在一點(diǎn)ξ∈[0，1]，故F’(ξ)=0，即F’(ξ)=[x∫x1f(t)dt]’|x=ξ=∫1xf(t)dt|x=ξ+xf(x)|x=ξ=∫1xf(t)dt+ξf(ξ)=0，亦即ξf(ξ)=一∫1xf(t)dt=∫1xf(x)dx．注意若按照一般輔助函數(shù)F(x)的作法，自然想到令F(x)=xf(x)一∫1xf(t)dt，但此時(shí)得不到F(x)在[0，1]區(qū)間端點(diǎn)處嚴(yán)格異號(hào)，因而不能直接使用羅爾定理．知識(shí)點(diǎn)解析：將待證等式改寫(xiě)為xf(x)=f(t)dt，即xf(x)一∫x1f(t)dt=0．亦即xf(x)+∫x1f(t)dt=[x∫x1f(t)dt]’=0，因而作輔助函數(shù)F(x)=x∫1xf(t)dt，下只需證明F(x)在[0，1]上滿(mǎn)足羅爾定理的條件即可．17、求微分方程y"一3y’一4y=(10x一7)e一x+34sinx的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)y1*(x)與y2*(x)分別是方程y"+p(x)y’+q(x)y=f1(x)與y"+p(x)y’+q(x)y=f2(x)的特解，則y*(x)=y1*(x)+y2*(x)是方程y"+p(x)y’+q(x)y=f1(x)+f2(x)的特解．解齊次方程y"一3y’一4y=0的特征方程為λ2一3λ一4=0，由此求得特征根λ1=4，λ2=一1．對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為y=C1e4x+Ce一x．則f1(x)=(10x一7)e一x的特解形式為y1*=x(A+Bx)e一x=(Ax+Bx2)e一x，f2(x)=34sinx的特解形式為y2=Csinx+Dcosx．于是由疊加原理知，非齊次方程的特解為y*=y1*+y2*=(Ax+Bx2)e一x+Csinx+Dcosx，則(y*)’=(A+2Bx一Ax一Bx2)e一x+Ccosx一Dsinx，(y*)"=(2B一2A一4Bx+Ax+Bx2)e一x一Ccosx一Dsinx，代入原方程，求得A=1，B=一1，C=一5，D=3，從而y*=x(1一x)e一x一5sinx+3cosx．于是原方程的通解為y=Y+y*=C1A4x+(C2+x一x2)e一x一5sinx+3cosx．知識(shí)點(diǎn)解析：利用二階非齊次線(xiàn)性方程解的疊加原理求之．18、已知函數(shù)z=u(x，y)eax+by，且=0，試確定常數(shù)a，b，使函數(shù)z=z(x，y)能滿(mǎn)足方程標(biāo)準(zhǔn)答案：按二元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，先求出再代入所給的方程，為使方程等于0確定常數(shù)a，b．代入方程①的左邊得到為使方程①即(b一1)+(ab一a一b+1)u=0成立，由此可確定a=1，b=1．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、設(shè)隨機(jī)變量X服從幾何分布，其分布列為P(X=k)=(1一p)k一1p=pqk一1，0＜q＜1，q=1一p，k=1，2，…，求E(X)與D(X)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由期望的定義及公式D(X)=E(X2)一[E(X)]2求之．求時(shí)要注意正確求出幾類(lèi)冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、設(shè)問(wèn)方程組什么時(shí)候有解？什么時(shí)候無(wú)解？有解時(shí)，求出其相應(yīng)的解．標(biāo)準(zhǔn)答案：使用初等行變換將其增廣矩陣化為行階梯形矩陣，分別討論k取何值時(shí)，=r(A)＜3．有解時(shí)，再求其解．當(dāng)|A|=(1+k)(4一k)≠0即k≠一1，4時(shí)，=r(A)=3，方程組有唯一解，且由克拉默法則易求得唯一解為當(dāng)k=一1時(shí)，方程組為當(dāng)k=4時(shí)，方程組為因=r(A)=2＜n=3，故方程組有解，且有無(wú)窮多解．由基礎(chǔ)解系和特解的簡(jiǎn)便求法即得基礎(chǔ)解系為α=[一3，一1，1]T，特解為η=[0，4，0]T，故所求通解為η+kα=[0，4，0]T+k[一3，一1，1]T，k為任意常數(shù)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、設(shè)二次型f(x1，x2，x3)=XTAX=[x1，x2，x3]滿(mǎn)足(1)用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，并求所作的正交變換；(2)求該二次型．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)由AB=0即知B中蘭個(gè)列向量均為A的屬于零特征值的特征向量。事實(shí)上，設(shè)B=[α1，α2，α3]，則Aαi=0(1=1，2，3)．顯然α1，α2線(xiàn)性無(wú)關(guān)，且α3=α1+α2，故λ1=0至少是二重特征值，又因故λ1=λ2=0，λ3=2．設(shè)對(duì)應(yīng)于λ3=2的特征向量為β3=[x1，x2，x3]T，則α1與β3，α2與β3正交，于是有由知，該方程組的基礎(chǔ)解系為[一1/2，一1/2，1]T．為方便計(jì)，取β3=[1，1，一2]T．注意到α1，α2，β3兩兩正交，只需單位化則Q=[η1，η2，η3]為正交矩陣，作正交變換X=QY，則f=XTAX=(QY)TA(QY)=YT(QTAQ)Y(2)由QTAQ=Q一1AQ=，得到f(x1，x2，x3)=知識(shí)點(diǎn)解析：為解決問(wèn)題(1)與(2)需先求出A的特征值、特征向量．因A為抽象矩陣，故只能由定義及其性質(zhì)求之．22、設(shè)鋼管內(nèi)徑X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，規(guī)定內(nèi)徑在98到102之間的為合格品；超過(guò)102的為廢品，不是98的為次品．已知該批產(chǎn)品的次品率為15．9%，內(nèi)徑超過(guò)101的產(chǎn)品在總產(chǎn)品中占2．28%，求整批產(chǎn)品的合格率．標(biāo)準(zhǔn)答案：要求產(chǎn)品合格率，即要計(jì)算P(98≤X≤102)，而計(jì)算正態(tài)分布隨機(jī)變量取值的概率，需要已知分布參數(shù)μ和σ2，為此，應(yīng)先根據(jù)條件確定μ和σ2的值。依題意知根據(jù)式①與式②，查正態(tài)分布表可得關(guān)于μ和σ的二元方程組：于是P(98≤X≤102)=Ф(102一99)一Ф(98一99)=Ф(3)一Ф(一1)=0．83995．知識(shí)點(diǎn)解析：求正態(tài)分布隨機(jī)變量滿(mǎn)足一定條件的概率，一般都應(yīng)先標(biāo)準(zhǔn)化，利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布求概率或建立未知參數(shù)的函數(shù)關(guān)系，這是常用的方法與技巧，要計(jì)算P(98≤X≤102)，必標(biāo)準(zhǔn)化，要標(biāo)準(zhǔn)化必須知道參數(shù)μ和σ2，為此，先利用題設(shè)條件求出μ和σ2的值。23、已知總體X的概率密度函數(shù)為現(xiàn)抽取n=6的樣本，樣本觀察值分別為0．2，0．3，0．9，0．7，0．8，0．7．試用矩估計(jì)法和極大似然估計(jì)法求出β的估計(jì)值．標(biāo)準(zhǔn)答案：先求出E(X)及樣本均值，再用代替E(X)，解出參數(shù)β即可求出β的矩估計(jì)值．按極大似然估計(jì)的一般求法求出，再用觀察值代替表達(dá)式中的xi(i=1，2，…，6)即可．故β的矩估計(jì)值為(2)極大似然函數(shù)為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)三）模擬試卷第6套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設(shè)f(x)在點(diǎn)x=a可導(dǎo)，則極限()=f’(a)．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)的極限，但也可利用下述結(jié)論觀察求出：設(shè)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，且對(duì)任意兩常數(shù)r1與r2，有因f(x)在x=a可導(dǎo)，利用上述結(jié)論直接求之：(A)中極限=[(一1)一0]f’(a)=一f’(a)；(B)中極限=[1一(一1)]f’(a)=2f’(a)；(C)中極限=(2一0)f’(a)=2f’(a)；(D)中極限=(1一0)f’(a)=f’(a)．因而僅(D)入選．2、當(dāng)x＞0時(shí)，已知f(lnx)=則∫一22xf’(x)dx=()．A、一4/eB、4/eC、2/eD、一2/e標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：先作變量代換lix=t，求出f(x)，再用分部積分法求之．這是因?yàn)楸环e函數(shù)