2025高考總復(fù)習(xí)專項(xiàng)復(fù)習(xí)-概率專題九（含解析）

21世紀(jì)教育網(wǎng)精品試卷·第2頁（共2頁）人教A版數(shù)學(xué)--概率專題九知識(shí)點(diǎn)一求回歸直線方程,相關(guān)系數(shù)的意義及辨析,相關(guān)系數(shù)的計(jì)算,根據(jù)回歸方程進(jìn)行數(shù)據(jù)估計(jì)典例1、某產(chǎn)品的廣告費(fèi)用支出與銷售額之間有如下的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)：245683040605070（1）求回歸直線方程；（2）據(jù)此估計(jì)廣告費(fèi)用為10時(shí)銷售收入的值.附：線性回歸方程中系數(shù)計(jì)算公式，，其中，表示樣本均值.隨堂練習(xí)：某景區(qū)對(duì)2018年1-5月的游客量x與利潤y的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表：月份12345游客量（萬人）46578利潤（萬元）1934264145（1）根據(jù)所給統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，求y關(guān)于x的線性回歸方程；（2）據(jù)估計(jì)6月份將有10萬游客光臨，請(qǐng)你判斷景區(qū)上半年的總利潤能否突破220萬元？（參考數(shù)據(jù)：，），．典例2、為打造“四態(tài)融合、產(chǎn)村一體”的望山、見水、憶鄉(xiāng)愁的美麗鄉(xiāng)村，增加農(nóng)民收入，某鄉(xiāng)政府在近幾年中任選了5年，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，年份代號(hào)x與景區(qū)農(nóng)家樂接待游客人數(shù)y（單位：萬人）的數(shù)據(jù)如下表：年份代號(hào)x23578接待游客人數(shù)y（萬人）33.546.58（1）根據(jù)數(shù)據(jù)說明變量x與y是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)；（2）求相關(guān)系數(shù)r的值，并說明年份與接待游客數(shù)的相關(guān)性的強(qiáng)與弱；（3）分析近幾年中該景區(qū)農(nóng)家樂接待游客人數(shù)y的變化情況，求該景區(qū)農(nóng)家樂接待游客人數(shù)關(guān)于年份代號(hào)的回歸直線方程；并預(yù)測在年份代號(hào)為10時(shí)該景區(qū)農(nóng)家樂接待游客的人數(shù)（單位：萬人，精確到小數(shù)點(diǎn)后2位）.附：一般地，當(dāng)r的絕對(duì)值大于0.75時(shí)認(rèn)為兩個(gè)變量之間有很強(qiáng)的線性關(guān)系.,.

隨堂練習(xí)：下圖是我國2008年至2014年生活垃圾無害化處理量（單位：億噸）的折線圖.（1）由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說明；（2）建立y關(guān)于t的回歸方程（系數(shù)精確到0.01），預(yù)測2016年我國生活垃圾無害化處理量.附注：參考數(shù)據(jù)：，，，≈2.646.參考公式：相關(guān)系數(shù)回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：

典例3、目前直播帶貨已經(jīng)席卷全國了，不論老人小孩、男生女生，大家都聽說或是嘗試過直播購物，它所具有的能突破時(shí)間、空間限制的特點(diǎn)已經(jīng)吸引了越多越多的人.由此可見，它的受眾非常廣泛，是大勢所趨.不管是什么行業(yè)領(lǐng)域，都可以去從事直播帶貨.直播帶貨的興起為人們提供了更多就業(yè)崗位.小明是一名剛畢業(yè)的大學(xué)生，通過直播帶貨的方式售賣自己家鄉(xiāng)的特產(chǎn)，下面是他近4個(gè)月的家鄉(xiāng)特產(chǎn)收入（單位：萬元）情況，如表所示.月份5678時(shí)間代號(hào)1234家鄉(xiāng)特產(chǎn)收入1.8（1）根據(jù)5月至8月的數(shù)據(jù)，求y與t之間的線性相關(guān)系數(shù)（精確到0.01），并判斷相關(guān)性；（2）求出y關(guān)于t的回歸直線方程，并預(yù)測9月收入能否突破1萬元，請(qǐng)說明理由.附：①相關(guān)系數(shù)公式：；（若，則線性相關(guān)程度非常強(qiáng)，可用線性回歸模型擬合）②一組數(shù)據(jù)，其回歸直線方程的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，；③參考數(shù)據(jù)：，，.

隨堂練習(xí)：某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的研發(fā)費(fèi)，需了解年研發(fā)費(fèi)x（單位：萬元）對(duì)年銷售量y（單位：百件）和年利潤（單位：萬元）的影響，現(xiàn)對(duì)近6年的年研發(fā)費(fèi)和年銷售量（，2，…，6）數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.12.52223.5157.54.51854270表中，.（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷與哪一個(gè)更適宜作為年研發(fā)費(fèi)x的回歸方程類型；（給出判斷即可，不必說明理由）（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；（3）已知這種產(chǎn)品的年利潤，根據(jù)（2）的結(jié)果，當(dāng)年研發(fā)費(fèi)為多少時(shí)，年利潤z的預(yù)報(bào)值最大？附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，.知識(shí)點(diǎn)獨(dú)立事件的乘法公式,獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率問題,求離散型隨機(jī)變量的均值典例4、甲?乙兩人輪流投籃，每人每次投一球.甲先投且先投中者獲勝，約定有人獲勝或每人都已投球2次時(shí)投籃結(jié)束.設(shè)甲每次投籃投中的概率為，乙每次投籃投中的概率為，且各次投籃互不影響.（1）求甲獲勝的概率；（2）求投籃結(jié)束時(shí)，乙只投了1個(gè)球的概率.

隨堂練習(xí)：某社區(qū)為了豐富群眾的業(yè)余活動(dòng)，倡導(dǎo)群眾參加踢毽子，廣場舞，投籃，射門等體育活動(dòng).在一次“定點(diǎn)投球”的游戲中，規(guī)則如下：每小組兩位選手，每位選手投球兩次，投中一次得2分，否則得0分，得分累加，得分之和不低于6分則稱兩人為“黃金搭檔”.甲，乙兩人一組，甲每次投中的概率為，乙每次投中的概率為，假設(shè)甲，乙兩人是否投中互不影響.（1）若，，求甲，乙兩人累計(jì)得分之和為4的概率；（2）若，求甲，乙在一輪游戲中為“黃金搭檔”的概率的最大值.典例5、甲、乙兩名學(xué)生進(jìn)行“趣味投籃比賽”，制定比賽規(guī)則如下：每輪比賽中甲、乙兩人各投一球，兩人都投中或者都未投中則均記0分；一人投中而另一人未投中，則投中的記1分，未投中的記分設(shè)每輪比賽中甲投中的概率為，乙投中的概率為，甲、乙兩人投籃相互獨(dú)立，且每輪比賽互不影響．（1）經(jīng)過1輪比賽，記甲的得分為，求的分布列和期望；（2）經(jīng)過3輪比賽，用表示第n輪比賽后甲累計(jì)得分低于乙累計(jì)得分的概率，研究發(fā)現(xiàn)點(diǎn)均在函數(shù)的圖象上，求實(shí)數(shù)m，s，t的值．

隨堂練習(xí)：“練好射擊本領(lǐng)，報(bào)效國家”，某警校大一新生進(jìn)行射擊打靶訓(xùn)練，甲、乙在相同的條件下輪流射擊，每輪中甲，乙各射擊一次，射中者得1分，未射中者得0分已知甲、乙每次射中的概率分別為，且各次射擊互不影響.（1）經(jīng)過1輪射擊打靶，記甲、乙兩人的得分之和為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）經(jīng)過3輪射擊打靶后，求甲的累計(jì)得分高于乙的累計(jì)得分的概率.典例6、11月，2019全國美麗鄉(xiāng)村籃球大賽在中國農(nóng)村改革的發(fā)源地-安徽鳳陽舉辦，其間甲、乙兩人輪流進(jìn)行籃球定點(diǎn)投籃比賽（每人各投一次為一輪），在相同的條件下，每輪甲乙兩人在同一位置，甲先投，每人投一次球，兩人有1人命中，命中者得1分，未命中者得-1分；兩人都命中或都未命中，兩人均得0分，設(shè)甲每次投球命中的概率為，乙每次投球命中的概率為，且各次投球互不影響.（1）經(jīng)過1輪投球，記甲的得分為，求的分布列；（2）若經(jīng)過輪投球，用表示經(jīng)過第輪投球，累計(jì)得分，甲的得分高于乙的得分的概率.①求；②規(guī)定，經(jīng)過計(jì)算機(jī)計(jì)算可估計(jì)得，請(qǐng)根據(jù)①中的值分別寫出a，c關(guān)于b的表達(dá)式，并由此求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.

隨堂練習(xí)：足球比賽全場比賽時(shí)間為90分鐘，若在90分鐘結(jié)束時(shí)成績持平，且該場比賽需要決出勝負(fù)，則需進(jìn)行30分鐘的加時(shí)賽：若加時(shí)賽仍是平局，則采取“點(diǎn)球大戰(zhàn)”的方式?jīng)Q定勝負(fù)．“點(diǎn)球大戰(zhàn)”的規(guī)則如下：①兩隊(duì)?wèi)?yīng)各派5名隊(duì)員，雙方輪流踢點(diǎn)球，累計(jì)進(jìn)球個(gè)數(shù)多者勝；②若在踢滿5輪前，一隊(duì)的進(jìn)球數(shù)已多于另一隊(duì)踢滿5次可能射中的球數(shù)，則不需再踢，譬如第4輪結(jié)束時(shí)，雙方進(jìn)球數(shù)比為2：0．則不需再踢第5輪了，③若前5輪點(diǎn)球大戰(zhàn)中雙方進(jìn)球數(shù)持平，則采用“突然死亡法”決出勝負(fù)，即從第6輪起，雙方每輪各派1人罰點(diǎn)球，若均進(jìn)球或均不進(jìn)球，則繼續(xù)下一輪，直到出現(xiàn)一方進(jìn)球另一方不進(jìn)球的情況，進(jìn)球方獲勝．（1）已知小明在點(diǎn)球訓(xùn)練中踢進(jìn)點(diǎn)球的概率是．在一次賽前訓(xùn)練中，小明踢了3次點(diǎn)球，且每次踢點(diǎn)球互不影響，記X為踢進(jìn)點(diǎn)球的次數(shù)，求X的分布列與期望；（2）現(xiàn)有甲，乙兩支球隊(duì)在冠軍賽中相遇，比賽120分鐘后雙方仍舊打平，須互罰點(diǎn)球決出勝負(fù)．設(shè)甲隊(duì)每名球員踢進(jìn)點(diǎn)球的概率為，乙隊(duì)每名球員踢進(jìn)點(diǎn)球的概率為．每輪點(diǎn)球中，進(jìn)球與否互不影響，各輪結(jié)果也互不影響．求甲隊(duì)在點(diǎn)球大戰(zhàn)中比賽4輪并以3∶1獲得冠軍的概率．人教A版數(shù)學(xué)--概率專題九答案典例1、答案：（1）（2）82.5解：（1）根據(jù)表中所給的五對(duì)數(shù)據(jù)，得到五個(gè)有序數(shù)對(duì)，∵，，∴，∴，∴所以回歸直線方程為.（2）當(dāng)時(shí)，預(yù)報(bào)的值為.隨堂練習(xí)：答案：（1）；（2）能，理由見解析.解：（1），，，（2）當(dāng)時(shí)，，上半年景區(qū)總利潤為：萬元，據(jù)估計(jì)景區(qū)上半年的總利潤能突破220萬元.典例2、答案：（1）正相關(guān)；（2）0.959，年份與接待游客數(shù)的相關(guān)性很強(qiáng)；（3），9.04萬人.解：（1）由表中數(shù)據(jù)可得，，則，由于變量y的值隨x的值的增加而增加（），因此x與y之間是正相關(guān)；（2）因?yàn)?，所以年份與接待游客數(shù)的相關(guān)性很強(qiáng)；（3）因?yàn)椋跃皡^(qū)農(nóng)家樂接待游客人數(shù)y關(guān)于年份代號(hào)x的回歸直線方程為，當(dāng)x=10時(shí)，，由此預(yù)測在年份代號(hào)為10時(shí)該景區(qū)農(nóng)家樂接待游客人數(shù)約為9.04萬人.隨堂練習(xí)：答案：(1)答案見解析；(2)答案見解析.解：（1）由折線圖中數(shù)據(jù)和附注中參考數(shù)據(jù)得：，，，，.因?yàn)榕c的相關(guān)系數(shù)近似為0.99，說明與的線性相關(guān)相當(dāng)高，從而可以用線性回歸模型擬合與的關(guān)系.（2）由及（1）得，.所以，關(guān)于的回歸方程為：.將2016年對(duì)應(yīng)的代入回歸方程得：.所以預(yù)測2016年我國生活垃圾無害化處理量將約1.82億噸.典例3、答案：（1）；認(rèn)為y與t之間有很強(qiáng)的相關(guān)性.（2）y關(guān)于t的回歸直線方程為：，不能.解：（1）由表格數(shù)據(jù)可知：，，則：，由題意知：，，代入相關(guān)系數(shù)公式可得：，因?yàn)?，所以認(rèn)為y與t之間有很強(qiáng)的相關(guān)性.（2）由題意可得：，，，，所以，則，所以y關(guān)于t的回歸直線方程為：，把代入可得：，所以預(yù)測9月收入不能突破1萬元.隨堂練習(xí)：答案：（1）；（2）；（3）30萬元.解：（1）由散點(diǎn)圖可以判斷更適宜作為年研發(fā)費(fèi)x的回歸方程類型；（2）令，先建立y關(guān)于的線性回歸方程，因?yàn)椋?，所以y關(guān)于μ的線性回歸方程，（3）因此，γ關(guān)于x的回歸方程為；由（2）可知，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)研發(fā)費(fèi)為30萬元時(shí)，年利潤z的預(yù)報(bào)值最大典例4、答案：（1）（2）解：（1）設(shè)，分別表示甲?乙在第次投籃時(shí)投中，則，，，“甲獲勝”為事件，則；（2）記“投籃結(jié)束時(shí)，乙只投了1個(gè)球”為事件.則.隨堂練習(xí)：答案：（1）（2）解：（1）由題意得甲，乙兩人累計(jì)得分之和為4的概率為：（2）他們?cè)谝惠営螒蛑蝎@得“黃金搭檔”的概率為：，因?yàn)?，所以，令，由，及，得，，?dāng)時(shí)，P的最大值為.故甲，乙在一輪游戲中為“黃金搭檔”的概率的最大值.典例5、答案：（1）答案見解析（2），，解：（1）的可能取值為，則；；，的分布列為：01．（2）由（1）知，經(jīng)過兩輪比賽，甲累計(jì)得分低于乙累計(jì)得分有兩種情況：一是甲兩輪得分都為；二是兩輪中甲有一輪得0分，另一輪得分，則．經(jīng)過三輪比賽，甲累計(jì)得分低于乙累計(jì)得分有四種情況：三輪中甲得分都為；三輪中甲有兩輪得分，另一輪得0分；三輪中甲有一輪得分，另兩輪得0分；三輪中甲有兩輪得分，另一輪得1分，則，由題意，點(diǎn)均在函數(shù)的圖象上，則，②－①得④，③－②得⑤，⑤÷④得⑥，將⑥代入④得⑦，將⑥⑦代入①得，綜上，，，．隨堂練習(xí)：答案：（1）分布列見解析，；（2）.解:（1）的可能取值為0，1，2，由題意可知，，，所以X的分布列為：X0

1

2P

.（2）經(jīng)過3輪射擊后甲的累計(jì)得分高于乙的累計(jì)得分有三種情況：一是甲累計(jì)得3分，此時(shí)乙的累計(jì)得分低于3分，二是甲累計(jì)得2分，此時(shí)乙的累計(jì)得分低于2分，三是甲累計(jì)得1分，此時(shí)乙累計(jì)得0分，所以典例6、答案：（1）分布列見解析；（2）①；②，.解:（1）記一輪投球，甲命中為事件，乙命中為事件，相互獨(dú)立，由題意，，甲的得分的取值為，，，，∴的分布列為：－101（2）由（1），，同理，經(jīng)過2