2024年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)測(cè)試卷（北京專用）（解析版）

2024年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)測(cè)試卷（北京專用）（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分，在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1．已知復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意得在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為為，所以，則，故選：B.2．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，又，所?故選：A3．已知，則（

）A． B．32 C．495 D．585【答案】C【解析】令，可得，解得；令，可得，則；令，可得，則；令，，則.故選：C.4．已知正方體，平面與平面的交線為l，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖，在正方體中，平面平面，平面平面，平面平面，.對(duì)于A，，，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)榕c相交，所以與不平行，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)榕c不平行，所以與不平行，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)榕c不平行，所以與不平行，故D錯(cuò)誤；故選：A.5．已知、為雙曲線的左，右頂點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上，滿足為等腰三角形，頂角為，則雙曲線的離心率為（

）A． B．2 C． D．【答案】D【解析】不妨取點(diǎn)在第一象限，如圖：設(shè)雙曲線的方程為：，是頂角為的等腰三角形，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，又點(diǎn)在雙曲線上，將坐標(biāo)代入坐標(biāo)得，整理上式得，而，，因此，故選：D．6．?dāng)?shù)學(xué)家祖沖之曾給出圓周率的兩個(gè)近似值：“約率”與“密率”.它們可用“調(diào)日法”得到：稱小于3.1415926的近似值為弱率，大于3.1415927的近似值為強(qiáng)率.由于，取3為弱率，4為強(qiáng)率，計(jì)算得，故為強(qiáng)率，與上一次的弱率3計(jì)算得，故為強(qiáng)率，繼續(xù)計(jì)算，….若某次得到的近似值為強(qiáng)率，與上一次的弱率繼續(xù)計(jì)算得到新的近似值；若某次得到的近似值為弱率，與上一次的強(qiáng)率繼續(xù)計(jì)算得到新的近似值，依此類推.已知，則（

）A．8 B．7 C．6 D．5【答案】B【解析】因?yàn)闉閺?qiáng)率，由可得，，即為強(qiáng)率；由可得，，即為強(qiáng)率；由可得，，即為強(qiáng)率；由可得，，即為強(qiáng)率；由可得，，即為弱率，所以，故選：B.7．設(shè)函數(shù)，則是（

）A．偶函數(shù)，且在區(qū)間單調(diào)遞增B．奇函數(shù)，且在區(qū)間單調(diào)遞減C．偶函數(shù)，且在區(qū)間單調(diào)遞增D．奇函數(shù)，且在區(qū)間單調(diào)遞減【答案】D【解析】的定義域?yàn)?，，所以是奇函?shù)，AC選項(xiàng)錯(cuò)誤.當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減可知在區(qū)間單調(diào)遞增，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減可知在區(qū)間單調(diào)遞減，D選項(xiàng)正確.故選：D8．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)，易知，由可得，整理得，即動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑為1的圓，又，可得的最大值為到圓心的距離再加上半徑，即.故選：D9．設(shè)函數(shù)，對(duì)于下列四個(gè)判斷：①函數(shù)的一個(gè)周期為；②函數(shù)的值域是；③函數(shù)的圖象上存在點(diǎn)，使得其到點(diǎn)的距離為；④當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與直線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)．正確的判斷是（

）A．① B．② C．③ D．④【答案】D【解析】對(duì)于①，，，故不是函數(shù)的一個(gè)周期，①錯(cuò)誤；對(duì)于②，，需滿足，即，令，，則即為，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，則；當(dāng)時(shí)，，（，故）此時(shí)在上單調(diào)遞減，則，綜上，的值域是，②錯(cuò)誤；對(duì)于③，由②知，，當(dāng)時(shí)，,滿足此條件下的圖象上的點(diǎn)到的距離；當(dāng)時(shí)，,滿足此條件下的圖象上的點(diǎn)到的距離，當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)等號(hào)成立，而時(shí)，或，滿足此條件的x與矛盾，即等號(hào)取不到，故函數(shù)的圖象上不存在點(diǎn)，使得其到點(diǎn)的距離為，③錯(cuò)誤；對(duì)于④，由②的分析可知，則，即，又，故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與直線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，④正確．故選：D10．投擲一枚均勻的骰子6次，每次擲出的點(diǎn)數(shù)可能為1，2，3，4，5，6且概率相等，若存在k使得1到k次的點(diǎn)數(shù)之和為6的概率是p，則p的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】點(diǎn)數(shù)之和為6的可能投法有，，，，，，，，，，，于是所求概率．一方面，，另一方面，，故選：B.第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11．已知平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)到的距離比到軸的距離大2，則的軌跡方程是.【答案】或【解析】設(shè)點(diǎn)，依題意，，即，整理得，所以的軌跡方程是或.故答案為：或12．已知，，，，，則.【答案】13【解析】由題意是直角三角形，，故答案為：13.13．某班在一次考試后分析學(xué)生在語(yǔ)文?數(shù)學(xué)?英語(yǔ)三個(gè)學(xué)科的表現(xiàn)，繪制了各科年級(jí)排名的散點(diǎn)圖（如下圖所示）．關(guān)于該班級(jí)學(xué)生這三個(gè)學(xué)科本次考試的情況，給出下列四個(gè)結(jié)論：①三科中，數(shù)學(xué)年級(jí)排名的平均數(shù)及方差均最?。虎谡Z(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)年級(jí)排名均在150名以外的學(xué)生為1人；③本次考試該班語(yǔ)文第一名、數(shù)學(xué)第一名、英語(yǔ)第一名可能為三名不同的同學(xué)；④從該班學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，若其語(yǔ)文排名大于200，則其英語(yǔ)和數(shù)學(xué)排名均在150以內(nèi)的概率為．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是．【答案】①②④【解析】①：三科中，數(shù)學(xué)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)比英語(yǔ)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到橫軸的距離近且較為密集，數(shù)學(xué)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到橫軸的距離比語(yǔ)文對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到縱軸距離近且較為密集，所以數(shù)學(xué)年級(jí)排名的平均數(shù)及方差均最小.判斷正確；②：語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)年級(jí)排名均在150名以外的學(xué)生為1人.判斷正確；③：本次考試該班語(yǔ)文第一名、數(shù)學(xué)第一名、英語(yǔ)第一名為同一名同學(xué).判斷錯(cuò)誤；④：由圖表可知語(yǔ)文排名大于200的有3位同學(xué)，語(yǔ)文排名大于200且英語(yǔ)和數(shù)學(xué)排名均在150以內(nèi)的同學(xué)僅有1位同學(xué).故從該班學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，若其語(yǔ)文排名大于200，則其英語(yǔ)和數(shù)學(xué)排名均在150以內(nèi)的概率為．判斷正確.故答案為①②④14．已知函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則整數(shù)的取值可以是．【答案】2，（大于等于2的整數(shù)即可，答案不唯一）【解析】當(dāng)時(shí)，，顯然不滿足題意；當(dāng)時(shí)，令可得，令，則，易知當(dāng)時(shí)，；當(dāng)或時(shí)，；因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減；可得的極小值為，極大值為；作出函數(shù)的圖象如下圖所示：若函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，即與在同一坐標(biāo)系內(nèi)有三個(gè)不同的交點(diǎn)，由圖可知，解得；又因?yàn)槿≌麛?shù)，且，所以整數(shù)的取值可以是2.故答案為：2（大于等于2的整數(shù)即可，答案不唯一）15．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則有以下四個(gè)結(jié)論：①若，則②若，且，則且③若，且在前16項(xiàng)中，偶數(shù)項(xiàng)的和與奇數(shù)項(xiàng)的和之比為3:1，則公差為2④若，且，則和均是的最大值其中正確命題的序號(hào)為.【答案】①②④【解析】對(duì)于①，因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，，所以，故①正確；對(duì)于②，因?yàn)椋?，即是遞增數(shù)列，因?yàn)?，即，所以，即，則，所以且，故②正確；對(duì)于③，因?yàn)?，所以，則，則，又，，所以，即，故，得，，所以的公差為，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，因?yàn)?，即，即，整理得，因?yàn)椋?，由于，所以，故，即，因?yàn)?，所以是遞減數(shù)列，則，，所以，，故和均是的最大值，故④正確.故答案為：①②④.三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.16．（13分）在中，(1)求；(2)若為邊上一點(diǎn)，再?gòu)臈l件①?條件②?條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使存在且唯一確定，求的面積.條件①：；條件②：；條件③：的周長(zhǎng)為.注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【解析】（1），故；（2）若選條件①：，由，，，故，即，，此時(shí)三角形唯一確定，符合要求，.若選條件③：的周長(zhǎng)為,由，故，則，化簡(jiǎn)得，即有，解得，故，此時(shí)三角形唯一確定，符合要求，.不能選條件②，理由如下：若選條件②：，由，，，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則，即，此時(shí)，，故，即不存在該三角形，故②不符合要求.17．（14分）某學(xué)校體育課進(jìn)行投籃練習(xí)，投籃地點(diǎn)分為區(qū)和區(qū)，每一個(gè)球可以選擇在區(qū)投籃也可以選擇在區(qū)投籃，在區(qū)每投進(jìn)一球得2分，沒有投進(jìn)得0分；在區(qū)每投進(jìn)一球得3分，沒有投進(jìn)得0分.學(xué)生甲在，兩區(qū)的投籃練習(xí)情況統(tǒng)計(jì)如下表：甲區(qū)區(qū)投籃次數(shù)得分假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且學(xué)生甲每次投籃相互獨(dú)立．(1)試分別估計(jì)甲在區(qū)，區(qū)投籃命中的概率；(2)若甲在區(qū)投個(gè)球，在區(qū)投個(gè)球，求甲在區(qū)投籃得分高于在區(qū)投籃得分的概率；(3)若甲在區(qū)，區(qū)一共投籃次，投籃得分的期望值不低于分，直接寫出甲選擇在區(qū)投籃的最多次數(shù)．（結(jié)論不要求證明）【解析】（1）甲在區(qū)投籃次，投進(jìn)次，所以估計(jì)甲在區(qū)投籃進(jìn)球的概率為，甲在區(qū)投籃次，投進(jìn)次，所以估計(jì)甲在區(qū)投籃進(jìn)球的概率為.（2）據(jù)題意，甲在區(qū)進(jìn)球的概率估計(jì)為，在區(qū)投籃進(jìn)球的概率估計(jì)為.設(shè)事件為“甲在區(qū)投籃得分高于在區(qū)投籃得分”甲在區(qū)投個(gè)球，得分可能是，在區(qū)投個(gè)球，得分可能是.則甲在區(qū)投籃得分高于在區(qū)投籃得分的情況有：區(qū)分區(qū)分，概率估計(jì)為，區(qū)分區(qū)分，概率估計(jì)為，區(qū)分區(qū)分，概率估計(jì)為，區(qū)分區(qū)分，概率估計(jì)為，區(qū)分區(qū)分，概率估計(jì)為，則甲在區(qū)投籃得分高于在區(qū)投籃得分的概率估計(jì)為.（3）甲在區(qū)投籃一次得分的期望估計(jì)是，甲在區(qū)投籃一次得分的期望估計(jì)是，設(shè)甲在區(qū)投籃次，則甲在區(qū)投籃次，則總的期望值估計(jì)為，解得，則甲選擇在區(qū)投籃的次數(shù)最多是次．18．（13分）如圖，在三棱柱中，為等邊三角形，四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形，D為AB中點(diǎn)，且(1)求證:CD⊥平面；(2)已知點(diǎn)P在線段上，且直線AP與平面所成角的正弦值為，求的值.【解析】（1）在三棱柱中，，顯然，則，又，于是，又，平面，因此平面，又平面，即有，在正中，為中點(diǎn)，則，又平面，所以平面.（2）取中點(diǎn)為中點(diǎn)為，則，由（1）知，平面，且平面，則，又，有，平面，于是平面，兩兩垂直.，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S?軸?軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，設(shè)，則，由直線與平面所成角的正弦值為，得，即，整理得，而，解得，即點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，所以.19．（15分）已知橢圓：（）的四個(gè)頂點(diǎn)相連構(gòu)成菱形，且點(diǎn)A，的坐標(biāo)分別為，.(1)求橢圓的方程和離心率；(2)設(shè)為第一象限內(nèi)上的動(dòng)點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且垂直于的直線交軸于點(diǎn)，求的取值范圍.【解析】（1）設(shè)橢圓的半焦距為，由題意可知：，則，所以橢圓的方程為，離心率.（2）由（1）可知，則直線的方程，即，設(shè)，則直線的方程為，聯(lián)立方程，解得，即，又，可設(shè)點(diǎn)且垂直于的直線方程為，代入點(diǎn)可得，解得，令，則在上恒成立，可知在上單調(diào)遞減，可得，且，則，可得，即，所以的取值范圍為.20．（15分）已知函數(shù).(1)若曲線在點(diǎn)處的切線為軸，求的值；(2)討論在區(qū)間內(nèi)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；(3)若在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，求證：.【解析】（1）由得：，依題意，，得.經(jīng)驗(yàn)證，在點(diǎn)處的切線為，所以.（2）由題得.（i）若，當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以無(wú)極值點(diǎn).（ii）若，當(dāng)時(shí)，，故在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，故在區(qū)間上單調(diào)遞增.所以為的極小值點(diǎn)，且無(wú)極大值點(diǎn).綜上，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間內(nèi)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為0；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間內(nèi)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為1.（3）由（2）知當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，在區(qū)間內(nèi)無(wú)零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.所以.若在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，則.而，設(shè)，則.設(shè)，則，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增.所以，即.所以在區(qū)間上單調(diào)遞增.所以，即.又，所以.21．（15分）已知是各項(xiàng)均為正整數(shù)的無(wú)窮遞增數(shù)列，對(duì)于，定義集合，設(shè)為集合中的元素個(gè)數(shù)，若時(shí)，規(guī)定.(1)若，寫出及的值；(2)若數(shù)列是等差數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(3)設(shè)集合，求證：且.【解析】（1）因?yàn)?，所以，則，所以，，又，所以，，所以；（2）由題可知，所以，所以.若，則，，所以