【專項精練】第18課 三角函數的誘導公式-2024年新高考數學分層專項精練（解析版）

第18課三角函數的誘導公式（分層專項精練）【一層練基礎】一、單選題1．（2023秋·高一課時練習）若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先由誘導公式求出的值，再利用拆分角求得結果.【詳解】由，得.故選：C.2．（2022·陜西西安·西安中學?？寄M預測）若，則實數的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用輔助角公式以及二倍角的正弦公式、誘導公式化簡可得的值.【詳解】由已知可得.故選：A.3．（2023·山東青島·山東省青島第五十八中學?？家荒＃┮阎獮殇J角，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先由平方關系計算出，再由誘導公式得出答案.【詳解】由為銳角得，所以，.故選：C.4．（2023·全國·高三專題練習）若是純虛數，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據純虛數的定義可得，，即可求出，再根據誘導公式即可求出.【詳解】是純虛數，，且，即且，即，則，則.故選：C.二、多選題5．（2023·全國·高三專題練習）下列各式的值為的是（

）.A．sin B．sincosC． D．【答案】AD【分析】根據誘導公式，結合二倍角的正弦公式、余弦公式、正切公式逐一判斷即可.【詳解】A：，符合題意；B：，不符合題意；C：，不符合題意；D：，符合題意，故選：AD6．（2023春·安徽阜陽·高二安徽省潁上第一中學?？茧A段練習）北斗衛(wèi)星導航系統(tǒng)是中國自行研制的全球衛(wèi)星導航系統(tǒng)，可在全球范圍內為各類用戶提供全天候、全天時、高精度、高定位、導航、授時服務，2020年7月31日上午，北斗三號全球衛(wèi)星導航系統(tǒng)正式開通，北斗導航能實現“天地互通”的關鍵是信號處理，其中某語言通訊的傳遞可以用函數近似模擬其信號，則下列結論中正確的是（

）A．函數的最小正周期為 B．函數的圖象關于點對稱C．對任意，都有 D．函數的最小值為-3【答案】BCD【解析】A.根據的周期分別是判斷；B.由是否為零判斷；C.利用誘導公式判斷；D.由的值判斷.【詳解】A.因為的周期分別是，其最小公倍數為，所以函數函數的最小正周期為，故錯誤；B.因為，故正確；C.，故正確；D.,故正確；故選：BCD7．（2023·安徽黃山·統(tǒng)考二模）若，則的值可能是（

）A． B． C．2 D．3【答案】CD【分析】利用余弦的二倍角公式和“齊次式”結構，求出或，再利用的周期，化簡，從而求出結果.【詳解】由余弦的二倍角公式知，得到，即，解得或，當時，，當時，所以，當時，或，當時，或，故選：CD.三、填空題8．（2023春·福建泉州·高一?？茧A段練習）已知為銳角，且，則的值為．【答案】【分析】利用同角三角函數的基本關系結合誘導公式可求得結果.【詳解】因為為銳角，且，則，因此，.故答案為：.9．（2023·福建福州·福建省福州第一中學?？寄M預測）如圖中，已知點在邊上，，，，，則的長為【答案】【分析】通過誘導公式易知，利用余弦定理計算即得結論．【詳解】解：，，，又，，，，故答案為：．【點睛】本題考查求三角形中某條線段的長度，利用三角函數的誘導公式、余弦定理是解決本題的關鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．四、解答題10．（2022·浙江·高三專題練習）設函數.(1)求函數單調遞增區(qū)間；(2)求函數在區(qū)間上的最值.【答案】(1)是單調遞增區(qū)間(2)最小值為，最大值是【分析】(1)通過恒等變換將原函數變成單一的三角函數即可判斷；(2)將原函數通過輔助角公式轉化為單一的三角函數，在指定區(qū)間判斷其單調性即可求出其值域.(1)，當，即時是單調遞增區(qū)間；(2)，因為，所以，所以當時單調遞減，當時單調遞增，，最大值在區(qū)間的兩個端點中的一個，，，故最小值為，大值是；綜上，的單調遞增區(qū)間為，的最大值為，最小值為.【二層練綜合】一、單選題1．（2023·全國·高三專題練習）若，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據誘導公式求得，結合角的范圍，可求得，再利用誘導公式化簡，即可求得答案.【詳解】因為，，所以，解得，所以，，所以,故選:D二、多選題2．（2023春·廣東廣州·高二執(zhí)信中學?？茧A段練習）已知函數（

）A．為的周期B．對于任意，函數都滿足C．函數在上單調遞減D．的最小值為【答案】ABC【分析】A.由函數周期定義判斷是否滿足；B根據誘導公式判斷是否滿足；C.根據定義域，化簡函數，并判斷函數的單調性；D.在一個周期內，分和兩種情況討論函數，并判斷函數的最小值.【詳解】A.，即，所以為的周期，故A正確；B.，，所以，故B正確；C.當時，，此時，而，故C正確；D.由A可知函數的周期是，所以只需考查一個周期函數的值域，設，當時，，，，即，當時，，，，即，所以時，的最小值為-1，故D不正確.故選：ABC【點睛】本題考查三角函數的性質，重點考查誘導公式，周期性，函數的單調性和最值，屬于中檔題型.三、填空題3．（2023·全國·高三專題練習）已知，，，均為銳角，則.【答案】【分析】根據同角三角函數的基本關系、誘導公式、兩角和的余弦公式求解.【詳解】因為，，且，均為銳角，所以，，所以.故答案為：四、解答題4．（2023·全國·高三專題練習）已知的內角，，的對邊分別為，，．若．(1)求角；(2)若，求邊上的高的取值范圍．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據給定條件，利用正弦定理邊化角，再利用二倍角的正弦求解作答.（2）由（1）可得，再利用三角形面積公式計算作答.【詳解】（1）在中，由正弦定理及，得，即有，而，，即，，因此，，所以．（2）令邊上的高為，由，得，由（1）知，，即，則，所以邊上的高的取值范圍是.【三層練能力】一、多選題1．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，其中是自然對數的底數，下列說法中，正確的是（

）A．在是增函數B．是奇函數C．在上有兩個極值點D．設，則滿足的正整數的最小值是【答案】ABD【分析】利用函數單調性與導數的關系可判斷A選項的正誤；利用函數奇偶性的定義可判斷B選項的正誤；利用函數的極值與導數的關系可判斷C選項的正誤；驗證、時，是否成立，由此可判斷D選項的正誤.【詳解】對于A選項，當時，，，，所以，函數在是增函數，A選項正確；對于B選項，令，該函數的定義域為，，，則，所以，函數為奇函數，B選項正確；對于C選項，當時，，且，所以，函數在內無極值點；，①當時，，，則，則，，此時，，所以，函數在上單調遞減，，，所以，函數在上只有一個極值點；②當時，，，所以，，，則，所以，，則，所以，函數在上沒有極值點.綜上所述，函數在上只有一個極值點，C選項錯誤；對于D選項，.當時，，，不成立；當時，，當時，，，，，，則，所以，，所以，滿足的正整數的最小值是，D選項正確.故選：ABD.【點睛】思路點睛：利用定義法判斷函數的奇偶性，步驟如下：（1）一是看定義域是否關于原點對稱，如果定義域不關于原點對稱，則該函數為非奇非偶函數；（2）若函數的定義域關于原點對稱，接下來