學業(yè)水平考試要點解讀

2009年湖南省普通高中學業(yè)水平考試要點解讀

數(shù)學

湖南省普通高中學業(yè)水平考試大綱專家組編寫

二。。九年二月

口錄

數(shù)學1

第一章集合與函數(shù)概念.............................

第二章基本初等函數(shù)（I）...........................

第三章函數(shù)的應用........................................

數(shù)學1檢測卷.........................................

數(shù)學2

第一章簡單幾何體.......................................

第二章點、直線、平面之間的位置關系.....................

第三章直線與方程.......................................

第四章圓與方程.........................................

數(shù)學2檢測卷.........................................

數(shù)學3

第一章算法初步.........................................

第二章統(tǒng)計.................................

第三章概率.....................................

數(shù)學3檢測卷.........................................

數(shù)學4

第一章三角函數(shù).........................................

第二章平面向量.........................................

第三章三角恒等變換.....................................

數(shù)學4檢測卷.........................................

數(shù)學5

第一章解三角形.........................................

第二章數(shù)列.......................................

第三章不等式.........................................

數(shù)學5檢測卷.........................................

學業(yè)水平考試數(shù)學檢測卷（一）.........................................

學業(yè)水平考試數(shù)學檢測卷（二）.........................................

數(shù)學1：

第一章集合與函數(shù)概念

★學習目標

節(jié)次學習目標

知道集合的含義，了解集合之間的包含與相等的含義，知道全集與空集的

集合含義，理解兩個集合的并集與交集的含義及運算，理解補集的含義及求法，

理解用Venn圖表示集合的關系及運算，

知道映射的概念，了解函數(shù)的概念，理解求簡單函數(shù)的定義域和值域，理

函數(shù)及其表示

解函數(shù)的表示法，了解簡單的分段函數(shù)及應用。

理解函數(shù)的單調性、最大（?。┲导捌鋷缀我饬x，理解奇偶性的含義，利

函數(shù)的基本性質

用函數(shù)的圖象理解和探究函數(shù)的性質。

★要點解讀

本章主干知識：集合、子集、并集、交集、補集，函數(shù)的概念及表示法，函數(shù)的定義域和值

域，函數(shù)的單調性、奇偶性和最值。

1.集合

集合是指定的某些對象的全體。集合中元素的特性有：確定性（集合中的元素應該是確

定的，不能模棱兩可）、互異性（集合中的元素應該是互不相同的）、無序性（集合中元素的

排列是無序的）.元素和集合的關系是屬于不屬于關系.表示集合的方法要掌握字母表示法、

列舉法、描述法及Venn圖法。根據(jù)元素個數(shù)的多少集合可分為：有限集，無限集。

2.集合間的基本關系及基本運算

關系或運算自然語言符號語言圖形語言

集合A中任意一個元素都是集合BAcB(或Bq⑷=(xeA=>xeB)

（或83力）中的元素。CD

AAB由所有屬于集合A且屬于集合B4cB={xIX￡4且XGB}

的所有元素所組成的集合

AUB由所有屬于集合A或屬于集合B4U3={X|X￡B}

的元素組成的集合。

C"已知全集U,集合AQU,由U中CuA={x\xeA}。

所有不屬于A的元素組成的集合，

叫作A相對于U的補集。91)

3.函數(shù)及其表示

(1)函數(shù)的概念：設A、B是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對應關系f,使對于集

合A中的任意一個數(shù)x,在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應，那么就稱78

為從集合A到集合B的一個函數(shù)。

(2)函數(shù)的三要素是：定義域、值域和對應關系。

(3)函數(shù)的表示：解析法、列表法、圖象法。

4.函數(shù)的基本性質

(1)函數(shù)的最值：函數(shù)最大(小)首先應該是某一個函數(shù)值，即存在使得

/(x0)=M；函數(shù)最大(小)應該是所有函數(shù)值中最大(小)的，即對于任意的xe/，都

(2)函數(shù)的單調性：如果對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量x“xz,

當x《X2時，都有f(xj<(>)f(x2),那么就說f(x)在區(qū)間D上是增(減)函數(shù)，函數(shù)的單

調性是在定義域內(nèi)的某個區(qū)間上的性質，是函數(shù)的局部性質。

(3)函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性質，函數(shù)具有奇偶性的一個必要條件是定義域關于

原點對稱.偶函數(shù)的圖象關于丁軸對稱，奇函數(shù)的圖象關于原點對稱.

5.要注意區(qū)分一些容易混淆的符號

(1)E與二的區(qū)別：W表示元素與集合之間的關系；匚表示集合與集合之間的關系.

(2)a與㈤的區(qū)別：a表示一個元素，｛a｝而表示只有一個元素a的集合.

(3){0}與①的區(qū)別:是含有一個元素0的集合，中是不含任何元素的集合,因此①'={0}

但不能寫成①={0},①百{0}.

★學法指導

1.弄清元素的特征，從元素的分析上尋找解題的突破口

【方法點撥】集合中的元素具有“三性”：確定性、互異性和無序性，集合的關系、集合的

運算等都是從元素的角度予以定義的。因此，求解集合問題時，應抓住元素的特征進行分析。

【案例剖析】已知A={x|x^3V2,xeR),a=y/l5,b=M,則()

(A)aGA月"任A(B)。eA且6dA

(C)t/GAJiftSA(D)且/，任A

【解析】由于后<3a=JTi,所以aGA,

又M>3叵=屈,所以beA,故選A.

【點評】：本題屬于“知道”層次，能準確識別或再認集合中的元素；這類集合問題，元素

的確定性是解決問題的入手點。

2.準確理解集合的相關概念，從集合的相關概念上尋找解題的突破口

【方法點撥】概念抽象、符號術語多是集合單元的一個顯著特點，交集、并集、補集的概念

及子集、真子集、集合相等的定義等等。準確理解這些概念是求解集合問題的依據(jù)和突破口。

【案例剖析】已知NqB,4.C,8={1,2,3,5},C={0,2,4,8},則4可以為()

A.{1,2}B.{2,4}C.⑵D.{4}

【解析】：對于選項A：{1,2}生C,選項B：{2,4}$B,選項D：⑷生B,只有C符合要求，

故選C。

【點評】：(1)本題屬于“了解”層次，考查考生的辨別、比較能力；(2)本題解答的關

鍵是分析選項的元素特征，把握集合與集合的關系，運用子集的定義來直接判斷。

3、正確掌握集合運算的內(nèi)涵，從集合運算的轉化上尋找解題的突破口

【方法點撥】明確ACB=B、AuB=B、ACBH。與ACB=。的含義，根據(jù)問題的需要，

可以轉化為等價的關系式：BqA、AqB.A、B有公共元素與A、B沒

有公共元素

【案例剖析】設人={—4,0},B={x|(x+a)(x+4)=0},

(1)若ADB=B,求0的值；

(2)若ACBH0,求？的取值范圍.

【解析】：(1)因為AuB=B,所以〃=8,又八={-4,0},而B至多只有兩個根，因

此應有A=B,故a=0。

(2)由于—4e8,AcB至少含有元素一4,因此不論；取何值AcBH。，故

aE.Ro

【點評】：本題屬于“理解”層次，解答這類問題的關鍵是集合運算關系的轉化.

4.多角度審視函數(shù)概念，從函數(shù)的本質上尋找解題突破口

【方法點撥】體會用集合與對應的觀點來理解函數(shù)概念，明確函數(shù)表達式可以是解析式，

圖象，也可以是表格，了解構成函數(shù)的三要素，會求簡單函數(shù)的定義域和值

域。

【案例剖析】求下列函數(shù)的定義域：

2\-1<X<1

(1)fix')=+V16-X2(2)/(x)="1

Inx—,l<x<4

x-2i------

【解析】：(1)對于-,要求x>0且xwl,即xe(0,l)u(l,+8)；對于J16-x2,

\nx

^16-x2>0,即/<16,它等價于|x|W4,即xe|-4,4],再取兩個函數(shù)

定義域的公共部分，得所求函數(shù)定義域為：

(2)兩個分段區(qū)間是(-1,1]和(1,4],取它們的并集得所求函數(shù)的定義域為(-1,4].

【點評】：本題屬于“理解”層次，考查考生對所學過的內(nèi)容能進行理性分析；本題的第

Y—2/------

(1)問：函數(shù)是由—與J16-的和構成的，應先分別求出各表達式的

Inx

定義域，再取公共部分；第(2)是個分段函數(shù)，先確定函數(shù)在各段上自變量

的取值范圍，再取并集.

5.正確畫圖、準確識圖、合理利用圖形建立函數(shù)關系

【方法點撥】一方面，通過畫圖、識圖、用圖可以研究函數(shù)的解析式及其性質；另一方面,

函數(shù)的解析式及其性質可以通過圖象反映出來。

【案例剖析】如圖，已知底角為45°的等腰梯形/sc。，

底邊BC長為7cm，腰長為2岳“7,當一條垂直于底邊

BC(垂足為尸)的直線/從左至右移動(與梯形有

公共點)時，直線/把梯形分成兩部分，令BF=x，試寫

出左邊部分的面積V與X的函數(shù)。

【解析】：過點4。分別作/GA.BC,DH±BC,垂足分別是G,H。因為458

是等腰梯形，底角為45°,AB-2y［2cm)所以BG=AG=DH-HC=2cm,又

BC=1cm,所以AD=GH=3cm。

⑴當點尸在3G上時，即xe(0,2］時，

⑵當點尸在G"上時，即xe(2,5］時，y=2+(x-2)?2=2x-2

⑶當點尸在HC上時，即xe(5,7］時，

2

y=S五邊形ABFED=S梯形“Be-SR,ACEFTO-y(7-x)。

xe(0,2],

所以，函數(shù)解析式為

y=<2x-2,xe(2,51

xe(5,7]

【點評】：本題屬于“理解”中簡單應用層次，考查考生能運用所學過的知識分析生產(chǎn)實踐

中的數(shù)學問題；本題解題的關鍵是就直線/所在的位置分類討論左邊部分的圖形

特征，然后根據(jù)圖形形狀求出面積。

6.以函數(shù)問題為主線，探究和發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律

【方法點撥】數(shù)學規(guī)律的探索，既要會觀察分析已有規(guī)律，又要不斷發(fā)現(xiàn)和完善規(guī)律。

4

【案例剖析】探究函數(shù)f(x)=x+—,xe(0,+8)的最小值,并確定取得最小值時x的值.

X

列表如下：

X???0.511.51.71.922.12.22.33457…

y???8.554.174.054.00544.0054.024.044.355.87.57…

請觀察表中y值隨x值變化的特點,完成以下的問題.

4

(1)根據(jù)上表分析函數(shù)f(x)=x+—(x>0)在何區(qū)間上單調遞增；當x為何值時？y有

X

最小值.

4

(2)證明：函數(shù)f(x)=x+-(x>0)在區(qū)間(0,2)上遞減.

X

4

(3)思考：函數(shù)f(x)=x+—(x<0)有最值嗎？如果有，那么它是最大值還是最小值？

X

此時X為何值？(直接回答結果，不需證明)

4

【解析】(1)函數(shù)f(x)=x+—(x>0)在區(qū)間(2,+8)上遞增.

X

當x=2時，y展小二4。

(2)任取Xi,X2W(0,2)且Xi〈X2于是

f(X,)-f(X2)=(x,+-1)-(X2+-i)=(x「xJ(X|X「4)①

X]X2X[X2

Xj,x2(0,2)且Xj<x2/.X,—x2<0；Xjx2—4<0；Xjx2>0

J①式>0即f(X1)—f(x2)>0,f(x,)>f(x2)

：.f(x)在區(qū)間(0,2)遞減.

(3)f(x)在(-8,o)U(0,8)為奇函數(shù).圖象關于原點對稱.

故當x=-2時，有最大值一4。

【點評】：(1)本題屬于“理解”中簡單應用層次，主要考查考生能運用所學知識進行簡

單探究的能力；(2)本題解題的關鍵是合理分析已給的各種數(shù)據(jù)，并由此發(fā)現(xiàn)

和探究函數(shù)性質。

★階梯練習；

A級

1.已知全集。={一1,0,1,2,3,4},/={—1,0,2,4},則CUA=()

A.°B.{0,2,4}C.{1,3}D.{-1,1,3}

2.圖中陰影部分表示的集合是()

A./nC/)B.(Q4)(18C.Q(/n8)D.

3.函數(shù)/。)=業(yè)」的定義域為()

x-2

A.[1,2)U(2,+8)B.(1,+8)C.ri,2)D.

,,,2x,x>0

4.函數(shù)/q)=\，則/(-2)=()

x(x+l),x<0

A.1B.2C.3D.4

5.下列五個關系式①{0}=。②。=0③。,{。}④0e。⑤{0}3。

其中正確的是___________________

6.函數(shù)歹=ex~x?lg(2-x)的定義域是

7.已知全集U=R,集合Z={x|-lWx<3},8={x[2<xW5},求:

(1)A[\B,A\^B(2)^A(QtS)

8.已知A={xIx2—8x+15=0),B={xI辦一1=0},且BqA,求實數(shù)a組成

的集合。

B級

4

9.函數(shù)y=——在區(qū)間［3,6］上的最小值是（）

x—2

A.1B.3C.-2D.5

10.下列說法錯誤的是（）

A.y=/+/是偶函數(shù)B.偶函數(shù)的圖象關于P軸成軸對稱

C.歹二、3+工2是奇函數(shù)D.奇函數(shù)的圖象關于原點成中心對稱

11.已知函數(shù)/（》）=》2+2、+.在區(qū)間［一3,2］上的最大值是4,則［=

12.已知函數(shù)/(x)=-x2+2x.

（1）證明/（x）在［1,+8）上是減函數(shù)；（2）當xe［-5,2］時，求的最大值和最小值.

13.某廠準備投資100萬生產(chǎn)A,B兩種新產(chǎn)品，據(jù)測算，投產(chǎn)后的年收益，A產(chǎn)品是總投

入的,，B產(chǎn)品則是總投入開平方后的2倍.問應該怎樣分配投入數(shù)，使兩種產(chǎn)品的年總收

5

益最大？

C級

14.若函數(shù)/(2X+1)=X2—2X,貝U/(3)=.

15.已知/(x)=竺舊也ceZ)是奇函數(shù),又f⑴=2,f(2)<3,求a,b,c的值

hx+1

第二章基本初等函數(shù)(I)

★學習目標

節(jié)次學習目標

了解有理指數(shù)幕的含義、幕的運算。理解指數(shù)函數(shù)的概念、圖象及其意義、

指數(shù)函數(shù)

指數(shù)函數(shù)的單調性與特殊點，了解指數(shù)函數(shù)模型的應用。

理解對數(shù)的概念及其運算性質，知道用換底公式能將一般對數(shù)轉化成自然

對數(shù)或常用對數(shù)；了解對數(shù)函數(shù)的概念、圖象、單調性與特殊點，知道指

對數(shù)函數(shù)

數(shù)函數(shù)y=a"與對數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,aH1)互為反函數(shù)，

了解事函數(shù)的概念；結合函數(shù)尸x,y=x,y=x,y=1/x,尸尸的圖像，了

幕函數(shù)解它們的變化情況。

★要點解讀

本章主干知識：指數(shù)的概念與運算，指數(shù)函數(shù)、圖象及其性質，對數(shù)的概念與運算，對數(shù)函

數(shù)、圖象及其性質，塞函數(shù)的概念

1.指數(shù)函數(shù)：(1)有理指數(shù)事的含義及其運算性質：

(2)函數(shù)y=a%a>。且叫做指數(shù)函數(shù)。

指數(shù)函數(shù)的圖象和性質

y=ax0<67<1a>1

/，y/，y

V

圖象_____-___—-

~~cT

X0X

定義域R

值域(0,+8)

性過定點(0,1),即工=0時，y=1

定點(1)a>1,當x>0時，y>1；當x<0時，0<y<1。

質

(2)0<a<1,當x>0時，0<y<1；當x<0時，y>1。

單調性在R上是減函數(shù)在夫上是增函數(shù)

對稱性丁=罐和歹=尸關于y軸對稱

2.對數(shù)函數(shù)

(1)對數(shù)的運算性質：如果a>0,a#1,例>0,N>0,那么:

M

①1嗚MN=logaM+log"?loga-=log,M-log.N；

n

③log”M-nlogaM(nGR)O

(2)換底公式：log"bJ。*"(a>0且QWl,c>0且cHl,b>0)

logca

⑶對數(shù)函數(shù)的圖象和性質

y=iog“x0<a<1a>1

1

J>|4r3川

圖廠

J~-

象1<o<a<h

定義域(0,+°0)

值域R

(1)過定點(1,0),即x=1時，)=0

性（2）在不上是減函數(shù)（2）在不上是增函數(shù)

(3)同正異負，即0<。<1,0<工<1或時，logx>0；

質rt

0<a<l,x>lWta>l,0<x<l時，logflx<0o

3.募函數(shù)

函數(shù)y=x”叫做暴函數(shù)（只考慮a=1,2,3,—1,；的圖象）。

★學法指導

1.弄清根式和分數(shù)指數(shù)幕的意義，掌握從指數(shù)轉化上處理指數(shù)問題

【方法點撥】類比整數(shù)指數(shù)幕的運算性質理解分數(shù)指數(shù)幕的運算，根式一般先轉化成分數(shù)指

數(shù)幕,然后再利用有理指數(shù)幕的運算性質進行運算；

【案例剖析】化簡下列各式（a>0,b>0）

212125

(1)(?>0)(2)(2涼涼)(_6臣臣)+(_3a?)

-fa-y[a^

211115

(2)(2加及)(一6a)+(_3。6加)

2+1」11_5

=[2x(-6)+(-3)]尸一獷丁+K

=4a6。=4a;

【點評】：（1）本題屬于“了解”層次，主要考查考生對有理指數(shù)塞的含義、帚的運算的

識記了解情況；（2）解答這類問題的關鍵是先把根式轉化成分數(shù)指數(shù)幕的最簡

形式，然后做事的運算。

2.理解對數(shù)的概念及其運算性質，會利用對數(shù)運算性質化簡、計算及求值

【方法點撥】一方面，要理解對數(shù)的概念和運算性質，理解對數(shù)式和指數(shù)式的互化，另一方

面，計算、化簡及求值首先尋找同底轉化，當不同底時，要靈活運用換底公式

處理。

【案例剖析】計算:

7

(1)Igl4-21g-+lg7-lgl8(2)2log525+3log264(3)log34-log48-log8731.

7,2

【解析】：(1)lg14-21g-+lg7-lgl8=lg(2X7)-2(lg7-lg3)+lg7-lg(3X2)

=lg2+lg7-21g7+21g3+lg7-21g3-lg2=0

2

(2)2log525+3log264=2log55+3log2=2X2+3X6=22

/r_lg4lg8lgV3_lg4lg8

3

(3)log34-log48-log8-lg3lg4lg8-lg3%41g8

2

【點評】：（1）本題屬于“理解”層次，要理解對數(shù)運算的基本公式，熟練掌握化簡求值

的常見技能；（2）注意式與式之間的聯(lián)系，對數(shù)式要化到最簡形式.

3.理解指（對）數(shù)函數(shù)的概念與性質，從函數(shù)表達式的特征上尋找解題途徑。

【方法點撥】能根據(jù)指（對）數(shù)函數(shù)表達式有意義和單調性求定義域和值域。解題時特別注

意對數(shù)的真數(shù)大于零。

【案例剖析】求下列函數(shù)的定義域、值域：

2v-12

(1)y=8(2)y=.(3)y=log2(x-4x+6)

【解析】：（1）v2x-l^0,,原函數(shù)的定義域是｛x|x€g

令，=一!—,貝1"。0,/€尺，

2x-l

，y=8'(/e火/。0)得丁>0,^/1,

所以，原函數(shù)的值域是：｛布＞0,尸1｝.

(2)vl-(-r>0.,.x>0原函數(shù)的定義域是［0,+8),

令f=l一(g)x(xNO)貝???^=”在［0,1)是增函數(shù)

所以，原函數(shù)的值域是［0,1).

(3).由于Y-4x+6=(x-2>+2>0,函數(shù)定義域是R

2

y=log2(x-4x+6)>log22=1,故函數(shù)的值域是｛y\y>1)

【點評】：(1)本題屬于“了解”層次，主要考查考生對函數(shù)定義域和值域掌握情況；(2)

求函數(shù)的定義域的主要依據(jù)是：分式的分母不等于零；偶次方根的被開方數(shù)不小

于零；對數(shù)式的真數(shù)必須大于零；指數(shù)、對數(shù)式的底必須大于零且不等于lo求

函數(shù)的值域的常用方法有：配方法、換元法、均值不等式法及單調性法等.

4.掌握指(對)數(shù)函數(shù)單調性的應用

【方法點撥】利用指(對)數(shù)函數(shù)的單調性可以比較函數(shù)值或自變量值的大小，求某些函數(shù)

的值或最值，解不等式。有些含字母參數(shù)的問題，要對參數(shù)范圍進行討論。

x

【案例剖析】已知/(x)=logaCa~a')

(1)當OVaVl時，求/(x)的定義域；

(2)判斷/(2)是否大于零，并說明理由。

【解析】：(1)為使函數(shù)有意義，需滿足。一儲>0,即

V0<a<1,：.x>l,故定義域為(1,+8)。

(2),:f(2)=log“((?—/),loga1=0,

i3

又1-(a—a2)—a2-a+1=(a——)-+—>0,

(a~a2)<1>

當0<a<1時，/(2)>0

當心1時，/(2)<0o

【點評】：本題主要考查對數(shù)函數(shù)的單調性，解題時，指(對)數(shù)函數(shù)的底數(shù)對單調性的影

響要了解透徹。

5.掌握有關指（對）數(shù)函數(shù)奇偶性的判定

【方法點撥】對于和指（對）數(shù)函數(shù)有關的函數(shù)的奇偶性的判定，首先看函數(shù)定義域是否關

于原點對稱,然后尋找/（X）與/（-%）的關系,并由此判斷函數(shù)的奇偶性.

【案例剖析】判斷下列函數(shù)的奇偶性：

X.10

（1）f（x）=x------（。>0且aWl）（2）/（x）=lg（....-1）

ax-11+x

【解析】：（1）/（x）定義域為：卜卜€(wěn)火月/WO},

a+11+a"Cl'+1rg

-x-------=一x-------=x'———=j{x),故/(x)為偶函數(shù)。

a-1\-aa-1

22—1—x1—x

,:f(-x)=lg=lg(^—=-lg=一/(x)

l-xl+x1

：.f（X）是奇函數(shù),

【點評】：判定和指（對）數(shù)函數(shù)有關的函數(shù)的奇偶性，關鍵是由/（一X）的解析式向目標

/（X）的解析式轉化，解題要明確目標和方向。

★階梯練習

A級

1.指數(shù)函數(shù)y="的圖像經(jīng)過點（2,16）則。的值是（）

A.—B.—C.2D.4

42

2.下列函數(shù)是帚函數(shù)的是（）

\_

A、y—2x2B>y=x3+xC、y=3*D、y

3.計算510g3I2-log32=()

A.V3B.2V3C.-D.3

2

4.在區(qū)間(0,+8)上不是增函數(shù)的是()

2

A.y=2XB.y=log^xC.y=-D.y=2/+x+l

x

2x

5.函數(shù)/'(x)=---的定義域是

log2(x-2)

6.若lg2=a,lg3=b,則log512=.

7.iH：(V2xV3)6+(5/2V2-4(—-^2x8°25-(-2005)°

49

8.設函數(shù)/(x)=2'%<1,求滿足/(x)=，的x的值.

log4xx>14

B級

9.方程炫》+愴。-3)=1的解為()

A、5或-2B、5C、-2D、無解

10.已知函數(shù)f(x)=「°g；x，(x；。)，則f［f(J_)］的值為

11.函數(shù)y=(2-4)、在定義域內(nèi)是減函數(shù)，則。的取值范圍是

12.已知/(x)=2*,g(x)是一次函數(shù),并且點(2,2)在函數(shù)_/Ig(x)］的圖象上，點(2,5)在

函數(shù)g［/(x)］的圖象上，求g(x)的解析式.

13.畫出函數(shù)歹=|3'-1|的圖象，并利用圖象回答：々為何值時，方程|3*—1|=在解?

有一-解？有兩解？

C級

14.函數(shù)/(x)=a'+log“(x+l)在［0,1］上的最大值與最小值之和為。，則a的值為

)

A.—B.—C.2D.4

42

—2'+b

15.已知定義域為R的函數(shù)/(x)=尸15是奇函數(shù)。

(I)求6的值;(II)判斷函數(shù)/(X)的單調性;

(III)若對任意的不等式/(/-27)+/(2/—左)<0恒成立，求左的取值范圍.

第三章函數(shù)的應用

★學習目標

節(jié)次學習目標

函數(shù)與方程知道函數(shù)的零點與方程根的聯(lián)系，理解用二分法求方程的近似解

函數(shù)的模型及其應用理解常見的函數(shù)模型及其應用

★要點解讀

本章主干知識是：零點與方程根，用二分法求方程的近似解，函數(shù)的模型及其應用

1.函數(shù)與方程

(1)方程的根與函數(shù)的零點：如果函數(shù)y=/(x)在區(qū)間[a,b\上的圖象是連續(xù)不

斷的一條曲線，并且有那么，函數(shù)V=/(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點，即

存在ce(a,6),使得/(c)=0,這個c也就是方程/(x)=0的根。

(2)二分法：二分法主要應用在求函數(shù)的變號零點當中，牢記二分法的基本計算步驟，

即基本思路為：任取兩點為和X],判斷(為，范)區(qū)間內(nèi)有無一個實根，如果f(xO和f

(照)符號相反，說明(小，及)之間有??個實根，取(小，及)的中點小檢查/'(x)與f

(X,)是否同符號，如果不同號，說明實根在(x,汨)區(qū)間，這樣就已經(jīng)將尋找根的范圍減

少了?半了.然后用同樣的辦法再進一步縮小范圍，直到區(qū)間相當小為止.

2.函數(shù)的模型及其應用

(1)幾類不同增長的函數(shù)模型

利用計算工具，比較指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及基函數(shù)增長差異；結合實例體會直線上升、

指數(shù)爆炸、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義。

(2)函數(shù)模型及其應用

建立函數(shù)模型解決實際問題的一般步驟：①收集數(shù)據(jù)；②畫散點圖，選擇函數(shù)模型；③

待定系數(shù)法求函數(shù)模型；④檢驗是否符合實際，如果不符合實際，則改用其它函數(shù)模型，重

復②至④步；如果符合實際，則可用這個函數(shù)模型來解釋或解決實際問題.

解函數(shù)實際應用問題的關鍵：耐心讀題，理解題意，分析題中所包含的數(shù)量關系(包括

等量關系和不等關系).

★學法指導

1.函數(shù)零點的求法

【方法點撥】對于一些比較簡單的方程，我們可以通過因式分解、公式等方法求函數(shù)的零點,

對于不能用公式解決的方程，我們可以把這些方程/(x)=0與函數(shù)y=/(x)聯(lián)

系起來，并利用函數(shù)的圖象和性質找出零點，從而求出方程的根。

【案例剖析】求函數(shù)yud-Zx?—x+2的零點.

【解析】：對求簡單的三次函數(shù)的零點：一般原則是進行分解因式，再轉化為求方程的根將

零點求出.y=x3-2x2-x+2=(x—2)(x—1)(x+1),令y=0可求得已知函

數(shù)的零點為一1、1、2.

【點評】：本題主要考查考生對函數(shù)零點概念的理解，函數(shù)零點與方程的關系.

2.二分法求方程近似解

【方法點撥】對于在區(qū)間［。，切上連續(xù)不斷，且滿足/（。）?/。）＜0的函數(shù)y=/（x）,

通過不斷地把函數(shù)/（x）的零點所在的區(qū)間-分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步

逼近零點，進而得到零點近似值.

【案例剖析】借助計算器或計算機，用二分法求方程ln（2x+6）+2=3,在區(qū)間（1,2）內(nèi)

的近似解（精確到0.1）。

【解析】：原方程即ln（2x+6）-3'+2=0,令/（x）=ln（2x+6）-3、+2,用計算器或

計算機作出函數(shù)x、/（x）的對應值表（如下表）和圖象（如下圖）。

X-2-1012

/(x)2.58203.05302.79181.0794-4.6974

觀察圖或上表可知/（1＞/（2）＜0,說明這個函數(shù)在區(qū)間（1,2）內(nèi)有零點x。。

取區(qū)間（1,2）的中點項=1.5,用計算器可得/（1.5）?-1.00?因為/（1＞/（1.5）＜0,

所以項）w（1,1.5）。

再?。?,1.5）的中點々=125,用計算器可算得了（1.25）=0.20。因為

/（1.25）-/（1.5）＜0,所以（1.25,1.5）。

同理，可得(1.25,1.375),x0e(1.25,1.3125)?

由于ll.3125T.25=0.0625<0.1,此時區(qū)間（1.25,1.3125）的兩個端點精確到0.1的

近似值都是L3,所以原方程精確到0.1的近似值為1.3。

【點評】：一?般地，對于不能用公式法求根的方程f8=0來說，我們用二分法求出方

程的近似解.

3.利用給定函數(shù)模型解決實際問題

【方法點撥】這類問題是指在問題中明確了函數(shù)關系式，我們需要根據(jù)函數(shù)關系式來處理實

際問題，有時關系式中帶有需確定的參數(shù)，這些參數(shù)需要根據(jù)問題的內(nèi)容或性

質來確定之后，才能使問題本身獲解.

【案例剖析】有甲乙兩種產(chǎn)品，生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品所能獲得的利潤依次是P和Q萬元，它們與

3-r23

投入資金x（萬元）的關系為：P=2——，。=—（—》+3）,今投入3萬元資金生產(chǎn)甲、乙

44

兩種產(chǎn)品，為獲得最大利潤，對甲、乙兩種產(chǎn)品的資金投入分別應為多少？最大利潤是多少？

【解析】：設投入甲產(chǎn)品資金為x萬元（0<x<3）,投入乙產(chǎn)品資金為（3—x）萬元，總

利潤為y萬元.則

1313?1

y=P+。=1（3-%2）+1％=一1（》一二）2+京

444216

321

當x=一時，y=一

Jmamx1,

216

答：對甲、乙產(chǎn)品各投資為I.5萬元，獲最大利潤為2二1萬元。

16

【點評】：本題是給定函數(shù)求二次函數(shù)最值的應用問題，解答這類的問題關鍵是通過配方求

二次函數(shù)的最值。

4.建立確定的函數(shù)模型解決實際問題

【方法點撥】通過觀察圖表，判斷問題適用的函數(shù)模型，借助計算器或計算機對數(shù)據(jù)進行處

理，利用待定系數(shù)法得出具體的函數(shù)解析式，再利用得到的函數(shù)模型解決相應

的問題。

【案例剖析】2008年5月12日，四川汶川地區(qū)發(fā)生里氏8.0級特大地震.在隨后的幾天中，

地震專家對汶川地區(qū)發(fā)生的余震進行J'監(jiān)測，記錄的部分數(shù)據(jù)如下表:

強度（J）1.6X10193.2X10'94.5X10196.4X1019

震級（里氏）5.05.25.35.4

注：地震強度是指地震時釋放的能量

（1）畫出震級（y）隨地震強度（X）變化的散點圖；

（2）根據(jù)散點圖，從下列函數(shù)中選取選取一個函數(shù)描述震級（y）隨地震強度（x）變化

關系：y-kx+b,y-a\gx+b,y-a-\Ox+b

（3）四川汶川地區(qū)發(fā)生里氏8.0級特大地震時釋放的能量是多少？（取lg2=0.3）

【解析】：（1）散點圖如下圖：

（2）根據(jù)散點圖，宜選擇函數(shù)y=algx+b。

5.0=?lg(1.6xl019)+/)

（3）根據(jù)已知，得＜解得：a=0.7,6=—7.8

5.2=alg(3.2xlOl9)+Z)

y=0.71gx-7.8

當y=8.0時，x?1024(J)

【點評】：函數(shù)模型的選擇一方面要分析題中的實際意義，另一方面，要考慮函數(shù)的本身

特點。

★階梯練習

A級

1.函數(shù)/G)=2x+7的零點為)

77

A、(—7,0)B、(—/,())C>——D、-7

2.方程x—工=0的一個實數(shù)解的存在區(qū)間為()

x

A、(0,1)B、(0.5,1.5)C、(-2,1)D、(2,3)

3.設/(x)=3'+3x—8,用二分法求方程3*+3x-8=0在xe(1,2)內(nèi)近似解的過程中得

/⑴<0,/(1.5)>0,/(1.25)<0,則方程的根落在區(qū)間()

A.(1,1.25)B.(1.25,1.5)C.(1.5,2)1),不能確定

4.某人騎自行車沿直線勻速旅行，先前進了。千米，休息了?段時間，又沿原路返回。千

米(*a),再前進c千米，則此人離起點的距離s與時間f的關系示意圖是()

5.方程》2+》一1=0的實數(shù)解的個數(shù)為。

6.某輪船在航行中每小時所耗去的燃料費與該船航行速度的立方成正比，且比例系數(shù)為a,

其余費用與船的航行速度無關，約為每小時b元，若該船以速度P千米/時航行，航行每千

米耗去的總費用為y(元)，則y與「的函數(shù)解析式為.

7.已知函數(shù)/(X)的圖象是連續(xù)不斷的，有如下的x,/(x)對應值表:

X-2—1.5-1―0.500.511.52

/(X)-3.511.022.371.56-0.381.232.773.454.89

函數(shù)/(x)在哪兒個區(qū)間內(nèi)有零點？為什么？

8.一個體戶有?種貨，如果月初售出可獲利100元，再將本利都存入銀行，已知銀行月息

為2.4%,如果月末售出可獲利120元，但要付保管費5元，問這種貨是月初售出好，還是

月末售出好？

B級

9.函數(shù)/（*）=/一3》+2在區(qū)間（1,2）內(nèi)的函數(shù)值為（）

A、大于等于0B、等于0C、大于0D、小于0

10.有一塊長為20厘米,寬為12厘米的矩形鐵皮，將其四個角各截去一個邊長為x的小正

方形，然后折成一個無蓋的盒子。則盒子的容積V與x的函數(shù)關系式是。

11.老師今年用7200元買一臺筆記本。電子技術的飛速發(fā)展，計算機成本不斷降低，每隔

一年計算機的價格降低三分之一。三年后老師這臺筆記本還值__________

12.證明：函數(shù)/（x）=——在區(qū)間（2,3）上至少有一個零點。

X’+1

13.有一片樹林現(xiàn)有木材儲蓄量為7100御:要力爭使木材儲蓄量20年后翻兩番，即達到

2840