考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)二）模擬試卷5（共212題）

考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)二）模擬試卷5（共9套）（共212題）考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)二）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、已知當(dāng)x→0時(shí)f(x)=tanx—ln(1+sinx)與kxn是等價(jià)無窮小量，則A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：利用洛必達(dá)法則計(jì)算如下含有待定正整數(shù)n的極限，可得2、設(shè)可導(dǎo)函數(shù)x=x(t)由方程sint一∫tx(t)f(u)du=0所確定，其中可導(dǎo)函數(shù)f(u)＞o，且f(0)=f’(0)=1，則x"(0)=A、3．B、1．C、—3．D、—1．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：令t=0，由題設(shè)方程可得x(0)=0．在題設(shè)方程兩邊對(duì)t求導(dǎo)，得cost—f[x(t)]x’(t)+f(t)=0，(*)在(*)式中令t=0，可得x’(0)=2．在(*)兩邊再對(duì)t求導(dǎo)，得—sint—f’[x(t)][x’(t)]2一f[x(t)]x"(t)+f’(t)=0，(**)在(**)式中令t=0，可得x"(0)=一3．故選C．3、設(shè)f(x)，g(x)二階可導(dǎo)，又f(0)=0，g(0)=0，f’(0)＞0，g’(0)＞0，令F(x)=∫0xf(t)g(t)dt，則A、x=0是函數(shù)F(x)的極小值點(diǎn)．B、x=0是函數(shù)F(x)的極大值點(diǎn)．C、(0，F(xiàn)(0))是曲線y=F(x)的拐點(diǎn)．D、x=0不是函數(shù)F(x)的極值點(diǎn)，(0，F(xiàn)(0))也不是曲線y=F(x)的拐點(diǎn)．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：先求導(dǎo)數(shù)F’(x)=f(x)g(x)→F’(0)=0．再求二階導(dǎo)數(shù)F"(x)=f’(x)g(x)+f(x)g’(x)→F"(0)=0．于是還要考察F(x)在x=0處的三階導(dǎo)數(shù)：F’’’(x)=f"(x)g(x)+2f’(x)g’(x)+f(x)g"(x)→F’’’(0)=2f’(0)g’(0)≠0．因此(0，F(xiàn)(0))是曲線y=F(x)的拐點(diǎn)．故應(yīng)選C．4、已知累次積分I=(rcosθ，rsinθ)rdr，其中a＞0為常數(shù)，則I可寫成A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：這是把極坐標(biāo)系下的累次積分轉(zhuǎn)換成Oxy直角坐標(biāo)系下的累次積分的問題．5、下列二元函數(shù)在點(diǎn)(0，0)處可微的是A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：本題中的這4個(gè)函數(shù)均有f(0，0)=0．按可微定義，若f(0，0)=0，則f(x，y)在點(diǎn)(0，0)處可微，且=0因此，B中的f(x，y)在點(diǎn)(0，0)處可微．故應(yīng)選B．6、設(shè)f(x)在[a，b]上可導(dǎo)，又f’(x)+[f(x)]2一∫axf(t)dt=0，且∫abf(t)dt=0，則∫axf(t)dt在(a，b)內(nèi)A、恒為零．B、恒為正．C、恒為負(fù)．D、可變號(hào)．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：令F(x)=∫axf(t)dt，則F(a)=F(b)=0，所給條件變?yōu)镕"(x)+[F’(x)]2—F(x)=0．(*)若F(x)在(a，b)不恒為零，則F(x)在(a，b)取正的最大值或負(fù)的最小值．設(shè)F(x0)=＞0，則x0∈(a，b)，F(xiàn)’(x0)=0，F(xiàn)"(x0)≤0→F"(x0)+[F’(x0)]2一F(x0)＜0．與(*)矛盾．同理，若F(x1)=＜0，則同樣得矛盾．因此F(x)≡0(x∈(a，b))．故應(yīng)選A．7、下列矩陣中屬于正定矩陣的是A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：正定的充分必要條件是順序主子式全大于0，正定的必要條件是aii＞0．C中a33=—1＜0，必不正定；A中二階順序主子式=—1＜0，必不正定；D中三階順序主子式｜A｜=一1＜0，必不正定，由排除法可知，應(yīng)選B．8、設(shè)矩陣A=，則下列矩陣中與矩陣A等價(jià)、合同但不相似的是A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D．知識(shí)點(diǎn)解析：由｜λE—A｜==λ(λ一3)(λ+3)，可知矩陣A的特征值是3，—3，0，故秩r(A)=2，二次型xTAx的正、負(fù)慣性指數(shù)均為1．A中矩陣的秩為1，不可能與矩陣A等價(jià)；C中矩陣的特征值為3，—3，0，與矩陣A不僅等價(jià)、合同，而且也是相似的，不符合題意．對(duì)于(D)，記其矩陣為D，由可知D的特征值為1，—1，0．xTAx與xTDx的正、負(fù)慣性指數(shù)一樣，所以它們合同但不相似(因?yàn)樘卣髦挡煌?，符合題意，故應(yīng)選D．注意，B中矩陣的特征值為1，4，0，正慣性指數(shù)P=2，負(fù)慣性指數(shù)q=1，與A既不合同也不相似，但等價(jià)(因?yàn)橹认嗟?．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、微分方程(3y一2x)dy=ydx的通解是________．標(biāo)準(zhǔn)答案：xy2一y3=C，其中C是任意常數(shù)．知識(shí)點(diǎn)解析：題設(shè)的方程是齊次微分方程，令y=xu或x=yu，可把方程化為關(guān)于x，u的可分離變量的方程求解．方程又可改寫成的形式，這是以x為未知函數(shù)，以y為自變量的一階線性微分方程．令x=yu，代入方程并整理化簡(jiǎn)可得積分后去對(duì)數(shù)即得通解y3(u一1)=Cy2(x一y)=C，其中C是任意常數(shù)．10、曲線y=的斜漸近線方程為________．標(biāo)準(zhǔn)答案：y=±x．知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)橐虼诵睗u近線方程為y=±x．11、設(shè)y=f(x)二階可導(dǎo)，f’(x)≠0，它的反函數(shù)是x=φ(y)，又f(0)=1，f’(0)=，f"(0)=—1，則=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由反函數(shù)求導(dǎo)公式得12、設(shè)曲線的參數(shù)方程為的曲線段的弧長(zhǎng)s=_________標(biāo)準(zhǔn)答案：ln2．知識(shí)點(diǎn)解析：因13、設(shè)動(dòng)點(diǎn)P(x，y)在曲線9y=4x2上運(yùn)動(dòng)，且坐標(biāo)軸的單位長(zhǎng)是1cm，如果P點(diǎn)橫坐標(biāo)的速率是30cm／s，則當(dāng)P點(diǎn)經(jīng)過點(diǎn)(3，4)時(shí)，從原點(diǎn)到P點(diǎn)間距離r的變化率是________．標(biāo)準(zhǔn)答案：82(cm／s)．知識(shí)點(diǎn)解析：這是相關(guān)變化率的問題，x，y以及原點(diǎn)到P點(diǎn)的距離r=都是時(shí)間t的函數(shù)，在等式9y=4x2和r=兩邊對(duì)t求導(dǎo)，得14、設(shè)A=，B是3階非零矩陣，滿足BA=0，則矩陣B=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：，其中k1，k2，k3不全為0．知識(shí)點(diǎn)解析：由BA=0知r(B)+r(A)≤3．又由B≠0知r(B)≥1．顯然A中有2階子式非0，知r(A)≥2．故必有r(A)=2，r(B)=1．由｜A｜==一(a一1)2=0，得a=1．因ATBT=0，所以齊次線性方程組ATx=0的解就是B的行向量．又由可知A2x=0的通解為k(一1，1，1)T．故B=，其中k1，k2，k3不全為0．三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)15、設(shè)函數(shù)f(x)在x=1的某鄰域內(nèi)連續(xù)，且有．(Ⅰ)求f(1)，及f’(1)；(Ⅱ)若又設(shè)f"(1)存在，求f"(1)．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)由條件知[f(x+1)+1+3sin2x]=0→[f(x+1)+3sin2x]=f(1)+0=0→f(1)=0．又在x=0的某空心鄰域內(nèi)f(x+1)+3sin2x≠0，現(xiàn)利用等價(jià)無窮小因子替換：當(dāng)x→0時(shí)，ln[1+f(x+1)+3sin2x]～f(x+1)+3sin2x，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析16、過原點(diǎn)作曲線y=的切線L，該切線與曲線y=及y軸圍成平面圖形D．(Ⅰ)求切線L的方程．(Ⅱ)求D繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體體積V．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)設(shè)切線的切點(diǎn)為(x0，y0)，則切線的斜率為y’(x0)=，所以切線L的方程為即x0=2，y0=e因此所求切線L的方程為（Ⅱ）半面圖彤D如右圖．取積分變量為y．設(shè)y=ex，y=e，y軸所圍平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體體積為V1，它是錐體，．y=(x∈[0，2])即x=21ny(y∈[1，e])，y=e，y軸所圍平面圖形繞Y軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積為V2，則V=V1—V2，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、設(shè)f(x)=∫—1xt3｜t｜dt，(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)性區(qū)間與正、負(fù)值區(qū)間．Ⅱ求曲線y=f(x)與x軸所圍成的封閉圖形的面積．標(biāo)準(zhǔn)答案：為求f(x)的正負(fù)值區(qū)間，先求出使f(x)=0的x值，易知f(—1)=∫—1—1t3｜t｜dt=0，f(1)=∫—11t3｜t｜dt=0再由f(x)的單調(diào)性知，f(x)＞f(一1)=0(x＜一1)，f(x)＞f(1)=0(x＞1)f(x)＜f(一1)=0(一1＜x≤0)，f(x)＜f(1)(0≤x＜1)因此f(x)＞0(x∈(一∞，一1)或x∈(1，+∞))f(x)＜0(x∈(一1，1))(Ⅱ)曲線y=f(x)與x軸所圍成的封閉圖形是{(x，y)｜一1≤x≤1，f(x)≤y≤0}見右圖，該圖形的面積知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、求凹曲線y=y(x)，使得曲線上任一點(diǎn)處的曲率k=，其中α為該曲線在相應(yīng)點(diǎn)處的切線的傾角，且cosα＞0，此外曲線在點(diǎn)(1，1)處的切線為水平直線．標(biāo)準(zhǔn)答案：由題意知知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、計(jì)算二重積分[cosx2siny2+sin(x+y)]dσ，其中D={(x，y)｜x2+y2≤a2，常數(shù)a＞0}．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、設(shè)u=u(x，y)在全平面有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，(Ⅰ)作極坐標(biāo)變換x=rcosθ，y=rsinθ，求的關(guān)系式；(Ⅱ)若，求證：u(x，y)=u(0，0)為常數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)u=u(x，y)=u(rcosθ，rsinθ)，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法→又u(rcosθ，rsinθ)對(duì)r在[0，+∞)上連續(xù)→u作為r，θ的函數(shù)，當(dāng)θ固定時(shí)u作為r的函數(shù)在[0，+∞)為常數(shù)．→(x，y)，有u(x，y)=u(Fcosθ，rsinθ)=u(Fcosθ，rsinθ)｜r=0=u(0，0)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、若函數(shù)f(x)在[0，1]上連續(xù)，在(0，1)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，f(0)=f(1)=0，f"(x)＜0，且f(x)在[0，1]上的最大值為M．求證：(Ⅰ)f(x)＞0(x∈(0，1))；(Ⅱ)自然數(shù)n，存在唯一的xn∈(0，1)，使得f’(xn)=；(Ⅲ)極限，則f(x0)=M．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)由題設(shè)條件及羅爾定理，a∈(0，1)，f’(a)=0．由f"(x)＜0(x∈(0，1))→f’(x)在(0，1)→f(x)＞f(0)=0(0＜x≤a)，f(x)＞f(1)=0(a≤x＜1)→f(x)＞0(x∈(0，1))．(Ⅱ)由題設(shè)知存在xM∈(0，1)使得f(xM)=M＞0．要證[]在(0，1)存在零點(diǎn)．對(duì)n=1，2，3，…引入輔助函數(shù)→Fn(x)在[0，1]連續(xù)，在(0，1)可導(dǎo)，要證F’(x)=f’(x)—零點(diǎn)，只須在[0，1]中找兩點(diǎn)，F(xiàn)n(x)的函數(shù)值相等，F(xiàn)n(0)=f(0)=0，再找Fn(x)在(0，1)的一個(gè)零點(diǎn)。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、已知A=(α1，α2，α3，α4)是4階矩陣，α1，α2，α3，α4是4維列向量，若方程組Ax=β的通解是(1，2，2，1)T+k(1，—2，4，0)T，又B=(α3，α2，α1，β—α4)，求方程組Bx=α1—α2的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：由方程組Ax=β的解的結(jié)構(gòu)，可知r(A)=r(α1，α2，α3，α4)=3，且α1+2α2+2α3+α4=β，α1—2α2+4α3=0．因?yàn)锽=(α3，α2，α1，β—α4)=(α3，α2，α1，α1+2α2+2α3)，且α1，α2，α3線性相關(guān)，而知秩r(B)=2．可知(4，一2，1，0)T，(2，一4，0，1)T是Bx=0的兩個(gè)線性無關(guān)的解．故Bx=α1一α2的通解是：(0，一1，1，0)T+k1(4，一2，1，0)T+k2(2，一4，0，1)T．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、已知矩陣(Ⅰ)求可逆矩陣P，使(AP)T(AP)為對(duì)角矩陣；(Ⅱ)若A+kE正定，求k的取值．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)因?yàn)锳T=A，則(AP)T(AP)=PTATAP=PTA2P，又構(gòu)造二次型xTA2X=x12+x22+5x32+20x42+20x3x4，經(jīng)配方，有xTA2x=x12+x22+5(x3+2x4)2，則二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形xTA2x=y12+y22+5y32，于是，二次型合同．故(Ⅱ)由｜λE—A｜=(λ2一1)(λ一5λ)，知矩陣A的特征值為：1，5，0，一1，進(jìn)而可知A+kE的特征值為k+1，k+5，k，k一1．于是由A+kE正定可知，k＞1．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)二）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設(shè)f(x)二階連續(xù)可導(dǎo)，g(x)連續(xù)，且fˊ(x)=lncosx+∫0xg(x－t)dt，=－2，則()A、f(0)為f(x)的極大值B、f(0)為f(x)的極小值C、(0，f(0))為y=f(x)的拐點(diǎn)D、f(0)不是f(x)的極值，(0，f(0))也不是y=f(x)的拐點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：顯然fˊ(0)=0，由=－2得g(0)=0，gˊ(0)=－2．由∫0xg(x－t)dt∫0xg(u)du得fˊ(x)=lncosx+∫0xg(u)du．fˊˊ(x)=－+g(x)，fˊˊ(0)=0．fˊˊ(0)==－1—2=－3<0，故(0，f(0))為y=f(x)的拐點(diǎn)，選(C)．2、當(dāng)x>0時(shí)，f(1nx)=，則∫－22xfˊ(x)dx為()．A、B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由f(1nx)=得f(x)=，則選(C)．3、設(shè)z=z(x，y)由F(az—by，bx—by，cy—ax)=0確定，其中函數(shù)F連續(xù)可偏導(dǎo)且afˊ1－cfˊ2≠0，則=()．A、aB、bC、cD、a+b+c標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：F(az－by，bx－cz，cy－ax)=0兩邊對(duì)x求偏導(dǎo)得=0，解得；F(az－by，bx－cz，cy－ax)=0兩邊對(duì)y求偏導(dǎo)得故=b，選(B)．4、設(shè)函數(shù)f(x)在(—∞，+∞)上連續(xù)，其導(dǎo)函數(shù)的圖形如右圖所示，則f(x)有()．A、一個(gè)極小值點(diǎn)和兩個(gè)極大值點(diǎn)B、兩個(gè)極小值點(diǎn)和一個(gè)極大值點(diǎn)C、兩個(gè)極小值點(diǎn)和兩個(gè)極大值點(diǎn)D、三個(gè)極小值點(diǎn)和一個(gè)極大值點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)導(dǎo)函數(shù)的圖形與x軸的交點(diǎn)從左至右依次為A，B，C，在點(diǎn)A左側(cè)fˊ(x)>0，右側(cè)fˊ(x)<0．所以點(diǎn)A為f(x)的極大值點(diǎn)，同理可知點(diǎn)B與C都是f(x)的極小值點(diǎn)．關(guān)鍵是點(diǎn)O處，在它左側(cè)fˊ(x)>0，右側(cè)fˊ(x)<0，而f(x)在點(diǎn)O連續(xù)，所以點(diǎn)O也是f(x)的極大值點(diǎn)(不論在x=0處f(x)是否可導(dǎo)，見極值第一充分條件)，選(C)．5、用定積分表示曲線(x2+y2)2=x2－y2所圍成的平面區(qū)域的面積A為()．A、B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：雙紐線(x2+y2)2=x2－y2的極坐標(biāo)方程形式為r2＝cos2θ，在第一卦限部分的區(qū)域可表示為D1{(r，θ)｜0≤θ≤，0≤r≤}，根據(jù)對(duì)稱性得A=4A1，其中A1為區(qū)域D1的面積．而A1=r2(θ)dθ=cos2θdθ,所以A=4×cos2θdθ=2cos2θdθ,選(C)．6、設(shè)函數(shù)u=f(xz，yz，x)的所有二階偏導(dǎo)數(shù)都連續(xù)，則[*360]=()．A、0B、xzfˊˊ11+yzfˊˊ22+z2fˊˊ12C、z2fˊˊ12+zfˊˊ32D、xzfˊˊ11+yzfˊˊ22標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：，選(C)．7、設(shè)矩陣B的列向量線性無關(guān)，且BA=C，則()。A、若矩陣C的列向量線性無關(guān)，則矩陣A的列向量線性相關(guān)B、若矩陣C的列向量線性無關(guān)，貝矩陣A的行向量線性相關(guān)C、若矩陣A的列向量線性無關(guān)，則矩陣C的列向量線性相關(guān)D、若矩陣C的列向量線性無關(guān)，則矩陣A的列向量線性無關(guān)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)B為m×n矩陣，A為n×s矩陣，則C為m×s矩陣，且r(B)=n．因?yàn)锽A=C，所以r(C)≤r(A)，r(C)≤r(B)．若r(C)=s，則r(A)≥s，又r(A)≤s，所以r(A)=s，A的列向量組線性無關(guān)，(A)不對(duì)；若r(C)=s，則r(A)=s，所以A的行向量組的秩為s，故n≥s．若n>s，則A的行向量組線性相關(guān)，若n=s，則A的行向量組線性無關(guān)，(B)不對(duì)；若r(A)=s，因?yàn)閞(C)≤s，所以不能斷定C的列向量組線性相關(guān)還是無關(guān)，(C)不對(duì)；若r(C)=s，則r(A)=s，選(D)8、設(shè)n階方陣A的n個(gè)特征值全為0，則()．A、A=OB、A只有一個(gè)線性無關(guān)的特征向量C、A不能與對(duì)角陣相似D、當(dāng)A與對(duì)角陣相似時(shí)，A=O標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：若A的全部特征值皆為零且與對(duì)角矩陣相似，則存在可逆矩陣P，使得p－1AP=，于是A=O，選(D)．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、sin(xt)2dt＝_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：10、設(shè)y＝y(tǒng)(x)由確定，則＝_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：當(dāng)t=0時(shí)，x=1．y=ln(1+u)du=uln(1+u)du=2ln2—1exsint－x+1=0兩邊對(duì)t求導(dǎo)，得exsint+excost—=0，于是=e；y=ln(1+u)du兩邊對(duì)t求導(dǎo)，得=ln(t+2)，于是=ln2．故11、設(shè)Dt｛(x，y)｜0≤x≤y，t≤y≤1｝(t>0),則dxdy＝_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：12、＝________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：改變積分次序得13、yˊˊ－2yˊ－3y＝e－x的通解為________．標(biāo)準(zhǔn)答案：y=C1e－x+C2e3x—e－x知識(shí)點(diǎn)解析：特征方程為λ2－2λ－3=0，特征值為λ1=－1，λ2=3，則方程yˊˊ－2yˊ－3y=0的通解為y=C1e－x+C2e3x．令原方程的特解為y0(x)=Axe－x，代入原方程得A=，于是原方程的通解為y=C1e－x+C2e3x－e－x．14、設(shè)A為三階實(shí)對(duì)稱矩陣，α1＝(m，－m，1)T是方程組AX＝0的解，α2＝(m，1，1－m)T是方程組(A+E)X＝0的解，則m＝_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識(shí)點(diǎn)解析：由AX=0有非零解得r(A)<3，從而λ=0為A的特征值，α1(m，－m，1)T為其對(duì)應(yīng)的特征向量；由(A+E)X=0有非零解得r(A+E)<3，｜A+E｜=0，λ=－1為A的另一個(gè)特征值，其對(duì)應(yīng)的特征向量為α2=(m，1，1－m)T，因?yàn)锳為實(shí)對(duì)稱矩陣，所以A的不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量正交，于是有m=1．三、解答題(本題共13題，每題1.0分，共13分。)15、設(shè)f(x)在[0，1]上連續(xù)可導(dǎo)，f(1)=0,∫01xfˊ(x)dx=2，證明：存在ξ∈[0，1]，使得fˊ(ξ)=4．標(biāo)準(zhǔn)答案：由分部積分，得∫01xfˊ(x)dx=xf(x)｜01－∫01f(x)dx=－∫01f(x)dx=2，于是∫01f(x)dx=－2.由拉格朗日中值定理，得f(x)=f(x)－f(1)=fˊ(η)(x－1)，其中η∈(x，1)，f(x)=fˊ(η)(x－1)兩邊對(duì)x從0到1積分，得∫01f(x)dx=∫01fˊ(η)(x－1)dx=－2．因?yàn)閒ˊ(x)在[0，1]上連續(xù)，所以fˊ(x)在[0，1]上取到最小值m和最大值M，由M(x－1)≤fˊ(η)(x－1)≤m(x－1)兩邊對(duì)x從0到1積分，得－≤∫01fˊ(η)(x－1)dx≤－，即m≤4≤M，由介值定理，存在ξ∈［0，1］，使得fˊ(ξ)=4．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析16、設(shè)u=f滿足,且fˊ(x)=0．(Ⅰ)求fˊ(x)．(Ⅱ)若f(0)=0，求．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)令r=，則知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、設(shè)φ連續(xù)，且x2+y2+z2=∫xyφ(x+y－t)dt，求2z.標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、設(shè)f(x)，g(x)滿足fˊ(x)=g(x)，gˊ(x)=2ex-f(x)，又f(0)=0，g(0)=2，求標(biāo)準(zhǔn)答案：由fˊˊ(x)=gˊ(x)=2ex－f(x)得fˊˊ(x)+f(x)=2ex，解得f(x)=C1cosx+C2sinx+ex，由f(0)=0，fˊ(0)=g(0)=2得，解得C1＝－1，C2=1，故f(x)=－cosx+sinx+ex．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)f(x)為[－a，a]上的連續(xù)的偶函數(shù)且f(x)>0，令F(x)=∫－aa｜x－t｜f(t)dt．19、證明：Fˊ(x)單調(diào)增加．標(biāo)準(zhǔn)答案：F(x)=∫－aa｜x－t｜f(t)dt=∫－ax(x－t)f(t)dt+∫xa(t－x)f(t)dt=x∫－axf(t)dt－∫－axtf(t)dt+∫xatf(t)dt－x∫xaf(t)dt=x∫－axf(t)dt－∫－axtf(t)dt－∫axtf(t)dt+x∫axf(t)dtFˊ(x)=∫－axf(t)dt+xf(x)－xf(x)－xf(x)+∫axf(t)dt+xf(x)=∫－axf(t)dt－∫xaf(t)dt因?yàn)镕ˊˊ(x)=2f(x)>0，所以Fˊ(x)為單調(diào)增加的函數(shù)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、當(dāng)x取何值時(shí)，F(xiàn)(x)取最小值?標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)镕ˊ(0)=∫－a0f(x)dx－∫0af(x)dx且f(x)為偶函數(shù)，所以Fˊ(0)=0，又因?yàn)镕ˊˊ(0)>0，所以x=0為F(x)的唯一極小點(diǎn)，也為最小點(diǎn)．故最小值為F(0)=∫－aa｜t｜f(t)dt=2∫0atf(t)dt．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、當(dāng)F(x)的最小值為f(a)－a2－1時(shí)，求函數(shù)f(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由2∫0atf(t)dt=f(a)－a2－1兩邊求導(dǎo)得2af(a)=fˊ(a)－2a，于是fˊ(x)－2xf(x)=2x，解得f(x)=在2∫0atf(t)dt=f(a)－a2－1中令a=0得f(0)=1，則C=2，于是f(x)=2ex2－1.知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、計(jì)算，其中D：x2+y2≤a2．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閰^(qū)域D關(guān)于y軸對(duì)稱，所以又因?yàn)閰^(qū)域D關(guān)于直線y=x對(duì)稱，所以知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、現(xiàn)有兩只桶分別盛有10L濃度為15g／L的鹽水，現(xiàn)同時(shí)以2L／min的速度向第一只桶中注入清水，攪拌均勻后以2L／min的速度注入第二只桶中，然后以2L／min的速度從第二只桶中排出，問5min后第二只桶中含鹽多少克?標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)t時(shí)刻第一、二只桶中所含鹽的質(zhì)量分別為m1(t)，m2(t)，則有知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)A為三階實(shí)對(duì)稱矩陣，其特征值為λ1=0，λ2=λ3=1．α1，α2為A的兩個(gè)不同特征向量，且A(α1+α2)=α2．24、證明：α1，α2正交．標(biāo)準(zhǔn)答案：若α1，α2是屬于特征值λ1=0的特征向量，則A(α1+α2)=Aα1+Aα2=0≠α2，矛盾；若α1，α2是屬于特征值λ2=λ3=1的特征向量，則A(α1+α2)=Aα1+Aα2=α1+α2≠α2，矛盾，從而α1，α2是分屬于兩個(gè)不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量，因?yàn)锳是實(shí)對(duì)稱矩陣，所以α1，α2正交．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析25、求AX=α2的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)锳相似于，所以r(A)=2，方程組AX=0基礎(chǔ)解系含一個(gè)線性無關(guān)的解向量．若α1是屬于特征值1的特征向量，α2為屬于特征值0的特征向量，此時(shí)A(α1+α2)=Aα1+Aα2=α1≠α2，矛盾，從而α1是屬于特征值0的特征向量，α2是屬于特征值1的特征向量，由Aα1=0，Aα2=α2得AX=α2的通解為X=kα1+α2．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)α=(1，1，－1)T是A=的一個(gè)特征向量．26、確定參數(shù)a，b的值及特征向量α所對(duì)應(yīng)的特征值；標(biāo)準(zhǔn)答案：由Aα=λα，得，解得a=－3，b＝0，λ=－1．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析27、問A是否可以對(duì)角化?說明理由．標(biāo)準(zhǔn)答案：由｜λE－A｜=(λ+1)3=0，得λ=－1是三重特征值．因?yàn)閞(－E－A)=2，所以λ=－1對(duì)應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量只有一個(gè)，所以A不可以對(duì)角化．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)二）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)1、設(shè)f(χ)在χ＝0的某一鄰域內(nèi)有連續(xù)的四階導(dǎo)數(shù)，且當(dāng)χ≠0時(shí)，f(χ)≠0，若F(χ)＝在χ＝0點(diǎn)連續(xù)，則必有()A、f′(0)＝1B、f′(0)＝2C、f″′(0)＝3D、f(4)＝4標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)镕(χ)在χ＝0點(diǎn)連續(xù)，故有F(χ)＝1，即因此f″′(0)＝3，故選C．2、設(shè)F(χ)＝∫0χtf(χ－t)dt，其中f(0)可導(dǎo)，且f(0)＝0，f′(χ)＞0，則y＝F(χ)在(0，＋∞)內(nèi)是()A、遞增且為凹弧B、遞減且為凸弧C、遞減且為凹弧D、遞增且為凸弧標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：令χ－t＝u，則F(χ)＝∫0χtf(χ－t)dt＝∫0χ(χ－u)f(u)du＝χ∫0χf(u)du－∫0χuf(u)du，F(xiàn)′(χ)＝∫0χf(χ)dχ，F(xiàn)〞(χ)＝f(χ)，因?yàn)閒′(χ)＞0，故f(χ)單調(diào)增加，當(dāng)χ＞0時(shí)，f(χ)＞f(0)＝0，所以F〞(χ)＞0，F(xiàn)′(χ)＞0，故選A．3、設(shè)f(χ)在[0，＋∞)上連續(xù)，f(χ)＝1．則對(duì)于微分方程＋y＝f(χ)的任一解y均有()A、y＝0B、y＝1C、y＝＋∞D(zhuǎn)、不存在標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：＋y＝f(χ)的通解為y＝e-χ[∫0χf(t)etdt＋C]對(duì)于任意給定的常數(shù)C，此極限為＞0型未定式，由洛必達(dá)法則得4、設(shè)函數(shù)f(χ，y)＝(a＞0)，則f(χ，y)在(0，0)點(diǎn)()A、連續(xù)，但不可偏導(dǎo)B、可偏導(dǎo)，但不連續(xù)C、偏導(dǎo)函數(shù)，均連續(xù)D、偏導(dǎo)函數(shù)，均不連續(xù)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：偏導(dǎo)函數(shù)連續(xù)．5、微分方程y〞－2y′＋y＝3χeχ＋sinχ的特解形式為()A、(aχ＋b)χ2eχ＋Acosχ＋BsinχB、(aχ＋b)eχ＋Acosχ＋BsinχC、(aχ＋b)χ2eχ＋AsinχD、(aχ＋b)χeχ＋Asinχ標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：y〞－2y′＋y＝0的特征方程為r2－2r＋1＝0，解得r1＝r2＝1所以y〞－2y′＋y＝3χeχ的特解形式為(aχ＋b)χ2eχ，y〞－2y′＋y＝sinχ的特解形式為Acosχ＋Bsinχ，由疊加原理知選A．6、設(shè)n階方陣A＝(α1，α2，…，αn)，B＝(β1，β2，…，βn)，AB＝(γ1，γ2，…，γn)，記向量組Ⅰ：α1，α2，…，αn，Ⅱ：β1，β2，…，βn，Ⅲ：γ1，γ2，…，γn，如果向量組Ⅲ線性相關(guān)，則()A、向量組Ⅰ線性相關(guān)B、向量組Ⅱ線性相關(guān)C、向量組Ⅰ與Ⅱ都線性相關(guān)D、向量組Ⅰ與Ⅱ至少有一個(gè)線性相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由｜AB｜＝0，得｜A｜＝0或｜B｜＝0，故向量組Ⅰ與Ⅱ至少有一個(gè)線性相關(guān)，故選D．7、設(shè)A是秩為3的4階矩陣，α1，α2，α3是非齊次線性方程組Aχ＝b的三個(gè)解．若α1＋α2＋α3＝(0，6，3，9)T，2α2－α3＝(1，3，3，3)T，k為任意常數(shù)，則Aχ＝b的通解為()A、(0，6，3，9)T＋k(1，1，2，0)TB、(0，2，1，3)T＋k(－1，3，0，6)TC、(1，3，3，3)T＋k(1，1，2，0)TD、(－1，3，0，6)T＋k(－2，0，－3，0)T標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)，屬于基礎(chǔ)題．由r(A)＝3，知齊次方程組Aχ＝0的基礎(chǔ)解系只有一個(gè)解向量．由非齊次線性方程組解的性質(zhì)，知(α1＋α2＋α3)－3(2α2－α3)＝(α1－α2)＋4(α3－α2)＝(－3，－3，－6，0)T，是Aχ＝0的解，所以Aχ＝0的基礎(chǔ)解系為(1，1，2，0)T．又2α2－α3＝α2＋(α2－α3)＝(1，3，3，3)T是Aχ＝b的解，所以Aχ＝b的通解為(1，3，3，3)T＋k(1，1，2，0)T，故應(yīng)選C．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)8、設(shè)曲線y＝f(χ)在點(diǎn)(1，0)處的切線在y軸上截距為－1．則＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：e．知識(shí)點(diǎn)解析：y＝f(χ)在點(diǎn)(1，0)處的切線方程為y＝f′(1)(χ－1)，由題設(shè)知當(dāng)χ＝0時(shí)，y＝－1．故f′(1)＝1，又f(1)＝0，故由導(dǎo)數(shù)定義知從而當(dāng)n→∞時(shí)，所以9、若∫0χf(t)dt＝χe-χ，則∫1＋∞dχ＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識(shí)點(diǎn)解析：10、設(shè)f(χ，y)滿足f〞yy(χ，y)＝2，且f(χ，0)＝1，f′y(χ，0)＝χ，則f(χ，y)＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：f(χ，y)＝y(tǒng)2＋χy＋1．知識(shí)點(diǎn)解析：由f〞yy(χ，y)＝2，知f′y(χ，y)＝2y＋φ(χ)．因?yàn)閒′y(χ，0)＝φ(χ)＝χ，故f′y(χ，y)＝2y＋χ，所以f(χ，y)＝y(tǒng)2＋χy＋φ(χ)．又f(χ，0)＝1，從而φ(χ)＝1，故f(χ，y)＝y(tǒng)2＋χy＋1．11、設(shè)y1＝eχ－e-χsin2χ，y2＝eχ＋e-χcos2χ是某二階常系數(shù)非齊次線性方程的兩個(gè)解，則該方程是_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：y〞＋2y′＋5y＝8eχ．知識(shí)點(diǎn)解析：由解的性質(zhì)與解的結(jié)構(gòu)知y2－y1＝e-χ(cos2χ＋sin2χ)是對(duì)應(yīng)的齊次方程的解，所以r＝－1±2i是對(duì)應(yīng)的特征方程的根，故特征方程為(r＋1)2＋4＝0，即r2＋2r＋5＝0，于是所求方程為y〞＋2y′＋5y＝f(χ)，又因?yàn)閥1為非齊次方程的特解，代人方程得f(χ)＝8eχ，故所求方程為y〞＋2y′＋5y＝8eχ．12、＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：sin1．知識(shí)點(diǎn)解析：13、設(shè)A是n階矩陣，｜A｜＝2，若矩陣A＋E不可逆，則A*必有特征值_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：－2．知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查特征值的求法與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．由矩陣A＋E不可逆，知｜A＋E｜＝0，從而｜－E－A｜＝(－1)n｜E＋A｜＝0，于是λ＝－1是矩陣A的特征值．又｜A｜＝2，所以A*必有特征值－2．三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)14、已知f(1)＝0，f′(1)＝2，求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析15、已知f(χ)在[0，2]上連續(xù)，在(0，2)內(nèi)二階可導(dǎo)，且＝0，∫12f(χ)dχ＝f(2)．證：ヨε∈(0，2)，使f′(ε)＋f〞(ε)＝0．標(biāo)準(zhǔn)答案：令f(χ)＝eχf′(χ)，因＝0，所以f(1)＝－1，從而原極限＝＝]0，因?yàn)椤?，故＝0，從而f′(1)＝0，故F(b)＝F(1)，原命題得證．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析16、計(jì)算積分標(biāo)準(zhǔn)答案：原積分在直坐標(biāo)下為dχdy，積分區(qū)域如圖所示，由D關(guān)于y軸對(duì)稱，故dχdy＝0，所以知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、設(shè)f(χ，y)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，g(χ，y)＝f(eχy，χ2＋y2)且＝0，證明g(χ，y)在(0，0)處取得極值，并求出此極值．標(biāo)準(zhǔn)答案：fχ(1，0)＝－1，fy(1，0)＝－1．A＝g〞χχ(χ，y)｜(0，0)＝－2，B＝g〞χy(χ，y)｜(0，0)＝－1，C＝g〞yy(0，0)＝－2，B2－AC＝1－4＜0，且A＜0．所以g(0，0)是極大值．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、設(shè)拋物線y＝aχ＋bχ＋c過原點(diǎn)，當(dāng)0≤χ≤1時(shí)，y≥0，又已知該拋物線與χ軸及直線χ＝1所圍圖形的面積為，試確定a，b，c使此圖形繞χ軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積V最?。畼?biāo)準(zhǔn)答案：由題知曲線過點(diǎn)(0，0)，得c＝0，即y＝aχ2＋bχ．從χ→χ＋dχ的面積dS＝y(tǒng)dχ，所以S＝∫01ydχ＝∫01(aχ2＋bχ)dχ＝＝由題知當(dāng)y＝aχ2＋bχ繞χ軸旋轉(zhuǎn)一周，旋轉(zhuǎn)體積V＝b用a代人消去b，得V＝令其等于0得唯一駐點(diǎn)a＝在該處由負(fù)變正，此點(diǎn)為極小值點(diǎn)，故體積最小，這時(shí)b＝，故所求函數(shù)y＝aχ2＋bχ＋c＝－知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、設(shè)f(χ)為可微函數(shù)，解方程f(χ)＝eχ＋eχ∫0χ[f(t)]2dt．標(biāo)準(zhǔn)答案：f(χ)＝eχ＋eχ∫0χ[f(t)]2dt，f′(χ)＝eχ＋eχ∫0χ(t)]2dt＋eχ[f(χ)]2，所以f′(χ)＝f(χ)＋eχ[f(χ)]2，故＋eχ，令，故原等式可化為－u′，＝u＝eχ，解得u＝－故f(χ)＝知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、證：設(shè)χ＞0，則標(biāo)準(zhǔn)答案：證令t＝，得f(t)＝ln(1＋t)－ln(1＋t)＜令1＋t＝ω2，g(ω)＝ω－－2lnω，用單調(diào)性即可得證．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、設(shè)二次型f(χ1，χ2，χ3)＝χTAχ(其中χ＝(χ1，χ2，χ3)T，A是三階實(shí)對(duì)稱矩陣)經(jīng)正交變換χ＝Qy(其中y＝(y1，y2，y3)T，Q是三階正交矩陣)化為標(biāo)準(zhǔn)形2y12－y22－y32，又設(shè)A*α＝α(其中A*是A的伴隨矩陣，α＝(1，1，－1)T)．求(Ⅰ)Q及A；(Ⅱ)可逆線性變換χ＝Cz(其中z＝(z1，z2，z3)T，C是三階可逆矩陣)，它將f(χ1，χ2，χ3)化為規(guī)范形．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)A的特征值為2，－1，－1，｜A｜＝2．當(dāng)λ＝2時(shí)，A*的特征值為1，故λ＝2所對(duì)應(yīng)的特征向量為(1，1－1)T．設(shè)λ＝－1對(duì)應(yīng)的特征向量為(a，b，c)，即a＋b－c＝0，其解為α1＝(－1，1，0)T，α2＝(1，0，1)T，對(duì)其正交化β1＝(－1，1，0)T，β2＝(1，1，2)T，再單位化于是所求的正交矩陣為(Ⅱ)f(χ1，χ2，χ3)在正交變換χ＝Qy下的標(biāo)準(zhǔn)形為，2y12－y22－y32．則2y12－y22－y32＝z12－z22－z33；(規(guī)范形)知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)α1，α2，β1，β2為三維列向量組，且α1，α2與β1，β2都線性無關(guān)．(Ⅰ)證明：至少存在一個(gè)非零向量可同時(shí)由α1，α2和β1，β2線性表示；(Ⅱ)設(shè)，求出可由兩組向量同時(shí)表示的向量．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)因?yàn)棣?，α2，β1，β2線性相關(guān)，故存在不全為零的數(shù)k1，k2，l1，l2，使k1α1＋k2α2＋l1β1＋l2β2＝，即k1α1＋k2α2＝－l1β1－l2β2(Ⅱ)令r＝k1α1＋k2α2＝－l1β1－l2β2，A＝(α1，α2，β1，β2)＝則所以r＝kα1－3kα2＝－kβ1＋0β2．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)二）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、曲線y＝的漸近線的條數(shù)為()A、4B、3C、2D、1標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：該函數(shù)的定義域?yàn)椋?＜χ＜5且χ≠1，因此此曲線無水平漸近線和斜漸近線，又＝∞，f(χ)＝∞，所以此曲線有兩條鉛直漸近線χ＝5及χ＝－3，故選C．2、設(shè)f(χ)在點(diǎn)χ＝0處可導(dǎo)，則f(｜χ｜)在點(diǎn)χ＝0處可導(dǎo)的充分必要條件是()A、f(0)＝0B、f′(0)＝0C、f(0)＝0且f′(0)＝0D、f(0)＝0或f′(0)＝0標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由題意知＝f′(0)存在，所以f(｜χ｜)在χ＝0處可導(dǎo)的充分必要條件為f′(0)＝－f′(0)，即f′(0)＝0，故選B．3、設(shè)函數(shù)f(χ)在χ＝2處連續(xù)，且，函數(shù)g(χ)在χ＝2的某鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且，則()A、函數(shù)f(χ)在χ＝2處導(dǎo)數(shù)存在，g(χ)在χ＝2處二階導(dǎo)數(shù)存在B、函數(shù)f(χ)在χ＝2處取極小值，g(χ)在χ＝2處也取極小值C、函數(shù)f(χ)在χ＝2處導(dǎo)數(shù)存在，g(χ)在χ＝2處取極小值D、函數(shù)χ(χ)在χ－2處取極小值，g(χ)在χ＝2處二階導(dǎo)數(shù)存在標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由題意知f(2)＝0，進(jìn)而由，得f′(2)＝．因?yàn)椋?，由保號(hào)性知，存在δ＞0，當(dāng)χ∈U(2，δ)時(shí)，＞0，因此當(dāng)2－δ＜χ＜2時(shí)，g′(χ)＜0；當(dāng)2＜χ＜2＋δ時(shí)，g′(χ)＞0，所以g′(χ)在χ＝2處取極小值．4、設(shè)函數(shù)f(χ)連續(xù)，則下列函數(shù)中必為偶函數(shù)的是()A、∫0χt[f(t)－f(－t)]dtB、∫0χt[f(t)－f(－t)]dtC、∫0χf(t2)dtD、∫0χ[f(t)]2dt標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：令t＝－u，∫0-χt[f(t)＋f(－t)]dt＝∫0χ(－u)[f(－u)＋f(u)](－du)＝∫0χt[f(t)＋f(－t)]dt5、設(shè)y＝y(tǒng)(χ)是方程2χydχ＋(χ2－1)dy＝0及條件y(0)＝1的解，則y(χ)dχ＝()A、－ln3B、ln3C、－ln3D、ln3標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：原方程可化為d(χ2y)＝dy，故χy2＝y(tǒng)＋C，由y(0)＝1得C＝－1，y＝，6、設(shè)f(χ，y)為連續(xù)函數(shù)，則使f(χ，y)dχdy＝4∫01dχf(χ，y)dy成立的充分條件是()A、f(－χ，－y)＝－f(χ，y)B、f(－χ，－y)＝f(χ，y)C、f(－χ，－y)＝－f(χ，y)且f(－χ，y)＝f(χ，y)D、f(－χ，y)＝f(χ，y)且f(χ，－y)＝f(χ，y)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：此時(shí)f(χ，y)既是關(guān)于χ的偶函數(shù)，又是關(guān)于y的偶函數(shù)，故選D．7、已知4維列向量α1，α2，α3線性無關(guān)，若β(i＝1，2，3，4)非零且與α1，α2，α3均正交，則(β1，β2，β3，β4)＝()A、1B、2C、3D、4標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：本題主要考查向量組正交及齊次線性方程組基礎(chǔ)解系定理，是一道有一定難度的綜合題．由題設(shè)，知αiTβj＝0(i＝1，2，3；j＝1，2，3，4)．令則矩陣A是秩為3的3×4階矩陣，且即β1，β2，β3，β4均為齊次線性方程組Aχ＝0的解，從而r(β1，β2，β3，β4)≤n－r(A)＝4－3＝1．故應(yīng)選A．8、下列矩陣中與其他矩陣不合同的是()A、B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查矩陣合同的判定，屬于基礎(chǔ)題．(特征值法)對(duì)于矩陣，其特征多項(xiàng)式為＝[(λ－1)2－1](λ－3)＝λ(λ－2)(λ－3)解得特征值0，2，3，所以其正慣性指數(shù)為2，負(fù)慣性指數(shù)為0．同理可得矩陣的正慣性指數(shù)均為2，負(fù)慣性指數(shù)均為0．對(duì)于矩陣，其特征多項(xiàng)式為解得特征值1，3，3，所以其正慣性指數(shù)為3，負(fù)慣性指數(shù)為0．由于矩陣合同的充要條件為有相同的正、負(fù)慣性指數(shù)，所以選項(xiàng)A、B、D合同，故應(yīng)選C．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、sin2χdχ_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：10、y＝(χ2－5χ＋6)｜χ3－3χ2＋2χ｜的不可導(dǎo)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為_______個(gè)．標(biāo)準(zhǔn)答案：2．知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查y＝(χ－a)｜χ－a｜在χ＝a點(diǎn)可導(dǎo)．y＝(χ2－5χ＋6)｜χ3－3χ2＋2χ｜＝(χ－2)(χ－3)｜χ(χ－1)(χ－2)｜，從而本函數(shù)有兩個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn)．11、設(shè)單調(diào)函數(shù)y＝f(χ)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，其反函數(shù)為χ＝φ(y)，且f(1)＝1，f′(1)＝2，f〞(1)＝3，則φ〞(1)＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：12、y＝e2χ＋(1＋χ)eχ是二階常系數(shù)線性微分方程y〞＋αy′＋βy＝reχ的一個(gè)特解，則α2＋β2＋r2＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：14．知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)解的結(jié)構(gòu)定理可得y＝e2χ＋eχ＋χeχ．進(jìn)而可求得α＝－3，β＝2，r＝－1α2＋β2＋γ2＝14．13、設(shè)f(χ)二階可導(dǎo)，且滿足＝1，則y＝f(χ)在點(diǎn)(1，f(1))處的曲率＝________．標(biāo)準(zhǔn)答案：2．知識(shí)點(diǎn)解析：由曲率公式得14、A＝，r(A)＝2，則A*χ＝0的通解為_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：k1(1，0，－1)T＋k2(5，3，4)T．知識(shí)點(diǎn)解析：r(A)＝2＜3(A*)＝1，所以A*χ＝0的基礎(chǔ)解系中有兩個(gè)線性無關(guān)的解向量，A*A＝｜A｜E＝0，即A的每一列均為A*χ＝0的解，兩個(gè)線性無關(guān)解為通解為三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)15、設(shè)χ→0時(shí)，f(χ)＝eχ－為χ的三階無窮小，求a，b．標(biāo)準(zhǔn)答案：f(χ)＝eχ－1－＝(χ＋＋o(χ3))－(a－b)χ(1－bχ＋b2χ2＋o(χ2))所以1－(a－b)＝0，＋b(a－b)＝0，所以a＝，b＝－．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析16、令t＝tanχ，把cos4χ＋2cos2χ(1－sinχcosχ)＋y＝tanχ化為y關(guān)于t的微分方程，并求原方程的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：此微分方程為二階常系數(shù)非齊次線性微分方程．其齊次通解為Y(t)＝(c1＋c2t)e-t，非齊次特解設(shè)為Y*(t)＝at＋b，代人y〞＋2y′＋y＝t中得a＝1，b＝－2．所以其非齊次特解為y*(t)＝t－2．故其非齊次通解為y(t)＝Y(jié)(t)＋y*(t)＝(c1＋c2t)e-t＋t－2．又由t＝tanχ得最終原微分方程的通解為y＝(c1＋c2tanχ)e-tanχ＋tanχ－2．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、f(χ)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，又b＞a＞0．求證：在(a，b)內(nèi)存在ε，η，使標(biāo)準(zhǔn)答案：令g(χ)＝，因?yàn)閎＞a＞0，由題設(shè)知，f(χ)，g(χ)在[a，b]上滿足柯西中值定理．于是η∈(a，b)，使得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、求函數(shù)z＝χ2＋y2在(χ－)2＋(y－)2≤9上的最大值與最小值．標(biāo)準(zhǔn)答案：先求z＝χ2＋y2在圓內(nèi)(χ－)2＋(y－)2＜9的駐點(diǎn)：－2χ＝0，＝2y＝0，(0，0)是駐點(diǎn)，z(0，0)＝0，顯然這是最小值點(diǎn)，最大值必在圓周上達(dá)到．再求z＝χ2＋y2在圓周上的最大值，圓周方程可寫成代入z＝χ2＋y2得，當(dāng)t＝時(shí)，z＝25；當(dāng)t＝時(shí)z＝1；端點(diǎn)處，當(dāng)t＝0時(shí)，z＝13＋＜25，當(dāng)t＝2π時(shí)，z＝13＋＜25．所以z在圓周上的最大值(也就是z在圓盤上的最大值)為25，最大值點(diǎn)為，最小值點(diǎn)為(0，0)，最小值為0．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、設(shè)f(χ，y)，可微，f′χ(χ，y)，f(0，)＝1，且滿足＝ecoty，求f(χ，y)．標(biāo)準(zhǔn)答案：兩邊對(duì)y積分lnf(0，y)＝lnsiny＋lnc，f(0，y)＝csiny而f(0，)＝1C＝1，f(0，y)＝siny，＝－1lnf(χ，y)＝χ＋lnC1(y)，f(χ，y)＝C1(y)e-χ，f(0，y)＝C1(y)＝siny，所以f(χ，y)＝sinye-χ．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、I＝sgn(χ2－y2＋2)dχdy其中sgnχ為符號(hào)函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：如圖所示，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、設(shè)函數(shù)f(χ)＝∫1χ(3－)dt(χ≥0)，求由曲線f(χ)及χ軸圍成的圖形的面積．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)四維向量組α1＝(1，1，4，2)T，α2＝(1，－1，－2，b)T，α3＝(－3，－1，a，－9)T，β＝(1，3，10，a＋b)T．問(Ⅰ)當(dāng)a，b取何值時(shí)，β不能由α1，α2，α3線性表出；(Ⅱ)當(dāng)a，b取何值時(shí)，β能由α1，α2，α3線性表出，并寫出此時(shí)的表達(dá)式．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)β＝χ1α1＋χ2α2＋χ3α3．對(duì)增廣矩陣＝(α1，α2，α3｜β)作初等行變換．(1)當(dāng)a≠－6，a＋2b－4≠0時(shí)，r(A)≠r()．β不可由α1，α2，α3線性表示．(2)當(dāng)a≠－6，a＋2b－4＝0時(shí)β可由α1，α2，α3唯一線性表示，β＝2α1－α2＋0α3．(3)當(dāng)a＝－6時(shí)β可由α1，α2，α3唯一線性表示，β＝6α1＋α2＋2α3．②當(dāng)a＝－6，b＝5時(shí)，β可由α1，α2，α3線性表示，β＝(2k＋2)α1＋(k－1)α2＋kα3，其中k為任意常數(shù)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、設(shè)二次型f(χ1，χ2，χ3)＝χTAχ＝3χ12＋aχ22＋3χ33－4χ1χ2－8χ1χ3－4χ2χ3，其中－2是二次型矩陣A的一個(gè)特征值．(Ⅰ)用正交變換將二次型f化為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出所用正交變換；(Ⅱ)如果A*＋kE是正定矩陣，求k的取值范圍．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)A＝由已知可得｜－E－A｜＝0a＝6對(duì)于λ1＝λ2＝7，(7E－A)χ＝0，α1＝(1，－2，0)T，α2＝(－1，0，1)T．對(duì)于λ3＝－2，(－2E－A)χ＝0，χ3＝(2，1，2)因?yàn)棣?，α2不正交，由Schmidt正交化，有再單位化，得令Q＝(γ1，γ2，γ3)＝，則在正交變換χ＝Qy下，有χTAχ＝y(tǒng)TAy7y12＋7y22－2y32．(Ⅱ)｜A｜＝7×7×(－2)＝－98．所以A*的特征值為－14，－14，49．從而A*＋kE的特征值為k－14，k－14．k＋49．因此k＞14時(shí)，A*＋kE正定．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)二）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)1、當(dāng)n→∞時(shí)數(shù)列的A、同階非等價(jià)無窮?。瓸、等價(jià)無窮?。瓹、高階無窮小．D、低階無窮?。畼?biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：歸結(jié)為求數(shù)列極限用等價(jià)無窮小因子替換．2、設(shè)f’(1)=a，則數(shù)列極限=_______．A、0．B、a．C、2a．D、標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：這是已知導(dǎo)數(shù)求某數(shù)列的極限．若已知f’(b)=a，可求得數(shù)列極限只要其中數(shù)列xn滿足=0．為了用條件f’(1)=a，將所求極限，改寫成求導(dǎo)數(shù)的形式．因此I=f’(1).1一f’(1).0=a因此選B．3、設(shè)g(x)可微，f(x)=ln2(1+g(x))+2ln(1+g(x)，f’(1)=1，g’(1)=，則g(1)=________A、1．B、0．C、2．D、．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：f(x)=(ln(1+g(x))+1)2—1→即g(1)=ln(1+g(1))→g(1)=0．選B．4、設(shè)P(x)在(—∞，+∞)連續(xù)，且以T為周期，則∫0TP(x)dx=0是方程+P(x)y=0(*)有解y=y(x)≠0且以T為周期的A、必要非充分條件．B、充分非必要條件．C、充分且必要條件．D、既不充分也不必要條件．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：方程(*)的解y(x)≠0以T為周期且C≠0，又故選C．5、設(shè)f(x)，g(x)均有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)且滿足f(0)＞0，f’(0)=0，g(0)=0，則函數(shù)u(x，y)=f(x)∫1yg(t)dt在點(diǎn)(0，0)處取極小值的一個(gè)充分條件是A、f"(0)＞0，g’(x)＜0(0≤x≤1)．B、f"(0)＜0，g’(x)＞0(0≤x≤1)．C、f"(0)＞0，g’(x)＞0(0≤x≤1)．D、f"(0)＜0．g’(x)＜0(0≤x≤1)．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：利用極值點(diǎn)的充分判別法．→AC—B2＞0．因此(0，0)是u(x，y)的極小值點(diǎn)．選B．6、設(shè)，則A、I2＞1＞I1．B、I2＞I1＞1．C、1＞I2＞I1．D、1＞I1＞2．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：于是I2＞I1＞I．故選B．7、已知4維列向量α1，α2，α3線性無關(guān)，若βi(i=1，2，3，4)非零且與α1，α2，α3均正交，則秩r(β1，β2，β3，β4)=________。A、1．B、2．C、3．D、4．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)α1=(a11，a12，a13，a14)T，α2=(a21，a22，a23，a24)T，α3=(a31，a32，a33，a34)T，那么βi與α1，α2，α3均正交，即內(nèi)積βiTαi=0(j=1，2，3，4)．亦即βi(j=1，2，3，4)是齊次方程組的非零解．由于α1，α2，α3線性無關(guān)，故系數(shù)矩陣的秩為3．所以基礎(chǔ)解系有4—3=1個(gè)解向量．從而r(β1，β2，β3，β4)=1．故應(yīng)選A．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)8、設(shè)正數(shù)列{an}滿足=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識(shí)點(diǎn)解析：9、設(shè)f(x)=(1+x+x2)esinx，則f"(0)=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：5知識(shí)點(diǎn)解析：10、設(shè)方程組確定隱函數(shù)y=y(x)與z=z(x)，且y(1)=1，z(1)=0，則y’(1)+2z’(1)=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：一2．知識(shí)點(diǎn)解析：將題設(shè)兩個(gè)方程分別對(duì)x求導(dǎo)數(shù)，得由此可解出y’(1)=，y’(1)+2z’(1)=3y’(1)一1．故y’(1)+2z’(1)=一2．11、積分值=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：12、設(shè)極坐標(biāo)系下的累次積分I=(rcosθ，rsinθ)rdθ，將I寫成先對(duì)r后對(duì)θ的累次積分，則________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：按累次積分限，在Oθr’直角坐標(biāo)系中畫出積分區(qū)域D’的圖形，則D’可表示為13、已知A2=，那么矩陣A=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由于A(A2)2=A5，故A=[(A2)2]—1A5=[(A2)—1]2A5．三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)14、試證明：(Ⅰ)當(dāng)x＞0時(shí)，存在θ(x)∈(0，1)，使得，(Ⅱ)當(dāng)x＞0時(shí)θ(x)為單調(diào)增加函數(shù)且．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)令f(x)=，當(dāng)x＞0時(shí)由拉格朗日中值定理得f(x+1)一f(x)=f’(ξ)，即，其中x＜ξ＜x+1．記θ(x)=ξ一x，則ξ=x+θ，并且θ∈(0，1)，從而有知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析15、設(shè)D是曲線y=2x一x2與x軸圍成的平面圖形，直線y=kx把D分成為D1和D2兩部分(如圖)，滿足D1的面積S1與D2的面積S2之比S1：S2=1：7．(Ⅰ)求常數(shù)k的值及直線y=kx與曲線y=2x一x2的交點(diǎn)．(Ⅱ)求平面圖形D1的周長(zhǎng)以及D1繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)由方程組可解得直線y=kx與曲線y=2x一x2有兩個(gè)交點(diǎn)(0，0)和(2一k，k(2一k))，其中0＜k＜2．于是于是k=1，相應(yīng)的交點(diǎn)是(1，1)．(Ⅱ)注意這時(shí)Dl的邊界由y=x上0≤x≤1的線段與曲線y=2x一x2上0≤x≤1的弧構(gòu)成，從而D1的周長(zhǎng)知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析16、設(shè)1≤a＜b，函數(shù)f(x)=xln2x，求證f(x)滿足不等式(Ⅰ)0＜f"(x)＜2(x＞1)．(Ⅱ)f(a)+f(b)一(b一a)2．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)求出→f"(x)在[1，+∞)單調(diào)下降→f"(x)＜f"(1)=2(x＞1)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、求f(x，y，z)=2x+2y一z2+5在區(qū)域Ω：x2+y2+z2≤2上的最大值與最小值．標(biāo)準(zhǔn)答案：f(x，y，z)在有界閉區(qū)域Ω上連續(xù)，一定存在最大、最小值．第一步，先求f(x，y，z)在Ω內(nèi)的駐點(diǎn)．由=2→f(x，y，z)在Ω內(nèi)無駐點(diǎn)，因此f(x，y，z)在Ω的最大、最小值都只能在Ω的邊界上達(dá)到．第二步，求f(x，y，z)在Ω的邊界x2+y2+z2=2上的最大、最小值，即求f(x，y，z)在條件x2+y2+z2—2=0下的最大、最小值．令F(x，y，z，λ)=2x+2y—z2+5+λ(x2+y2+z2—2)，解方程組由①，②→x=y，由③→x=0或λ=1．由x=y，z=0代入④→x=y=±1，z=0．當(dāng)λ=1時(shí)由①，②，④也得x=y=—1，z=0．因此得駐點(diǎn)P1(一1，一1，0)與P2(1，1，0)．計(jì)算得知f(P1)=1，f(P2)=9．因此，f(x，y，z)在Ω的最大值為9，最小值為1．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、計(jì)算二重積分I=(x+y2)dxdy，其中D={(x，y)｜x2+y2≤x+y}.標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、一子彈穿透某鐵板，已知入射子彈的速度為v0，穿出鐵板時(shí)的速度為v1，以子彈入射鐵板時(shí)為起始時(shí)間，又知穿透鐵板的時(shí)間為t1．子彈在鐵板內(nèi)的阻力與速度平方成正比，比例系數(shù)k＞0．(Ⅰ)求子彈在鐵板內(nèi)的運(yùn)動(dòng)速度v與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系v=v(t)；(Ⅱ)求鐵板的厚度．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)首先考察子彈在鐵板內(nèi)的運(yùn)動(dòng)速度v=v(t)滿足的規(guī)律，子彈在鐵板內(nèi)所受阻力為一kv2，于是由牛頓第二定律得=kv2，其中m為子彈的質(zhì)量，以入射時(shí)為起始時(shí)間，得初條件v(0)=v0．解這個(gè)變量分離的微分方程得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、設(shè)函數(shù)f(x)在[a，+∞)內(nèi)二階可導(dǎo)且f"(x)＜0，又b＞a，f(b)＞0，f’(b)＜0，求證：(Ⅰ)；(Ⅱ)方程f(x)=0在[b，+∞)內(nèi)有且僅有一個(gè)實(shí)根．(Ⅲ)設(shè)又有f(a)＞0，則方程f(x)=0在[a，+∞)內(nèi)有且僅有一個(gè)實(shí)根．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)f"(x)＜0(x∈[0，+∞))→f(x)在[a，+∞)是凸函數(shù)→f(x)＜f(b)+f’(b)(x一b)(x∈[a，+∞)，x≠b)．(Ⅱ)f(x)在[a，+∞)連續(xù)，f(b)＞0，(a，+∞)有一個(gè)零點(diǎn)．因f"(x)＜0(x∈[a，+∞))→f’(x)在[a，+∞)．由f’(b)＜0→f’(x)＜0(x＞b)→f(x)在[b，+∞)→f(x)在(b，+∞)只有唯一零點(diǎn)．(Ⅲ)由題(Ⅱ)只須證f(x)＞0(x∈[a，b])．當(dāng)x∈[a，b]時(shí)，由于f’(b)＜0，f’(x)，只有以下兩種情形：1°f’(a)≤0，f’(x)＜0(x∈(a，b])→f(x)在[a，b]，如圖(1)→f(x)≥f(b)＞0(x∈[a，b])；→f(x)≥f(a)＞0(0≤x≤x0)，f(x)≥f(b)＞0(x0≤x≤b)→f(x)＞0(x∈[a，b])．因此f(x)在[a，+∞)有唯一零點(diǎn)，即方程f(x)=0在[a，+∞)有且僅有一個(gè)實(shí)根．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、已知A=(α1，α2，α3，α4)是4階矩陣，其中α1，α2，α3，α4是4維列向量．若齊次方程組Ax=0的通解是后(1，0，—3，2)T，證明α2，α3，α4是齊次方程組A*x=0的基礎(chǔ)解系．標(biāo)準(zhǔn)答案：由解的結(jié)構(gòu)知n—r(A)=1，故秩r(A)=3．又由=0，得α1一3α2+2α3=0．因A*A=｜A｜E=0，即A*(α1，α2，α3，α4)=0，故α2，α3，α4都是A*X=0的解．由α1=3α3—2α4與r(A)=3有A=(α1，α2，α3，α4)=(3α3—2α4，α2，α3，α4)→(0，α2，α3，α4)，可知α2，α3，α4線性無關(guān)．由r(A)=3得r(A*)=1，那么n—r(A*)=3．綜上可知，α2，α3，α4是A*x=0的基礎(chǔ)解系．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)n階實(shí)對(duì)稱矩陣A滿足A2=E，且秩r(A+E)=k＜n．(Ⅰ)求二次型xTAx的規(guī)范形；(Ⅱ)證明B=E+A+A2+A3+A4是正定矩陣，并求行列標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)設(shè)A為矩陣A的特征值，對(duì)應(yīng)的特征向量為α，即Aα=λα，α≠0，則A2α=λ2α由于A2=E，從而(λ2—1)α=0．又因α≠0，故有λ2—1=0，解得λ=1或λ=一1．因?yàn)锳是實(shí)對(duì)稱矩陣，所以必可對(duì)角化，且秩r(A+E)=k，于是那么矩陣A的特征值為：1(k個(gè))，一1(n一k個(gè))．故二次型xTAx的規(guī)范形為y12+…+yk2一yk+12+1一…一yn2．(Ⅱ)因?yàn)锳2=E，故B=E+A+A2+A3+A4=3E+2A．所以矩陣B的特征值是：5(k個(gè))，1(n—k個(gè))．由于B的特征值全大于0且B是對(duì)稱矩陣，因此B是正定矩陣，且｜B｜=5k.1n—k=5k．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)二）模擬試卷第6套一、選擇題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)1、設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(—1，1)內(nèi)二次可導(dǎo)，已知f(0)=0，f’(0)=1，且f"(x)＜0當(dāng)x∈(一1，1)時(shí)成立，則A、當(dāng)x∈(—1，0)時(shí)f(x)＞x，而當(dāng)x∈(0，1)時(shí)f(x)＜x．B、當(dāng)x∈(—1，0)時(shí)f(x)＜x，而當(dāng)x∈(0，1)時(shí)f(x)＞x．C、當(dāng)x∈(—1，0)與x∈(0，1)時(shí)都有f(x)＞x．D、當(dāng)x∈(—1，0)與x∈(0，1)時(shí)都有f(x)＜x．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由題設(shè)知，曲線y=f(x)在原點(diǎn)處的切線方程為y=x，而曲線y=f(x)在區(qū)間(一1，1)內(nèi)是凸?。赏够∨c其上某點(diǎn)處的切線的位置關(guān)系即知結(jié)論(D)正確，故應(yīng)選D．2、設(shè)f(x)，g(x)在點(diǎn)x=x0處可導(dǎo)且f(x0)=g(x0)=0，f’(x0)g’(x0)＜0，則A、x0不是f(x)g(x)的駐點(diǎn)．B、x0是f(x)g(x)的駐點(diǎn)，但不是f(x)g(x)的極值點(diǎn)．C、x0是f(x)g(x)的駐點(diǎn)，且是f(x)g(x)的極小值點(diǎn)．D、x0是f(x)g(x)的駐點(diǎn)，且是f(x)g(x)的極大值點(diǎn)．標(biāo)準(zhǔn)答案：D．知識(shí)點(diǎn)解析：由于[f(x)g(x)]’=f’(x0)g(x0)+f(x0)g’(x0)=0，因此x=x0是f(x)g(x)的駐點(diǎn)，進(jìn)一步考察是否是它的極值點(diǎn)．由條件f’(x0)g’(x0)＜0→f’(x0)＜0，g’(x0)＞0(或f’(x0)＞0，g’(x0)＜0)．由→x∈(x0，x0+δ)時(shí)f(x)＜0(＞0)，g(x)＞0(＜0)；x∈(x0一δ，x0)時(shí)f(x)>0(<0)，g(x)<0(>0)→x∈(x0—δ，x0+δ)，x≠x0時(shí)f(x)g(x)＜0=f(x0)g(x0)→x=x0是f(x)g(x)的極大值點(diǎn)．因此選D．3、曲線y=的拐點(diǎn)的個(gè)數(shù)為A、0個(gè)．B、1個(gè)．C、2個(gè)．D、3個(gè)．標(biāo)準(zhǔn)答案：D．知識(shí)點(diǎn)解析：4、設(shè)D={(x，y)｜x+y≥1，x2+y2≤1}，則I=(x2+y2)dσ的值為A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：直接用極坐標(biāo)變換(x=rcosθ，y=rsinθ)．D的極坐標(biāo)表示是因此選B．5、函數(shù)u=xyz2在條件x2+y2+z2=4(x＞0，y＞0，z＞0)下的最大值是A、．B、1．C、2．D、3．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：用拉格朗日乘子法求解．令F(x，y，z)=xyz2+λ(x2+y2+z2—4)，則因存在最大值，又駐點(diǎn)唯一，所以最大值為u==2．應(yīng)選C．6、已知｜A｜==9，則代數(shù)余子式A21+A22=A、3．B、6．C、9．D、12．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：對(duì)行列式｜A｜按第2行展開，有2A21+2A22+A23+A24=9．①構(gòu)造行列式則｜A｜和｜B｜第2行元素代數(shù)余子式相同．對(duì)｜B｜按第2行展開，又有A21+A22+2A23+2A24=｜B｜=0．②聯(lián)立①，②可得A21+A22=6．故選B．7、設(shè)n維列向量，矩陣A=E一4ααT，其中E是n階單位矩陣，若n維列向量β=(1，1，…，1)T，則向量AB的長(zhǎng)度為A、．B、．C、n．D、n2標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：利用向量?jī)?nèi)積可計(jì)算出向量的長(zhǎng)度．由于又ATA=(E一4ααT)T(E一4ααT)=(E一4ααT)(E一4ααT)=E一8ααT+16α(αTα)αT=E一8ααT+8ααT=E，二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)8、設(shè)函數(shù)f(x)在(—1,1)內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且滿足f’(0)=1，則=________標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：所求極限是“∞一∞”型未定式，可通分化為“”型未定式求極限。9、x軸上方的星形線：=1(—1≤x≤1)與x軸所圍區(qū)域的面積S=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：x軸上方的星形線表達(dá)式為10、設(shè)y=sin4x，則y(n)=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：先分解11、函數(shù)f(x)=e—xsinx(x∈[0，+∞))的值域區(qū)間為________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：定義在某區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)y(x)，若有最大值M和最小值m，則y(x)的值域就是[m，M]．f(x)=e—xsinx在[0，+∞)內(nèi)連續(xù)．由f’(x)=e—x(cosx—sinx)==0，解得f(x)的駐點(diǎn)為xk=kπ+(k=0，1，2，…)，于是f(xk)=，其中f(x0)，f(x2)，f(x4)，…為正數(shù)，最大者為f(x0)=；而f(x1)，f(x3)，f(x5)，…為負(fù)數(shù)，最小者為f(x1)=．又f(0)=0，=0，所以f(x)在[0，+∞)的最小值為，因此f(x)的值域?yàn)椤?2、設(shè)x=rcosθ，y=rsinθ，則直角坐標(biāo)系xOy中的累次積分可化為極坐標(biāo)系(r，θ)中的累次積分是_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)累次積分，對(duì)應(yīng)的二重積分為，則積分區(qū)域D：{(x，y)｜0≤x≤2，x≤y≤}，如圖，令x=rcosθ，y=rsinθ，在極坐標(biāo)系(r，θ)中，y=x的極坐標(biāo)方程是的極坐標(biāo)方程是，x=2的極坐標(biāo)方程是r=，從而積分區(qū)域13、已知α1=(1，2，—1)T，α2=(1，—3，2)T，α3=(4，11，一6)T，若Aα1=(0，2)T，Aα2=(5，2)T，Aα3=(一3，7)T，則A=__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：用分塊矩陣把已知條件組合起來，有A(α1，α2，α3)=因?yàn)椋?，α2，α3｜=≠0，所以矩陣(α1，α2，α3)可逆．于是三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)14、設(shè)函數(shù)f(x)在(0，+∞)內(nèi)可導(dǎo)，f(x)＞0，，且，x∈(0，+∞)．(Ⅰ)求f(x)；(Ⅱ)求證：f(x)在(0，+∞)上有界．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)題設(shè)中等式左端的極限為1∞型，先轉(zhuǎn)化成(Ⅱ)因f(x)在(0，+∞)連續(xù)，又，所以f(x)在(0，+∞)上有界．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析15、設(shè)f(x)=(Ⅰ)求證：f(x)在[0，+∞)上連續(xù)又f’(x)=(x＞0)；(Ⅱ)求f(x)在[0，+∞)的單調(diào)性區(qū)間；(Ⅲ)求f(x)在[0，+∞)的最大值與最小值．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)當(dāng)x＞0時(shí)f(x)與初等函數(shù)e—x+相同，故連續(xù)．又即f(x)在x=0處右連續(xù)，因此f(x)在[0，+∞)上連續(xù)．再求知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析16、設(shè)曲線L的參數(shù)方程為x=φ(t)=t—sint，y=ψ(t)=1一cost(0≤t≤2π)．(Ⅰ)求證：由L的參數(shù)方程確定連續(xù)函數(shù)y=y(x)，并求它的定義域；(Ⅱ)求曲線L與x軸所圍圖形繞Oy軸旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體的體積V；(Ⅲ)設(shè)曲線L與x軸圍成的平面圖形的形心為。標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)φ’(t)=1一cost＞0(t∈(0，2π)，φ’(0)=φ’(2π)=0，又φ(t)在[0，2π]連續(xù)→φ(t)在[0，2π]，值域?yàn)閇φ(0)，φ(2π)]=[0，2π]→x=φ(t)在[0，2π]連續(xù)的反函數(shù)t=t(x)，定義域?yàn)閇0，2π]→y=ψ[t(x)]y(x)在[0，2π]上連續(xù)．Ⅱ由旋轉(zhuǎn)體的體積公式，有知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、設(shè)函數(shù)f(x)在[0，+∞)內(nèi)二階可導(dǎo)，并當(dāng)x＞0時(shí)滿足xf"(x)+3x[f’(x)]2≤1一e—x．(Ⅰ)求證：當(dāng)x＞0時(shí)f"(x)＜1．(Ⅱ)又設(shè)f(0)=f’(0)=0，求證：當(dāng)x＞0時(shí)f(x)＜x2．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)由假設(shè)條件有令F(x)=x一(1一e—x)=x+e—x一1，→F(0)=0，F(xiàn)’(x)=1—e—x＞0(x＞0)→F(x)在[0，+∞)單調(diào)增加，F(xiàn)(x)＞F(0)=0(x＞0)，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、設(shè)函數(shù)f(u)有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，f(0)=1，且函數(shù)(x≠0)，求x的表達(dá)式．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、計(jì)算二重積分I=｜sin(x—y)｜dxdy，其中D：0≤x≤2π，x≤y≤2π．標(biāo)準(zhǔn)答案：利用對(duì)稱性，與D關(guān)于y=x對(duì)稱的區(qū)域記為D*，又記f(x，y)=｜sin(x一y)｜=f(y，x)，則知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、設(shè)f(x)在(—∞，+∞)內(nèi)一階可導(dǎo)，求證：(Ⅰ)若f(x)在(—∞，+∞)是凹函數(shù)，則；(Ⅱ)若f(x)在(—∞，+∞)內(nèi)二階可導(dǎo)，又存在極限，則存在ξ∈(—∞，+∞)，使得f"(ξ)=0．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)由f’(x)≠0→存在x0∈(一∞，+∞)，f’(x0)＞0或f’(x0)＜0．由凹性→’Ⅱ反證法．若結(jié)論不成立，則x∈(一∞，+∞)，f"(x)＞0或f"(x)＜0．若f"(x)＞0(x)→y=f(x)在(一∞，+∞)為凹函數(shù)，由題(Ⅰ)→=+∞或=+∞，與已知矛盾．若f"(x)＜0(x)→y=一f(x)在(一∞，+∞)為凹函數(shù)，同樣得矛盾．因此，存在ξ∈(一∞，+∞)，使得f"(ξ)=0．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、已知A是2×4矩陣，齊次方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系是η1=(1，3，0，2)T，η2=(1，2，—1，3)T，又知齊次方程組Bx=0的基礎(chǔ)解系是β1=(1，1，2，1)T，β2=(0，—3，1，0)T，(Ⅰ)求矩陣A；(Ⅱ)如果齊次線性方程組Az=0與Bx=0有非零公共解，求a的值并求公共解．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)記C=(η1，η2)，由AC=A(η1，η2)=0知CTAT=0，則矩陣AT的列向量(即矩陣A的行向量)是齊次線性方程組CTx=0的解．對(duì)CT作初等行變換，有得到CTx=0的基礎(chǔ)解系為α=(3，一1，1，0)T，α=(一5，1，0，1)T．所以矩陣A=(Ⅱ)設(shè)齊次線性方程組Ax=0與Bx=0的非零公共解為γ，則γ既可由η1，η2線性表出，也可由β1，β2線性表出，故可設(shè)y=x1η1+x2η2=一x3β1一x4β2，于是x1η1+x2η2+x3β1一x4β2=0．對(duì)(η1，η2，β1，β2)作初等行變換，有當(dāng)a=0時(shí)，解出x4=t，x3=一t，x2=一t，x1=2t．因此Ax=0與Bx=0的公共解為y=2tη1—tη2=t(1，4，1，1)T，其中t為任意常數(shù)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、已知A是3階矩陣，α1，α2，α3是3維線性無關(guān)列向量，且Aα1=3α1+3α2—2α3，Aα2=一α2，Aα3=8α+6α2—5α3．(Ⅰ)寫出與A相似的矩陣B；(Ⅱ)求A的特