人教版高中數(shù)學(xué)必修第二冊-10.1 隨機事件與概率【導(dǎo)學(xué)案】

10.1隨機事件與概率知伿概要1.隨機試驗隨機事件可以在相同條件下重復(fù)進(jìn)行;試驗的所有可能結(jié)果是明確可知的,并且不止一個;每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個,但事先不能確定出現(xiàn)哪一個結(jié)果.2.樣本點和樣本空間通常情況下,我們用表示樣本空間,用表示樣本點.3.事件的分類(1)隨機事件:是樣本空間的子集,簡稱“事件”,只包含一個樣本點的事件稱為基本事件.(2)必然事件:作為自身的子集,包含了所有的樣本點,在每次試驗中總有一個樣本點發(fā)生,所以總會發(fā)生,我們稱為必然事件.(3)不可能事件:空集不包含任何樣本點,在每次試驗中都不會發(fā)生,我們稱為不可能事件.4.古典概型一般地,如果隨機試驗的樣本空間的樣本點個數(shù)是有限的(簡稱為有限性),而且可以認(rèn)為每個樣本點發(fā)生的可能性是相等的(簡稱為等可能性),則將這樣的隨機試驗稱為古典概型試驗,其數(shù)學(xué)模型稱為古典概率模型(簡稱為古典概型).5.概率的性質(zhì)性質(zhì)1:對任意的事件,都有.性質(zhì)2:必然事件的概率為1,不可能事件的概率為,即.性質(zhì)3:如果事件與事件互斥,那么 推廣:如果事件兩兩互斥,那么事件發(fā)生的概率等于這個事件分別發(fā)生的概率之和,即.性質(zhì)如果事件和事件互為對立事件,那么.性質(zhì)5:如果,那么.性質(zhì)6:設(shè)是一個隨機試驗中的兩個事件,我們有.高妙思想【例1】指出下列事件是必然事件、不可能事件還是隨機事件:(1)中國運動員將在下屆奧運會上獲得首枚金牌;(2)三角形的兩邊之和大于第三邊;(3)沒有空氣和水,人類可以生存下去;(4)下屆奧運會上,我國運動員取得的金牌數(shù)排名第一;(5)無論科學(xué)技術(shù)多少發(fā)達(dá),“永動機”都不會出現(xiàn).解析由題意知,(1)(4)中事件可能發(fā)生,也可能不發(fā)生,所以是隨機事件.(2)所有三角形的兩邊之和都大于第三邊,所以是必然事件.(3)空氣和水是人類生存的必要條件,沒有空氣和水,人類無法生存,所以是不可能事件.(5)由能量守恒定律可知,不需任何能量的“永動機”不會出現(xiàn),所以是必然事件.點睛判斷一個事件是哪類事件的方法:一看條件,因為三種事件都是相對于一定條件而言的;二看結(jié)果是否發(fā)生,一定發(fā)生的是必然事件,不一定發(fā)生的是隨機事件,一定不發(fā)生的是不可能事件.【例2】同時轉(zhuǎn)動如圖所示的兩個轉(zhuǎn)盤,記轉(zhuǎn)盤甲得到的數(shù)為,轉(zhuǎn)盤乙得到的數(shù)為,結(jié)果為.（1）寫出這個試驗的樣本空間;（2）求這個試驗包含的樣本點的總數(shù);（3）用集合表示下列事件:=1\*GB3①;=2\*GB3②,且”;=3\*GB3③"".解析(1),.(2)樣本點總數(shù)為16.(3)(1)“”包含以下4個樣本點:.所以.(2)“,且”包含以下6個樣本點:.所以,.(3)“”包含以下3個樣本點:,.所以.點睛本題關(guān)鍵是不漏不重,用枚舉的方法去計算要求的指定事件.【例3】在試驗“連續(xù)拋鄭一枚硬幣3次,觀察落地后正面、反面出現(xiàn)的情況”中,設(shè)事件表示隨機事件“第一次出現(xiàn)正面”,事件表示隨機事件“3次出現(xiàn)同一面”,事件表示隨機事件“至少1次出現(xiàn)正面”.(1)試用樣本點表示事件,(2)試用樣本點表示事件,(3)試判斷事件與與與是否為互斥事件.解析用代表“出現(xiàn)正面”,用代表“出現(xiàn)反面”.,THT,TTH,TTT},,，,.(1),,,THH,THT,TTH,.(2)THH,THT,TTH,TTT,,,(3)因為HHH,HHT,HTT,HTH,所以與不互斥,與不互斥,與不互斥.變式1:（多選)下列各組事件中是互斥事件的是（）A.一個射手進(jìn)行一次射擊,命中環(huán)數(shù)大于8與命中環(huán)數(shù)小于6B.統(tǒng)計一個班的數(shù)學(xué)成績,平均分不低于90分與平均分不高于90分C.播種100粒菜籽,發(fā)芽90粒與發(fā)芽80粒D.檢驗?zāi)撤N產(chǎn)品,合格率高于與合格率低于解析對于,一個射手進(jìn)行一次射擊,命中環(huán)數(shù)大于8與命中環(huán)數(shù)小于6不可能同時發(fā)生,故中兩事件為互斥事件.對于,設(shè)事件為平均分不低于90分,事件為平均分不高于90分,則為平均分等于90分,可能同時發(fā)生,故它們不是互斥事件.對于C，播種菜籽100粒,發(fā)芽90粒與發(fā)芽80粒不可能同時發(fā)生,故中兩事件為互斥事件.對于,檢驗?zāi)撤N產(chǎn)品,合格率高于與合格率低于不可能同時發(fā)生,故中兩事件為互斥事件.故選ACD.變式2:拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子,有如下隨機事件:“點數(shù)為”,其中,“點數(shù)不大于“點數(shù)大于"點數(shù)大于“點數(shù)為奇數(shù)”,“點數(shù)為偶數(shù)”.判斷下列結(jié)論是否正確.(1)與互斥;(2)為對立事件;(3);(4);(5),(6)(7);(8)為對立事件;(9).解析該試驗的樣本空間可表示為,由題意知,.(1),滿足,所以與互斥,故正確.(2),滿足但不滿足,所以為互斥事件,但不是對立事件,故錯誤.根據(jù)對應(yīng)的集合易得,(3)(4)(5)(9)(10)正確.(6),所以,故正確.(7),故,正確.(8)因為,所以,為對立事件,故正確.點睛互斥事件與對立事件的關(guān)系:兩個事件與是互斥事件,包括如下三種情況:(1)若事件發(fā)生,則事件就不發(fā)生;(2)若事件發(fā)生,則事件就不發(fā)生;(3)事件都不發(fā)生.而兩個事件是對立事件,僅有前兩種情況,因此事件與是對立事件,則是必然事件,但若與是互斥事件,則不一定是必然事件,即事件的對立事件只有一個,而事件的互斥事件可以有多個.【例4】袋中有6個大小、質(zhì)地完全相同的球,其中4個白球,2個紅球,從袋中任意取出兩球,求下列事件的概率:(1)事件:取出的兩球都是白球;(2)事件:取出的兩球一個是白球,另一個是紅球.解析設(shè)4個白球的編號為,2個紅球的編號為5,6.從袋中的6個球中任取2個球的樣本空間,4),,,6),共有15個樣本點.(1)因為,所以,從而.(2)因為,,所以,從而.變式1:小李在做一份調(diào)查問卷,共有5道題,其中有兩種題型,一種是選擇題,共3道,另一種是填空題,共2道.(1)小李從中任選2道題解答,每一次選一題(不放回),求所選的題不是同一種題型的概率;(2)小李從中任選2道題解答,每一次選一題(有放回),求所選的題不是同一種題型的概率.解析將3道選擇題依次編號為1,2,道填空題依次編號為4,5.(1)從5道題中任選2道題解答,每一次選一題(不放回),則樣本空間,,,,共20個樣本點,而且這些樣本,點發(fā)生的可能性是相等的.設(shè)事件為“所選的題不是同一種題型”,則事件,共12個樣本點,所以(2)從5道題中任選2道題解答,每一次選一題(有放回),則樣本空間,,,,,共25個樣本點,而且這些樣本點發(fā)生的可能性是相等的.設(shè)事件為“所選的題不是同一種題型”,由(1)知所選題不是同一種題型的樣本點共12個,所以.點睛古典概型的計算一般經(jīng)歷三個步驟:(1)算出樣本空間所包含的樣本點的總個數(shù)(2)求出事件所包含的樣本點個數(shù);(3)代入公式求出概率.變式從含有2件正品和1件次品的三件產(chǎn)品中,每次任取一件.(1)若每次取后不放回,連續(xù)取2次,求取出的兩件產(chǎn)品中恰有一件次品的概率;(2)若每次取后放回,連續(xù)取2次,求取出的兩件產(chǎn)品中恰有一件次品的概率.解析(1)每次取出一個,取后不放回地連續(xù)取兩次,其一切可能的結(jié)果組成的樣本點有6個,即,.其中小括號內(nèi)左邊的字母表示第1次取出的產(chǎn)品,右邊的字母表示第2次取出的產(chǎn)品.總的事件個數(shù)為6,而且可以認(rèn)為這些樣本點是等可能的.設(shè)事件為“取出的兩件中恰有一件次品",所以,所以.從而.(2)有放回地連續(xù)取出兩件,其所有可能的結(jié)果為,,共9個樣本點.由于每一件產(chǎn)品被取到的機會均等,故可以認(rèn)為這些樣本點的出現(xiàn)是等可能的.設(shè)事件為“恰有一件次品”,則,所以,從而.【例5】古代“五行”學(xué)說認(rèn)為:“物質(zhì)分金、木、水、火、土五種屬性,金克木，木克土，土克水,水克火,火克金."從五種不同屬性的物質(zhì)中隨機抽取兩種,則抽取的兩種物質(zhì)不相克的概率為（）A. B. C. D.解析試驗的樣本空間金木,金水,金火,金土,木水,木火,木土,水火,水土,火土},共10個樣本點,事件“抽取的兩種物質(zhì)不相克”包含5個樣本點,故其概率為.故選C.變式1:某射擊運動員在一次射擊中射中10環(huán)、9環(huán)、8環(huán)、7環(huán)、7環(huán)以下的概率分別為.計算這個運動員在一次射擊中,（1）射中10環(huán)或9環(huán)的概率;（2）至少射中7環(huán)的概率;（3）射中環(huán)數(shù)小于8環(huán)的概率.解析設(shè)“射中10環(huán)”“射中9環(huán)”“射中8環(huán)”“射中7環(huán)”“射中7環(huán)以下”的事件分別為,則(1).所以射中10環(huán)或9環(huán)的概率為.（2）因為射中7環(huán)以下的概率為,所以由對立事件的概率公式得,至少射中7環(huán)的概率為.(3)事件“射中環(huán)數(shù)小于8環(huán)”包含事件“射中7環(huán)"與事件“射中7環(huán)以下”兩個事件,則(射中環(huán)數(shù)小于8環(huán)).變式2:在擲骰子的游戲中,向上的數(shù)字是5或6的概率是（）A. B. C. D.1解析事件“向上的數(shù)字是5”與事件“向上的數(shù)字是6”為互斥事件,且二者發(fā)生的概率都是,所以“向上的數(shù)字是5或6”的概率是.故選B.點睛回答含“至多”“至少”等詞語的概率問題應(yīng)注意以下幾點:(1)互斥事件的概率加法公式;(2)當(dāng)求解的問題中有“至多”“至少”“最少”等關(guān)鍵詞語時,常?？紤]其反面,通過求其反面,然后轉(zhuǎn)化為所求問題.【例6】聯(lián)歡會上設(shè)有一個抽獎游戲.抽獎箱中共有12張紙條,分一等獎、二等獎、三等獎、謝謝光臨四種.從中任取一張,不中獎的概率為,中二等獎或三等獎的概率為.(1)求任取一張,中一等獎的概率;(2)若中一等獎或二等獎的概率是,求任取一張,中三等獎的概率.解析(1)設(shè)任取一張,抽得一等獎、二等獎、三等獎、謝謝光臨的事件分別為,,它們是互斥事件.由題意得.由對立事件的概率公式得,所以任取一張,中一等獎的概率為.(2)因為,又,所以,又,所以,所以任取一張,中三等獎的概率為.點睛求復(fù)雜互斥事件概率的兩種方法:(1)將所求事件的概率分解為一些彼此互斥的事件的概率的和;(2)先求該事件的對立事件的概率,再由求解.當(dāng)題目涉及“至多”“至少”問題時，多考慮間接法.鞏固提高強化訓(xùn)練一、單選題1.關(guān)于樣本點、樣本空間,下列說法錯誤的是（）A.樣本點是構(gòu)成樣本空間的元素 B.樣本點是構(gòu)成隨機事件的元素C.隨機事件是樣本空間的子集 D.隨機事件中樣本點的個數(shù)可能比樣本空間中的多2.易經(jīng)》是中國文化的精髓,下圖是易經(jīng)八卦圖(含乾、坤、巽、震、坎、離、艮、兄八卦)，每一卦由三根線組成(一表示一根陽線,一口表示一根陰線).從八卦中任取一卦,這一卦的三根線中恰有3根陽線的概率為（）A. B. C. D.3.一批產(chǎn)品共有100件,其中5件是次品,95件是合格品.從這批產(chǎn)品中任意抽取5件,現(xiàn)給出以下四個事件:事件:恰有1件次品; 事件:至少有2件次品;事件:至少有1件次品； 事件:至多有1件次品.并給出以下結(jié)論:(1);(2)是必然事件;(3)（4）其中正確結(jié)論的序號是（）A.(1)(2) B.(3)(4) C.(1)(3) D.(2)(3)4.從裝有3個紅球和3個白球的口袋里任取3個球,那么互斥而不對立的兩個事件是（）A.至少2個白球,都是紅球 B.至少1個白球,至少1個紅球C.至少2個白球,至多1個白球 D.恰好1個白球,恰好2個紅球5.將一枚質(zhì)地均勻的骰子向上拋鄭1次.設(shè)事件表示向上的一面出現(xiàn)奇數(shù)點,事件表示向上的一面出現(xiàn)的點數(shù)不超過3,事件表示向上的一面出現(xiàn)的點數(shù)不小于4,則（）A.與是互斥而非對立事件 B.與是對立事件C.與是互斥而非對立事件 D.與是對立事件6.生物實驗室有5只兔子,只有其中3只測量過某項指標(biāo),若從這5只兔子中隨機取出3只,則恰有2只測量過該指標(biāo)的概率為（）A. B. C. D.7.如果事件互斥,記分別為事件的對立事件,那么（）A.是必然事件 B.是必然事件C.與一定互斥 D.與一定不互斥8.某袋中有編號為的6個小球(小球除編號外完全相同),甲先從袋中摸出一個球,記下編號后放回,乙再從袋中摸出一個球,記下編號,則甲、乙兩人所摸出球的編號不同的概率是（）A. B. C. D.二、多選題9.射擊訓(xùn)練中,某運動員最近幾次的環(huán)數(shù)情況如下表：射擊次數(shù)射中7環(huán)或8環(huán)的次數(shù)射中9環(huán)或10環(huán)的次數(shù)1005518記該運動員在一次射擊訓(xùn)練中,射中7環(huán)或8環(huán)為事件,射中9環(huán)或10環(huán)為事件,低于7環(huán)為事件.用頻率估計概率的方法,得到的下述結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.10.某人有6把鑰匙,其中把能打開門.如果隨機地取一把鑰匙試著開門,把不能開門的鑰匙扔掉,設(shè)第二次才能打開門的概率為,則下列結(jié)論正確的是（）A.當(dāng)時, B.當(dāng)時,C.當(dāng)時, D.當(dāng)時,11.下列命題不正確的是（）A.事件發(fā)生的概率等于事件發(fā)生的頻率.B.一個質(zhì)地均勻的骰子鄭一次得到3點的概率是,說明這個骨子擲6次一定會出現(xiàn)一次3點.C.鄭兩枚質(zhì)地均勻的硬幣,事件為“一枚正面朝上,一枚反面朝上",事件為“兩枚都是正面朝上”,則.D.對于兩個事件,若,則事件與事件互斥.三、填空題12.拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子,落地后記事件為“奇數(shù)點向上”,事件為“偶數(shù)點向上”,事件為“向上的點數(shù)是2的倍數(shù)”,事件為“2點或4點向上”.則下列每對事件互斥但不對立的是.(填序號)(1)與; (2)與; (3)與; (4)與.13.對飛機連續(xù)射擊兩次,每次發(fā)射一枚炮彈.設(shè)兩次都擊中飛機兩次都沒擊中飛機恰有一枚炮彈擊中飛機至少有一枚炮彈擊中飛機,其中互為互斥事件的是,互為對立事件的是14.甲、乙兩人做擲骰子游戲,兩人鄭同一枚骰子各一次,則至少出現(xiàn)一個5點或6點的概率是;如果誰鄭的點數(shù)大誰就取勝,則甲取勝的概率為15.若隨機事件互斥,發(fā)生的概率均不等于0,且分別為,,則實數(shù)的取值范圍為四、解答題16.一個袋子中有大小和質(zhì)地相同的4個球,其中有2個紅色球(標(biāo)號為1和2)、2個綠色球(標(biāo)號為3和4),從袋中不放回地依次隨機摸出2個球.設(shè)事件為“第一次摸到紅球”,事件為“第二次摸到紅球”,事件為“兩次都摸到紅球”,事件為“兩次都摸到綠球”,事件為“兩次摸到的球顏色相同”,事件為“兩次摸到的球顏色不同”.(1)用集合的形式分別寫出試驗的樣本空間以及上述各事件；(2)事件與與與之間各有什么關(guān)系?(3)事件與事件的并事件與事件有什么關(guān)系?事件與事件的交事件與事件有什么關(guān)系?17.判斷下列給出的每對事件,是否為互斥事件,是否為對立事件,并說明理由.從40張撲克牌(紅桃、黑桃、方塊、梅花點數(shù)從各10張)中,任取一張.(1)“抽出紅桃”與“抽出黑桃”;(2)“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”;(3)“抽出的牌點數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出的牌點數(shù)大于9”.18.為了解一種植物果實的情況,隨機抽取一批該植物果實樣本測量重量(單位:克),按照，分為5組,其頻率分布直方圖如圖所示.(1)求圖中的值;(2)估計這種植物果實重量的平均數(shù)和方差(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表);（3）已知這種植物果實重量不低于克的即為優(yōu)質(zhì)果實.若所取樣本容量40,從該樣本分布在和,的果實中,隨機抽取2個,求抽到的都是優(yōu)質(zhì)果實的概率.1