陜西省商洛市洛南縣2021-2022學(xué)年高三第五次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知等比數(shù)列滿足，，等差數(shù)列中，為數(shù)列的前項(xiàng)和，則（）A．36 B．72 C． D．2．已知點(diǎn)P不在直線l、m上，則“過(guò)點(diǎn)P可以作無(wú)數(shù)個(gè)平面，使得直線l、m都與這些平面平行”是“直線l、m互相平行”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件3．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為則（）A． B． C． D．4．已知函數(shù)為奇函數(shù)，且，則（）A．2 B．5 C．1 D．35．從某市的中學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查了部分男生，獲得了他們的身高數(shù)據(jù)，整理得到如下頻率分布直方圖：根據(jù)頻率分布直方圖，可知這部分男生的身高的中位數(shù)的估計(jì)值為A． B．C． D．6．根據(jù)最小二乘法由一組樣本點(diǎn)（其中），求得的回歸方程是，則下列說(shuō)法正確的是()A．至少有一個(gè)樣本點(diǎn)落在回歸直線上B．若所有樣本點(diǎn)都在回歸直線上，則變量同的相關(guān)系數(shù)為1C．對(duì)所有的解釋變量（），的值一定與有誤差D．若回歸直線的斜率，則變量x與y正相關(guān)7．在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，使直線與圓相交的概率為（）A． B． C． D．8．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋}：，的否定是（）A．， B．，C．， D．，9．已知復(fù)數(shù)是正實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為()A． B． C． D．10．設(shè)，則，則（）A． B． C． D．11．在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，漸近線方程為的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A． B． C． D．12．已知，，則的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．命題“”的否定是______．14．已知公差大于零的等差數(shù)列中，、、依次成等比數(shù)列，則的值是__________．15．如圖,已知，，為的中點(diǎn)，為以為直徑的圓上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是_____．16．已知盒中有2個(gè)紅球，2個(gè)黃球，且每種顏色的兩個(gè)球均按，編號(hào)，現(xiàn)從中摸出2個(gè)球（除顏色與編號(hào)外球沒(méi)有區(qū)別），則恰好同時(shí)包含字母，的概率為________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的離心率為，且過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)在第一象限，為左頂點(diǎn)，為下頂點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若，求點(diǎn)的坐標(biāo).18．（12分）設(shè)為實(shí)數(shù),在極坐標(biāo)系中,已知圓（）與直線相切,求的值．19．（12分）某調(diào)查機(jī)構(gòu)為了了解某產(chǎn)品年產(chǎn)量x(噸)對(duì)價(jià)格y(千克/噸)和利潤(rùn)z的影響，對(duì)近五年該產(chǎn)品的年產(chǎn)量和價(jià)格統(tǒng)計(jì)如下表：x12345y17.016.515.513.812.2（1）求y關(guān)于x的線性回歸方程；（2）若每噸該產(chǎn)品的成本為12千元，假設(shè)該產(chǎn)品可全部賣出，預(yù)測(cè)當(dāng)年產(chǎn)量為多少時(shí)，年利潤(rùn)w取到最大值？參考公式：20．（12分）如圖，在正四棱錐中，，，為上的四等分點(diǎn)，即．（1）證明：平面平面；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值．21．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線C：，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為（）.（1）求拋物線C的極坐標(biāo)方程；（2）若拋物線C與直線l交于A，B兩點(diǎn)，求的值.22．（10分）已知函數(shù)，其中，．（1）當(dāng)時(shí)，求的值；（2）當(dāng)?shù)淖钚≌芷跒闀r(shí)，求在上的值域．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．A【解析】

根據(jù)是與的等比中項(xiàng)，可求得，再利用等差數(shù)列求和公式即可得到.【詳解】等比數(shù)列滿足，，所以，又，所以，由等差數(shù)列的性質(zhì)可得.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查的是等比數(shù)列的性質(zhì)，考查等差數(shù)列的求和公式，考查學(xué)生的計(jì)算能力，是中檔題.2．C【解析】

根據(jù)直線和平面平行的性質(zhì)，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可．【詳解】點(diǎn)不在直線、上，若直線、互相平行，則過(guò)點(diǎn)可以作無(wú)數(shù)個(gè)平面，使得直線、都與這些平面平行，即必要性成立，若過(guò)點(diǎn)可以作無(wú)數(shù)個(gè)平面，使得直線、都與這些平面平行，則直線、互相平行成立，反證法證明如下：若直線、互相不平行，則，異面或相交，則過(guò)點(diǎn)只能作一個(gè)平面同時(shí)和兩條直線平行，則與條件矛盾，即充分性成立則“過(guò)點(diǎn)可以作無(wú)數(shù)個(gè)平面，使得直線、都與這些平面平行”是“直線、互相平行”的充要條件，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結(jié)合空間直線和平面平行的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．3．B【解析】

求得復(fù)數(shù)，結(jié)合復(fù)數(shù)除法運(yùn)算，求得的值.【詳解】易知，則.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)及其坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)，考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.4．B【解析】

由函數(shù)為奇函數(shù),則有,代入已知即可求得.【詳解】.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查奇偶性在抽象函數(shù)中的應(yīng)用,考查學(xué)生分析問(wèn)題的能力,難度較易.5．C【解析】

由題可得，解得，則，，所以這部分男生的身高的中位數(shù)的估計(jì)值為，故選C．6．D【解析】

對(duì)每一個(gè)選項(xiàng)逐一分析判斷得解.【詳解】回歸直線必過(guò)樣本數(shù)據(jù)中心點(diǎn)，但樣本點(diǎn)可能全部不在回歸直線上﹐故A錯(cuò)誤；所有樣本點(diǎn)都在回歸直線上，則變量間的相關(guān)系數(shù)為，故B錯(cuò)誤；若所有的樣本點(diǎn)都在回歸直線上，則的值與相等，故C錯(cuò)誤；相關(guān)系數(shù)r與符號(hào)相同，若回歸直線的斜率，則，樣本點(diǎn)分布應(yīng)從左到右是上升的，則變量x與y正相關(guān)，故D正確．故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查線性回歸方程的性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.7．C【解析】

根據(jù)直線與圓相交，可求出k的取值范圍，根據(jù)幾何概型可求出相交的概率.【詳解】因?yàn)閳A心，半徑，直線與圓相交，所以，解得所以相交的概率,故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系，幾何概型，屬于中檔題.8．D【解析】

根據(jù)命題的否定的定義，全稱命題的否定是特稱命題求解.【詳解】因?yàn)椋?，是全稱命題，所以其否定是特稱命題，即，.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查命題的否定，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎(chǔ)題.9．C【解析】

將復(fù)數(shù)化成標(biāo)準(zhǔn)形式，由題意可得實(shí)部大于零，虛部等于零，即可得到答案.【詳解】因?yàn)闉檎龑?shí)數(shù)，所以且，解得.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的基本定義，屬基礎(chǔ)題.10．A【解析】

根據(jù)換底公式可得，再化簡(jiǎn)，比較的大小，即得答案.【詳解】，，.，顯然.,即，，即.綜上，.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查換底公式和對(duì)數(shù)的運(yùn)算，屬于中檔題.11．B【解析】

根據(jù)所求雙曲線的漸近線方程為，可設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為k．再把點(diǎn)代入，求得k的值，可得要求的雙曲線的方程．【詳解】∵雙曲線的漸近線方程為設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為k．又在雙曲線上，則k=16-2=14,即雙曲線的方程為∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查用待定系數(shù)法求雙曲線的方程，雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．12．D【解析】

由指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)易得最小，利用作差法，結(jié)合對(duì)數(shù)換底公式及基本不等式的性質(zhì)即可比較和的大小關(guān)系，進(jìn)而得解.【詳解】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)可知，由對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)可知，，所以最??；而由對(duì)數(shù)換底公式化簡(jiǎn)可得由基本不等式可知，代入上式可得所以，綜上可知，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的化簡(jiǎn)變形，對(duì)數(shù)換底公式及基本不等式的簡(jiǎn)單應(yīng)用，作差法比較大小，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．，【解析】

根據(jù)特稱命題的否定為全稱命題得到結(jié)果即可.【詳解】解：因?yàn)樘胤Q命題的否定是全稱命題，所以，命題，則該命題的否定是：，故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題考查全稱命題與特稱命題的否定關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．14．【解析】

利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及等比中項(xiàng)的性質(zhì)，化簡(jiǎn)求出公差與的關(guān)系，然后轉(zhuǎn)化求解的值.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，由于、、依次成等比數(shù)列，則，即，，解得，因此，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式以及等比中項(xiàng)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.15．【解析】

建立合適的直角坐標(biāo)系,求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而可得的坐標(biāo)表示,利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求出的表達(dá)式,求出其最小值即可.【詳解】建立直角坐標(biāo)系如圖所示：則點(diǎn),,,設(shè)點(diǎn),所以,由平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示可得,,其中,因?yàn)?所以的最小值為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示和利用輔助角公式求最值;考查數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化與化歸能力、運(yùn)算求解能力;建立直角坐標(biāo)系,把表示為關(guān)于角的三角函數(shù),利用輔助角公式求最值是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題.16．【解析】

根據(jù)組合數(shù)得出所有情況數(shù)及兩個(gè)球顏色不相同的情況數(shù)，讓兩個(gè)球顏色不相同的情況數(shù)除以總情況數(shù)即為所求的概率．【詳解】從袋中任意地同時(shí)摸出兩個(gè)球共種情況，其中有種情況是兩個(gè)球顏色不相同；故其概率是故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了求事件概率，解題關(guān)鍵是掌握概率的基礎(chǔ)知識(shí)和組合數(shù)計(jì)算公式，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（1）；（2）【解析】

（1）由題意得，求出，進(jìn)而可得到橢圓的方程；（2）由（1）知點(diǎn)，坐標(biāo)，設(shè)直線的方程為，易知，可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，聯(lián)立方程，得到關(guān)于的一元二次方程，結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系，可用表示的坐標(biāo)，進(jìn)而由三點(diǎn)共線，即，可用表示的坐標(biāo)，再結(jié)合，可建立方程，從而求出的值，即可求得點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】（1）由題意得，解得，所以橢圓的方程為.（2）由（1）知點(diǎn)，，由題意可設(shè)直線的斜率為，則，所以直線的方程為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，聯(lián)立方程，消去得：.設(shè)，則，所以，所以，所以.設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)辄c(diǎn)三點(diǎn)共線，所以，即，所以，所以.因?yàn)椋?，即，所以，解得，又，所以符合題意，計(jì)算可得，，故點(diǎn)的坐標(biāo)為.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程的求法，考查直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查平行線的性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力，屬于難題.18．【解析】

將圓和直線化成普通方程.再根據(jù)相切,圓心到直線的距離等于半徑,列等式方程,解方程即可.【詳解】解:將圓化成普通方程為,整理得．將直線化成普通方程為．因?yàn)橄嗲?所以圓心到直線的距離等于半徑,即解得．【點(diǎn)睛】本題考查極坐標(biāo)方程與普通方程的互化,考查直線與圓的位置關(guān)系,是基礎(chǔ)題.19．（1）（2）當(dāng)時(shí)，年利潤(rùn)最大．【解析】

（1）方法一：令，先求得關(guān)于的回歸直線方程，由此求得關(guān)于的回歸直線方程.方法二：根據(jù)回歸直線方程計(jì)算公式，計(jì)算出回歸直線方程.方法一的好處在計(jì)算的數(shù)值較小.（2）求得w的表達(dá)式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)作出預(yù)測(cè).【詳解】（1）方法一：取，則得與的數(shù)據(jù)關(guān)系如下123457.06.55.53.82.2，，，.，，關(guān)于的線性回歸方程是即，故關(guān)于的線性回歸方程是.方法二：因?yàn)椋?，，，，所以，故關(guān)于的線性回歸方程是，（2）年利潤(rùn)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知:當(dāng)時(shí)，年利潤(rùn)最大．【點(diǎn)睛】本小題主要考查回歸直線方程的求法，考查利用回歸直線方程進(jìn)行預(yù)測(cè)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.20．（1）答案見(jiàn)解析．（2）【解析】

（1）根據(jù)題意可得，在中，利用余弦定理可得，然后同理可得，利用面面垂直的判定定理即可求解.（2）以為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，求出面的法向量為，的法向量為，利用空間向量的數(shù)量積即可求解.【詳解】（1）由由因?yàn)槭钦睦忮F，故于是，由余弦定理，在中，設(shè)再用余弦定理，在中，∴是直角，同理，而在平面上，∴平面平面（2）以為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，如圖：則設(shè)面的法向量為，的法向量為則，取于是，二面角的余弦值為：【點(diǎn)睛】本題考查了面面垂直的判定定理、空間向量法求二面角，屬于基礎(chǔ)題.21．（1）（2）【解析】

(1)利用極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化公式，,即可求得結(jié)果.(2)由的幾何意義得,.將代入拋物線C的方程,利用韋達(dá)定理，，即可求得結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)?，，代入得，所以拋物線C的極坐標(biāo)方程為.（2）將代入拋物線C的方程得，所以，，所以，由的幾何意義得，.【點(diǎn)