新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第10章 第07講 離散型隨機(jī)變量及其分布列和數(shù)字特征 精講（解析版）

第07講離散型隨機(jī)變量及其分布列和數(shù)字特征(精講）目錄第一部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶第二部分：課前自我評(píng)估測(cè)試第三部分：典型例題剖析題型一：離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)題型二：求離散型隨機(jī)變量的分布列題型三：離散型隨機(jī)變量的均值與方差角度1：期望、方差的計(jì)算角度2：決策問(wèn)題第四部分：高考真題感悟第一部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶第一部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶知識(shí)點(diǎn)一：離散型隨機(jī)變量一般地，對(duì)于隨機(jī)試驗(yàn)樣本空間SKIPIF1<0中的每個(gè)樣本點(diǎn)SKIPIF1<0都有唯一的實(shí)數(shù)SKIPIF1<0與之對(duì)應(yīng)，我們稱SKIPIF1<0為隨機(jī)變量．表示：用大寫英文字母表示隨機(jī)變量，如SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；用小寫英文字母表示隨機(jī)變量的取值，如SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．知識(shí)點(diǎn)二：離散型隨機(jī)變量的分布列一般地，設(shè)離散型隨機(jī)變量SKIPIF1<0的可能取值為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0，我們稱SKIPIF1<0取每一個(gè)值SKIPIF1<0的概率SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的概率分布列，簡(jiǎn)稱分布列．SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0…SKIPIF1<0…SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0…SKIPIF1<0…SKIPIF1<0知識(shí)點(diǎn)三：離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)①SKIPIF1<0，SKIPIF1<0②SKIPIF1<0注意：①.列出隨機(jī)變量的所有可能取值；②.求出隨機(jī)變量的每一個(gè)值發(fā)生的概率.知識(shí)點(diǎn)四：離散型隨機(jī)變量的均值與方差（1）離散型隨機(jī)變量的均值的概念一般地，若離散型隨機(jī)變量SKIPIF1<0的概率分布為：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0…SKIPIF1<0…SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0…SKIPIF1<0…SKIPIF1<0則稱SKIPIF1<0為隨機(jī)變量SKIPIF1<0的均值(mean)或數(shù)學(xué)期望(mathematicalexpectation),數(shù)學(xué)期望簡(jiǎn)稱期望.（2）離散型隨機(jī)變量的方差的概念一般地，若離散型隨機(jī)變量SKIPIF1<0的概率分布列為：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0…SKIPIF1<0…SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0…SKIPIF1<0…SKIPIF1<0則稱SKIPIF1<0SKIPIF1<0為隨機(jī)變量SKIPIF1<0的方差，有時(shí)也記為SKIPIF1<0.稱SKIPIF1<0為隨機(jī)變量SKIPIF1<0的標(biāo)準(zhǔn)差.知識(shí)點(diǎn)五：均值與方差的性質(zhì)（1）SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0第二部分：課前自我評(píng)估測(cè)試第二部分：課前自我評(píng)估測(cè)試1．（2022·河南·鄧州市第一高級(jí)中學(xué)校高二期末（理））一臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)某種產(chǎn)品，如果生產(chǎn)出一件甲等品可獲利50元，生產(chǎn)出一件乙等品可獲利30元，生產(chǎn)一件次品，要賠20元，已知這臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)出甲等、乙等和次品的概率分別為0.6、0.3和0.1，則這臺(tái)機(jī)器每生產(chǎn)一件產(chǎn)品，平均預(yù)期可獲利（

）A．36元 B．37元 C．38元 D．39元【答案】B【詳解】由題意可得：設(shè)這臺(tái)機(jī)器每生產(chǎn)一件產(chǎn)品可獲利X，則X可能取的數(shù)值為50，30，SKIPIF1<0，所以X的分布列為：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以這臺(tái)機(jī)器每生產(chǎn)一件產(chǎn)品平均預(yù)期可獲利為：SKIPIF1<0（元）故選：B2．（2022·北京·東直門中學(xué)高二階段練習(xí)）若隨機(jī)變量SKIPIF1<0的分布列如表，則SKIPIF1<0的方差SKIPIF1<0是（

）SKIPIF1<0SKIPIF1<001SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．0 B．1 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】解：SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.故選：D.3．（2022·四川眉山·高二期末（文））若樣本數(shù)據(jù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0的標(biāo)準(zhǔn)差為4，則數(shù)據(jù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0的標(biāo)準(zhǔn)差為_(kāi)__________.【答案】8【詳解】由題設(shè)，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以新數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為8.故答案為：84．（2022·廣東潮州·高二期末）隨機(jī)變量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0___________.【答案】7【詳解】SKIPIF1<0故答案為:75．（2022·廣西玉林·模擬預(yù)測(cè)（理））離散型隨機(jī)變量SKIPIF1<0的分布列如表，則實(shí)數(shù)a＝________；E（SKIPIF1<0）＝________．SKIPIF1<0－101PSKIPIF1<0aSKIPIF1<0【答案】

SKIPIF1<0##SKIPIF1<0

SKIPIF1<0##SKIPIF1<0【詳解】由離散型隨機(jī)變量SKIPIF1<0的分布列得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0故答案為：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0第三部分：典型例題剖析第三部分：典型例題剖析題型一：離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)典型例題例題1．（2022·江西撫州·高二期末（理））設(shè)隨機(jī)變量SKIPIF1<0的分布列為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】由題意：SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0故選：C．例題2．（2022·全國(guó)·高二期末）某射擊運(yùn)動(dòng)員射擊一次所得環(huán)數(shù)SKIPIF1<0的分布列如下表所示.SKIPIF1<045678910SKIPIF1<00.030.050.070.080.26SKIPIF1<00.23則SKIPIF1<0（

）A．0.72 B．0.75 C．0.85 D．0.90【答案】C【詳解】由題意SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0．故選：C例題3．（2022·安徽·合肥市第九中學(xué)高二期中）若離散型隨機(jī)變量X的分布列服從兩點(diǎn)分布，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】因?yàn)閄的分布列服從兩點(diǎn)分布，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選：D同類題型歸類練1．（2022·吉林省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二階段練習(xí)）設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布列如下：則SKIPIF1<0（

）X－1012PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】由分布列性質(zhì)可得：SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0,故選：C2．（多選）（2022·廣東·深圳市寶安第一外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高二期中）已知隨機(jī)變量ξ的分布如下：則實(shí)數(shù)a的值為（

）ξ123PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．－SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】BC【詳解】由題可得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，經(jīng)檢驗(yàn)適合題意.故選：BC.3．（2022·吉林·長(zhǎng)春市第二實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二期中）設(shè)隨機(jī)變量SKIPIF1<0的分布列為SKIPIF1<0，（SKIPIF1<0），則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】ABC【詳解】選項(xiàng)A，由已知可得，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故該選項(xiàng)正確；選項(xiàng)B，SKIPIF1<0，故該選項(xiàng)正確；選項(xiàng)C，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故該選項(xiàng)正確；選項(xiàng)D，SKIPIF1<0，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABC.4（2022·山東·青島二中高二階段練習(xí)）隨機(jī)變量SKIPIF1<0的分布列如圖，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差數(shù)列，則SKIPIF1<0______．SKIPIF1<0-101SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0【答案】SKIPIF1<0【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差數(shù)列，故SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0故SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0題型二：求離散型隨機(jī)變量的分布列典型例題例題1．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知隨機(jī)變量SKIPIF1<0的分布列如表所示．SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<00123SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0(1)求隨機(jī)變量SKIPIF1<0的分布列；(2)若SKIPIF1<0，求實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍．【答案】(1)分布列見(jiàn)解析(2)SKIPIF1<0(1)由隨機(jī)變量SKIPIF1<0的分布列知，SKIPIF1<0的可能取值為0，1，4，9，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．可得隨機(jī)變量SKIPIF1<0的分布列如表所示．SKIPIF1<00149SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0(2)因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.∴實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0．例題2．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）有2件次品和3件正品混放在一起，現(xiàn)需要通過(guò)檢測(cè)將其區(qū)分，每次隨機(jī)檢測(cè)一件產(chǎn)品，檢測(cè)后不放回，直到檢測(cè)出2件次品或者檢測(cè)出3件正品時(shí)檢測(cè)結(jié)束．(1)求第一次檢測(cè)出的是次品且第二次檢測(cè)出的是正品的概率；(2)已知每檢測(cè)一件產(chǎn)品需要費(fèi)用100元，設(shè)SKIPIF1<0表示總檢測(cè)費(fèi)用（單位：元），求SKIPIF1<0的分布列．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)分布列見(jiàn)解析(1)設(shè)“第一次檢測(cè)出的是次品且第二次檢測(cè)出的是正品”為事件A，則SKIPIF1<0．(2)X的可能取值為200，300，400，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．故X的分布列為X200300400PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0例題3．（2022·廣東·深圳市高級(jí)中學(xué)高二期中）某市衛(wèi)生防疫部門為了控制某種病毒的傳染，提供了批號(hào)分別為SKIPIF1<0的四批疫苗，供全市所轄的SKIPIF1<0三個(gè)區(qū)市民注射，每個(gè)區(qū)均能從中任選一個(gè)批號(hào)的疫苗接種．(1)求三個(gè)區(qū)市民接種的疫苗批號(hào)中恰好有兩個(gè)區(qū)相同的概率；(2)記SKIPIF1<0三個(gè)區(qū)選擇的疫苗批號(hào)的中位數(shù)為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的分布列．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)答案見(jiàn)解析.(1)設(shè)“三個(gè)區(qū)市民接種的疫苗批號(hào)中恰好有兩個(gè)區(qū)相同”為事件A，則SKIPIF1<0.(2)隨機(jī)變量SKIPIF1<0的所有可能取值為：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的分布列為：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0同類題型歸類練1．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）有一種密碼，明文由三個(gè)字母組成，密碼由明文的這三個(gè)字母對(duì)應(yīng)的五個(gè)數(shù)字組成，編碼規(guī)則如下表．明文由表中每一排取一個(gè)字母組成，且第一排取的字母放在第一位，第二排取的字母放在第二位，第三排取的字母放在第三位，對(duì)應(yīng)的密碼由明文所取的這三個(gè)字母對(duì)應(yīng)的數(shù)字按相同的次序排成一組組成，如明文取的三個(gè)字母為AFP，則與它對(duì)應(yīng)的五個(gè)數(shù)字（密碼）就為11223．第一排明文字母ABC對(duì)應(yīng)數(shù)字111213第二排明文字母EFG對(duì)應(yīng)數(shù)字212223第三排明文字母MNP對(duì)應(yīng)數(shù)字123(1)假設(shè)明文是BGN，求這個(gè)明文對(duì)應(yīng)的密碼；(2)設(shè)隨機(jī)變量SKIPIF1<0表示密碼中所含不同數(shù)字的個(gè)數(shù)．①求SKIPIF1<0；②求隨機(jī)變量SKIPIF1<0的分布列．【答案】(1)12232；(2)①SKIPIF1<0；②分布列見(jiàn)解析.(1)這個(gè)明文對(duì)應(yīng)的密碼是12232．(2)①∵表格的第三、四列數(shù)字均由1，2組成，∴當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，只能取表格的第三、四列數(shù)字作為密碼，∴SKIPIF1<0．②由題意，可知SKIPIF1<0的取值為2，3兩種情形，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的分布列為SKIPIF1<023SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<02．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）袋中裝著標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5的小球各2個(gè)，從袋中任取3個(gè)小球，每個(gè)小球被取出的可能性都相等，用SKIPIF1<0表示取出的3個(gè)小球上的最大數(shù)字．(1)求取出的3個(gè)小球上的數(shù)字互不相同的概率；(2)求隨機(jī)變量SKIPIF1<0的分布列．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)分布列見(jiàn)解析(1)“取出的3個(gè)小球上的數(shù)字互不相同”記為事件SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為“取出的3個(gè)小球上有2個(gè)數(shù)字相同”，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．(2)由題意可知SKIPIF1<0的可能取值為2，3，4，5，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．可得SKIPIF1<0的分布列如表所示．SKIPIF1<02345SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<03．（2022·重慶市朝陽(yáng)中學(xué)高二期中）一個(gè)箱子里裝有5個(gè)大小相同的球，有3個(gè)白球，2個(gè)紅球，從中摸出2個(gè)球．(1)求摸出的2個(gè)球中有1個(gè)白球和1個(gè)紅球的概率；(2)用X表示摸出的2個(gè)球中的白球個(gè)數(shù)，求X的分布列．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)答案見(jiàn)解析(1)記SKIPIF1<0“摸出的2個(gè)球中有1個(gè)白球和1個(gè)紅球”，3個(gè)白球、2個(gè)紅球分別記為白1，白2，白3，紅1，紅2，從中摸出2個(gè)球有（白1白2），（白1白3），（白1紅1），（白1紅2），（白2白3），（白2紅1），（白2紅2），（白3紅1），（白3紅2），（紅1紅2）共10種情況，從中摸出的2個(gè)球中有1個(gè)白球和1個(gè)紅球有（白1紅1），（白1紅2），（白2紅1），（白2紅2），（白3紅1），（白3紅2）共6種情況，所以SKIPIF1<0，摸出的2個(gè)球中有1個(gè)白球和1個(gè)紅球的概率為SKIPIF1<0.(2)X表示摸出的2個(gè)球中的白球個(gè)數(shù)，則X可取SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則X的分布列為SKIPIF1<0012SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<04．（2022·山西省長(zhǎng)治市第二中學(xué)校高二階段練習(xí)）甲乙參加英語(yǔ)口語(yǔ)考試，已知在備選的10道試題中，甲能答對(duì)其中的6道題，乙能答對(duì)其中的8道題．規(guī)定每次考試都從備選題中隨機(jī)抽出3道題進(jìn)行考試，至少答對(duì)2道題才算合格．(1)若一次考試中甲答對(duì)的題數(shù)是SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的概率分布列，并求甲合格的概率；(2)若答對(duì)1題得5分，答錯(cuò)1題扣5分，記SKIPIF1<0為乙所得分?jǐn)?shù)，求SKIPIF1<0的概率分布列．【答案】(1)分布列見(jiàn)解析，SKIPIF1<0；(2)分布列見(jiàn)解析.(1)依題意，SKIPIF1<0的可能取值為0，1，2，3，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的分布列：SKIPIF1<00123SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以甲合格的概率SKIPIF1<0.(2)依題意，乙答3題，答對(duì)題數(shù)可能為1，2，3，則SKIPIF1<0的可能取值為-5，5，15，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的分布列：SKIPIF1<0-5515SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0題型三：離散型隨機(jī)變量的均值與方差角度1：期望、方差的計(jì)算典型例題例題1．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）某網(wǎng)約車司機(jī)統(tǒng)計(jì)了自己一天中出車一次的總路程SKIPIF1<0（單位：km）的可能取值是20，22，24，26，28，30，它們出現(xiàn)的概率依次是0.1，0.2，0.3，0.1，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的分布列，并求SKIPIF1<0的均值和方差；(2)若網(wǎng)約車計(jì)費(fèi)細(xì)則如下：起步價(jià)為5元，行駛路程不超過(guò)3km時(shí)，收費(fèi)5元，行駛路程超過(guò)3km時(shí)，則按每超出1km（不足1km也按1km計(jì)程）收費(fèi)3元計(jì)費(fèi)．試計(jì)算此人一天中出車一次收入的均值和方差．【答案】(1)分布列見(jiàn)解析，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；(2)均值為71元，方差為SKIPIF1<0.（1）由題意，得SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．∴X的分布列為X202224262830P0.10.20.30.10.10.2∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（2）設(shè)此人一天中出車一次的收入為Y元，則SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．故此人一天中出車一次收入的均值為71元，方差為95.4．例題2．（2022·陜西西安·高二期末（理））如圖，小明家住SKIPIF1<0小區(qū)，他每天早上騎自行車去學(xué)校SKIPIF1<0上學(xué)，從家到學(xué)校有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩條路線，SKIPIF1<0路線上有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三個(gè)路口，每個(gè)路口遇到紅燈的概率均為SKIPIF1<0；SKIPIF1<0路線上有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩個(gè)路口，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0路口遇到紅燈的概率分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)若走SKIPIF1<0路線，求遇到3次紅燈的概率；(2)若走SKIPIF1<0路線，變量SKIPIF1<0表示遇到紅燈次數(shù)，求SKIPIF1<0的分布列及數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)分布列答案見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望：SKIPIF1<0（1）設(shè)“走SKIPIF1<0路線遇到3次紅燈”為事件A，則SKIPIF1<0.（2）依題意，X的可能取值為SKIPIF1<0.則SKIPIF1<0,SKIPIF1<0；SKIPIF1<0.隨機(jī)變量X的分布列為：X012PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.例題3．（2022·貴州遵義·高二期末（理））不透明袋中裝有質(zhì)地，大小相同的4個(gè)紅球，SKIPIF1<0個(gè)白球，現(xiàn)從中不放回地取出2個(gè)球，若第一個(gè)取出的球是紅球，第二個(gè)取出的球是白球的概率為SKIPIF1<0．(1)求白球的個(gè)數(shù)SKIPIF1<0；(2)若有放回的取出兩個(gè)求，記取出的紅球個(gè)數(shù)為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0；SKIPIF1<0(1)解：由題意知，袋中裝有質(zhì)地，大小相同的4個(gè)紅球，m個(gè)白球，因?yàn)榈谝粋€(gè)取出的球是紅球，第二個(gè)取出的球是白球的概率為SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．(2)解：由題意，隨機(jī)變量SKIPIF1<0可能為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以隨機(jī)變量SKIPIF1<0的分布列為：SKIPIF1<0012SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0則期望為SKIPIF1<0，方差為SKIPIF1<0.例題4．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知隨機(jī)變量SKIPIF1<0的分布列如表所示，且SKIPIF1<0．SKIPIF1<001SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0(1)求SKIPIF1<0的值；(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值；(3)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(3)5（1）由題意可知SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．（2）∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．（3）∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．同類題型歸類練1．（2022·廣東·廣州市第十六中學(xué)高二期中）甲?乙兩人進(jìn)行定點(diǎn)投籃游戲，投籃者若投中，則繼續(xù)投籃，否則由對(duì)方投籃，第一次由甲投籃；已知每次投籃甲.乙命中的概率分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求第三次由乙投籃的概率；(2)在前3次投籃中，乙投籃的次數(shù)為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的分布列；(3)求SKIPIF1<0的期望及標(biāo)準(zhǔn)差.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)答案見(jiàn)解析(3)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(1)因?yàn)榈谌斡梢彝痘@包括第一次甲命中第二次甲未命中和第一次甲未命中第二次乙命中，所以SKIPIF1<0;(2)由題意，SKIPIF1<0可取0，1，2.P(ξ＝0)＝SKIPIF1<0；P(ξ＝1)＝SKIPIF1<0；P(ξ＝2)＝SKIPIF1<0.故ξ的分布列為：ξ012PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0(3)由（2）有E(ξ)＝SKIPIF1<0，D(ξ)＝SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.2．（2022·廣東·廣州市玉巖中學(xué)高二期中）已知隨機(jī)變量SKIPIF1<0的分布列如下，SKIPIF1<0012PSKIPIF1<0ba(1)求SKIPIF1<0的取值范圍；(2)當(dāng)a為何值時(shí)，SKIPIF1<0取最大值？并求出SKIPIF1<0的最大值.【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；(2)當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0取得最大值SKIPIF1<0.(1)依題意，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(2)由（1）知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0取得最大值SKIPIF1<0.3．（2022·北京通州·高二期末）一個(gè)袋子中裝有8個(gè)大小相同的球，其中有5個(gè)紅球，3個(gè)白球．(1)從袋子中任取1個(gè)球，設(shè)隨機(jī)變量SKIPIF1<0，X的分布列及SKIPIF1<0；(2)從袋子中依次不放回的取出3個(gè)球作為樣本，用隨機(jī)變量Y表示紅球的個(gè)數(shù)，求Y的分布列及SKIPIF1<0．【答案】(1)分布列見(jiàn)解析，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(2)分布列見(jiàn)解析，SKIPIF1<0(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，X的分布列為SKIPIF1<001SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(2)SKIPIF1<0的取值為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的分布列為SKIPIF1<00123SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.4．（2022·新疆·八一中學(xué)高二期末（理））袋中裝有大小相同的2個(gè)白球和3個(gè)黑球．(1)采取放回抽樣方式，從中依次摸出兩個(gè)球，求兩球顏色不同的概率；(2)采取不放回抽樣方式，從中依次模出兩個(gè)球，記SKIPIF1<0為摸出兩球中白球的個(gè)數(shù)，求SKIPIF1<0的期望和方差．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(1)記“摸出一球，放回后再摸出一個(gè)球，兩球顏色不同”為事件A，摸出一球是白球的概率為SKIPIF1<0，摸出一球是黑球的概率為SKIPIF1<0，由互斥事件和相互獨(dú)立事件的概率公式得到SKIPIF1<0．(2)由題意知，SKIPIF1<0的可能取值為0，1，2，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，表示摸出兩球中白球的個(gè)數(shù)為0，SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，表示摸出兩球中白球的個(gè)數(shù)為1，SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，表示摸出兩球中白球的個(gè)數(shù)為2，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．即摸出白球個(gè)數(shù)ξ的期望和方差分別是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．角度2：決策問(wèn)題典型例題例題1．（2022·陜西·寶雞市金臺(tái)區(qū)教育體育局教研室高二期末（理））為了響應(yīng)大學(xué)畢業(yè)生自主創(chuàng)業(yè)的號(hào)召，小李畢業(yè)后開(kāi)了水果店，水果店每天以每個(gè)5元的價(jià)格從農(nóng)場(chǎng)購(gòu)進(jìn)若干西瓜，然后以每個(gè)10元的價(jià)格出售．如果當(dāng)天賣不完，剩下的西瓜作贈(zèng)品處理．(1)若水果店一天購(gòu)進(jìn)16個(gè)西瓜，求當(dāng)天的利潤(rùn)SKIPIF1<0（單位：元）關(guān)于當(dāng)天需求量SKIPIF1<0（單位：個(gè)，SKIPIF1<0）的函數(shù)解析式；(2)水果店記錄了100天西瓜的日需求量（單位：個(gè)），整理得下表：日需求量SKIPIF1<014151617181920頻數(shù)10201616151310以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率．①若水果店一天購(gòu)進(jìn)16個(gè)西瓜，SKIPIF1<0表示當(dāng)天的利潤(rùn)（單位：元），求SKIPIF1<0的分布列、數(shù)學(xué)期望及方差；②若水果店計(jì)劃一天購(gòu)進(jìn)16個(gè)或17個(gè)西瓜，你認(rèn)為應(yīng)購(gòu)進(jìn)16個(gè)還是17個(gè)？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)①分布列見(jiàn)解析；期望為SKIPIF1<0，方差SKIPIF1<0；②應(yīng)購(gòu)進(jìn)17個(gè)；理由見(jiàn)解析(1)解：當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.(2)解：①依題意可得SKIPIF1<0的可能取值為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的分布列為SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．②購(gòu)進(jìn)SKIPIF1<0個(gè)時(shí)，當(dāng)天的利潤(rùn)為SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0因?yàn)镾KIPIF1<0，所以應(yīng)購(gòu)進(jìn)17個(gè)．例題2．（2022·黑龍江齊齊哈爾·高二期末）為迎接黨的“二十大”勝利召開(kāi)，學(xué)校計(jì)劃組織黨史知識(shí)競(jìng)賽.某班設(shè)計(jì)一個(gè)預(yù)選方案：選手從6道題中隨機(jī)抽取3道進(jìn)行回答.已知甲6道題中會(huì)4道，乙每道題答對(duì)的概率都是SKIPIF1<0，且每道題答對(duì)與否互不影響.(1)分別求出甲、乙兩人答對(duì)題數(shù)的概率分布列；(2)你認(rèn)為派誰(shuí)參加知識(shí)競(jìng)賽更合適，請(qǐng)說(shuō)明你的理由.【答案】(1)答案見(jiàn)解析；(2)甲，理由見(jiàn)解析.(1)設(shè)甲、乙答對(duì)的題數(shù)分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的可能取值為1，2，3，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0的分布列為SKIPIF1<0123SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0的可能取值為0，1，2，3，且SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的分布列為SKIPIF1<00123SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0(2)由（1）有SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0故兩人平均答對(duì)的題數(shù)相等，說(shuō)明實(shí)力相當(dāng)；但甲答對(duì)題數(shù)的方差比乙小，說(shuō)明甲發(fā)揮較為穩(wěn)定，因此推薦甲參加比賽更加合適.例題3．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）某公司全年圓滿完成預(yù)定的生產(chǎn)任務(wù)，為答謝各位員工一年來(lái)的銳意進(jìn)取和辛勤努力，公司決定在聯(lián)歡晚會(huì)后，擬通過(guò)摸球兌獎(jiǎng)的方式對(duì)500位員工進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，規(guī)定：每位員工從一個(gè)裝有4種面值的獎(jiǎng)券的箱子中，一次隨機(jī)摸出2張獎(jiǎng)券，獎(jiǎng)券上所標(biāo)的面值之和就是該員工所獲得的獎(jiǎng)勵(lì)額．(1)若箱子中所裝的4種面值的獎(jiǎng)券中有1張面值為80元，其余3張均為40元，試比較員工獲得80元獎(jiǎng)勵(lì)額與獲得120元獎(jiǎng)勵(lì)額的概率的大??；(2)公司對(duì)獎(jiǎng)勵(lì)總額的預(yù)算是6萬(wàn)元，預(yù)定箱子中所裝的4種面值的獎(jiǎng)券有兩種方案：第一方案是2張面值20元和2張面值100元；第二方案是2張面值40元和2張面值80元．為了使員工得到的獎(jiǎng)勵(lì)總額盡可能地符合公司的預(yù)算且每位員工所獲得的獎(jiǎng)勵(lì)額相對(duì)均衡，請(qǐng)問(wèn)選擇哪一種方案比較好？并說(shuō)明理由．【答案】(1)員工獲得80元獎(jiǎng)勵(lì)額與獲得120元獎(jiǎng)勵(lì)額的概率相等(2)應(yīng)選擇第二種方案；理由見(jiàn)解析(1)用X表示員工所獲得的獎(jiǎng)勵(lì)額．因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故員工獲得80元獎(jiǎng)勵(lì)額與獲得120元獎(jiǎng)勵(lì)額的概率相等．(2)第一種方案為SKIPIF1<0，設(shè)員工所獲得的獎(jiǎng)勵(lì)額為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的分布列為SKIPIF1<040120200PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0的數(shù)學(xué)期望為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的方差為SKIPIF1<0；第二種方案為SKIPIF1<0，設(shè)員工所獲得的獎(jiǎng)勵(lì)額為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的分布列為SKIPIF1<080120160PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0的數(shù)學(xué)期望為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的方差為SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0（元），所以兩種方案獎(jiǎng)勵(lì)額的數(shù)學(xué)期望都符合要求，但第二種方案的方差比第一種方案的小，故應(yīng)選擇第二種方案．同類題型歸類練1．（2022·河北張家口·高二期末）已知投資甲?乙兩個(gè)項(xiàng)目的利潤(rùn)率分別為隨機(jī)變量SKIPIF1<0和SKIPIF1<0.經(jīng)統(tǒng)計(jì)分析，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的分布列分別為表1：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0表2：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0(1)若在甲?乙兩個(gè)項(xiàng)目上各投資100萬(wàn)元，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0分別表示投資甲?乙兩項(xiàng)目所獲得的利潤(rùn)，求SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的數(shù)學(xué)期望和方差，并由此分析投資甲?乙兩項(xiàng)目的利弊；(2)若在甲?乙兩個(gè)項(xiàng)目總共投資100萬(wàn)元，求在甲?乙兩個(gè)項(xiàng)目上分別投資多少萬(wàn)元時(shí)，可使所獲利潤(rùn)的方差和最??？注：利潤(rùn)率SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，分析答案見(jiàn)解析(2)甲項(xiàng)目投資25萬(wàn)元，乙項(xiàng)目投資75萬(wàn)元(1)由題意，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0因此投資甲的平均利潤(rùn)18萬(wàn)元大于投資乙的平均利潤(rùn)17萬(wàn)元，但投資甲的方差48也遠(yuǎn)大于投資乙的方差16.所以投資甲的平均利潤(rùn)大，方差也大，相對(duì)不穩(wěn)定，而投資乙的平均利潤(rùn)小，方差也小，相對(duì)穩(wěn)定.若長(zhǎng)期投資可選擇投資甲，若短期投資可選投資乙.(2)設(shè)SKIPIF1<0萬(wàn)元投資甲，則SKIPIF1<0萬(wàn)元投資了乙，則投資甲的利潤(rùn)SKIPIF1<0，投資乙的利潤(rùn)SKIPIF1<0設(shè)SKIPIF1<0為投資甲所獲利潤(rùn)的方差與投資乙所獲利潤(rùn)的方差和，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0的值最小.故此時(shí)甲項(xiàng)目投資25萬(wàn)元，乙項(xiàng)目投資75萬(wàn)元，可使所獲利潤(rùn)的方差和最小.2．（2022·浙江·溫州市第八高級(jí)中學(xué)高二期中）某運(yùn)動(dòng)隊(duì)擬派出甲、乙兩人去參加自由式滑雪比賽．比賽分為初賽和決賽，其中初賽有兩輪，只有兩輪都獲勝才能進(jìn)入決賽，已知甲在每輪比賽中獲勝的概率均為SKIPIF1<0；乙在第一輪和第二輪獲勝的概率分別是p和SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0.(1)甲、乙兩人中，誰(shuí)進(jìn)入決賽的可能性最大；(2)若甲、乙兩人中恰有1人進(jìn)入決賽的概率為SKIPIF1<0，設(shè)進(jìn)入決賽的人數(shù)為ξ，試比較ξ的方差與SKIPIF1<0大?。敬鸢浮?1)甲進(jìn)決賽大(2)SKIPIF1<0(1)記甲、乙兩人進(jìn)入決賽的概率分別為SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，（SKIPIF1<0），所以，甲進(jìn)決賽的可能性最大；(2)由題知，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0得分布列：SKIPIF1<0012SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.3．（2022·重慶·萬(wàn)州純陽(yáng)中學(xué)校高二期中）為選拔奧運(yùn)會(huì)射擊選手，對(duì)甲、乙兩名射手進(jìn)行選拔測(cè)試.已知甲、乙兩名射手在一次射擊中的得分分別為兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，甲、乙兩名射手在每次射擊中擊中的環(huán)數(shù)均大于SKIPIF1<0環(huán)，且甲射中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0環(huán)的概率分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，乙射中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0環(huán)的概率分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的分布列；(2)求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的均值與方差，并以此比較甲、乙的射擊技術(shù)并從中選拔一人.【答案】(1)答案見(jiàn)解析；(2)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0