高中數(shù)學新教材人教A版選擇性必修培優(yōu)練習：07 直線的交點坐標與距離公式（學生版+解析版）

專題07直線的交點坐標與距離公式

一、單選題

1.（2020?洞口縣第九中學高二月考）過點尸（―1,3）且垂直于直線x-2y+3=O的直線方程為（）

A.2x4-y-1=0B.2x+y-5=OC.x+2y-5=0D.x-2y-7=0

2.（2020?吳江汾湖高級中學高一月考）與直線2x—y+l=0關(guān)于X軸對稱的直線方程為（）

A.2x+y+l=（）B.2x-y-l=（）

C.2x+y-1=0D,x-2y+l=0

3.（2019?瓦房店市實驗高級中學高二月考）兩條平行線4：3x-4y-1=0與4：6x-8y-7=0間的距離為

（）

136

A.—B.-C.-D.1

255

4.（2020?哈密市第十五中學高二期末）已知直線/過點（1,1）,且與直線6x-5y+4=0平行，貝U的方程

為（）

A.5x+6y-l1=0B.5x-6y+l=0

C.6x-5y-ll=0D.6x-5y—1=0

5.（2018?山西省山西大附中高二期中（文））已知點尸（1,2）與直線/：x+y+l=（）,則點P關(guān)于直線/的

對稱點坐標為

A.（-3,-1）B.（2,4）C.（-3,-2）D.（2,-2）

6.（2020?廣東省高三月考（文））己知直線小x+（w+1）y+m^O,/2：加什2），+1=0,則工〃/廣的必要不充

分條件是（）

A.m=-2B.m=lC.機=-2或，”=1D.??=2或〃i=l

7.（2018?山西省山西實驗中學高二期中）無論相取何值，直線（3機+l）x+（4〃z+l）y—12m—1=0都恒過

一個定點，則定點的坐標為（）

A.（-8,9）B.（9,-8）C.（15,-14）D.（-14,15）

8.（2019?浙江省鎮(zhèn)海中學高一期末）已知點（1,。）（。＞0）到直線/：x+y-2=（）的距離為1,則a的值為

（）

A.5/2B.2-V2C.V2-1D.V2+1

9.（2019?陜西省高三月考（理））已知直線/i：2x-y-2=0與直線自3x+y-8=0的交點為尸，則點尸到直

線/：產(chǎn)-的距離為（）

2X+A/5

A.B,把苔

55

C6-—5D6-亞

'-5-'5

10.（2018?山西省山西大附中高二期中（文））已知直線/過直線4:x—y+l=0與直線4：2x+3y—8=0的

交點，且點2（0,4）到直線/的距離為2,則這樣的直線/的條數(shù)為

A.0B.1C.2D.3

二、多選題

II.（2020.江蘇省啟東中學高一開學考試）（多選題）下列說法正確的是（）

A.直線x-y-2=0與兩坐標軸圍成的三角形的面積是2

B.點（0,2）關(guān)于直線y=x+l的對稱點為（1,1）

y-y,X-X,

C.過（如弘），（士,必）兩點的直線方程為［工=—^

%一M々一玉

D.經(jīng)過點（1,1）且在x軸和》軸上截距都相等的直線方程為x+y-2=0

12.（2018?全國單元測試）已知直線4：%一丁一1=0,動直線6：伏+DX+6+左=0（keR）,則下列結(jié)論

第送的是（）

A.不存在火，使得4的傾斜角為90°B.對任意的％,4與4都有公共點

c.對任意的女，4與（都不重合D.對任意的上,《與4都不率直

13.（2019?山東省高二期末）已知直線/：gx—y+l=0，則下列結(jié)論正確的是（）

A.直線/的傾斜角是巳B.若直線m：x—J§y+l=0,則/，加

C.點（Go）到直線/的距離是2D.過（2百,2）與直線/平行的直線方程是4=0

三、填空題

14.（2019?浙江省高三月考）已知兩條平行直線4：依+y+l=o與，2：x—y+3=0的距離為4,貝IJ

a-,d-.

15.（2020?江蘇省啟東中學高一開學考試）直線3x-4.y+5=0關(guān)于點”（2,-3）對稱的直線的方程為

16.（2020?山西省高二期末（文））將一張畫有直角坐標系的圖紙對折，使點A（0,2）與3（4,0）重合，若此

時點C（0,4）恰與點D重合，則點D的坐標是.

17.（2019?陜西省高二競賽）已知機，〃為正數(shù)，且直線九一（〃-2）），+5=0與直線以+加y-3=（）互相垂

直，則機+2〃的最小值為.

四、解答題

18.（2019?四川省仁壽一中高二期中（文））已知直線4經(jīng)過點8（-3,4）,直線4經(jīng)過。。,加），

D（-l,m+l）.

（1）若?！?,求實數(shù)利的值；

（2）若■，求實數(shù)利的值.

19.（2020?四川省高二期末（文））求經(jīng)過直線4：3x+2y—1=0和/2：5x+2y+l=0的交點，且平行于直

線Z,：3x—y+6=（）的直線的方程.

20.（2019?四川省綿陽南山中學高二期中（理））在AABC中，BC邊上的高所在直線的方程為x—2y+l=0,

NA的角平分線所在直線的方程為y=0,若點B的坐標為（1,2）,求點A和點C的坐標.

21.（2020.陜西省陜西師大附中高一期末）已知直線h：ax—y+b=0；12：bx+y+a=0（aGR,b6R）.

（1）直線h，12能否平行？說明理由；

（2）若直線1”L重合，求證：點P（a,b）與點Q（b,a）在同一條直線上；

（3）求證：兩條直線L，12的交點共線.

22.（2020?江蘇省啟東中學高一開學考試）已知直線/:（2a+/?）x+（a+?）y+a一8=0及點P（3,4）.

（1）證明直線/過某定點，并求該定點的坐標.

(2)當點p到直線/的距離最大時，求直線/的方程.

23.(2019?浙江省效實中學高一期中)三角形ABC中，邊AB和AC所在的直線方程分別為x-3y+10=0

和x+y—2=0,8C的中點為M(3,l).

(1)求A,8,C的坐標；

(2)求角3的內(nèi)角平分線所在直線的方程.

專題07直線的交點坐標與距離公式

一、單選題

1.(2020.洞口縣第九中學高二月考)過點尸(―1,3)且垂直于直線x―2y+3=O的直線方程為()

A.2x+y—1^0B.2x+y—5^0C.x+2y—5—0D.x-2y—7^=0

【答案】A

【解析】

根據(jù)題意，易得直線％-2丁+3=0的斜率為

由直線垂直的斜率關(guān)系，可得所求直線的斜率為-2,

又知其過點(-1，3),

由點斜式得所求直線方程為丁一3=-2(x+1)=2x+y-1=0.

故選：A.

2.(2020?吳江汾湖高級中學高一月考)與直線2x—y+l=0關(guān)于X軸對稱的直線方程為()

A.2x+y+l=0B.2x-y-l=0

C.2x4-y-1=0D,x-2y+l=0

【答案】A

【解析】

設(shè)對稱直線上的點為尸(x,y),

則其關(guān)于x軸的對稱點Q(x,-y)在直線2x-y+1=0上，

所以2x-(-y)+l=0即2x+y+l=0,選A.

點睛：l：Ax+By+C^0（A2+B20）,那么/關(guān)于x軸的對稱直線的方程為Av—By+C=0,關(guān)

十）,軸的對稱直線的方程為Ax—By—C=0,關(guān)于直線曠=彳對稱的直線的方程&+Ay+C=0.

3.（2019?瓦房店市實驗高級中學高二月考）兩條平行線4：3x-4y-1=0與4：6x-8y-7=0間的距離為

()

136

A.—B.-C.一D

255

【答案】A

【解析】

7

直線小3x-4y——=0,所以兩條平行線間的距離為

2

故選：A

4.（2020?哈密市第十五中學高二期末）已知直線/過點（1,1）,且與直線6x—5y+4=0平行，則/的方程為

（）

A.5x+6y-ll=0B.5x-6y+l=0

C.6x—5y—11=0D.6x—5y—1=0

【答案】D

【解析】

設(shè)直線/的方程為6x—5y+〃z=0,又因為該直線過點（1,1）,所以6-5+機=0,即m=一1,/的方程為

6x—5y—1=0；故選D.

5.（2018?山西省山西大附中高二期中（文））已知點P（l,2）與直線/：x+y+l=Q,則點P關(guān)于直線/的

對稱點坐標為

A.（-3,-1）B.（2,4）C.（-3,-2）D.（2,-2）

【答案】C

【解析】

/、.n—\\a=-3

設(shè)尸（1,2）關(guān)于直線/：x+y+l=O對稱的點為Q（a,b）,則J.；…，解得仁'即zx）

關(guān)于直線/：x+y+1=0對稱的點為（-3,-2）.故選C.

6.（2020?廣東省高三月考（文））已知直線（：x+（/n+1）y+m=0,Z2：/nx+2y+l=0,貝『/〃/廣的必要不充

分條件是（）

A.m=-2B.m=1C.m=-2或〃2=1D.根=2或〃2=1

【答案】C

【解析】

?.?直線/i：x+（/n+1）y+〃7=0,h：mx+2y+\=0,

若則山（m+1）-2=0,解得：加=-2或m=1

當加=1時，h與/2重合,故“小=-2”,

故"〃/2”的必要不充分條件是“〃，=-2或加=1”，

故選：C.

7.（2018?山西省山西實驗中學高二期中）無論/"取何值，直線（3機+l）x+（4m+l）y—12m—1=0都恒過

一個定點，則定點的坐標為（）

A.（—8,9）B.（9,—8）C.（15,-14）D.（—14,15）

【答案】A

【解析】

由題直線（3〃2+1）1+（4加+1）y一12a一1=。，

/、[3x+4y-12=0

即“（3x+4y-12）+x+y-l=0,令《,

[x+y_]=0

fx=-8

解得《小，所以該直線過定點（-&9）.

y=9

故選：A

8.（2019.浙江省鎮(zhèn)海中學高一期末）已知點（1,。）（。＞0）到直線/：工+丁一2=。的距離為1,則，的值為

（）

A.V2B.2-V2C.V2-1D.V2+1

【答案】D

【解析】

由題,L=-----'=1=>a=1±J5,因為a〉0,故〃=-y2+1-

V1+1

故選：D

9.（2019?陜西省高三月考（理））已知直線/i：2x-y-2=0與直線氏3x+y-8=0的交點為P,則點P到直

線/：產(chǎn)-2x+V5的距離為（）

430-75

A.

5

6>/5-56-A/5

55

【答案】C

【解析】

2x-y-2=0

聯(lián)立《,得尸(2,2),

3x+y-8=0

:.點、P（2,2）到直線/：產(chǎn)-2%+。的距離

,卜-閩675-5

故選：C

10.（2018?山西省山西大附中高二期中（文））已知直線/過直線/：x-y+l=0與直線4：2%+3丁-8=0的

交點，且點P（0,4）到直線I的距離為2,則這樣的直線I的條數(shù)為

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【解析】

x-2y+3=0x=1、/、

方法一由（2x+；y_8=0，得｛y=2,即直線/過點（1；），設(shè)。0，2）.因為

|PQ|=Op+(2-4『=亞＞2,所以滿足條件的直線I有2條.故選C.

方法二依題意，設(shè)經(jīng)過直線4,4交點的直線/的方程為

2x+3y-8+2(x-2y+3)=0(/le/?),即(2+X)x+(3—24)y+32一8=0①.由

|12-8A+3/l-8|]8

--------------/、2=2,化簡得5分一8/1-36=0,解得;1=-2或/，代入①得直線/的方程為

+(3叫-5

y=2或4x-3y+2=0,故選C.

二、多選題

11.(2020.江蘇省啟東中學高一開學考試)(多選題)下列說法正確的是()

A.直線x-y-2=0與兩坐標軸圍成的三角形的面積是2

B.點(0,2)關(guān)于直線y=x+l的對稱點為(1,1)

y-y,X-X.

C.過(x-y),(w，%)兩點的直線方程為七工=:工

D.經(jīng)過點(U)且在x軸和》軸上截距都相等的直線方程為x+y-2=0

【答案】AB

【解析】

A中直線在坐標軸上的截距分別為2,-2，所以圍成三角形的面積是2正確,B中(―,—)在直線V=x+1

22

上，且(0,2),(1,1)連線的斜率為-1,所以B正確，C選項需要條件必。故錯誤，D選項錯誤,

還有一條截距都為o的直線y=x.

12.(2018?全國單元測試)已知直線/]：x-y-l=0,動直線4：(攵+l)x+b，+Z=0(keR)，則下列結(jié)論

埼送的是()

A.不存在％,使得乙的傾斜角為90°B.對任意的左，4與4都有公共點

c.對任意的上，4與4都不重合D.對任意的女，4與4都不季亶

【答案】AC

【解析】

逐一考查所給的選項:

A.存在％=0,使得4的方程為x=0,其傾斜角為90。，故選項不正確.

B直線4:x-y-l=0過定點（0,—1）,直線4：（4+1）彳+/+左=0（%€氏）=%（%+丁+1）+%=0過定點

（0,-1）,故6是正確的.

（7.當*=一;時，直線4的方程為:x—gy—g=0,即x—y-l=0,人與勾都重合，選項C錯誤；

。.兩直線重合，則：lx（Ar+l）+（-l）x攵=0,方程無解，故對任意的％,4與4都不垂直，選項。正確.

故選：AC.

13.（2019?山東省高二期末）已知直線/：月％—>+1=0,則下列結(jié)論正確的是（）

A.直線/的傾斜角是?B.若直線加：x-J§y+l=0,則

C.點（相,0）到直線/的距離是2D.過（26,2）與直線/平行的直線方程是&—y—4=0

【答案】CD

【解析】

對于A.直線/：Gx—y+l=0的斜率A=tan9=6,故直線/的傾斜角是故A錯誤；

對于氏因為直線〃7：x—J§y+l=0的斜率犬=坐，kk』l?1,故直線/與直線"，不垂直，故8錯誤;

?\/3—0+11

對于C.點（Go）到直線/的距離『卜（）2'=2,故C正確；

對于D過（2月,2）與直線/平行的直線方程是y-2=&（x-2V3）.整理得：x/3x-y-4=0,故。

正確.

綜上所述，正確的選項為CD

故選：CD.

三、填空題

14.（2019?浙江省高三月考）已知兩條平行直線4：以+y+l=O與/2：x—y+3=0的距離為d,則

a=,d=.

【答案】-12>/2

【解析】

因為l?，所以a=—1，兩直線的距離為&=美=2也.

故答案為：-1；2^2?

15.（2020.江蘇省啟東中學高一開學考試）直線3x-4y+5=0關(guān)于點M（2,—3）對稱的直線的方程為

【答案】3x-4y-41=0

【解析】

設(shè)所求直線上任一點坐標為尸（羽y）,P點關(guān)于點M（2,-3）對稱的點為（毛,%）

’2=9

根據(jù)坐標中點公式可得：《2

%+y

2

%=4-x

解得：〈

=-6-y

?.?點（如為）在直線3x-4y+5=0

3毛-4%+5=0②

將①代入②可得：3（4—x）—4（—6—y）+5=0

整理可得：3x-4y—41=0.

故答案為：3x-4y-41=0.

16.（2020.山西省高二期末（文））將一張畫有直角坐標系的圖紙對折，使點A（0,2）與6（4,0）重合，若此

時點C（0,4）恰與點。重合，則點D的坐標是.

286

【答案】

T'5

【解析】

設(shè)折線方程為丫=履+方，醺8=一g，故女=2，A8中點為（2,1）,故匕=一3.

故y=2%-3.

n-4_1

設(shè)￡)(〃?,〃)，貝卜m之，解得加=型，H.

n+4,m?55

286)

故答案為:T'5,

17.(2019?陜西省高二競賽)已知孫〃為正數(shù)，且直線-2)y+5=()與直線:優(yōu)+,粒一3=0互相垂

直，則"?+2n的最小值為

【答案】9

【解析】

因為直線x-(〃-2)y+5=0與蘭I線nx+緲一3=0互相垂直,

因為n-(n-2)m=0,所以2m+n=mn,

21

從而有一+—=1

nm

m+2n=(m+2K)(—+—)=5+2x—=9.

nmVnm

故答案為：9.

四、解答題

18.(2019?四川省仁壽一中高二期中(文))已知直線4經(jīng)過點8(—3,4),直線4經(jīng)過

。(一+

(1)若〃〃2,求實數(shù)m的值;

(2)若心2,求實數(shù)m的值.

9

【答案】(1)m=3；(2)m=一一.

2

【解析】

(I),/k2=m=3：

14-19

(2)???&,=一一,若L上“，:.&=2=---------/.m--.

2121-3-m2

19.(2020?四川省高二期末(文))求經(jīng)過直線4：3x+2y—1=0和4：5x+2y+l=0的交點，且平行于直

線4：3x-y+6=0的直線的方程.

【答案】3x-y+5=0

【解析】

3x+2y-l=0.X—

求得4

5x+2y+l=0y=

故直線4：3x+2y—l=O和/2：5x+2y+l=0的交點為（一1,2）,

設(shè)所求的直線的方程為3x-y+c=0,再把點(—1,2)代入,

求得c=5,

故所求的直線的方程為3x—y+5=0.

20.(2019?四川省綿陽南山中學高二期中(理))在AABC中，BC邊上的高所在直線的方程為x-2y+l=0,

NA的角平分線所在直線的方程為y=0,若點B的坐標為(1,2),求點A和點C的坐標.

【答案】(一1,0),(5,-6)

【解析】

x-2y+l=0,

由方程組《八解得點A的坐標為(一1,0).

Iy=o,

又直線A8的斜率心8=1，x軸是NA的平分線，

所以以0=-1,則AC邊所在的直線方程為y=—(x+1).①

又已知8c邊上的高所在直線的方程為x—2y+l=0,

故直線BC的斜率kRC=-2,

所以8c邊所在的直線方程為y—2=-2(x—I).②

x=5

解①②組成的方程組得《；

y=-6,

即頂點C的坐標為(5,_6).

21.(2020?陜西省陜西師大附中高一期末)已知直線h：ax—y+b=0；b：bx+y+a=0(a￡R,bGR).

⑴直線h，L能否平行？說明理由；

(2)若直線h,b重合,求證：點P(a,b)與點Q(b,a)在同一條直線上;

(3)求證：兩條直線h，12的交點共線.

【答案】（1）直線1”12不能平行.

（2）見解析

（3）見解析

【解析】

（I）由題意，假設(shè)直線4:依一y+>=0與4:區(qū)+y+a=O平行,

則滿足4坊―44=。且4G—B2GH0,即。一（一力=0且一.一。#0,顯然矛盾,

所以直線4,4不能平行.

（2）證明：若直線4,4用合，由（1）叮知必有a+b=o,故點P3,b）與點QS,a）在同一條直線上.

（3）證明：若兩條直線44相交，可得。+。=0,

ax-