2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第3章函數(shù)的概念與性質(zhì)測評(píng)含解析湘教版必修第一冊(cè)

PAGEPAGE9第3章測評(píng)(時(shí)間:120分鐘滿分:150分)一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.(2024江蘇南京期中)函數(shù)y=的定義域?yàn)?)A.B.C.(-∞,-1]D.(-∞,-1)∪答案D解析要使原函數(shù)有意義,則解得x≤且x≠-1,故原函數(shù)的定義域?yàn)?-∞,-1)∪.故選D.2.下列函數(shù)與函數(shù)y=x相等的是()A.y=x2 B.y= C.y= D.y=答案B解析y==t,t∈R.3.函數(shù)f(x)=則f(f(2))的值為()A.-1 B.-3 C.0 D.-8答案C解析f(2)=22-2-3=-1,f(f(2))=f(-1)=1-(-1)2=0.4.已知二次函數(shù)f(x)=m2x2+2mx-3,則下列結(jié)論正確的是()A.函數(shù)f(x)有最大值-4 B.函數(shù)f(x)有最小值-4C.函數(shù)f(x)有最大值-3 D.函數(shù)f(x)有最小值-3答案B解析由題知,m2>0,所以f(x)的圖象開口向上,函數(shù)有最小值f(x)min==-4,故選B.5.函數(shù)f(x)=x3+x的圖象關(guān)于()A.y軸對(duì)稱 B.直線y=-x對(duì)稱C.原點(diǎn)對(duì)稱 D.直線y=x對(duì)稱答案C解析f(x)定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,∵f(-x)=-x3-x=-f(x),∴函數(shù)f(x)=x3+x為奇函數(shù),f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.故選C.6.(2024江蘇高郵期中)我國聞名的數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾說:“數(shù)缺形時(shí)少直觀,形缺數(shù)時(shí)難入微,數(shù)形結(jié)合百般好,隔離分家萬事休”.在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和探討中,常用函數(shù)的圖象來探討函數(shù)的性質(zhì),也常用函數(shù)的解析式來探討函數(shù)的圖象的特征,則函數(shù)f(x)=的大致圖象為()答案D解析∵f(-x)==f(x),∴函數(shù)f(x)為偶函數(shù),其圖象關(guān)于y軸稱,故解除B,C.當(dāng)x>0時(shí),f(x)==x-,易知函數(shù)f(x)在(0,+∞)上為增函數(shù),故解除A.故選D.7.(2024河南模擬)已知函數(shù)f(x)=x2+(k-2)x在[1,+∞)上是增函數(shù),則k的取值范圍為()A.(-∞,0] B.[0,+∞)C.(-∞,1] D.[1,+∞)答案B解析依據(jù)題意,函數(shù)f(x)=x2+(k-2)x為圖象開口向上的二次函數(shù),其對(duì)稱軸為x=-.若函數(shù)f(x)=x2+(k-2)x在[1,+∞)上是增函數(shù),則必有-≤1,解得k≥0,即k的取值范圍為[0,+∞).故選B.8.若函數(shù)y=f(x)為偶函數(shù),且在(0,+∞)內(nèi)是減函數(shù),又f(3)=0,則<0的解集為()A.(-3,3) B.(-∞,-3)∪(3,+∞)C.(-∞,-3)∪(0,3) D.(-3,0)∪(3,+∞)答案D解析∵f(x)為偶函數(shù),∴f(-x)=f(x),∴<0,即∵f(x)為偶函數(shù)且在(0,+∞)內(nèi)為減函數(shù),∴f(x)在(-∞,0)內(nèi)是增函數(shù).由f(3)=0知f(-3)=0,∴可化為∴x>3;可化為∴-3<x<0.綜上,<0的解集為(-3,0)∪(3,+∞).二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分,部分選對(duì)的得2分,有選錯(cuò)的得0分.9.下列各組函數(shù)中的f(x)與g(x)相等的有()A.f(x)=x與g(x)=B.f(x)=與g(x)=x-3C.f(x)=與g(x)=D.f(x)=2x+1,x∈Z與g(x)=2x-1,x∈Z答案AC解析對(duì)于A,f(x)=x,x∈R,g(x)==x,x∈R,f(x)與g(x)的定義域相同,對(duì)應(yīng)關(guān)系也相同,f(x)與g(x)相等;對(duì)于B,f(x)與g(x)的定義域不同,不是同一個(gè)函數(shù);對(duì)于C,f(x)=g(x)=f(x)與g(x)的定義域相同,對(duì)應(yīng)關(guān)系也相同,f(x)與g(x)相等;對(duì)于D,f(x)與g(x)的對(duì)應(yīng)關(guān)系不同,不是同一個(gè)函數(shù).故選AC.10.已知函數(shù)f(x)=滿意f(f(a))=-1的a的值有()A.0 B.1C.-1 D.-2答案AD解析依據(jù)題意,函數(shù)f(x)=當(dāng)x≤0時(shí),f(x)=x2+2x+1=(x+1)2≥0,當(dāng)x>0時(shí),f(x)=-x2<0.若f(f(a))=-1,必有f(a)>0,則f(f(a))=-[f(a)]2=-1,解得f(a)=1.若f(a)=1,必有a≤0,則f(a)=(a+1)2=1,解得a=-2或a=0,故a=-2或0.故選AD.11.(2024浙江臺(tái)州期末)若函數(shù)y=x2-4x-4的定義域?yàn)閇0,m],值域?yàn)閇-8,-4],則實(shí)數(shù)m的值可能為()A.2 B.3 C.4 D.5答案ABC解析函數(shù)y=x2-4x-4的對(duì)稱軸為直線x=2.當(dāng)0<m≤2時(shí),函數(shù)在[0,m]上單調(diào)遞減,當(dāng)x=0時(shí)取最大值-4,當(dāng)x=m時(shí)有最小值m2-4m-4=-8,解得m=2.則當(dāng)m>2時(shí),最小值為-8,而f(0)=-4,由對(duì)稱性可知,m≤4,故2<m≤4.綜上,結(jié)合選項(xiàng)可知實(shí)數(shù)m的值可能為2,3,4.故選ABC.12.若x∈R,f(x)是y=2-x2,y=x這兩個(gè)函數(shù)中的較小者,則f(x)()A.有最大值2 B.有最大值1C.有最小值-1 D.無最小值答案BD解析作出函數(shù)y=2-x2,y=x的圖象如圖,則f(x)的圖象為圖中實(shí)線部分,由圖可知,當(dāng)x=1時(shí),f(x)取得最大值為1,無最小值.故選BD.三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.函數(shù)f(x)是奇函數(shù),當(dāng)x<0時(shí),f(x)=x2+ax,且f(2)=12,則a=.

答案8解析∵函數(shù)f(x)為奇函數(shù),且f(2)=12,∴f(-2)=-f(2)=-12.又由當(dāng)x<0時(shí),f(x)=x2+ax,則f(-2)=4-2a=-12,解得a=8.14.函數(shù)y=x2-4x,其中x∈[-3,3],則該函數(shù)的值域?yàn)?

答案[-4,21]解析二次函數(shù)y=x2-4x=(x-2)2-4的對(duì)稱軸是直線x=2,且其圖象開口向上.在x∈[-3,3]上,當(dāng)-3≤x≤2時(shí),f(x)是減函數(shù);當(dāng)2<x≤3時(shí),f(x)是增函數(shù).所以當(dāng)x=2時(shí),函數(shù)取最小值f(2)=-4;當(dāng)x=-3時(shí),函數(shù)取最大值f(-3)=21.故該函數(shù)的值域?yàn)閇-4,21].15.已知函數(shù)f(x),g(x)分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù),且f(x)-g(x)=x2+x+2,則f(1)+g(1)=.答案2解析依據(jù)題意,f(x)-g(x)=x2+x+2,則f(-1)-g(-1)=(-1)2-1+2=2.又函數(shù)f(x),g(x)分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù),所以f(-1)-g(-1)=f(1)+g(1)=2.16.(2024北京,理14)李明自主創(chuàng)業(yè),在網(wǎng)上經(jīng)營一家水果店,銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,價(jià)格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.為增加銷量,李明對(duì)這四種水果進(jìn)行促銷:一次購買水果的總價(jià)達(dá)到120元,顧客就少付x元.每筆訂單顧客網(wǎng)上支付勝利后,李明會(huì)得到支付款的80%.(1)當(dāng)x=10時(shí),顧客一次購買草莓和西瓜各1盒,須要支付元;

(2)在促銷活動(dòng)中,為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價(jià)的七折,則x的最大值為.

答案(1)130(2)15解析(1)當(dāng)x=10時(shí),顧客一次購買草莓和西瓜各一盒,須要支付(60+80)-10=130(元).(2)設(shè)顧客一次購買水果的促銷前總價(jià)為y元,當(dāng)y<120時(shí),李明得到的金額為y·80%,符合要求.當(dāng)y≥120時(shí),有(y-x)·80%≥y·70%成立,即8(y-x)≥7y,x≤,即x≤=15.所以x的最大值為15.四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.(10分)已知f(x)是奇函數(shù),且當(dāng)x>0時(shí),f(x)=x2-2x+1,求f(x)在x∈R上的表達(dá)式.解因?yàn)閒(x)是定義域在R上的奇函數(shù),所以f(0)=0,當(dāng)x<0時(shí),-x>0,由已知得,f(-x)=(-x)2-2(-x)+1=x2+2x+1=-f(x),所以f(x)=-x2-2x-1,所以f(x)=18.(12分)(2024湖南高二學(xué)業(yè)考試)已知函數(shù)f(x)=x2+(x≠0,a∈R).(1)推斷f(x)的奇偶性;(2)若f(x)在[2,+∞)是增函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解(1)當(dāng)a=0時(shí),f(x)=x2,對(duì)隨意x∈(-∞,0)∪(0,+∞),f(-x)=(-x)2=x2=f(x),f(x)為偶函數(shù).當(dāng)a≠0時(shí),f(x)=x2+(a≠0,x≠0),取x=±1,得f(-1)+f(1)=2≠0,f(-1)-f(1)=-2a≠0,即f(-1)≠-f(1),f(-1)≠f(1),故函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).(2)設(shè)2≤x1<x2,f(x1)-f(x2)=[x1x2(x1+x2)-a],要使函數(shù)f(x)在x∈[2,+∞)上為增函數(shù),必需f(x1)-f(x2)<0恒成立.∵x1-x2<0,x1x2>4,∴a<x1x2(x1+x2)恒成立.又x1+x2>4,∴x1x2(x1+x2)>16.∴a的取值范圍是(-∞,16].19.(12分)已知函數(shù)f(x)=mx+(m,n是常數(shù)),且f(1)=2,f(2)=.(1)求m,n的值;(2)當(dāng)x∈[1,+∞)時(shí),推斷f(x)的單調(diào)性并證明;(3)若不等式f(1+2x2)>f(x2-2x+4)成立,求實(shí)數(shù)x的取值范圍.解(1)∵f(1)=m+=2,f(2)=2m+,∴(2)f(x)單調(diào)遞增,證明如下,設(shè)1≤x1<x2,則f(x1)-f(x2)=x1+=(x1-x2)1-=(x1-x2)·.∵1≤x1<x2,∴x1-x2<0,x1x2>1,∴2x1x2>1,∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),∴f(x)在[1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.(3)∵1+2x2≥1,x2-2x+4=(x-1)2+3≥3,須要1+2x2>x2-2x+4,∴x2+2x-3>0,∴x<-3或x>1.故x的取值范圍為(-∞,-3)∪(1,+∞).20.(12分)(2024安徽宣城期末)某口罩廠生產(chǎn)口罩的固定成本為200萬元,每生產(chǎn)x萬箱,需另投入成本p(x)萬元,當(dāng)產(chǎn)量不足90萬箱時(shí),p(x)=x2+40x;當(dāng)產(chǎn)量不小于90萬箱時(shí),p(x)=101x+-2180,若每箱口罩售價(jià)100元,通過市場分析,該口罩廠生產(chǎn)的口罩可以全部銷售完.(1)求口罩銷售利潤y(單位:萬元)關(guān)于產(chǎn)量x(單位:萬箱)的函數(shù)關(guān)系式;(2)當(dāng)產(chǎn)量為多少萬箱時(shí),該口罩生產(chǎn)廠在生產(chǎn)中所獲得的利潤最大?解(1)當(dāng)0<x<90時(shí),y=100x--200=-x2+60x-200;當(dāng)x≥90時(shí),y=100x--200=1980-.∴y=(2)①當(dāng)0<x<90時(shí),y=-x2+60x-200=-(x-60)2+1600≤1600.②當(dāng)x≥90時(shí),y=1980-≤1980-2=1800>1600,當(dāng)且僅當(dāng)x=,即x=90時(shí)y取得最大值,最大值為1800.綜上,當(dāng)產(chǎn)量為90萬箱時(shí),該口罩生產(chǎn)廠在生產(chǎn)中獲得利潤最大,最大利潤為1800萬元.21.(12分)(2024江蘇南京期中)已知函數(shù)f(x)=為奇函數(shù).(1)求實(shí)數(shù)a的值;(2)求證:f(x)在區(qū)間[2,+∞)上是增函數(shù);(3)若對(duì)隨意的x1,x2∈[2,4],都有f(x1)-f(x2)≤m2-2m-2,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.(1)解因?yàn)閒(x)=為奇函數(shù),x≠0,所以f(-x)=-f(x),所以=-,整理可得ax=0,所以a=0.(2)證明由(1)可得f(x)==x+,設(shè)2≤x1<x2,則f(x1)-f(x2)=x1-x2+=x1-x2+=(x1-x2)1-<0,所以f(x1)<f(x2),所以f(x)在區(qū)間[2,+∞)上是增函數(shù).(3)解由(2)可得f(x)=x+在[2,4]上單調(diào)遞增,故f(x)max=f(4)=5,f(x)min=f(2)=4.若對(duì)隨意的x1,x2∈[2,4],都有f(x1)-f(x2)≤m2-2m-2,則1≤m2-2m-2,解得m≥3或m≤-1.故m的取值范圍為(-∞,-1]∪[3,+∞).22.(12分)(2024廣東金山高一檢測)已知二次函數(shù)f(x)對(duì)x∈R都有f(x+1)-f(x)=2x+2成立,且f(1)=3.(1)求函數(shù)f(x)的解析式;(2)求函數(shù)g(x)=f(x)-(1+2m)x+1(m∈R)在x∈[-2,3]上的最小值.解(1)設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c,a≠0,則f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+c=ax2+2ax+a+bx