關(guān)注尺規(guī)作圖 發(fā)展核心素養(yǎng)

尺規(guī)作圖是指運(yùn)用無刻度直尺和圓規(guī)，在有限的使用次數(shù)下解決平面幾何問題的操作方法。尺規(guī)作圖是古希臘數(shù)學(xué)研究的重要課題之一，數(shù)學(xué)家歐幾里得在《幾何原本》中進(jìn)行了系統(tǒng)性的研究。從《幾何原本》中的幾何命題到古希臘著名的“三等分任意角”“立方倍積”“化圓為方”三大作圖難題，尺規(guī)作圖有著悠久的歷史，能提高學(xué)生的幾何直觀、數(shù)學(xué)量感、推理意識、創(chuàng)新意識與應(yīng)用意識，并深刻影響著他們核心素養(yǎng)的發(fā)展。一、概念可視化，凸顯幾何直觀《課程標(biāo)準(zhǔn)》從第二學(xué)段開始，便在圖形與幾何領(lǐng)域呈現(xiàn)與尺規(guī)作圖有關(guān)的學(xué)習(xí)內(nèi)容，具體為“會用直尺和圓規(guī)作一條線段等于已知線段”和“用直尺和圓規(guī)將三角形的三條邊畫到一條直線上”，學(xué)業(yè)要求分別是“感知線段長度與兩點(diǎn)間距離的關(guān)系”與“感知線段長度的可加性，理解三角形的周長”。到了第三學(xué)段，與尺規(guī)作圖相關(guān)的內(nèi)容是“基于給定線段用直尺和圓規(guī)畫三角形”“探索并說明三角形任意兩邊之和大于第三邊的道理”。從學(xué)業(yè)要求中的“感知”“直觀感受”“感悟”等行為動詞，可以看出尺規(guī)作圖的教學(xué)必須凸顯幾何直觀。尺規(guī)作圖中直尺的主要功能是畫線段、直線和射線，圓規(guī)的主要功能是畫圓或圓弧，以及截取等長的線段。通過尺規(guī)作圖，可以將一些抽象的、枯燥的數(shù)學(xué)概念及性質(zhì)以具象的形式展現(xiàn)出來，如周長、平行、垂直、角度、比例等，幫助學(xué)生更好地理解與掌握知識。例如，有教師通過尺規(guī)作圖教學(xué)“三角形的周長”時，在學(xué)生初步感知三角形的周長，即三角形三條邊的長度和之后，教師便逐步引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用尺規(guī)作圖的方法解決“三角形的周長”問題。具體操作步驟為：用圓規(guī)分別取三角形的三邊長度，并將其長度順次刻畫在一條直線上，再用直尺測量對應(yīng)線段的長度，即可得到三角形的周長。在整個測量過程中，學(xué)生能夠清晰、準(zhǔn)確、直觀地感受到三角形三邊與通過尺規(guī)作圖得到的線段之間的關(guān)系。通過上述教學(xué)，既能讓學(xué)生了解尺規(guī)作圖測量的精確性，將三角形的周長概念可視化，又能讓學(xué)生厘清周長的概念，將周長的概念內(nèi)化于心、外化于行，為后續(xù)深入探究其他圖形的周長奠定基礎(chǔ)。通過繪制幾何圖形，可以增強(qiáng)學(xué)生對幾何關(guān)系和性質(zhì)的直觀感受，幫助他們逐漸形成幾何直覺。通過這樣的教學(xué)，學(xué)生可以更深入地思考和研究不同圖形之間的關(guān)系，感知幾何圖形的特點(diǎn)和變化，從而在抽象的數(shù)學(xué)內(nèi)容與具體圖式之間建立密切聯(lián)系。二、問題具象化，發(fā)展數(shù)學(xué)量感問題具象化是將抽象的問題或概念轉(zhuǎn)化為具體、可操作的形式或表達(dá)方式的過程。它可以將復(fù)雜或抽象的問題分解成更簡單、更明確的子問題，或?qū)⒊橄蟮母拍钷D(zhuǎn)化為具體的圖像、實(shí)例或?qū)嶋H情況，將問題對象分解，使問題更易于解決。通過問題具象化，教師可以更加清楚地定義問題的范圍和要求，并找到解決方案的途徑。數(shù)學(xué)量感指的是將個體置身于具體學(xué)習(xí)探究活動中，注重身體的虛實(shí)感知，從而結(jié)合已有經(jīng)驗(yàn)表達(dá)主體對于客體的感覺的過程。可見，量感的獲得和發(fā)展與學(xué)生個體的體驗(yàn)密切相關(guān)。培養(yǎng)學(xué)生的量感就需要學(xué)生個體積極參與到這個持續(xù)、螺旋上升的學(xué)習(xí)探究之中，從而達(dá)到逐步解決問題的目的。例如，有教師教學(xué)“比長短——初識尺規(guī)”時，將教學(xué)分為三個環(huán)節(jié)——眾說尺規(guī)、比較長短、應(yīng)用尺規(guī)。課堂一開始，教師便出示直尺與圓規(guī)的圖示，引導(dǎo)學(xué)生積極思考兩個工具的作用，使學(xué)生在和同伴的交流中激發(fā)對直尺與圓規(guī)的認(rèn)識興趣。緊接著，教師出示不同位置的兩條線段的長度，并讓學(xué)生進(jìn)行觀察、猜想、驗(yàn)證，引導(dǎo)學(xué)生借助直尺與圓規(guī)將問題具象化。學(xué)生通過測量比較了兩條線段的長短后，便總結(jié)出：①線段長短的比較可以通過直尺與圓規(guī)完成；②運(yùn)用圓規(guī)定點(diǎn)、半徑定長比較線段長度的結(jié)果更為精確。最后，教師通過設(shè)置“運(yùn)用尺規(guī)比長短”的練習(xí)挑戰(zhàn)，幫助學(xué)生鞏固課堂收獲，讓學(xué)生在猜想與驗(yàn)證線段長短關(guān)系的過程中，積累尺規(guī)作圖的基本活動經(jīng)驗(yàn)和逐步發(fā)展量感。量感的培養(yǎng)有利于學(xué)生養(yǎng)成用定量的方法認(rèn)識和解決問題的習(xí)慣，同時也是他們形成抽象能力和應(yīng)用意識的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)，促進(jìn)他們數(shù)學(xué)建模思想的形成與建模能力的提升。在上述教學(xué)過程中，對于學(xué)生量感的培養(yǎng)主要表現(xiàn)為：①明白度量的客體是長度而非面積；②能夠選用合適的度量單位進(jìn)行長短比較；③能夠正確地選擇測量工具和方法，從而較為精確地比較兩條線段的長短。在整個教學(xué)過程中，教師通過讓學(xué)生觀察、猜測、驗(yàn)證、推理等活動，借助直尺與圓規(guī)將抽象的問題具體化，使問題的解決具有可操作性?；顒悠陂g，學(xué)生通過動手實(shí)踐對問題進(jìn)行了深入探討，激發(fā)了主觀能動性，發(fā)展了量感。三、思維外顯化，發(fā)展推理意識思維外顯化是指將內(nèi)在的思維過程和概念借助尺規(guī)作圖清晰地呈現(xiàn)出來，幫助學(xué)生思考、理解，并進(jìn)一步展開推理。在進(jìn)行尺規(guī)作圖的過程中，根據(jù)已知條件進(jìn)行分析，選擇對應(yīng)的構(gòu)圖方法與步驟表達(dá)數(shù)學(xué)關(guān)系與性質(zhì)，這個過程可令學(xué)生將抽象的思維過程轉(zhuǎn)換為具體的操作，通過觀察和實(shí)踐來驗(yàn)證他們的推理。思維過程的外顯化，突出了思維的可視化，使學(xué)生可以更清晰地觀察及分析問題，輔助他們解決實(shí)際問題，并逐步發(fā)展推理意識。例如，有教師在教學(xué)“任意三條線段能圍成一個三角形嗎”時，先讓學(xué)生用手中1cm~9cm長的小棒圍一圍三角形。學(xué)生動手操作并展示成果后，教師給出4組數(shù)據(jù)（3cm、4cm、8cm）（3cm、5cm、8cm）（4cm、5cm、8cm）（3cm、4cm、5cm），讓學(xué)生借助直尺以每組最大的數(shù)據(jù)畫線段，并以線段兩端點(diǎn)為圓心，運(yùn)用圓規(guī)以剩余2個數(shù)據(jù)的長度為半徑畫2個圓弧。學(xué)生觀察圖形的變化（如圖1-1、圖1-2、圖1-3、圖1-4），并借助外顯的思維過程總結(jié)出：三角形的兩邊之和大于第三邊。圖1-1在教學(xué)這一內(nèi)容時，教師讓學(xué)生借助尺規(guī)作圖感知三角形的三邊關(guān)系，從而保留作圖痕跡，連續(xù)呈現(xiàn)整個構(gòu)圖過程的變化，突出思維過程的外顯化。借助直觀圖示進(jìn)行推理活動，通過思維過程外顯化，學(xué)生可以觀察和比較不同的構(gòu)圖方法，形成初步的推理意識；通過對推理過程的觀察和分析，學(xué)生可以逐步形成自己的推理習(xí)慣和策略；通過手腦并用的推理探究活動，將“做中學(xué)、做中用、做中求進(jìn)步”的理念落到實(shí)處，有助于學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展，為終身學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。四、解法多樣化，開拓創(chuàng)新意識問題沒有唯一解，卻有最優(yōu)解，正所謂思路千變?nèi)f化，解題百般方法。尺規(guī)作圖亦是如此，同一個圖形可以有多種不同的呈現(xiàn)方式。學(xué)生可以通過選擇不同的作圖步驟和順序來完成目標(biāo)圖形，而不同的方法和順序會產(chǎn)生不同的圖形效果。在尺規(guī)作圖時，通過多樣化的解題方式可以使學(xué)生感受不同的思維方式和解題策略，有利于他們開拓創(chuàng)造性思維與意識，提升問題解決的能力。例如，有教師在教學(xué)“測量三角形的周長”時，給定任意三角形、無刻度的直尺與圓規(guī)，讓學(xué)生借助給定的用具以及身邊的學(xué)具測量三角形的周長。學(xué)生自主動手操作后分享成果。①先借助無刻度的直尺畫1條直線，再通過圓規(guī)確定三角形每兩個點(diǎn)之間的距離，最后在直線上做標(biāo)記（如圖2-1）。圖2-1②利用圓規(guī)分別取三角形的三邊為半徑畫半圓（如圖2-2）。圖2-2③先用鉛筆在直尺上做一個標(biāo)記（視為0刻度），用直尺測量三角形每邊的長度后，在直尺上用鉛筆進(jìn)行標(biāo)記（視為終點(diǎn)刻度），再通過直尺上的標(biāo)記將線段移到直線上，從而測得三角形的周長（如圖2-3）。圖2-3④借助結(jié)繩記事的方法測量三角形的周長。先在繩子一端打結(jié)，然后將繩子打結(jié)的位置與點(diǎn)A重合，再將繩子繞三角形一周，當(dāng)繩子與三角形的頂點(diǎn)重合時就打一個結(jié)。繩子的第一個結(jié)到第四個結(jié)之間的長度即為三角形的周長（如圖2-4）。圖2-4從上述學(xué)生的測量方法來看，學(xué)生的思維并不局限于某一種固定模式，而是發(fā)散的，學(xué)生能盡可能地借助身邊可使用的物品，探究出不同的測量三角形周長的方法。操作過程不僅體現(xiàn)了學(xué)生對于解決問題的靈活變通，也表明學(xué)生突破了傳統(tǒng)思維的束縛，打開了問題解決的新視角——學(xué)會從多角度出發(fā)、創(chuàng)造性地解決問題。上述尺規(guī)作圖教學(xué)過程中，通過多樣化的解題方式使學(xué)生嘗試不同的構(gòu)圖思路、探索多途徑的解決辦法，開拓了學(xué)生的創(chuàng)造性思維、發(fā)散性思維，培養(yǎng)了學(xué)生靈活運(yùn)用知識的能力，使學(xué)生在未來的學(xué)習(xí)道路中能夠主動采用不同的解題思路、嘗試創(chuàng)新，以求更加高效地解決更為復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題。五、圖形趣味化，落實(shí)應(yīng)用意識要激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動力，培養(yǎng)他們自主探究的意識和能力，興趣就是他們保持學(xué)習(xí)持久的內(nèi)在驅(qū)動力。學(xué)生對于感興趣的內(nèi)容會主動花費(fèi)時間和精力去深入學(xué)習(xí)。在數(shù)學(xué)活動中，通過尺規(guī)作圖，可以將抽象的數(shù)學(xué)知識轉(zhuǎn)化為有趣的具體圖示，使學(xué)生能夠輕松理解。而在解決實(shí)際問題的過程中，通過尺規(guī)作圖，學(xué)生能夠準(zhǔn)確地建構(gòu)簡潔有趣的數(shù)學(xué)模型，靈活地運(yùn)用數(shù)學(xué)知識，并逐漸形成應(yīng)用意識，發(fā)展應(yīng)用能力。在大多數(shù)人的眼中，圓規(guī)和直尺只能畫簡單的圓和直線，實(shí)際上并非如此。生活中許許多多的建筑設(shè)計(jì)、平面展示與廣告宣傳中都巧妙地運(yùn)用了尺規(guī)作圖。在教學(xué)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生利用尺規(guī)完成一些圖案，如風(fēng)車、瓷磚花紋、八卦圖（如圖3）。為了讓學(xué)生進(jìn)一步感受尺規(guī)作圖的應(yīng)用價值，可將數(shù)學(xué)與美術(shù)相融合，即教師給學(xué)生提供相應(yīng)的繪畫“支架”，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用尺規(guī)作圖感悟數(shù)學(xué)圖形之美；在綜合實(shí)踐課中，結(jié)合實(shí)際情況，針對愛護(hù)動物的主題，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用尺規(guī)作圖繪制動物保護(hù)標(biāo)識；在生活中，教師、家長積極引導(dǎo)學(xué)生將尺規(guī)作圖的相關(guān)知識加以實(shí)踐，如為餐廳的桌布繪制圖案、設(shè)計(jì)花園的外墻瓷磚花紋等。圖3尺規(guī)作圖能夠在學(xué)生繪制具體的幾何圖形時提供一種準(zhǔn)確、系統(tǒng)的方法，使他們能夠?qū)⒊橄蟮臄?shù)學(xué)概念轉(zhuǎn)化為有趣且直觀的圖示，以解決實(shí)際問題。同時，趣味化的圖示有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，吸引他們主動探索相關(guān)的數(shù)學(xué)知識。上述列舉的操作活動，不僅可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，充分調(diào)動學(xué)生的自主性，還可以讓學(xué)生在具體繪制圖形過程中感悟尺規(guī)作圖與實(shí)際生活之間的聯(lián)系，使學(xué)生持續(xù)將學(xué)到的數(shù)學(xué)技能加以實(shí)踐與鞏固，逐步養(yǎng)成理論結(jié)合實(shí)踐的習(xí)慣，并對數(shù)學(xué)始終保持興趣與熱愛，從而促進(jìn)應(yīng)用意識的不斷發(fā)展和應(yīng)用能力的不斷提升。綜上所述，小學(xué)階段學(xué)生的思維范式基本上是從形象思維逐步過渡到抽象思維，是持續(xù)發(fā)展、螺旋上升的過程。而尺規(guī)作圖是這一過程中的“助力器”，不僅能夠?qū)⒊橄髥栴}具象化，幫助學(xué)生進(jìn)行初步的思維判斷，還可以將思維結(jié)果圖示化，輔助學(xué)生更加直觀、輕松地解決實(shí)際問題。在使用尺規(guī)作圖過程中，學(xué)生可能會出現(xiàn)把玩圓規(guī)、不跟隨課堂節(jié)奏走