10道經(jīng)典球的接切問題及詳解

試題是數(shù)學的心臟，思維是數(shù)學的靈魂P(guān)AGE第14頁雙語題庫立體幾何專題球的接切問題1.若三棱錐S-ABC的底面是以AB為斜邊的等腰直角三角形，AB=2，SA=SB=SC=2，則該三棱錐的外接球的球心到平面ABC的距離為A.B.C.1D.答案：D.圖解如下——解決球問題時，未必將球畫出來，增強我們的空間想象能力.，即.2011-12-6wht2.已知正三棱椎的體積為，外接球球心為，且滿足則正三棱錐的外接球的半徑為A.B.C.D.答案：B，由得出球心O為△ABC的中心，于是錐高為球半徑，故圖2，推出.圖23.已知一個三棱錐的三視圖如圖2所示，其中俯視圖是等腰直角三角形，則該三棱錐的外接球體積為．，球心必然在過且垂直于平面ABC的垂線上，如圖，，圓的半徑可以通過正弦定理得到=2，于是球半徑為.故球體積為已知球的直徑SC=4，A,B是該球球面上的兩點，AB=，，則棱錐S-ABC的體積為（2011遼寧高科理科12）（A）（B）（C）（D）16.將4個半徑為1的球裝入正四面體型容器內(nèi)，則此容器的最小高度為.（2011屆馬瑞瑤問題）答案：.提示：分層處理——（1）最上層的小球相當于正四面體內(nèi)切球，，而r=1，從而，所以此小球球心到四面體頂點距離為；（2）中間層是上層小球球心到下面三球球心距離為以2r為棱長的正四面體的高；（3）最下層是下層球心到底面距離為r=1.故整個大正四面體容器的最小高度為3++1=4+.說明：立體幾何的接切問題最終轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體（正方體、長方體、正四面體、正三棱錐）的問題處理，這是不變的規(guī)則.2011-12-6wht再解析7.在四面體中，，，，二面角的余弦值是，則該四面體外接球的表面積是（源自2012屆育才高中部五模理科11題）A.B.C.D.答案：D.方法一：還原到幾何體中——依據(jù)已知條件研究各個棱長得出SB=，聯(lián)想到正方體的棱間關(guān)系，容易將圖形還原到原幾何體——正方體中.如圖——問題迎刃而解.方法二：若是不能還原到正方體，我們也可以這樣考慮：計算得出SO1在面ABC內(nèi)的射影到O1的距離為1，即DO1=1，剛好為小圓的半徑，∴SD為球的一條弦，計算其長度為.從而可求得球的半徑為，下同上.點評：利用圓的截面性質(zhì)找圓心是必須掌握的能力。．如圖，平面四邊形中，，，將其沿對角線折成四面體，使平面平面，若四面體頂點在同一個球面上，則該球的體積為（源自2012屆育才雙語高三理科最后一卷）A．B．C．D．變式訓練：如圖所示，三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA=AC=，則三棱錐P-ABC的外接球的體積為（源自2013年高一期末檢測題T12）A.B.C.D.答案：A.提示：補成長方體得解.9.一個正四棱錐的底面邊長為2，側(cè)棱長為，五個頂點都在同一個球面上，則此球的表面積為.答案：.設(shè)外接球半徑為R，在△OO1A中有解得.∴.說明：在本題的解決上學生不易判定出球心在體外這一事實.2012-9-11wht10．高為的四棱錐S-ABCD的底面是邊長為1的正方形，點S、A、B、C、D均在半徑為1的同一球面上，則底面ABCD的中心與頂點S之間的距離為（源自2011年重慶9題） A． B． C．1 D．答案：C.提示：由正方形邊長為1及球半徑為1得出球心到正方形的距離為，而錐高為，∴頂點S在球心O與正方形所在截面圓圓心O連線的中垂面上【不可能在其他位置的原因是】，如圖，這樣問題變得非常簡單——答案與半徑等長.2012-12-17wht再次輸入典型例題1——球的截面例1球面上有三點、、組成這個球的一個截面的內(nèi)接三角形三個頂點，其中，、，球心到這個截面的距離為球半徑的一半，求球的表面積．分析：求球的表面積的關(guān)鍵是求球的半徑，本題的條件涉及球的截面，是截面的內(nèi)接三角形，由此可利用三角形求截面圓的半徑，球心到截面的距離為球半徑的一半，從而可由關(guān)系式求出球半徑．解：∵，，，∴，是以為斜邊的直角三角形．∴的外接圓的半徑為，即截面圓的半徑，又球心到截面的距離為，∴，得．∴球的表面積為．說明：涉及到球的截面的問題，總是使用關(guān)系式解題，我們可以通過兩個量求第三個量，也可能是抓三個量之間的其它關(guān)系，求三個量．【練習】過球表面上一點引三條長度相等的弦、、，且兩兩夾角都為，若球半徑為，求弦的長度．由條件可抓住是正四面體，、、、為球上四點，則球心在正四面體中心，設(shè)，則截面與球心的距離，過點、、的截面圓半徑，所以得．典型例題2——球面距離例2過球面上兩點作球的大圓，可能的個數(shù)是（）．A．有且只有一個B．一個或無窮多個C．無數(shù)個D．以上均不正確分析：對球面上兩點及球心這三點的位置關(guān)系進行討論．當三點不共線時，可以作一個大圓；當三點共線時，可作無數(shù)個大圓，故選B．例3球面上有3個點，其中任意兩點的球面距離都等于大圓周長的，經(jīng)過3個點的小圓的周長為，求這個球的半徑．分析：利用球的概念性質(zhì)和球面距離的知識求解．設(shè)球的半徑為，小圓的半徑為，則，∴．如圖所示，設(shè)三點、、，為球心，．又∵，∴是等邊三角形，同樣，、都是等邊三角形，得為等邊三角形，邊長等于球半徑．為的外接圓半徑，，．說明：本題是近年來球這部分所出的最為綜合全面的一道題，除了考查常規(guī)的與多面體綜合外，還考查了球面距離，幾乎涵蓋了球這部分所有的主要知識點，是一道不可多得的好題．例4、是半徑為的球的球面上兩點，它們的球面距離為，求過、的平面中，與球心的最大距離是多少？分析：、是球面上兩點，球面距離為，轉(zhuǎn)化為球心角，從而，由關(guān)系式，越小，越大，是過、的球的截面圓的半徑，所以為圓的直徑，最?。猓骸咔蛎嫔稀牲c的球面的距離為．∴，∴．當成為圓的直徑時，取最小值，此時，取最大值，，即球心與過、的截面圓距離最大值為．說明：利用關(guān)系式不僅可以知二求一，而且可以借此分析截面的半徑與球心到截面的距離之間的變化規(guī)律．此外本題還涉及到球面距離的使用，球面距離直接與兩點的球心角有關(guān)，而球心角又直接與長度發(fā)生聯(lián)系，這是使用或者求球面距離的一條基本線索．典型例題3——其它問題例5．自半徑為的球面上一點，引球的三條兩兩垂直的弦，求的值．分析：此題欲計算所求值，應首先把它們放在一個封閉的圖形內(nèi)進行計算，所以應引導學生構(gòu)造熟悉的幾何體并與球有密切的關(guān)系，便于將球的條件與之相聯(lián)．解：以為從一個頂點出發(fā)的三條棱，將三棱錐補成一個長方體，則另外四個頂點必在球面上，故長方體是球的內(nèi)接長方體，則長方體的對角線長是球的直徑．=．說明：此題突出構(gòu)造法的使用，以及滲透利用分割補形的方法解決立體幾何中體積計算．例6．試比較等體積的球與正方體的表面積的大?。治觯菏紫茸ズ们蚺c正方體的基本量半徑和棱長，找出等量關(guān)系，再轉(zhuǎn)化為其面積的大小關(guān)系．解：設(shè)球的半徑為，正方體的棱長為，它們的體積均為，則由，，由得．．．，即．典型例題4——球與幾何體的切、接問題例7一個倒圓錐形容器，它的軸截面是正三角形，在容器內(nèi)注入水，并放入一個半徑為的鐵球，這時水面恰好和球面相切．問將球從圓錐內(nèi)取出后，圓錐內(nèi)水平面的高是多少？分析：先作出軸截面，弄清楚圓錐和球相切時的位置特征，利用鐵球取出后，錐內(nèi)下降部分(圓臺)的體積等于球的體積，列式求解．解：如圖作軸截面，設(shè)球未取出時水面高，球取出后，水面高∵，，則以為底面直徑的圓錐容積為，球取出后水面下降到，水體積為．又，則，解得．例8．設(shè)正四面體中，第一個球是它的內(nèi)切球，第二個球是它的外接球，求這兩個球的表面積之比及體積之比．分析：此題求解的第一個關(guān)鍵是搞清兩個球的半徑與正四面體的關(guān)系，第二個關(guān)鍵是兩個球的半徑之間的關(guān)系，依靠體積分割的方法來解決的．解：如圖，正四面體的中心為，的中心為，則第一個球半徑為正四面體的中心到各面的距離，第二個球的半徑為正四面體中心到頂點的距離．設(shè)，正四面體的一個面的面積為．依題意得，又即．所以．．說明：正四面體與球的接切問題，可通過線面關(guān)系證出，內(nèi)切球和外接球的兩個球心是重合的，為正四面體高的四等分點，即定有內(nèi)切球的半徑(為正四面體的高)，且外接球的半徑．例9．把四個半徑都是1的球中的三個放在桌面上，使它兩兩外切，然后在它們上面放上第四個球，使它與前三個都相切，求第四個球的最高點與桌面的距離．分析：關(guān)鍵在于能根據(jù)要求構(gòu)造出相應的幾何體，由于四個球半徑相等，故四個球一定組成正四面體的四個頂點且正四面體的棱長為兩球半徑之和2．解：四球心組成棱長為2的正四面體的四個頂點，則正四面體的高．而第四個球的最高點到第四個球的球心距離為求的半徑1，且三個球心到桌面的距離都為1，故第四個球的最高點與桌面的距離為．例10．如圖1所示，在棱長為1的正方體內(nèi)有兩個球相外切且又分別與正方體內(nèi)切．（1）求兩球半徑之和；（2）球的半徑為多少時，兩球體積之和最?。治觯捍祟}的關(guān)鍵在于作截面，一個球在正方體內(nèi)，學生一般知道作對角面，而兩個球的球心連線也應在正方體的體對角線上，故仍需作正方體的對角面，得如圖2的截面圖，在圖2中，觀察與和棱長間的關(guān)系即可．解：如圖2，球心和在上，過，分別作的垂線交于．圖2則由得．圖2，．（1）設(shè)兩球體積之和為，則==當時，有最小值．當時，體積之和有最小值．作業(yè)1.正三棱錐的高為1，底面邊長為，正三棱錐內(nèi)有一個球與其四個面相切．求球的表面積與體積．解：如圖，球是正三棱錐的內(nèi)切球，到正三棱錐四個面的距離都是球的半徑．是正三棱錐的高，即．是邊中點，在上，的邊長為，∴．∴可以得到．由等體積法，∴得：，∴．∴．說明：球心是決定球的位置關(guān)鍵點，本題利用球心到正三棱錐四個面的距離相等且為球半徑來求出，以球心的位置特點來抓球的基本量，這是解決球有關(guān)問題常用的方法．2.求球與它的外切圓柱、外切等邊圓錐的體積之比．分析：首先畫出球及它的外切圓柱、等邊圓錐，它們公共的軸截面，然后尋找?guī)缀误w與幾何體之間元素的關(guān)系．解：如圖，等邊為圓錐的軸截面，此截面截圓柱得正方形，截球面得球的大圓圓．設(shè)球的半徑，則它的外切圓柱的高為，底面半徑為；，，∴，，，∴．3在球心同側(cè)有相距的兩個平行截面，它們的面積分別為和．求球的表面積．分析：可畫出球的軸截面，利用球的截面性質(zhì)，求球的半徑．解：如圖為球的軸截面，由球的截面性質(zhì)知，，且若、分別為兩截面圓的圓心，則，．設(shè)球的半徑為．∵，∴同理，∴設(shè)，則．在中，；在中，，∴，解得，∴，∴∴．∴球的表面積為．巧解外接球問題摘要：外接球有關(guān)計算問題在近年高考試題中屢見不鮮，本文就長方體、正方體及棱錐的外接球有關(guān)問題，給出了特殊解法。關(guān)鍵詞：巧解外接球問題《普通高中數(shù)學課程標準》中對立體幾何初步的學習提出了基本要求：“在立體幾何初步部分，學生將先從對空間幾何體的整體觀察入手，認識空間圖形；再以長方體為載體，直觀認識和理解空間點、線、面的位置關(guān)系；……?！庇纱丝梢姡L方體模型是學習立體幾何的基礎(chǔ)，掌握長方體模型，對于學生理解立體幾何的有關(guān)問題起著非常重要的作用。有關(guān)外接球的立體幾何問題是近年各省高考試題的難點之一，這與學生的空間想象能力以及化歸能力有關(guān)，本文通過近年來部分高考試題中外接球的問題談幾種解法。一、直接法1、求正方體的外接球的有關(guān)問題例1（2006年廣東高考題）若棱長為3的正方體的頂點都在同一球面上，則該球的表面積為.解析：要求球的表面積，只要知道球的半徑即可.因為正方體內(nèi)接于球，所以它的體對角線正好為球的直徑，因此，求球的半徑可轉(zhuǎn)化為先求正方體的體對角線長，再計算半徑.故表面積為.例2一個正方體的各頂點均在同一球的球面上，若該正方體的表面積為，則該球的體積為.解析：要求球的體積，還是先得求出球的半徑，而球的直徑正好是正方體的體對角線，因此，由正方體表面積可求出棱長，從而求出正方體的體對角線是所以球的半徑為.故該球的體積為.2、求長方體的外接球的有關(guān)問題例3（2007年天津高考題）一個長方體的各頂點均在同一球面上，且一個頂點上的三條棱長分別為，則此球的表面積為.解析：關(guān)鍵是求出球的半徑，因為長方體內(nèi)接于球，所以它的體對角線正好為球的直徑。長方體體對角線長為，故球的表面積為.例4、（2006年全國卷I）已知各頂點都在一個球面上的正四棱柱高為4，體積為16，則這個球的表面積為（）.A.B.C.D.解析：正四棱柱也是長方體。由長方體的體積16及高4可以求出長方體的底面邊長為2，因此，長方體的長、寬、高分別為2，2，4，于是等同于例3，故選C.二、構(gòu)造法1、構(gòu)造正方體例5（2008年福建高考題）若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱長均為，則其外接球的表面積是.解析：此題用一般解法，需要作出棱錐的高，然后再設(shè)出球心，利用直角三角形計算球的半徑.而作為填空題，我們更想使用較為便捷的方法，所以三條側(cè)棱兩兩垂直，使我們很快聯(lián)想到長方體的一個角，馬上構(gòu)造長方體，且側(cè)棱長均相等，所以可構(gòu)造正方體模型，如圖1，則，那么三棱錐的外接球的直徑即為正方體的體對角線，故所求表面積是.(如圖1)圖2圖2圖1圖1例6（2003年全國卷）一個四面體的所有棱長都為，四個頂點在同一球面上，則此球的表面積為（）A.B.C.D.解析：一般解法，需設(shè)出球心，作出高線，構(gòu)造直角三角形，再計算球的半徑.在此，由于所有棱長都相等，我們聯(lián)想只有正方體中有這么多相等的線段，所以構(gòu)造一個正方體，再尋找棱