人教版高中數(shù)學(xué)必修四全冊(cè)教案

理解任意角的概念(包括正角、負(fù)角、零角)與區(qū)間角的概念. αααx軸的非負(fù)半軸重合，那么角的終邊(端點(diǎn)除3030B3⑴60120°；⑶240°；⑷300°；⑸420°；⑹480°；1、2、3、4、1、2象限角．P3面所有與角ααS＝{β|β=αk·360⑴ααk·720°與角α終邊相同，但不能表示與角α⑴－120°；⑵640°；⑶－950°12．4y軸上的角的集合(0360°的角表示)．解:{α|α=90°5yxS,S中適合不等式－360°≤β＜720°的元素β ②教材P5練習(xí)第1-5題 思考題：已知α2α2各是第幾象限角？即(2k+1)360°＜2α＜(2k+1)360°+180°(k∈Z)k·180°+902＜k·180°+135°(k∈Z)kk=2n(n∈Z)n·360°+902＜n·360°+135°(n∈Z)2kk=2n+1n∈Z)n·360°+2702＜n·360°+315°(n∈Z)22R之間的可建立起一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系；熟記特殊角1．引由角度制的定義我們知道,角度是用來度量角的,角度制的度量是60進(jìn)制的,運(yùn)用起來不太方定我們規(guī)定,1弧度的角；用弧度來度量角的單位制叫做弧度制．在弧度制下,11radrad單位省略．P6的探究并歸納：

l 360

180

1

nn

1rad(180)57.30

n

180n ,常常把弧度數(shù)寫成多少π,

llr167°30＇化成弧度．

4；(2)tan1.53；(2)31552kπ+α(k∈Z,0≤α＜2π)的形式,

6解1)

而6是第三象限的角

例6.利用弧度制證明扇形面積公式S1

1

,又扇形弧長為l,半徑為 S

1R21∴扇形的圓心角大小為Rrad,∴扇形面 R

S證法二:設(shè)圓心角的度數(shù)為n，則在角度制下的扇形面積公式

l

180 2 扇形面積公式S1lR1 1弧度角?②任意角的弧度的定義③“角度制”與“弧度制”的聯(lián)系P107、8B2、34-1.2.1任意角的三角函數(shù)（三）sin(2k)sin(kZ)cos(2k)cos(kZ)tan(2k)tan(kZ)

.

若sinθcosθ0,則θ在 .第一、二象 B.第一、三象C.第一、四象 D.第二、四象

若cosθ0，且sin20則θ的終邊在

x2P(x2

y長線交與點(diǎn)T

M

當(dāng)角的終邊不在坐標(biāo)軸上時(shí)，有向線段OMxMPysinyyy

cosxxx

tany

MP

MP,OMAT為正弦線、余弦線、正切線。xyxy軸反（1）3；

6；

6

(3)tan2與tan

0,6

，

，

6

3

5.x

sinx1

cosx1 （1） （2） 4sin

sin

tan

tan sin

sin

tan

tan

cos64cos64,cos 2，則比較sin、cos、tan的大小

（2）tan

sin 24-1.2.1任意角的三角函數(shù)（1）（1）sinAa,cosAb,tanA b在直角坐標(biāo)系中，設(shè)α是一個(gè)任意角，αP（除了原點(diǎn)）的坐標(biāo)為(xy|x|2|x|2|y

0)x2yx2yr叫做α的正弦，記作sinr叫做α的余弦，記作cosx叫做α的正切，記作tany叫做α的余切，記作cot

rcosrtanxcoty②根據(jù)相似三角形的知識(shí)，對(duì)于確定的角αP(xy在α的終邊上的位置

x都等于0tan

cot y無意義 ④除以上兩種情況外，對(duì)于確定的值α，rrxy 定義值yyyyOP的位置無關(guān).質(zhì)，“r”同為正值.所不同的是，銳角三角函數(shù)是以邊的比來定義的，任意角的三角函數(shù)是以 （1）0； （3）2．（1）因?yàn)楫?dāng)0xry0，所以sin00 cos01 tan00 （2）因?yàn)楫?dāng)xry0sin0 cos tan0 2時(shí)，x0，yr，所

tan

22x2y22

siny

3313

cosx

22 tany

cotx 2

33．已知角α的終邊過點(diǎn)(a2a)(a0)，求α解：因?yàn)檫^點(diǎn)(a2a)(a0)r

|a|

xa,y5|a5|a

2a2

cosx tan2;cot5|a5|a

25cosx

5

tan2;cot12練習(xí)：確定下列三角函數(shù)值的符號(hào)：

4

31）

，

tan( y

tan

tantan解：定義域：cosx0∴x的終邊不在x軸 ∴x的終邊不在y軸xx0y ,x0,yx0,y

|tanx|=tanx

x0,y

|tanx|=tanx 3（1（2（3）（14-1.2.2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系r(r

||x|2|y

x2x2y

sinr

cosr

tanxsinA 問題：由于αx、y、r表示的，則角α的三個(gè)三角函數(shù)之間有什么關(guān)tan

,,

cos

1sin

sin21cos2

1（1）

cos

cos21sin21

122 5

cos

tansin

5

sin21cos21(4)2(， cos4

sin tansin

5 4tan

cos2 (costan)2cos2cos2(1tan2)1，即有tan為非零實(shí)數(shù)，∴為象限角。

1tan2

1tan21tan2當(dāng)

tan1tan

1tan2

1tan2

1tan2當(dāng)

tan1tan

1tan2 3、已知sin2cos5sin2

解：sin2cos

tansin4costan425sin2cos 5tan 為tan21可利用平方關(guān)系sin2cos21，將分子、分母都變?yōu)槎锡R次式，再利用商數(shù)關(guān)系化歸為tan的分式求值；1sin21sin21sin2(360°80°

11111

1sin2cos21sin2cos2(41sin

1sincosx證法一：由題義知cosx0，所以1sinx0,1sinx0 ∴左邊=(1sinx)(1sin cos2

1sinx

證法二：由題義知cosx0，所以1sinx0,1sinx0．(1sinx)(1sinx1sin2xcos2xcosxcosx，∴1sin

1sincosx證法三：由題義知cosx0，所以1sinx0,1sinx0cosx1sin

1sin

cosxcosx(1sinx)(1sin(1sinx)cos

cos2x1sin2x(1sinx)cos ∴1sin

1sincosx（1） 112sin40°cos解：原式

sin2sin240°cos240°2sin40°cos

sincos

(0

，求tan及sin3cos3解：1

sincos12

0

cos

(,(sincos)249

sincos

sincos5sin5

cos

sin3cos3

3(3)3

sin42mm

cosm3m

是第四象限角，tan(42m)2(m3)2解：∵sin2+cos2= m(m8

m mm1 m2m0

sin4

cos3(與是第四象限角不合）sin12 cos5，tan當(dāng)m=8時(shí) 1．3誘導(dǎo)公式（一）sin(360k)

cos(360k)

tan(360k)

1：P271、2、3、4。2：P252：化簡

tan

sin

sin(17cos65,(2)sin(

(4)tan（

.例4.已知tan()3,2cos(3sin()

原式

2cos3sin23tan233

4

公式一或二或四00~3600間00~9004P287．1．3誘導(dǎo)公式（二）sin(360k)

cos(360k)

tan(360k)

cos( tan

tan

sin

sin(17cos65,(2)sin(

(4)tan（

.例3.已知tan(

原式

2cos3sin23tan233

4

公式一或二或四00~3600間角 00~9003P287．

tan(360o) 求tan(6sin(2cos(6的值.cos(180sin(900)（1）cosxsin(x

2，作

ycosx,x

（1）r

x2x2yx2ysin則比值r叫做的正 cos比值r叫做的余 M，則有

yMP

cosx MP叫做角αOM叫做角α的余弦線．y=sinx點(diǎn)A起把圓分成n(這里n=12)等份.把x02π這一段分成n(這里n=12)

6，3，2,…，2π的正弦線正弦（等價(jià)“列表”.點(diǎn)就是正弦函數(shù)圖象上的點(diǎn)（等價(jià)于“描點(diǎn)”）.第三步：連線.y=sinx，x∈[0，-x2π，y=sinx，x∈R的圖象.MOxxxxMOxxxx-xxy=cosx1：你能根據(jù)誘導(dǎo)公式，以正弦函數(shù)圖象為基礎(chǔ)，通過適當(dāng)?shù)膱D形變換得到余弦函

cosxsin(x

,y=sinx2y=cosx的圖象.（- -- ---- 6 --- ----6y=sinxy=cosx的圖象分別叫做正弦曲線和余弦曲線． y=sinx，x∈[0，2π]的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：(0,02,1,0)(2,-1 x[0,2]的五個(gè)點(diǎn)關(guān)鍵是哪幾個(gè)？(0,1)(2,0)(,-1)(2,0)1 ,y=sin(x-π/3)小結(jié)：先作y=cosx圖象關(guān)于x軸對(duì)稱的圖形，得到y(tǒng)＝-cosx的圖象，再將y＝-cosx的圖象向上平移2個(gè)單位，得到y(tǒng)＝2-cosx y=sinx3π/2y=cosx的圖象有何關(guān)系嗎？請(qǐng)?jiān)谕蛔鴺?biāo)系中小結(jié)：sinx3π/2sinx3π/22π (2)cosx1,(0x 正弦、余弦曲線（1）自變量函數(shù)值sinf(xsinx（觀察圖象）13sin(2k+x)=sinx可以說明x2k（kZ）f(x2ksin(x2ksinxf(x)．（1）x2k時(shí)，正弦函數(shù)的值又重復(fù)出現(xiàn)；（2）xsin(x2ksinx恒成立。個(gè)值時(shí)，都有：fx+T)=fx)fx)T叫做這個(gè)函數(shù)的周（1）

ysin

sin(

)sin

3k0f(x的周期為TkTkZ*f(x（f(x)f(xT)f(x2T)f(xkT)2、說明：1xMx+TM,T>0則定義域無上界；T<0則定(((3T往往是多值的（如y=sinx 2,4,…,-2,-4,…都是周期）周期T中最小的正數(shù)叫做f(x)的最小正周期（有些周期函數(shù)沒有最小正周期）y=sinx,y=cosx的最小正周期為 ysinxxRycosxxR2；判斷：是不是所有的周期函數(shù)都有最小正周期？（f(xc沒有最小正周期）y 1

y3cos

②ysin

2sin(x 6（1）xx2y3cosxxR的值才能重復(fù)出現(xiàn)，y3cosxxR2．ysin2xxR的周期是

]2

6xxysin2xxR的值才能重復(fù)出現(xiàn)，ysin2xxR的周期是． 1y=sin(x+3 2 3y=3sin(2+5解：1zx+

而 即：f(2+z)=ffx+2)+3]=fx+3 ∴f即：f(x+)=f 3z=2+5則：fx)=3sinz=3sin(z+2)=3sin(2+5 5)=f 1T

y2sin(1x

y3cos(x)；

ysin(2x)；

6，xRT

思考：求下列函數(shù)的周期：1y=sin(2x+4)+2cos(3x-6 2 解：1y1=sin(2x+4 y2=2cos(3x-6)最小正周期T2=∴T為T1,T2的最小公倍數(shù) 例如：f(-3)=2,f(3)=2,即f(-3)=f(3 ∴f(-x)=以上情況反映在圖象上就是：如果點(diǎn)（x,y）y=cosx的圖象上的任一點(diǎn),那么,與它關(guān)y軸的對(duì)稱點(diǎn)(-x,y)y=cosxy=cosx是偶函數(shù)。y=sinxy=sinx是奇函數(shù)。

2］的圖象上可看出 x∈［22］時(shí)，曲線逐漸上升，sinx的值由－1 x∈［2，

1；在每一個(gè)閉區(qū)間［2＋2kπ，

余弦函數(shù)在每一個(gè)閉區(qū)間［(2k－1)π，2kπ］(k∈Z)上都是增函數(shù)，其值從－11；在每一個(gè)閉區(qū)間［2kπ，(2k＋1)π］(k∈Z)1減小到－1. 1（1）y3sin2xysin(x

4的一條對(duì)稱軸是（Cx

x x軸， y軸， 4 思考：P46111f(x)1sinxcosx

1sinxcos

f(x)lg(sinx

1sin2x 40sin()sin(

y2sin(

x

ysin(

1.4.3正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象

x|xk,k

ytan

ytanxxR,且xk 的一個(gè)周期

ytan

，x

2（1）ytan

3

x|xk,k

xk

2tanx

x

tanxT

當(dāng)從大

奇偶性：由tanxtanx單調(diào)性：在開區(qū)間

kk

tan tan例1比

4

5tan13tan

tan17tan

02ytanx在 4

4 5

5

2tantan2,tantan2,即tan13tan

y3tanx

ytan3x

T 5 6

答：T 3T

y

tan3x

3xk

xk

2

18 T 33、在區(qū)間

18

ytanx

x|xR且xkk 4上是增函 y＝tanx在(22)tanx＞0x xRx≠kπ2x的取值范圍為(kπ，kπ2tanxtanx

解：由tanx

得tanx A03A03 2 因?yàn)檎泻瘮?shù)ytanx的定義域是x,

{x|xR,xk,k

，所以它的圖象被 x軸向左或向右移動(dòng)，每次移動(dòng)的距離是π個(gè)單位，就可以得到整個(gè)正切函數(shù)1.5y=Asin(ωx+φ)的圖象（二）y=Asin(ωx+φ)+h的圖像信息．. f1f

:x=0T7

又 ,0) 因此所求函數(shù)的表達(dá)式為y2sin(2x例3.右圖所示的曲線是yAsin(xA0,0)的圖象的一部分，A2,T4(5,即2 又） y2sin(2x1NAT2(5 2,此時(shí)解析式為y點(diǎn)N

3sin(2x

20

.所求解析式為y

3sin(2x

A

y

3sin(2x

0 所求解析式為y 3sin(2x當(dāng)x

7x

時(shí)，y有最小值為 Ak7 A3 Ak解由已知

k3解得

1

又 3為“五點(diǎn)法”作圖得第二個(gè)點(diǎn)，則有 y

x) (2)563、4題．1.6三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用

s

t,t 6

（1）（2）l應(yīng)當(dāng)是多少？

T2

,f

若T1，即l

2y＝|sinx|的圖象并觀察其周期ysin P651么這三個(gè)量之間的關(guān)系是＝90o－|－|.當(dāng)?shù)叵陌肽耆≌?，冬半年取?fù)值一條貨船的吃水深度(船底與水面的距離)41.5)41.52:00P6533m的水輪如右圖所示,O2m,4圈,如果當(dāng)P點(diǎn)從水中浮現(xiàn)時(shí)(P0)點(diǎn)開始計(jì)算時(shí)間.Ph(m)t(s)之間的函數(shù)關(guān)系式;P點(diǎn)第一次達(dá)到最高點(diǎn)約要多長時(shí)間? （7

注意0與0的含義與書寫區(qū)別（1）（2）1752771、2、3題三、小結(jié)：（1）ａ＝ｂ（2）（1）1OABCDEFOAOB、OC相變式一：與向量OA長度相等的向量有多少個(gè)？（11個(gè)變式三：與向量共線的向量有哪些？（CB,DO,FE）2例3下列命題正確的是（ A不正確；由于數(shù)學(xué)中研究的向量是自由向量，B不正確；向量的平行只要方向相同或相反即可，與起點(diǎn)是否共線，可有ａ與ｂ共線，不符合已知條件，所以有ａ與ｂC.AB與CDA、B、C、DABCDAB＝③不正確.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量與零向量是相等的.④、⑤正確.774題三、小結(jié)：ABBCABBCABBCABBCABBCABBC船速為AB，水速為BC，則兩速度和：ABBC ： ， 如圖，已知向量a、ｂ.在平面內(nèi)任取一點(diǎn)A，作AB＝a，BC＝ｂ，則向量AC叫做a與ｂ的和，記作a＋ｂ，即a＋ｂABBCAC， a+0-=0+a（1）

向量的和與兩個(gè)數(shù)的和有 么關(guān)系兩向量的和 當(dāng)向量 與b不共線時(shí)a與bab的方向不同向，且|ab|<|a|+|b|；a與bab、a、b同向，且|ab|=|a|+|b（ OA

ABb則OBab 問題：上題中b+a的結(jié)果與a+b是否相同 ２）abb+a 2A點(diǎn)出發(fā)以v1的速度向垂直于對(duì)岸的方向行駛，同時(shí)河水的流速為v2，4km/h，方向與水流間的夾角是60，求v1和v2.練習(xí)：P841、2、3、4題 CBBAAD

CBBAADCAAD記作=任一向量與它的相反向量的和是零向量.aa)a、bab，ba，ab向量減法的定義：向量a加上的b相反向量，叫做a與b的差.即：ab=a+(b) 若b+x=a，則x叫做a與b的差，記作ab∵(ab)+b=a+(b)+b=a+0= 作OA= AB= 則BA=a

abba的終點(diǎn)的向量注意：1AB表示a 2用“相反向量”定義法作差向量，abaa+ abb２）若a∥b，如何作出a

A

O，作OA=a，OBb，OC=c，OD作BA，DC 則BA=ab，DC= AC=a+b，DB

AB

=ab滿足什么條件時(shí)，a+bab垂直？（|a|ab滿足什么條件時(shí)，|a+b||ab|？（ab互相垂直 例3O到平行四邊形ABCD2．在△ABC中，BC=a，CA=b，則AB等于( 教學(xué)難點(diǎn)：平面向量基本定理的理解與應(yīng)用.向量的坐標(biāo)表示的理解及運(yùn)算的準(zhǔn)確性.結(jié)合律：λ(μa)=(λμa；分配律：(λ+μa=λa+μa，λab)=λa+λ向量共線定理向量ba共線則：有且只有一個(gè)非零實(shí)數(shù)λ，使b=λa（1）平面向量基本定理：如果e1e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2a=λ1e1+λ2e2.基底給定時(shí)，分解形式惟一λ1，λ2ae1e2mn 例1已知向量1， 求作向量2.51+3 ),OOB練習(xí)PAB上，則OPmOAnOBe1、e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)向量，則有DA.e1、e2一定平 B.e1、e2的模相等C.同一平面內(nèi)的任一向量a都有a＝λe1+μe2(λ=a＝e1-2e2，b＝2e1+e2e1、e2a+bc＝6e1-2e2（Ｂ ３.已知λ1＞0，λ2＞0，e1、e2a＝λ1e1+λ2e2ae1不共線，a向量的夾角:已知兩個(gè)非零向量a、b，作OA?

b的夾角，當(dāng)=0°a、b同向，當(dāng)=180°a、b反向，當(dāng)=90°a與babxy軸方向相同的兩個(gè)單位向量ij底任作一個(gè)向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)xyaxi 我們把(x,y)叫做向量a的（直角）坐標(biāo)，記作a(x, 其中x 叫做a在 x軸上的坐標(biāo)，y叫做a在y軸上的坐標(biāo)，2式叫做向量的坐標(biāo)表示.與a相等的向量的坐標(biāo)也(x,y O為起點(diǎn)作OAaAa唯一確定設(shè)OAxiyj，則向量OA的坐標(biāo)(xyAA的坐標(biāo)(xy就是向量OA的坐標(biāo).因此，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，每一個(gè)平面向量都是可以用一對(duì)實(shí)數(shù)唯課堂練習(xí)：P1003（1）2．3．3平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算1．平面向量基本定理：如果e1e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2a=λ1e1+λ2e2基底給定時(shí)，分解形式惟一λ1，λ2ae1e2唯一確定的數(shù)量a(x,y

b(x,y

1

2ab、ab、a設(shè)基底為ijab(x1iy1jx2iy2j)(x1x2)iy1y2ab(x1x2y1y2ab(x1x2y1y2（1

a(x1,y1

，b(x2,y2

，則a

(x1x2,y1y2)ab(x1x2,y1y22A(x1,y1B(x2,y2AB的坐標(biāo)？（3）A(x1y1B(x2y2ABx2x1y2y1ABOBOA=(x2，y2)(x1，y1)=(x2x1，y2y1)3：你能標(biāo)出坐標(biāo)為(x2x1y2y1)PABP為終點(diǎn)的向量的坐標(biāo)是相同的。1a=(2，1)，b=(-3，4)abab，3a+4b的坐標(biāo)2A(2，1)，B(1，3)，C(3，4)D的坐標(biāo)使ABCDABDCD1=(2ACDBD2=(46)DACBD3=(63

(3，

F2(2，

F3(xy)F1F2F30F3解：由題設(shè)F1+F2+F3= 得：(3，4)+(2，5)+(x，y)=(0，32x x45y y

∴F3MP1若M(3，- N(-5，-1) 2MN，求P點(diǎn)的坐若A(0，1)，B(1，2)，C(3，4)，則AB2BC A(5，1)，B(3，4)，C(1，3)，D(5，-3)已知非零向量ａ與ｂ，作OA＝ａOB＝ｂ，則∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ與ｂ的夾角.（1）當(dāng)θ＝2時(shí)，ａ與ｂ垂直，記若a=(2，3)，b=(4，-1+y)，且a∥b，則y=（ 若A(x，-1)，B(1，3)，C(2，5)三點(diǎn)共線，則x的值為（ （4）力做的功：W|F||s|cos，F(xiàn)s的夾角.則數(shù)量|a||b|cos叫ａ與ｂabab=|a||b|cos，（０≤θ≤π）.b=0.cos0.已知實(shí)數(shù)a、b、c(b0)，則ab=bca=c.但是ab=bca=如右圖：ab|a||b|cos|b||OA|，bc|b||c|cosab a(5)在實(shí)數(shù)中，有(ab)ca(bc)，但是(ab)cac不共線. 當(dāng)為鈍角時(shí)投影為負(fù)值； 當(dāng)=0時(shí)投影為|b|； 當(dāng)=180時(shí)投影為|b|.ababa方向上投影|b|cos的乘積.a、b為兩個(gè)非零向量，1、abab=02、當(dāng)a與b同向時(shí)，ab= 當(dāng)a與b反向時(shí)，ab=aa|a|2或|交換律：abb

|ab|≤ cos=|a||b證：設(shè)a，b夾角為，則ab=|a||b|cos，ba= ∴ab=b數(shù)乘結(jié)合律：a)b(aba證：若0，a)b|a||b|cos，(ab|a||b|cos，ab若0，a)b|a||b|cos(|a||b|(cos|a||b|cos(ab|a||b|cos，ab)=|a||b|cos()=|a||b|(cos|a||b|cos.3．分配律：(ab)cac在平面內(nèi)取一點(diǎn)O，作OA=a，AB=b，OC=c，∵a+b（即OB）在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和，即 |a+b|cos=|a|cos1+|b|cos2∴|c||a+b|cos=|c||a|cos1+|c||b|cos2，∴c(a+b)=ca+cb 即：(ab)cac（1）ａｂｄ＝ａ·＋ｂ例2．已知|a|=12，|b|=9，ab ，求a與b的夾角（1）(a+2b)·(a- （

|a 4．已知|a|=3|b|=4ab不共線，ka+kba-kb互相垂直.P1061、2、3 A.向量的數(shù)量積滿足交換 B.向量的數(shù)量積滿足分配C.向量的數(shù)量積滿足結(jié)合 D.a·b是一個(gè)實(shí) |a|=3，|b|=4，向量a+4b與a-4b的位置關(guān)系為

已知|a|=8|b|=10|a+b|=16ab的夾角.兩個(gè)向量的數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)a、b為兩個(gè)非零向量，e是與b同向的單位向量. ea=ae=|a|cos； abab=0 |a||b|.4cos=|a||b

5|ab|≤ ，且(a-b)與a垂直，則a與b的夾角是 已知|a|=2，|b|=1，a與b之間的夾角為3，那么向量m=a-4b的模為

ax1y1b(x2y2a和b的坐標(biāo)表示ab？.兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和.abx1x2y12.x2y（1）設(shè)a(x,y)，則|a|2x2y2或x2y（2）a的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1y1、(x2y2(xx(xx)2(yy)2

a(x1y1b(x2y2ab

x1x2y1y2cos

|a||b

x1x2y1x2x2y x2y 例1已知A(1，2)，B(2，3)，C(2，5)，試判斷△ABC的形狀，并給出證明.例2 設(shè)a=(5，7)，b=(6，4)，求a·b及a、b間的夾角θ(精確到1o)3

，b＝（

－１

，b＝（

aab a記a與b的夾角為θ，則

三、課堂練習(xí)：1、P1071、2、3題 (xx)2(yy)2 (xx)2(yy)2

|aa(x1y1b(x2y2ab

x1x2y1y21A(52)為頂點(diǎn)作等腰直角△OAB，使B90BAB的B點(diǎn)坐標(biāo)(xy)，則OB=(xy)ABx5OB ∴x(x5y(y20即：x2y25x2y又∵|OB|=|AB ∴x2+y2=(x5)2+(y2)2即：10x+4y= x2y25x2y0x1

x210x4y

y

或y

(7∴B點(diǎn)坐標(biāo)

2或2

；AB

2

7,3)22在△ABCAB=(23)AC=(1k)，且△ABCk值解：當(dāng)A=90時(shí)，ABAC=0，∴2×1+3×k= ∴k B90ABBC0BC=ACAB12k31∴2×(1)+3×(k3)= ∴k=3當(dāng)C=90時(shí)，ACBC=0，∴1+k(k3)= ∴k ab|a||b|a//bx1y2x2y1x2(x)(yy

abx1x2y1y2abx1x2y1y2(x(x)(yy

1.AC為⊙O的一條直徑，∠ABC為圓周角.AOaOC,OB

bABAOOBab,BCaABBC(ab)(ab)

AB

ABC2.如圖，AD，BE，CF是△ABC的三條高.AD，BE，CF相交于一點(diǎn)例 平行四邊形是表示向量加法與減法的幾何模型.如圖ACABAD,DBAB4ABCDE、FAD、DC邊的中點(diǎn)，BEBFAC 2.《習(xí)案》作業(yè)二十五已知

直線l:y2x

點(diǎn)R是直線l上的一點(diǎn)若RA2AP,求點(diǎn)P的軌跡方程1.在日常生活中，你是否有這樣的經(jīng)驗(yàn)：兩個(gè)人共提一個(gè)旅行包，夾角越大越費(fèi)力；在單杠上做引體向上運(yùn)動(dòng)，兩臂的夾角越小越省力.你能從數(shù)學(xué)的角度解釋這種形象嗎？

F1|能等于|G|嗎?為什么(4).2.d＝500mA處出發(fā)到河對(duì)岸.的速度|v1|＝10km/h，水流速度|v2|＝2km/h，問行駛航程最短時(shí)，所用時(shí)間是多少（精確0.1min）？例3.

e1(1,

e2(0,

今有動(dòng)點(diǎn)P從P0(1,2)開始沿著與向量e1

速度為|e1e2|,另有一動(dòng)點(diǎn)

從Q0(2,1)

速度為|3e12e2

設(shè)P、Q在時(shí)刻t0,(4). 2.《習(xí)案》作業(yè)二十六掌握用向量方法建立兩角差的余弦公式.

cos45°

cos30°

cos45coscos15°cos45° cos45cos 公式cos?P1，cos等于cos()coscossinsin1、利用和、差角余弦公式求cos75、cos15的值.解：分析：把75°、15°構(gòu)造成兩個(gè)特殊角的和、差.cos75°cos45°30°cos45°cos30°sin45°sin30°2321 cos15°cos60°sin

,,cos5

cos

5

sin

1sin2

5由此 11 5

cos5,

sin

1cos2 1145

5412 5

513

（2）cos15

cos(8020)cos60:cos P1271、2、3、4由此衍變的兩角和的余弦公式.在解題過程中注意角、的象限，也就是符號(hào)問題，學(xué)會(huì)牢記公式C()CCS（2）sincos1、讓學(xué)生動(dòng)手完成兩角和與差正弦公式.

sin

sincoscossincoscossinsin．

tantan1tantan．

))))sin3

4

的值11 sin3

1sin2

5tansin 5

7

25 5

cos

7

coscossin

25 5

3 4 4

13

sin()cos(

P1311、2、3、4

4

4

（22°°°°1tan15°1tan15°．（

sin72°cos42°cos72°sin42°sin72°42°sin30°2 cos20°cos70°sin20°sin70°cos20°70°cos90° 1、1

° tan45 ° 1tan45° P13152、掌握兩角和與差的余弦、正弦和正切公式的應(yīng)用及asinbcos類型的變換。（1）

tantan

tantan1、化簡2cosx

6sin

6sinx221cosx3sinx

22226

2的

tana2a2b2f(x)2sinx

x求f(x)（2）求f(x)的周期、單調(diào)性。3ABC為△ABCm1,12sinBcosB

cos2Bsin2

tanC（1）（2）在△ABC中，sinAsinBcosAcosB，則△ABC為 3cossin

A．

4 13 5，求sinasinbcos類型的變換1、2、3題。

tantan

tantan（1） 3cossin

A．

4 13 5，求sin我們由此能否得到sin2cos2tan2的公式呢？（學(xué)生自己動(dòng)手，把上述公式中看，cos2cos2sin21sin2sin212sin2cos2cos2sin2cos2(1cos2)2cos21

1

1tan

kz

5,13

2得 115

5,cos2

1sin22

13

5121313

5

tan4sin4169

169

cosA 5，tanB2,求tan(2A2B)的

求tan 1tan2 3，由此得tan26tan1解得tan2 或tan2 3.2簡單的三角恒等變換（一） 2有什么樣的關(guān)系sin2

2 2

2cos2cos2

2來做此題 2，可以得

sin21 cos2cos2

cos21

sin2 cos2

1cossin 2的值

（１）

把

（１）三．練習(xí)：P1421、2、3題。3.2簡單的三角恒等變換（二）

cos2cos2

求

（1）

00

4

cos3

3cos2

tansin4,tan(

tan11

1

sin1

原式sin1

3sin10

2(cos10

3 2sin50sin30cos10cossin80cos10

2cos40sin f(x)cos4x2sinxcosxsin4f

（2）

x[0,]

f

4

f(x)

3sin2x2cos2xm在區(qū)間

6m（四）小結(jié)：(1)

2tan13.2簡單的三角恒等變換（三）.4R2l（1）4R2l

S2l24R2l2(l224R2l2,

l

2R即l2R2

2RS24R4S取得最大值2R22Rsin2RcosS2Rcos2Rsin2R2sin而sin21S2R2，當(dāng)且僅當(dāng)sin21時(shí)，S2R2，所以當(dāng)且僅當(dāng)故45Smax

P.139P.1422.《習(xí)案》作業(yè)三十五.1.(1)(2) 故終邊在x軸上角的集合為： 終邊在y軸非負(fù)半軸角的集合為： 故終邊在y軸上角的集合為： 弧度制.在弧度制下，11rad.360

180

1

n

1rad(180)57.30

n(180n2 lr扇形面積公式：S1lR設(shè)P的坐標(biāo)是x,y)x2y是rx2y

tansin(2k)sin(kZ)cos(2k)cos(kZ)tan(2k)tan(kZ)sin()sincos()costan()tansin()sincos()costan()tancos(－)=－costan(－)=－tansin(2)sincos(2)costan(2