高一（上）期末數(shù)學(xué)試卷1

高一(上)期末數(shù)學(xué)試卷

姓名:年級(jí):學(xué)號(hào):

題型選擇題填空題解答題判斷題計(jì)算題附加題總分

得分

評(píng)卷入得分

一、選擇題(共4題，共20分)

1、已知f(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，f(-1)=3,且當(dāng)x20時(shí)，f(x)=2x+x+c(c是常數(shù))，則不等

式f(x-1)V6的解集是()

A.(-3,1)B.(-2,3兒.(-2,2)D(-1,3)

【考點(diǎn)】

【答案】D

【解析】

根據(jù)題意，由偶函數(shù)的性質(zhì)可得f(1)=f(-1)=3,即f(1)=21+1+c=3,則c=0,即可得當(dāng)x,0時(shí),

f(x)=2x+x,據(jù)此分析可得f(2)=22+2=6,且f(x)在［0,+~)上為增函數(shù)；進(jìn)而可得f(x-1)<6=>f

(|X-1|)<f(2)=|x-1|<2,解可得x的取值范圍，即可得答案.

解：根據(jù)題意，f(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，且f(-1)=3,

則f(1)=f(-1)=3,即f(1)=21+1+c=3,則c=0,

故當(dāng)x》0時(shí)，f(x)=2x+x,有f(2)=22+2=6,且f(x)在［0,+°°)上為增函數(shù)，

則f(x-1)<6=>f(|x-1|)<f(2)=>|x-1|<2,

解可得：-1<x<3,

即不等式的解集為(-1,3)；

故選：D.

2、下列關(guān)于幕函數(shù)的判斷中正確的是()

A.不存在非奇非偶的累函數(shù)

B.兩個(gè)鬲函數(shù)的圖象至多有兩個(gè)交點(diǎn)

C.至少存在兩個(gè)鬲函數(shù)，它的反函數(shù)是其自身

D.如果基函數(shù)有增區(qū)間，那么這個(gè)幕函數(shù)的指數(shù)是正數(shù)

【考點(diǎn)】

【答案】C

【解析】

根據(jù)基函數(shù)的定義和性質(zhì)，分別進(jìn)行判斷，即可得到答案.

1

解：在A中，y=X：非奇非偶的幕函數(shù)，故A錯(cuò)誤；

1

在B中，y=x3和丫=弁',這兩個(gè)幕函數(shù)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；

1

在C中，y=x和y這兩個(gè)幕函數(shù)的反函數(shù)都是它本身，故C正確;

在D中，y=x-2有增區(qū)間(-oo,0),故D錯(cuò)誤.

故選：C.

f(x)=logix

3、函數(shù)2的圖象大致為()

【考點(diǎn)】

【答案】B

【解析】

根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求解，得到答案.

fM=logix

解：函數(shù)2,底數(shù)小于1,單調(diào)遞減；恒過(guò)(1,0)；

結(jié)合選項(xiàng)B正確，

故選：B.

4、若“x>0”是“x>1”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C,充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【考點(diǎn)】

【答案】B

【解析】

根據(jù)充分條件、必要條件的定義來(lái)判斷.

由題意，可得x>0推不出x>1,x>1=>x>0,

“x>0”是“x>1”的必要而不充分條件.

故選:B.

二、填空題(共11題，共55分)

(f(x0)<0

5、已知函數(shù)f(x)=x2+(a-1)x-a,g(x)=ax+4,若不存在x0,使得q(xn°)，<0,則實(shí)數(shù)a的取值范

圍______.

【考點(diǎn)】

【答案】{0,-1}

【解析】

由題意可得對(duì)任意的XGR,f(x)20或g(x)成立，運(yùn)用二次函數(shù)的判別式小于等于0和一次

函數(shù)的單調(diào)性，即可得到所求范圍.

'/(々)<0

貝與)<0

解：若不存在X0,使得''U’,

即為對(duì)任意的xER,f(x)，?；騡(x)成立，

由函數(shù)f(x)=x2+(a-1)x-a,

可得△W()，即為(a-1)2+4a=(a+1)2W0,

解得a=-1；

由g(x)=ax+4,

可得a=0時(shí),g(x)=4>0恒成立，

綜上可得a的取值范圍是{0,-1}.

故答案為：{0,-1}.

6、把物體放在空氣中冷卻，如果物體原來(lái)的溫度是Q1，空氣溫度是QO,t分鐘后溫度Q可由公式Q=Q0+(Q1-Q0)

e-tln1.5求得，現(xiàn)在60。的物體放在15的空氣中冷卻，當(dāng)物體溫度為35°時(shí)，冷卻時(shí)間t=分鐘.

【考點(diǎn)】

【答案】2

【解析】

根據(jù)Q=QO+(Q1-Q0)e-tln1.5,可得對(duì)數(shù)方程，解之即可得答案.

解：由題意,00=15°,01=60°,0=35°,

'.,Q=QO+(Q1-Q0)e-tln1.5

.,.35=15+(60-15)e-tln1.5

Irin9=—tlnl.5,.'.t=c2

故答案為：2.

7、已知xN0,且x+y=1,則，+y2的取值范圍是.

【考點(diǎn)】

【答案】

【解析】

/+)產(chǎn)=x2+(1-x)2=2X2-2X+1式e[0,1],所以當(dāng)x=。或1時(shí)，取最大值1；當(dāng)"=7

_22

時(shí)，取最小值2.因此x+y的取值范圍為.

8、函數(shù)y=x2-2x+1在區(qū)間［0,m］上的最小值為0,最大值為1,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

【考點(diǎn)】

【答案】［1,2］

【解析】

m>1

?2

根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得出=血―2?n+1s1,求解即可.

由題意，f(x)=x2-2x+1=(x-1)2,.?.對(duì)稱軸x=1,(1)=0,f(2)=1,f(0)=1,

Vf(x)=x2-2x+2在區(qū)間［0,m］上的最大值為1,最小值為0,

「.IWmWZ,

故答案為：1WmW2.

x-3

----->1

9、已知aGR,不等式x+a-的解集為P,且-2GP,則a的取值范圍是.

【考點(diǎn)】

【答案】［-3,2)

【解析】

根據(jù)題意，由不等式的解集可得一2+。一”，變形可得：(a+3)(a-2)W0且a-2豐0,解可得a的

取值范圍，即可得答案.

解：根據(jù)題意，等式的解集為P,且-2GP,

5

則有，即TNW-1,變形可得：(a+3)(a-2)W0且a-2大0,

解可得：-3Wa<2,

即a的取值范圍為［-3,2)；

故答案為:［-3,2).

10、如果函數(shù)f(x)=x2-2ax+1是區(qū)間［1,4］上的增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

【考點(diǎn)】

【答案】"8,1］

【解析】

根據(jù)題意，分析二次函數(shù)的對(duì)稱軸，由二次函數(shù)的單調(diào)性分析可得a的取值范圍，即可得答案.

-2a

根據(jù)題意，函數(shù)f(x)=x2-2ax+1是開(kāi)口向上為二次函數(shù)，其對(duì)稱軸為'=~~=a,

若f(x)在區(qū)間［1,4］上的增函數(shù)，

則有aW1,

故實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-°o,1］,

故答案為：(-°°,U.

11、若函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=x2,則f(-1)=.

【考點(diǎn)】

【答案】-1

【解析】

根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式可得f(1)=1,又由函數(shù)為奇函數(shù)，可得f(T)=-f(1),即可得答案.

解：根據(jù)題意，函數(shù)f(x)滿足當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=x2,則f(1)=1,

又由函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，則f(7)=-f(1)=-1；

故答案為：-1

12、函數(shù)f(x)=log2x-1的零點(diǎn)為.

【考點(diǎn)】

【答案】2

【解析】

根據(jù)題意，由函數(shù)零點(diǎn)的定義，若f(x)=log2x-1=0,解可得x=2；即可得答案.

根據(jù)題意，f(x)=log2x-1,

若f(x)=log2x-1=0,解可得x=2；

則函數(shù)f(x)=log2x-1的零點(diǎn)為2；

故答案為：2

13、函數(shù)y=3x的反函數(shù)丫=.

【考點(diǎn)】

【答案】Iog3x,x>0

【解析】

根據(jù)y=3x,y>0,得出x=log3y,即函數(shù)y=3x的反函數(shù)y=log3x,x>0,得到答案.

由題意，函數(shù)y=3x,y>0,.,.x=log3y,

；?函數(shù)y=3x的反函數(shù)y=log3x,x>0.

故答案為:y=log3x,x>0.

14、函數(shù)/'(x)=4-2的定義域?yàn)?

【考點(diǎn)】

【答案】［2,+8)

【解析】

由題意，直接由根式內(nèi)部的代數(shù)式大于等于0,即可求解函數(shù)的定義域，得到答案.

解：由x-220,得x22.

函數(shù)/'(X)=也一2的定義域?yàn)椋?,+8).

故答案為：［2,+oo).

15、若集合A={x|x>1},B={0,1,2,3},則ACB=.

【考點(diǎn)】

【答案】{2,3}

【解析】

根據(jù)集合的交集的概念，即可求解，得到答案.

解：...集合A={x|x>1},B={0,1,2,3),

.".AnB={2,3}.

故答案為：(2,3).

三、解答題(共5題，共25分)

2

16、已知函數(shù)(其中a為常數(shù)).

(1)當(dāng)a=1時(shí)，求f(x)在52］上的值域；

f(2x)<2x+^+4

(2)若當(dāng)xG［0,1］時(shí)，不等式八)2、恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

1-X1

(3)設(shè)°(')=中，是否存在正數(shù)a,使得對(duì)于區(qū)間10'月上的任意三個(gè)實(shí)數(shù)m,n,p,都存在以

f(g(m)),f(g(n)),f(g(p))為邊長(zhǎng)的三角形？若存在，試求出這樣的a的取值范圍；若不存

在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【考點(diǎn)】

5蜃蜃

【答案】⑴［2,2］(2)-/VaV(3)-記)U(,)

【解析】

11

(1)當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=x+"結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得f(x)在區(qū)，2］上的值域；

1

(2)若不等式f(2x)V2x+2*+4在［0,式上恒成立,即aV-2(2x)2+1+2x在［0,1］上恒成立，令

t=2x,則2］,y=-2t2+t+1,結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出函數(shù)的最小值，可得實(shí)數(shù)a的取值范

圍；

(3)換元，原問(wèn)題等價(jià)于求實(shí)數(shù)a的范圍，使得函數(shù)在給定的區(qū)間上，恒有2ymin>ymax

2

的小b/X')=X+—

解：(1)函數(shù)八'x,

2_(xl)(x+l)

當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=x+,導(dǎo)數(shù)為f'(x)=1-丫2=X2,

f(x)在［,1］上為減函數(shù)，在［1,2］上為增函數(shù)，

.??當(dāng)x=,或x=2時(shí)，函數(shù)最最大值，當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)取最小值2,

故f(x)在［,2］上的值域?yàn)椋?,］；

(2)若不等式f(2x)<2x++4在［0,1］上恒成立，

即2x+2'<2x++4在［0,1］上恒成立，即a2<1+4?2x在［0,1］上恒成立，

1+4?2x在［0,1］遞增,可得最小值為1+4=5,即a2V5,解得Ya<；

1-x21a2

(3)設(shè)t=g(X)=7轉(zhuǎn)=-1+=在)(6［0,］遞減，可得1］,則丫十+干，

原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使得y在區(qū)間［,1］上，恒有2ymin>ymax.

1

討論：①當(dāng)0Va2W9時(shí),y=t+在［,1］上遞增，「.ymin=3a2+,ymax=a2+1,

1

由2ymin>ymax得a2>15,/.VaW；或-WaV-；

②當(dāng)Va2W時(shí),y=t+在［,|a］］上單調(diào)遞減,在［|a|,1］上單調(diào)遞增,

.*.ymin=2|a|,ymax=max{3a2+,a2+1}=a2+1,

I

由2ymin>ymax得2-護(hù)<|a|<2+,V|a|W3；

③當(dāng)V|a|V1時(shí)，y=t+在［,|a］］上單調(diào)遞減，在［|a|,1］上單調(diào)遞增，

.*.ymin=2|a|,ymax=max{3a2+,a2+1}=3a2+,

2-F2+F

由2ymin>ymax得3v|a|V3,|a|<1；

④當(dāng)|a|21時(shí)，y=t+在［,1］上單調(diào)遞減，「.ymin=a2+1,ymax=3a2+,

5

由2ymin>ymax得a2V3,1^a2<；

綜上，a的取值范圍是(-，-)U(,).

17、已知函數(shù)f(x)=|x+a|(a>-2)的圖象過(guò)點(diǎn)(2,1).

(1)求實(shí)數(shù)a的值；

(一-a)+a

(2)設(shè)9。)=f(x)一,在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=g(x)的簡(jiǎn)圖，并寫(xiě)出(不

需要證明)函數(shù)g(x)的定義域、奇偶性、單調(diào)區(qū)間、值域.

【考點(diǎn)】

【答案】(1)-1(2)詳見(jiàn)解析

【解析】

(1)直接利用待定系數(shù)法求出a的值.

(2)利用(1)的結(jié)論求出函數(shù)g(x)的圖象，進(jìn)一步畫(huà)出函數(shù)圖象的簡(jiǎn)圖，利用函數(shù)的圖象確定函數(shù)

的定義域，值域和單調(diào)區(qū)間.

(1)函數(shù)f(x)=|x+a|(a>-2)的圖象過(guò)點(diǎn)(2,1).

則：1=|2+a|,解得：a=T；

f(x-a)+a

⑵設(shè)9(、)=

f(x),

|x|-l

由于a=-1,貝I]g(x),

定義域(-°°,1)U(1,+8),

由于g(-x)*g(x)*-g(x),所以函數(shù)為：非奇非偶函數(shù).

(%>1)

-1(0<x<l)

2

+門(mén)(x<0)

g(x)==

函數(shù)的圖象如下:

所以函數(shù)的值域：[-1,1];

函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間為"8,0).

18、某小區(qū)欲建一面積為600平方米的矩形綠地，在綠地的四周鋪設(shè)人行道，設(shè)計(jì)要求綠地長(zhǎng)邊外人行道

寬2米，短邊外人行道寬3,如圖所示，設(shè)矩形綠地的長(zhǎng)為x米，綠地與人行道一共占地S平方米.

(1)試寫(xiě)出S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

(2)求當(dāng)S取得最小值時(shí)x的值.

【考點(diǎn)】

3600

【答案】①S=k+4x+624⑵30

【解析】

(1)求出綠地和人行道構(gòu)成的矩形的長(zhǎng)，寬，寫(xiě)出S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式即可;

(2)根據(jù)基本不等式的性質(zhì)求出滿足條件的x的值即可.

600

(1)由題意綠地和人行道構(gòu)成的矩形的長(zhǎng)是(x+6)m,寬是(丫+4)m,

,、，600