2024–2025學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)暑假提升講義（北師大版）第22講 相似三角形中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題（原卷版）

第22講難點(diǎn)探究專(zhuān)題：相似三角形中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題【題型一相似三角形動(dòng)點(diǎn)中求時(shí)間多解問(wèn)題（利用分類(lèi)討論思想）】例1．（2023·河北·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在中，，點(diǎn)P從A出發(fā)，以的速度向B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從C出發(fā)，以的速度向A運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t．（1）用含t的代數(shù)式表示：=；（2）當(dāng)以A，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與相似時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間【變式1-1】（2023春·山東煙臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在鈍角三角形ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm，動(dòng)點(diǎn)D從A點(diǎn)出發(fā)到B點(diǎn)止，動(dòng)點(diǎn)E從C點(diǎn)出發(fā)到A點(diǎn)止．點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的速度為1cm/秒，點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的速度為2cm/秒．如果兩點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動(dòng)，那么當(dāng)以點(diǎn)A、D、E為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似時(shí)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是．【變式1-2】如圖，在中，，，，若點(diǎn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以每秒3個(gè)單位的速度按照從運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)從以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，若△BPQ與相似，則的值為．【變式1-3】（2023春·廣東汕頭·九年級(jí)校考期中）如圖1，在中，，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，在BA邊上以每秒5cm的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，在CB邊上以每秒4cm的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，連接PQ．(1)若△BPQ與相似，求t的值；(2)直接寫(xiě)出△BPQ是等腰三角形時(shí)t的值；(3)如圖2，連接AQ、CP，若，求t的值．【題型二相似三角形動(dòng)點(diǎn)中求線段長(zhǎng)多解問(wèn)題（利用分類(lèi)討論思想）】例2.（2023秋·福建漳州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）在中，，，，動(dòng)點(diǎn)D在邊上，的垂直平分線交邊于點(diǎn)E．若是直角三角形，則的長(zhǎng)為．【變式2-1】（2023秋·河南南陽(yáng)·九年級(jí)南陽(yáng)市第三中學(xué)?？计谀┤鐖D，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，E是BC的中點(diǎn)，連接AE，P是邊AD上一動(dòng)點(diǎn)，沿過(guò)點(diǎn)P的直線將矩形折疊，使點(diǎn)D落在AE上的點(diǎn)D′處，當(dāng)△APD′是直角三角形時(shí)，PD＝．【變式2-2】（2023春·山東淄博·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，直線與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿的路線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B停止，C是的中點(diǎn)，沿直線PC截，若得到的三角形與相似，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是．【變式2-3】（2023·江蘇·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，矩形中，為邊上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)與相似時(shí)，求長(zhǎng)．【題型三相似三角形動(dòng)點(diǎn)中求線段及線段和最值問(wèn)題】例3.（2023秋·湖南益陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）正方形的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)在邊上，且，是邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作交邊于點(diǎn)，設(shè)的長(zhǎng)為，則線段長(zhǎng)度的最大值為.【變式3-1】（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考二模）如圖，在直角中，，，，點(diǎn)P是邊上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作交于點(diǎn)H，則的最小值為．

【變式3-2】（2023秋·四川成都·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在矩形中，．點(diǎn)E是上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是的中點(diǎn)相交于點(diǎn)G，則的最小值為．【變式3-3】（2023·江蘇南通·統(tǒng)考三模）已知，如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，且，連接，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，的長(zhǎng)為．

【題型四相似三角形中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題與函數(shù)圖像問(wèn)題】例4.（2023·河南焦作·統(tǒng)考二模）如圖，在中，，點(diǎn)P為邊上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作直線，交折線于點(diǎn)Q．設(shè)，則y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致是（

）

A．

B．

C．

D．

【變式4-1】（2023春·河南南陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖1，在矩形中，對(duì)角線與相交于點(diǎn)O，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，在線段上勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)C時(shí)停止．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為x，線段的長(zhǎng)為y，如果y與x的函數(shù)圖象如圖2所示，則矩形的面積是（

）A．20 B．24 C．48 D．60【變式4-2】（2023·安徽合肥·校聯(lián)考二模）如圖，在正方形中，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿方向在和上勻速移動(dòng)，連接交或的延長(zhǎng)線于，記點(diǎn)移動(dòng)的距離為，為，則關(guān)于的函數(shù)圖像大致是（

）A．B．C． D．【變式4-3】（2023·黑龍江·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知直線是線段的中垂線，與相交于點(diǎn)C，D是位于直線下方的上的一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)C重合），連接，過(guò)點(diǎn)A作，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)E，若，設(shè)，，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系用圖像可以大致表示為（

）．

A．B．

C．D．

【題型五相似三角形中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題與幾何綜合問(wèn)題】例5.（2023·江蘇·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在矩形中，，動(dòng)點(diǎn)E在邊上，連接，過(guò)點(diǎn)A作，垂足為H，交于F．(1)求證：；(2)當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．(3)若直線與線段延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G，當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．【變式5-1】（2023·遼寧撫順·統(tǒng)考三模）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為4，動(dòng)點(diǎn)在邊上從點(diǎn)沿向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)不與點(diǎn)，重合），連接．過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)若，求的長(zhǎng)度；(3)連接．試判斷當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到邊的什么位置時(shí)，△PCQ∽△BCP？并說(shuō)明理由．【變式5-2】（2023春·安徽·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠BCA=90°，BC=8，AC=6，點(diǎn)D是AB邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)E是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接DE，將△BDE沿DE翻折得到△FDE．

(1)如圖①，線段DF與線段BC相交于點(diǎn)G，當(dāng)BE=2時(shí)，則_______；(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，線段EF與線段AB相交于點(diǎn)P，求DP的長(zhǎng)；(3)如圖③，連接CD，線段EF與線段CD相交于點(diǎn)M，當(dāng)△DFM為直角三角形時(shí)，求BE的長(zhǎng)．【題型六相似三角形中的動(dòng)點(diǎn)探究應(yīng)用問(wèn)題】例6.（2023春·浙江·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）【基礎(chǔ)鞏固】(1)如圖1，在中，分別為上的點(diǎn)，交于點(diǎn)，求證：．【嘗試應(yīng)用】(2)如圖2，已知為的邊上的兩點(diǎn)，且滿足，一條平行于的直線分別交和于點(diǎn)和，求的值．【拓展提高】(3)如圖3，點(diǎn)是正方形的邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接，求的最小值．【變式6-1】（2023·湖北武漢·?？寄M預(yù)測(cè)）一次數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)課上．小慧發(fā)現(xiàn)并證明了關(guān)于三角形角平分線的一個(gè)結(jié)論．如圖1，是的角平分線，可以證明【基礎(chǔ)鞏固】（1）參照小慧提供時(shí)思路，利用圖（2）請(qǐng)證明上述結(jié)論；（2）A、B、C、是同一直線l上從左到右順次的點(diǎn)，點(diǎn)P是直線外一動(dòng)點(diǎn)，平分；【嘗試應(yīng)用】①若，，延長(zhǎng)至D，使，若的長(zhǎng)為定值，請(qǐng)求出這個(gè)值；【拓展提高】②拓展：若，，，P點(diǎn)在l外運(yùn)動(dòng)時(shí)，使為定值，直接寫(xiě)出的長(zhǎng)為_(kāi)__________（用含m、n的式子表示）．【變式6-2】（2023·江蘇蘇州·校聯(lián)考三模）在中，，，于點(diǎn)D，點(diǎn)E是直線AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接DE，過(guò)點(diǎn)D作，交直線BC于點(diǎn)F．(1)[探究發(fā)現(xiàn)]：如圖1，若，點(diǎn)E在線段AC上，猜想DE與DF的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)[數(shù)學(xué)思考]：①如圖2，若點(diǎn)E在線段AC上，求證：；②當(dāng)點(diǎn)E在直線AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，數(shù)學(xué)思考①中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)僅就圖3的情形給出證明；(3)[拓展應(yīng)用]：若，，，求CE的長(zhǎng)．（可結(jié)合題意，另行畫(huà)圖）一、單選題1．（23-24九年級(jí)上·河南洛陽(yáng)·期中）如圖，在中，，，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)以1個(gè)單位的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)以2個(gè)單位的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．當(dāng)以B，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與相似時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（

）

A． B． C．或 D．以上均不對(duì)2．（2024·山東泰安·一模）如圖1，在等腰中，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以的速度沿折線方向運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)停止，動(dòng)點(diǎn)以的速度沿方向運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)停止．設(shè)的面積為，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，與之間關(guān)系的圖象如圖2所示，則的長(zhǎng)是（

）A． B． C． D．3．（23-24九年級(jí)下·遼寧鐵嶺·期中）如圖，在中，，，．如果點(diǎn)由點(diǎn)出發(fā)沿方向向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)由點(diǎn)A出發(fā)沿方向向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，它們的速度均為．連接，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，連接，將沿翻折，得到四邊形，當(dāng)四邊形為菱形時(shí)，的值為（

）A． B． C． D．二、填空題4．（23-24九年級(jí)上·江蘇泰州·期中）如圖，在中，，是上一點(diǎn)，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，當(dāng)直線截存在與相似的三角形時(shí)，．

5．（23-24九年級(jí)上·河南南陽(yáng)·期末）在菱形中，，點(diǎn)是對(duì)角線的中點(diǎn)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿著邊按由的路徑運(yùn)動(dòng)，到達(dá)終點(diǎn)停止，當(dāng)以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形與相似時(shí)，則線段的長(zhǎng)為．6．（20-21八年級(jí)下·重慶九龍坡·期末）如圖，直線AB的解析式為y＝x+4，與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)P為線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作PE⊥y軸于點(diǎn)E，PF⊥x軸于點(diǎn)F，連接EF，當(dāng)線段EF的長(zhǎng)度最小時(shí)，△OEF的面積為．三、解答題7．（22-23九年級(jí)上·陜西咸陽(yáng)·期中）如圖，在矩形中，，，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿邊以的速度向點(diǎn)B勻速移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，沿邊以的速度向點(diǎn)A勻速移動(dòng)，一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P，Q同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．(1)當(dāng)t為何值時(shí)，的面積為？(2)當(dāng)t為何值時(shí)，以A，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與相似？8．（23-24九年級(jí)上·江西南昌·期末）如圖，已知，在中，，，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿以的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)；同時(shí)點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)，沿以的速度向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x，(1)當(dāng)時(shí)，x為何值？(2)能否與相似，若能，求出的長(zhǎng)，若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)當(dāng)時(shí)，求．（直接寫(xiě)答案）9．（23-24九年級(jí)上·山東青島·期中）如圖，在中，，點(diǎn)P由點(diǎn)B出發(fā)沿的方向向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s，同時(shí)點(diǎn)Q由A出發(fā)沿方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s，連接．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s），其中．解答下列問(wèn)題：

(1)，；（用含t的代數(shù)式表示）(2)當(dāng)t為何值時(shí)，以P、Q、A為頂點(diǎn)的三角形與相似？(3)點(diǎn)P