考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷3（共279題）

考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷3（共9套）（共279題）考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)1、當(dāng)x→1時，函數(shù)f(x)=的極限()A、等于2。B、等于0。C、為∞。D、不存在，但不為∞。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：因為故當(dāng)x→1時，函數(shù)極限不存在，也不是∞，應(yīng)選D。2、設(shè)f(x)在點x=a處可導(dǎo)，則函數(shù)｜f(x)｜在點x=a處不可導(dǎo)的充分必要條件是()A、f(a)=0，且f’(a)=0。B、f(a)=0，且f’(a)≠0。C、f(a)＞0，且f’(a)＞0。D、f(a)＜0，且f’(a)＜0。標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：若f(a)≠0，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則有因此排除C和D。(當(dāng)f(x)在x=a可導(dǎo)，且f(a)≠0時，｜f(x)｜在x=a點可導(dǎo)。)當(dāng)f(a)=0時，上兩式分別是｜f(x)｜在x=a點的左右導(dǎo)數(shù)，因此，當(dāng)f(a)=0時，｜f(x)｜在x=a點不可導(dǎo)的充要條件是上兩式不相等，即f’(a)≠0時，故選B。3、設(shè)f(x)在(-∞，+∞)上可導(dǎo)，x0≠0，(x0，f(x0))是y=f(x)的拐點，則()A、x0必是f’(x)的駐點。B、(-x0，-f(x0))必是y=-f(-x)的拐點。C、(-x0，-f(x0))必是y=-f(x)的拐點。D、對任意x＞x0與x＜x0，y=f(x)的凹凸性相反。標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：從幾何上分析，y=f(x)與y=-f(-x)的圖形關(guān)于原點對稱。x0≠0，(x0，f(x0))是y=f(x)的拐點，則(-x0，-f(x0))是y=-f(-x)的拐點。故選B。4、定積分=()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：這是無界函數(shù)反常積分，x=±1為瑕點，與求定積分一樣，作變量替換x=sint，5、設(shè)f(x，y)=則fx(0，1)()A、等于1。B、等于0。C、不存在。D、等于-1。標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：6、設(shè)f(x，y)連續(xù)，且f(x，y)=xy+f(u，v)dudv，其中D是由y=0，y=x2，x=1所圍成的區(qū)域，則f(x，t)等于()A、xy。B、2xy。C、xy+D、xy+1。標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：等式f(x，y)=xy+兩端積分得7、設(shè)冪級數(shù)的收斂半徑為()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：由題設(shè)條件可知于是冪級數(shù)的收斂半徑為二、填空題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)8、=_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：運用洛必達法則，則有9、已知y=lnlnlnx，則y’=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：10、設(shè)f(x)在x=0處連續(xù)，且，則曲線f(x)在點(0，f(0))處的切線方程為_______。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：當(dāng)x→0時，arcsinx-x～x3，1-cosx=2sin2。由極限的運算法則可得從而=1。又因為f(x)在x=0處連續(xù)，所以f(0)==1。根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義可得所以曲線f(x)在點(0，f(0))處的切線方程為11、=______。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：12、點(2，1，0)到平面3x+4y+5z=0的距離d=_______。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：利用點到平面的距離公式可得13、函數(shù)f(x，y，z)=x3+y4+z2在點(1，1，0)處方向?qū)?shù)的最大值與最小值之積為______。標(biāo)準(zhǔn)答案：-25知識點解析：函數(shù)f(x，y，z)在點(1，1，0)處方向?qū)?shù)的最大值和最小值分別為f(x，y，z)在該點處梯度向量的模和梯度向量模的負(fù)值。gradf｜(1,1,0)=(3，4，0)，則函數(shù)f(x，y，z)=x3+y2+z2在點(1，1，0)處方向?qū)?shù)的最大值和最小值之積為｜｜g｜｜(-｜｜g｜｜)=-｜｜g｜｜2=-25。14、Ω是由曲面z=xy與平面y=x，x=1和z=0所圍成的閉區(qū)域，則xy2z3dxdydz=_______。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：由題干可知，閉區(qū)域Ω={(x，y，z)｜0≤z≤xy，0≤y≤x，0≤x≤1}。則15、設(shè)Ω={(x，y，z)｜x2+y2≤z≤1}，則Ω的形心的豎坐標(biāo)=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：16、微分方程xy’+2y=xlnx滿足y(1)=的解為________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：原方程等價于于是通解為由y(1)=解得C=0。故所求解為三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)17、求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析18、證明當(dāng)x＞0時，(x2-1)lnx≥(x-1)2。標(biāo)準(zhǔn)答案：令f(x)=(x2-1)lnx-(x-1)2，易知f(1)=0。又可見，當(dāng)0＜x＜1時，f’’(x)＜0；當(dāng)1＜x＜+∞時，f’’(x)＞0。所以當(dāng)x＞0時，f’’(x)＞f’’(1)=2＞0，即f’(x)單調(diào)遞增，因此，當(dāng)0＜x＜1時，f’(x)＜f’(1)=0；當(dāng)1＜x＜+∞時，f’(x)＞f’(1)=0。所以f(x)≥f(1)=0(0＜x＜+∞)，即證得當(dāng)x＞0時，(x2-1)lnx≥(x-1)2。知識點解析：暫無解析19、計算標(biāo)準(zhǔn)答案：使用分部積分法和換元積分法。由題設(shè)知f(1)=0，知識點解析：暫無解析20、設(shè)擺線試求L繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)曲面的面積。標(biāo)準(zhǔn)答案：x’(θ)=1-cosθ，y’(θ)=sinθ，按旋轉(zhuǎn)面面積計算公式。可得旋轉(zhuǎn)曲面的面積知識點解析：暫無解析21、求f(x，y)=的極值。標(biāo)準(zhǔn)答案：先求函數(shù)f(x，y)=的駐點，令fx(x，y)=e-x=0，fy(x，y)=-y=0，解得函數(shù)f(x，y)的駐點為(e，0)。又A=fxx(e，0)=-1，B=fxy(e，0)=0，C=fyy(e，0)=-1，B2-AC＜0，A＜0。故f(x，y)在點(e，0)處取得極大值f(e，0)=知識點解析：暫無解析22、計算曲線積分I=，其中L是以點(1，0)為中心，R為半徑的圓周(R＞1)，取逆時針方向。標(biāo)準(zhǔn)答案：由題干可知則有作足夠小的橢圓(t∈[0，2π]，C取逆時針方向)，于是由格林公式有從而有知識點解析：暫無解析23、設(shè)有一高度為h(t)(t為時間)的雪堆在融化過程中其側(cè)面滿足方程z=h(t)-(設(shè)長度單位為厘米，時間單位為小時)，已知體積減少的速率與側(cè)面積成正比(比例系數(shù)為0．9)，問高度為130厘米的雪堆全部融化需多長時間?標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)t時刻雪堆的體積為V(t)，側(cè)面積為S(t)。先求S(t)與V(t)的表達式。側(cè)面方程是其中Dxy：x2+y2≤。作極坐標(biāo)變換x=rcosθ，y=rsinθ，則體積減少的速度是，它與側(cè)面積成正比(比例系數(shù)為0．9)，即將V(t)與S(t)的表達式代入得解得h(t)=+130。令h(t)=0，得t=100。因此，高度為130厘米的雪堆全部融化所需時間為100小時。知識點解析：暫無解析24、設(shè)a1=2，an+1=(n=1，2，…)。證明標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)顯然an＞0(n=1，2…)，由均值不等式易知所以{an}單調(diào)遞減且有下界，故極限存在。(Ⅱ){an}單調(diào)遞減，則，原級數(shù)是正項級數(shù)。由an≥1得而級數(shù)的部分和為由比較判別法知收斂。知識點解析：暫無解析25、將函數(shù)f(x)=x-1(0≤x≤2)展開成周期為4的余弦函數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)答案：由傅里葉級數(shù)展開式，可得知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)1、曲線y=的漸近線有()。A、1條B、2條C、3條D、4條標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：由為水平漸近線，顯然該曲線沒有斜漸近線，又因為x→1及x→2時，函數(shù)值不趨于無窮大，故共有兩條漸近線，應(yīng)選(B)．2、函數(shù)f(x)=x3一3x+k只有一個零點，則k的范圍為()．A、｜k｜＜1B、｜k｜＞1C、｜k｜＞2D、k＜2標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：，令f’(x)=3x2—3=0，得x=±1，f"(x)=6x，由f"(一1)=一6＜0，得x=—1為函數(shù)的極大值點，極大值為f(—1)=2+k，由f"(1)=6＞0，得x=1為函數(shù)的極小值點，極小值為f(1)=一2+k，因為f(x)=x3一3x+k只有一個零點，所以2+k＜0或一2+k＞0，故|k|＞2，選(C)．3、設(shè)f(x)在x=0的鄰域內(nèi)有定義，f(0)=1，且=0，則f(x)在x=0處()．A、可導(dǎo)，且f’(0)=0B、可導(dǎo)，且f’(0)=一1C、可導(dǎo)，且f’(0)=2D、不可導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：4、設(shè)f(x)在x=0的某鄰域內(nèi)連續(xù)，若=2，則f(x)在x=0處()．A、不可導(dǎo)B、可導(dǎo)但f’(0)≠0C、取極大值D、取極小值標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：由=2得f(0)=0，由極限保號性，存在δ＞0，當(dāng)0＜|x|＜δ時，＞0，從而f(x)＞0=f(0)，由極值的定義得f(0)為極小值，應(yīng)選(D)．5、設(shè)函數(shù)f(x)在｜x｜＜δ內(nèi)有定義且｜f(x)｜≤x2，則f(x)在x=0處()．A、不連續(xù)B、連續(xù)但不可微C、可微且f’(0)=0D、可微但f’(0)≠0標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：6、設(shè)y=y(x)由x一∫1x+ydt=0確定，則y"(0)等于()．A、2e2B、2e—2C、e2一1D、e—2—1標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：7、當(dāng)x∈[0，1]時，f"(x)＞0，則f’(0)，f’(1)，f(1)一f(0)的大小次序為()．A、f’(0)＞f(1)一f(0)＞f’(1)B、f’(0)＜f’(1)＜f(1)一f(0)C、f’(0)＞f’(1)＞f(1)一f(0)D、f’(0)＜f(1)一f(0)＜f’(1)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：由拉格朗日中值定理得f(1)一f(0)=f’(c)(0＜c＜1)，因為f"(x)＞0，所以f’(x)單調(diào)增加，故f’(0)＜f’(c)＜f’(1)，即f’(0)＜f(1)一f(0)＜f’(1)，應(yīng)選(D)．二、填空題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)8、設(shè)f(x)=可導(dǎo)，則a=___________，b=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：3，—2知識點解析：f(1—0)=f(1)=a+b，f(1+0)=1，因為f(x)在x=1處連續(xù)，所以a+b=1；因為f(x)在x=1處可導(dǎo)，所以a=3，故a=3，b=一2．9、設(shè)f(x)為奇函數(shù)，且f’(1)=2，則=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：6知識點解析：因為f(x)為奇函數(shù)，所以f’(x)為偶函數(shù)，由=3f’(—1)=3f’(1)=6．10、設(shè)f(x)=，且f’(0)存在，則a=___________，b=___________，c=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：2，—2，2知識點解析：f(0+0)==a，f(0)=2，f(0—0)=c，因為f(x)在x=0處連續(xù)，所以f(0+0)=f(0)=f(0—0)，因為f(x)在x=0處可導(dǎo)，即f’+(0)=f’—(0)，故b=一2．三、解答題(本題共16題，每題1.0分，共16分。)11、設(shè)f(x)二階連續(xù)可導(dǎo)，且f(0)=f’(0)=0，f"(0)≠0，設(shè)u(x)為曲線y=f(x)在點(x，f(x))處的切線在x軸上的截距，求．標(biāo)準(zhǔn)答案：曲線y=f(x)在點(x，f(x))的切線為Y一f(x)=f’(x)(X—x)，知識點解析：暫無解析12、設(shè)f(x)在x=a處二階可導(dǎo)，證明：=f"(a)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析13、設(shè)f(x)連續(xù)，f(0)=0，f’(0)=1，求[∫—aaf(x+a)dx一∫—aaf(x—a)dx]．標(biāo)準(zhǔn)答案：∫—aaf(x+a)dx—∫—aaf(x—a)dx=∫—aaf(x+a)d(x+a)一∫—aaf(x—a)d(x一a)=∫02af(x)dx一∫—2a0f(x)dx=∫02af(x)dx+∫02af(x)dx，知識點解析：暫無解析14、設(shè)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析15、設(shè)f(x)連續(xù)，且g(x)=∫0xx2f(x—t)dt，求g’(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：g(x)=—x2∫0xf(x—t)d(x一t)—x2∫x0f(u)du=x2∫0xf(u)du，g’(x)=2x∫0xf(u)du+x2f(x)．知識點解析：暫無解析16、證明曲線上任一點的切線的橫截距與縱截距之和為2．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析17、舉例說明函數(shù)可導(dǎo)不一定連續(xù)可導(dǎo)．標(biāo)準(zhǔn)答案：而f’(0)=0，所以f(x)在x=0處可導(dǎo)，但f’(x)在x=0處不連續(xù)．知識點解析：暫無解析18、設(shè)f(x)在[a，b]上有定義，M＞0且對任意的x，y∈[a，b]，有｜f(x)—f(y)｜≤M｜x—y｜k．(1)證明：當(dāng)k＞0時，f(x)在[a，b]上連續(xù)；(2)證明：當(dāng)｜k｜＞1時，f(x)=常數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)對任意的x0∈[a，b]，由已知條件得0≤|f(x)一f(x0)|≤M|x—x0|k，=f(x0)，再由x0的任意性得f(x)在[a，b]上連續(xù)．(2)對任意的x0∈[a，b]，因為k＞1，所以0≤≤M|x—x0|k—1，由夾逼定理得f’(x0)=0，因為x0是任意一點，所以f’(x)≡0，故f(x)≡常數(shù)．知識點解析：暫無解析19、設(shè)f(x)=處處可導(dǎo)，確定常數(shù)a，b，并求f’(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由f(x)在x=0處連續(xù)，得b=0．知識點解析：暫無解析20、設(shè)對一切的x，有f(x+1)=—2f(x)，且當(dāng)x∈[0，1]時f(x)=x(x2一1)，討論函數(shù)f(x)在x=0處的可導(dǎo)性。標(biāo)準(zhǔn)答案：因為f’—(0)≠f’+(0)，所以f(x)在x=0處不可導(dǎo)．知識點解析：暫無解析21、求曲線y=的上凸區(qū)間．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析22、設(shè)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析23、設(shè)f(x)二階可導(dǎo)，f(0)=0，令g(x)=(1)求g’(x)；(2)討論g’(x)在x=0處的連續(xù)性．標(biāo)準(zhǔn)答案：所以g’(x)在x=0處連續(xù)．知識點解析：暫無解析24、設(shè)f(x)在[1，2]上連續(xù)，在(1，2)內(nèi)可導(dǎo)，且f’(x)≠0，證明：存在ξ，η，ζ∈(1，2)．使得。標(biāo)準(zhǔn)答案：令F(x)=lnx，F(xiàn)’(x)=≠0，由柯西中值定理，存在ξ∈(1，2)，使得知識點解析：暫無解析25、求常數(shù)a，b使得在x=0處可導(dǎo)．標(biāo)準(zhǔn)答案：因為f(x)在x=0處可導(dǎo)，所以f(x)在x=0處連續(xù)，從而有f(0+0)=2a=f(0)=f(0一0)=3b，知識點解析：暫無解析26、設(shè)f(x)=，驗證f(x)在[0，2]上滿足拉格朗日中值定理的條件，并求(0，2)內(nèi)使得f(2)一f(0)=2f’(ξ)成立的ξ。標(biāo)準(zhǔn)答案：由f(1—0)=f(1)=f(1+0)=1得f(x)在x=1處連續(xù)，從而f(x)在[0，2]上連續(xù)．得f(x)在x=1處可導(dǎo)且f’(1)=一1，從而f(x)在(0，2)內(nèi)可導(dǎo)，故f(x)在[0，2]上滿足拉格朗日中值定理的條件．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)1、設(shè)f(x)在x=0的某鄰域內(nèi)連續(xù)，若，則f(x)在x=0處()．A、不可導(dǎo)B、可導(dǎo)但f’(0)≠0C、取極大值D、取極小值標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：2、設(shè)函數(shù)f(x)在｜x｜<δ內(nèi)有定義且｜f(x)｜≤x2，則f(x)在x=0處()．A、不連續(xù)B、連續(xù)但不可微C、可微且f’(0)=0D、可微但f’(0)≠0標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：3、設(shè)y=y(x)由確定，則y"(0)等于()A、2e2B、2e-2C、e2一1D、e-2一1標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：4、當(dāng)x∈[0，1]時，f"(x)>0，則f’(0)，f’(1)，f(1)一f(0)的大小次序為()．A、f’(0)>f(1)一f(0)>f’(1)B、f’(0)C、f’(0)>f’(1)>f(1)一f(0)D、f’(0)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：由拉格朗日中值定理得f(1)一f(0)=f’(c)(00，所以f’(x)單調(diào)增加，故f’(0)5、設(shè)f"(x)連續(xù)，f’(0)=0，則()．A、f(0)是f(x)的極大值B、f(0)是f(x)的極小值C、(0，f(0))是y=f(x)的拐點D、f(0)非極值，(0，f(0))也非y=f(x)的拐點標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：6、設(shè)f(x)在[0，+∞)上連續(xù)，在(0，+∞)內(nèi)可導(dǎo)，則()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：7、設(shè)f(x)連續(xù)，且f’(0)>0，則存在δ>0，使得()．A、f(x)在(0，δ)內(nèi)單調(diào)增加B、f(x)在(一δ，0)內(nèi)單調(diào)減少C、對任意的x∈(一δ，0)，有f(x)>f(0)D、對任意的x∈(0，δ)，有f(x)>f(0)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：8、A、不連續(xù)B、連續(xù)但不可導(dǎo)C、可導(dǎo)但導(dǎo)數(shù)不連續(xù)D、導(dǎo)數(shù)連續(xù)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：9、A、不連續(xù)B、連續(xù)但不可導(dǎo)C、可導(dǎo)但不是連續(xù)可導(dǎo)D、連續(xù)可導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：10、若f(一x)=一f(x)，且在(0，+∞)內(nèi)f’(x)>0，f"(x)>0，則在(一∞，0)內(nèi)()．A、f’(x)<0，f(x)<0B、f(x)<0，f"(x)>0C、f’(x)>0，f(x)<0D、f’(x)>0，f"(x)>0標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：因為f(x)為奇函數(shù)，所以f’(x)為偶函數(shù)，故在(一∞，0)內(nèi)有f’(x)>0．因為f"(x)為奇函數(shù)，所以在(一∞，0)內(nèi)f"(x)<0，選二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)11、設(shè)f(x)為奇函數(shù)，且f’(1)=2，則=__________標(biāo)準(zhǔn)答案：6知識點解析：12、設(shè)且f’(0)存在，則a=________，b=________，c=_________標(biāo)準(zhǔn)答案：a=2，b=-2，c=2知識點解析：13、設(shè)函數(shù)y=f(x)由方程xy+2Inx=y4所確定，則曲線y=f(x)在(1，1)處的法線方程為__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：y=-x+2知識點解析：14、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：15、設(shè)f(u)可導(dǎo)，y=f(x2)在x0=-1處取得增量△x=0．05時，函數(shù)增量△y的線性部分為0．15，則f’(1)=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：三、解答題(本題共20題，每題1.0分，共20分。)16、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析17、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析18、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析19、設(shè)f(x)在[1，2]上連續(xù)，在(1，2)內(nèi)可導(dǎo)，且f’(x)≠0，證明：存在ξ，η，ζ∈(1，2)，使得標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析20、標(biāo)準(zhǔn)答案：因為f(x)在x=0處可導(dǎo)，所以f(x)在x=0處連續(xù)，從而有f(0+0)=2a=f(0)=f(0一0)=3b，知識點解析：暫無解析21、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析22、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)(a＞0)，且f(a)=0．證明：存在ξ∈(a，b)，使得標(biāo)準(zhǔn)答案：令φ(x)=(b一x)af(x)，顯然φ(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，因為φ(a)=φ(b)=0，所以由羅爾定理，存在ξ∈(a，b)，使得φ’(ξ)=0，由φ’(x)=(b一x)a-1[(b一x)f’(x)一af(x)]得(b一ξ)a-1[(b一ξ)f’(ξ)一af(ξ)]且(b—ξ)a-1≠0，故．知識點解析：暫無解析23、設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)=g(b)=0，g’(x)<0，試證明存在ξ∈(a，b)使標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析24、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)=f(b)=0，證明：(1)存在ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)=2ξf(ξ)．(2)存在η∈(a，b)，使得ηf’(η)+f(η)=0．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析25、設(shè)f(x)，g(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且g’(x)≠0．證明：存在ξ∈(a，b)，使得.標(biāo)準(zhǔn)答案：令F(x)=f(x)g(b)+f(a)g(x)-f(x)g(x)，則F(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且F(a)=F(b)=f(a)g(b)，由羅爾定理，存在ξ∈(a，b)，使得F’(ξ)=0，而F’(x)=f’(x)g(b)+f(a)g’(x)一f’(x)g(x)一f(x)g’(x)，所以知識點解析：暫無解析26、設(shè)f(x)在[0，1]上連續(xù)，證明：存在ξ∈(0，1)，使得標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析27、設(shè)f(x)在[1，2]上連續(xù)，在(1，2)內(nèi)可導(dǎo)，證明：存在ξ∈(1，2)，使得ξf’(ξ)一f(ξ)=f(2)一2f(1)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析28、設(shè)f(x)在[0，1]上連續(xù)，在(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)=f(1)，證明：存在ξ，η∈(0，1)，使得f’(ξ)+f’(η)=0．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析29、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)(a>0)．證明：存在ξ，η∈(a，b)，使得標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析30、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)二階可導(dǎo)，連接點A(a，f(a))，B(b，f(b))的直線與曲線y=f(x)交于點C(c，f(c))(其中a標(biāo)準(zhǔn)答案：由微分中值定理，存在ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)，使得因為點A，B，C共線，所以f’(ξ1)=f’(ξ2)，又因為f(x)二階可導(dǎo)，所以再由羅爾定理，存在ξ∈(ξ1，ξ2)(a，b)，使得f"(ξ)=0．知識點解析：暫無解析31、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)二階可導(dǎo)，f(a)=f(b)，且f(x)在[a，b]上不恒為常數(shù)，證明：存在ξ，η∈(a，b)，使得f’(ξ)＞0，f’(η)＜0．標(biāo)準(zhǔn)答案：因為f(x)在[a，b]上不恒為常數(shù)且f(a)=f(b)，所以存在c∈(a，b)，使得f(c)≠f(a)=f(b)，不妨設(shè)f(c)>f(a)=f(b)，由微分中值定理，存在ξ∈(a，c)，η∈(c，b)，使得知識點解析：暫無解析32、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析33、設(shè)f(x)在[a，b]上滿足｜f"(x)｜≤2，且f(x)在(a，b)內(nèi)取到最小值．證明：｜f’(a)｜+｜f’(b)｜≤2(b一a)．標(biāo)準(zhǔn)答案：因為f(x)在(a，b)內(nèi)取到最小值，所以存在c∈(a，b)，使得f(c)為f(x)在[a，b]上的最小值，從而f’(c)=0．由微分中值定理得知識點解析：暫無解析34、設(shè)f(x)在[0，1]上二階連續(xù)可導(dǎo)且f(0)=f(1)，又｜f"(x)｜≤M，證明：標(biāo)準(zhǔn)答案：由泰勒公式得知識點解析：暫無解析35、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共2題，每題1.0分，共2分。)1、微分方程y"一4y=e2x+x的特解形式為()．A、ae2x+bx+cB、ax2e2x+bx+cC、axe2x+bx2x+cxD、axe2x+bx+c標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：y"一4y=0的特征方程為λ2一4=0，特征值為λ1=一2，λ2=2．y"一4y=e2x的特解形式為y1=axe2x，y"一4y=x的特解形式為y2=bx+c，故原方程特解形式為axe2x+bx+c，應(yīng)選(D)．2、微分方程y"一4y=x+2的通解為()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：微分方程y"一4y=0的特征方程為λ2一4=0，特征值為一2，2，則方程y"一4y=0的通解為C1e—2x+C2e2x，顯然方程y"一4y=x+2有特解，選(D)．二、填空題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)3、yy"=1+y’2滿足初始條件y(0)=1，y’(0)=0的解為___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：±x知識點解析：令y’=p，則，解得ln(1+p2)=lny2+lnC1，則1+p2=C1y2，由y(0)=1，y’(0)=0得y’—±，ln|y+=±x．4、設(shè)y=y(x)過原點，在原點處的切線平行于直線y=2x+1，又y=y(x)滿足微分方程y"一6y’+9y=e3x，則y(x)=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：2xe3x+x2e3x知識點解析：由題意得y(0)=0，y’(0)=2，y"一6y’+9y=e3x的特征方程為λ2一6λ+9=0，特征值為λ1=λ2=3，令y"一6y’+9y=e3x的特解為y0(x)=ax2e3x，代入得a=，故通解為y=(C1+C2x)e3x+x2e3x．由y(0)=0，y’(0)=2得C1=0，C2=2，則y(x)=2xe3x+x2e3x．5、微分方程2y"=3y2滿足初始條件y(一2)=1，y’(—2)=1的特解為___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：x=一知識點解析：令y’=p，則y"==3y2，解得p2=y2+C，由y(—2)=1，y’(一2)=1，得C1=0，所以y’==x+C2，再由y(—2)=1，得C2=0，所求特解為x=一．6、微分方程xy’=的通解為___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：arcsin=ln|x|+C知識點解析：7、設(shè)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程y"+y’+qy=Q(x)有特解y=3e—4x+x2+3x+2，則Q(x)=___________，該微分方程的通解為___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：Q(x)=2+2x+3—12(x2+3x+2)=一12x2一34x一19，y=C1e—4x+C2e3x+x2+3x+2(其中C1，C2為任意常數(shù))知識點解析：顯然λ=一4是特征方程λ2+λ+q=0的解，故q=一12，即特征方程為λ2+λ一12=0，特征值為λ1=一4，λ2=3．因為x2+3x+2為微分方程y"+y’一12y=Q(x)的一個特解，所以Q(x)=2+2x+3—12(x2+3x+2)=一12x2一34x一19，且通解為y=C1e—4x+C2e3x+x2+3x+2(其中C1，C2為任意常數(shù))．8、以y=C1e—2x+C2ex+cosx為通解的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程為___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：y"+y’一2y=一sinx一3cosx知識點解析：特征值為λ1=一2，λ2=1，特征方程為λ2+λ一2=0，設(shè)所求的微分方程為y"+y’一2y=Q(x)，把y=cosx代入原方程，得Q(x)=一sinx一3cosx，所求微分方程為y"+y’一2y=一sinx一3cosx．9、設(shè)y"一3y’+ay=一5e—x的特解形式為Axe—x，則其通解為___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：y=C1e—x+C2e4x+xe—x知識點解析：因為方程有特解Axe—，所以一1為特征值，即(—1)2—3×(一1)+a=0→a=—4，所以特征方程為λ2一3λ一4=0→λ=一1，λ=4，齊次方程y"—3y’+ay=0的通解為y=C1e—x+C2e4x，再把Axe—x代入原方程得A=1，原方程的通解為y=C1e—x+C2e4x+xe—x．10、設(shè)f(x)可導(dǎo)，且∫01[f(x)+xf(xt)]dt=1，則f(x)=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：f(x)=e—x知識點解析：由∫01[f(x)+xf(xt)]dt=1得∫01f(x)dt+∫01f(xt)d(xt)=1，整理得f(x)+∫0xf(u)du=1，兩邊對x求導(dǎo)得f’(x)+f(x)=0，解得f(x)=Ce—x，因為f(0)=1，所以C=1，故f(x)=e—x．三、解答題(本題共17題，每題1.0分，共17分。)11、求微分方程xy"=y’2滿足初始條件y(0)=y’(0)=1的特解．標(biāo)準(zhǔn)答案：y=C2e—∫—dx=C2ex，由y(0)=1得C2=1，所以原方程的特解為y=ex．知識點解析：暫無解析12、一條曲線經(jīng)過點(2，0)，且在切點與y軸之間的切線長為2，求該曲線．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)切點為P(x，y)，曲線上P點處的切線為Y—y=y’(X—x)，令X=0，得Y=y—xy’，切線與y軸的交點為Q(0，y一xy’)，知識點解析：暫無解析13、設(shè)曲線L1與L2皆過點(1，1)，曲線L1在點(x，y)處縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)之商的變化率為2，曲線L2在點(x，y)處縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)之積的變化率為2，求兩曲線所圍成區(qū)域的面積．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析14、用變量代換x=sint將方程(1一x2)一4y=0化為y關(guān)于t的方程，并求微分方程的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：故原方程的通解為y=C1e—2arcsinx+C2e2arcsinx．知識點解析：暫無解析15、設(shè)二階常系數(shù)齊次線性微分方程以y1=e2x，y2=2e—x一3e2x為特解，求該微分方程．標(biāo)準(zhǔn)答案：因為y1=e2x，y2=2e—x一3e2為特解，所以e2x，e—x也是該微分方程的特解，故其特征方程的特征值為λ1=一1，λ2=2，特征方程為(λ+1)(λ一2)=0即λ2一λ一2=0，所求的微分方程為y"一y’一2y=0．知識點解析：暫無解析16、求微分方程y"+2y’一3y=(2x+1)ex的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：特征方程為λ2+2λ一3=0，特征值為λ=1，λ=一3，則y"+2y’一3y=0的通解為y=C1ex+C2e—3x．令原方程的特解為y0=x(ax+b)ex，代入原方程得a=，所以原方程的通解為y=C1ex+C2e—3x+(2x2+x)ex．知識點解析：暫無解析17、求y"一2y’一e2x=0滿足初始條件y(0)=1，y’(0)=1的特解．標(biāo)準(zhǔn)答案：原方程可化為y"一2y’=e2x，特征方程為λx一2λ=0，特征值為λ1=0，λ2=2，y"一2y’=0的通解為y=C1+C2e2x．設(shè)方程y"一2y’=e2x的特解為y0=Axe2x，代入原方程知識點解析：暫無解析18、求微分方程y"+4y’+4y=eax的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：特征方程為λ+4λ+4=0，特征值為λ1=λ2=一2，原方程對應(yīng)的齊次線性微分方程的通解為y=(C1+C2x)e—2x．(1)當(dāng)a≠一2時，因為a不是特征值，所以設(shè)原方程的特解為y0(x)=Aeax，代入原方程得A=；(2)當(dāng)a=一2時，因為a=一2為二重特征值，所以設(shè)原方程的特解為y(x)=Ax2e—2x，代入原方程得A=xxe—2x．知識點解析：暫無解析19、求微分方程y"+y=x2+3+cosx的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：特征方程為λ2+1=0，特征值為λ1=一i，λ2=i，方程y"+y=0的通解為y=C1cosx+C2sinx．對方程y"+y=x2+3，特解為y1=x2+1；對方程y"+y=cosx，特解為xsinx，則原方程的通解為y=C1cosx+C2sinx+x2+1+xsinx．知識點解析：暫無解析20、求微分方程x3y"’+2x2y"一xy’+y=0的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：令x=et，則xy’=D，x2y"=D(D一1)，x3y"’=D(D—1)(D一2)，即知識點解析：暫無解析21、求微分方程x2y"一2xy’+2y=x一1的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析22、設(shè)單位質(zhì)點在水平面內(nèi)作直線運動，初速度v｜t=0=v0．已知阻力與速度成正比(比例系數(shù)為1)，問t為多少時此質(zhì)點的速度為?并求到此時刻該質(zhì)點所經(jīng)過的路程．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)t時刻質(zhì)點運動的速度為v(t)，阻力F=ma=解此微分方程得v(t)=v0e．由v0e=得t=ln3，從開始到t=ln3的時間內(nèi)質(zhì)點所經(jīng)過的路程為S=∫0ln3v0e—tdt=v0．知識點解析：暫無解析23、設(shè)f(x)在[0，+∞)上連續(xù)，且f(x)＞0，設(shè)f(x)在[0，x]上的平均值等于f(0)與f(x)的幾何平均數(shù)，求f(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析24、設(shè)曲線L位于xOy平面的第一象限內(nèi)，L上任意一點M處的切線與y軸總相交，交點為A，已知|MA|=|OA|，且L經(jīng)過點()，求L的方程．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)點M的坐標(biāo)為(x，y)，則切線MA：Y—y=y’(X—x)．令X=0，則Y=y—xy’，故A點的坐標(biāo)為(0，y—xy’)．知識點解析：暫無解析25、在上半平面上求一條上凹曲線，其上任一點P(x，y)處的曲率等于此曲線在該點的法線段PQ的長度的倒數(shù)(Q為法線與x軸的交點)，且曲線在點(1，1)處的切線與x軸平行．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)所求曲線為y=y(x)，該曲線在點P(x，y)的法線方程為知識點解析：暫無解析26、一半球形雪堆融化速度與半球的表面積成正比，比例系數(shù)為k＞0，設(shè)融化過程中形狀不變，設(shè)半徑為r0的雪堆融化3小時后體積為原來的，求全部融化需要的時間．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)t時刻雪堆的半徑為r，則有知識點解析：暫無解析27、設(shè)f(x)在[0，1]上連續(xù)且滿足f(0)=1，f’(x)一f(x)=a(x一1)，y=f(x)，x=0，x=1，y=0圍成的平面區(qū)域繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體體積最小，求f(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由f’(x)一f(x)=a(x一1)得f(x)=[a(x一1)e∫—1dxdx+C]e—∫—1dx=Cex—ax，由f(0)=1得C=1，故f(x)=e2—ax．所以當(dāng)a=3時，旋轉(zhuǎn)體的體積最小，故f(x)=ex一3x．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)1、累次積分等于()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：積分所對應(yīng)的直角坐標(biāo)平面的區(qū)域為D：0≤x≤1，0≤y≤，選(D)．2、設(shè)D＝{(x，y)｜0≤x≤π，0≤y≤π)，則等于()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：根據(jù)對稱性，令D1＝{(x，y)｜0≤x≤π，0≤y≤x}，3、設(shè)，其中D：x2＋y2≤a2，則a為()．A、1B、2C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：二、填空題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)4、標(biāo)準(zhǔn)答案：－xf(x2－1)知識點解析：5、設(shè)f(x，y)在區(qū)域D：x2＋y2≤t2上連續(xù)且f(0，0)＝4，則標(biāo)準(zhǔn)答案：8π知識點解析：6、設(shè)f(x)連續(xù)，則標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：7、設(shè)a＞0，f(x)＝g(x)＝而D表示整個平面，則標(biāo)準(zhǔn)答案：a2知識點解析：8、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：在D1＝{(x，y)｜—∞＜x＜＋∞，0≤y≤1}上，f(y)＝y(tǒng)；在D2：0≤x＋y≤1上，f(x＋y)＝x＋y，則在D0＝D1∩D2＝{(x，y)｜—y≤x≤1一y,0≤y≤1)上，f(y)f(x＋y)＝y(tǒng)(x＋y)，9、設(shè)連續(xù)函數(shù)f(x)，f(0)＝0，F(xiàn)(t)＝[z2＋f(x2＋y2)]dxdydz，Ωt：x2＋y2≤t2，0≤z≤1，則標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：10、設(shè)L為從點A(0，一1，1)到點B(1，0，2)的直線段，則＝__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：三、解答題(本題共30題，每題1.0分，共30分。)11、設(shè)函數(shù)z＝f(u)，方程u＝φ(u)＋確定u為x，y的函數(shù)，其中f(u)，φ(u)可微，P(t)，φ’(u)連續(xù)，且φ’(u)≠1，求．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析12、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析13、求二元函數(shù)z＝f(x，y)＝x2y(4一x—y)在由z軸、y軸及x＋y＝6所圍成的閉區(qū)域D上的最小值和最大值．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)求f(x，y)在區(qū)域D的邊界上的最值，在L1：y＝0(0≤x≤6)上，z＝0；在L2：x＝0(0≤y≤6)上，z＝0；在L3：y＝6一x(0≤x≤6)上，z＝一2x2(6一x)＝2x3一12x2，由＝6x2一24x＝0得x＝4，因為f(0，0)＝0,f(6，0)＝0,f(4，2)＝一64，所以f(x，y)在L3上最小值為一64，最大值為0．(2)在區(qū)域D內(nèi)，由得駐點為(2，1)，因為AC—B2＞0且A＜0，所以(2，1)為f(x，y)的極大點，極大值為f(2，1)＝4，故z＝f(x，y)在D上的最小值為m＝f(4，2)一64，最大值為M＝f(2，1)＝4．知識點解析：暫無解析14、求函數(shù)u＝x＋y＋z在沿球面x2＋y2＋z2＝1上的點(x0，y0，z0)的外法線方向上的方向?qū)?shù)，在球面上怎樣的點使得上述方向?qū)?shù)取最大值與最小值?標(biāo)準(zhǔn)答案：球面x2＋y2＋z2＝1在點(x0，y0，z0)處的外法向量為聘＝{2x0，2y0，2z0)，知識點解析：暫無解析15、某廠家生產(chǎn)的一種產(chǎn)品同時在兩個市場上銷售，售價分別為p1，p2，銷售量分別為q1，q2，需求函數(shù)分別為q1＝24—0．2p1，q2＝10—0．05p2，總成本函數(shù)為C＝35＋40(q1＋q2)，問廠家如何確定兩個市場的銷售價格，能使其獲得總利潤最大?最大利潤為多少?標(biāo)準(zhǔn)答案：p1＝120—5q1，p2＝200—20q2，收入函數(shù)為R＝p1q1＋p2q2，總利潤函數(shù)為L＝R—C＝(120—5q1)q1＋(200—20q2)q2一[35＋40(q1＋q2)]，由得q1＝8，q2＝4，從而p1＝80，p2＝120，L(8，4)＝605，由實際問題的意義知，當(dāng)p1＝80，p2＝120時，廠家獲得的利潤最大，最大利潤為605．知識點解析：暫無解析16、設(shè)二元函數(shù)f(x，y)＝｜x—y｜φ(x，y)，其中φ(x，y)在點(0，0)處的某鄰域內(nèi)連續(xù)．證明：函數(shù)f(x，y)在點(0，0)處可微的充分必要條件是φ(0，0)＝0．標(biāo)準(zhǔn)答案：(必要性)設(shè)f(x，y)在點(0，0)處可微，則fx’(0，0)，fy’(0，0)存在．(充分性)若φ(0，0)＝0，則fx’(0，0)＝0，fy’(0，0)＝0．知識點解析：暫無解析17、設(shè)：x＝x(t)，y＝y(tǒng)(t)(α＜t＜β是區(qū)域D內(nèi)的光滑曲線，即x(t)，y(t)在(α，β)內(nèi)有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)且x’2＋y’2(t)≠0，f(x，y)在D內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)．若P0∈是函數(shù)f(x，y)在上的極值點，證明：f(x，y)在點P0沿的切線方向的方向?qū)?shù)為零．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析18、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析19、設(shè)f(x)連續(xù)，且f(0)＝1，令F(t)＝f(x2＋y2)dxdy(t≥0)，求F"(0)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析20、計算二重積分標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析21、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析22、已知，設(shè)D為由x＝0、y＝0及x＋y＝t所圍成的區(qū)域，求標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)t＜0時，F(xiàn)(t)＝0；當(dāng)0≤t＜1時，當(dāng)1≤t＜2時，當(dāng)t≥2時，F(xiàn)(t)＝1，則知識點解析：暫無解析23、計算，其中D＝{(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤1}．故標(biāo)準(zhǔn)答案：令D1＝{(x，y)｜0≤x≤1,0≤y≤x}，D2＝{(x，y)｜0≤x≤y，0≤y≤1}，則知識點解析：暫無解析24、計算，其中D＝{(x，y)｜一1≤x≤1，0≤y≤2}．標(biāo)準(zhǔn)答案：令D1＝{(x，y)｜－1≤x≤1，0≤y≤x2)，D2＝{(x，y)｜一1≤x≤1，x2≤y≤2)，知識點解析：暫無解析25、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析26、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析27、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析28、計算，其中D為單位圓x2＋y2＝1所圍成的第一象限的部分．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析29、計算二重積分，其中D是曲線(x2＋y2)2＝a2(x2一y2)圍成的區(qū)域．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析30、設(shè)半徑為R的球面S的球心在定球面x2＋y2＋z2＝a2(a＞0)上，問R取何值時，球面S在定球面內(nèi)的面積最大?標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)球面S：x2＋y2＋(z一a)2＝R2，知識點解析：暫無解析31、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，證明：標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析32、設(shè)f(x，y)，g(x，y)在平面有界閉區(qū)域D上連續(xù)，且g(x，y)≥0．證明：存在(ξ，η)∈D，使得標(biāo)準(zhǔn)答案：因為f(x，y)在D上連續(xù)，所以f(x，y)在D上取到最大值M和最小值m，故m≤f(x，y)≤M，又由g(x，y)≥0得mg(z，y)≤f(x，y)g(x，y)≤Mg(z，y)積分得知識點解析：暫無解析33、設(shè)f(x)在[0，a](a＞0)上非負(fù)、二階可導(dǎo)，且f(0)＝0，f"(x)＞0，為y＝f(x)，y＝0，x＝a圍成區(qū)域的形心，證明：．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析34、設(shè)函數(shù)f(x)∈C[a，b]，且f(x)＞0，D為區(qū)域a≤x≤b，a≤y≤b．證明：標(biāo)準(zhǔn)答案：因為積分區(qū)域關(guān)于直線y＝x對稱，知識點解析：暫無解析35、設(shè)f(x)連續(xù)，其中V＝{(x，y，z)｜x2＋y2≤t2，0≤z≤h}(t＞0)，求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析36、設(shè)Ω：x2＋y2＋z2≤1，證明：標(biāo)準(zhǔn)答案：令f(x)＝x＋2y一2z＋5，因為fx’＝1≠0，fy’＝2≠0，fz’＝一2≠0，所以f(x，y，z)在區(qū)域Ω的邊界x2＋y2＋z2＝1上取到最大值和最小值．令F(x，y，z，λ)＝x＋2y一2z＋5＋λ(x2＋y2＋z2一1)，知識點解析：暫無解析37、設(shè)f(x)為連續(xù)函數(shù)，計算，其中D是由y＝x3，y＝1，x＝一1圍成的區(qū)域．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)f(x)的一個原函數(shù)為F(x)，則知識點解析：暫無解析38、交換積分次序并計算標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析39、設(shè)f(x)在[0，1]上連續(xù)且單調(diào)減少，且f(x)＞0．證明：標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析40、證明：用二重積分證明標(biāo)準(zhǔn)答案：令D1＝{(x，y)｜x2＋y2≤R2，x≥0，y≥0)，S＝{(x，y)｜0≤x≤R，0≤y≤R)，D2＝{(x，y)｜x2＋y2≤2R2，x≥0，y≥0)知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第6套一、選擇題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)1、設(shè)g(x)=∫0xf(u)du，其中f(x)=則g(x)在(0，2)內(nèi)()．A、單調(diào)減少B、無界C、連續(xù)D、有第一類間斷點標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：因為f(x)在(0，2)內(nèi)只有第一類間斷點，所以g(x)在(0，2)內(nèi)連續(xù)，選(C)．2、設(shè)f(x)在R上是以T為周期的連續(xù)奇函數(shù)，則下列函數(shù)中不是周期函數(shù)的是()．A、∫axf(t)dtB、∫-xaf(t)dtC、∫-x0f(t)dt—∫x0f(t)dtD、∫-xxtf(t)dt標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：設(shè)φ(x)=∫-xxtf(t)dt=2∫0xtf(t)dt，φ(x+T)=2∫0x+Ttf(t)dt=2∫0xtf(t)dt+2∫xx+Ttf(t)dt≠φ(x)，選(D)．3、設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)，下列變上限積分函數(shù)中，必為偶函數(shù)的是()．A、∫0xt[f(t)一f(一t)]dtB、∫0xt[f(t)+f(一t)]dtC、∫0xf(t2)dtD、∫0xf2(t)dt標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：因為t[f(t)一f(—t)]為偶函數(shù)，所以∫0xt[f(t)一f(—t)]dt為奇函數(shù)，(A)不對；因為f(t2)為偶函數(shù)，所以∫0xf(t2)dt為奇函數(shù)，(C)不對；因為不確定f2(t)的奇偶性，所以(D)不對，令F(x)=∫0xt[f(t)+f(—t)]dt，F(xiàn)(—x)=∫0-xt[f(t)+f(一t)]dt=∫0x(一u)[f(u)+f(—u)](一du)=F(x)，選(B)．二、填空題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)4、=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：5、=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：6、max{x+2，x2}dx=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：7、=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：8、=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：9、=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：4—π知識點解析：10、設(shè)f(x)滿足等式xf’(x)一f(x)=，且f(1)=4，則∫01f(x)dx=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：2—知識點解析：三、解答題(本題共16題，每題1.0分，共16分。)11、設(shè)S(x)=∫0x｜cost｜dt．(1)證明：當(dāng)nπ≤x＜(n+1)π時，2n≤S(x)＜2(n+1)；(2)求．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)當(dāng)nπ≤x＜(n+1)π時，∫0nπ｜cost｜dt≤∫0x｜cost｜dt＜∫0(n+1)π｜cost｜dt，∫0nπ｜cost｜dt=n∫0π｜cosx｜dt==2n，∫0(n+1)πcost｜dt=2(n+1)，則2n≤S(x)＜2(n+1)．(2)知識點解析：暫無解析12、設(shè)f(x)在[0，+∞)上連續(xù)，非負(fù)，且以T為周期，證明：標(biāo)準(zhǔn)答案：對充分大的x，存在自然數(shù)n，使得nT≤x＜(n+1)T，因為f(x)≥0，所以∫0nTf(t)dt≤∫0xf(t)dt≤∫0(n+1)Tf(t)dt，知識點解析：暫無解析13、設(shè)f(x)在[0，1]上連續(xù)，f(0)=0，∫01f(x)dx=0．證明：存在ξ∈(0，1)，使得∫0ξf(x)dx=ξf(ξ)．標(biāo)準(zhǔn)答案：令φ(x)=，因為f(x)在[0，1]上連續(xù)，所以φ(x)在[0，1]上連續(xù)，在(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，又φ(0)=0，φ(1)=∫01f(x)dx=0，由羅爾定理，存在ξ∈(0，1)，使得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=所以∫0ξf(x)dx=ξf(ξ)．知識點解析：暫無解析14、設(shè)f(x)在(一a，a)(a＞0)內(nèi)連續(xù)，且f’(0)=2．(1)證明：對0＜x＜a，存在0＜θ＜1，使得∫0xf(t)dt+∫0-xf(t)dt=x[f(θx)一f(一θx)]；(2)求．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)令F(x)=∫0xf(t)dt+∫0-xf(t)dt，顯然F(x)在[0，x]上可導(dǎo)，且F(0)=0，由微分中值定理，存在0＜θ＜1，使得F(x)=F(x)一F(0)=F’(θx)x，即∫0xf(t)dt+∫0-xf(t)dt=x[f(θx)一f(—θx)]．(2)知識點解析：暫無解析15、設(shè)an=標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析16、設(shè)f(x)有界，且f’(x)連續(xù)，對任意的x∈(一∞，+∞)有｜f(x)+f’(x)｜≤1．證明：｜f(x)｜≤1．標(biāo)準(zhǔn)答案：令φ(x)=exf(x)，則φ’(x)=ex[f(x)+f’(x)]，由｜f(x)+f’(x)｜≤1得｜φ’(x)｜≤ex，又由f(x)有界得φ(一∞)=0，則φ(x)=φ(x)一φ(一∞)=∫-∞xφ’(x)dx，兩邊取絕對值得ex｜f(x)｜≤∫-∞x｜φ’(x)｜dx≤∫-∞xexdx=ex，所以｜f(x)｜≤1．知識點解析：暫無解析17、設(shè)f(x)在(一∞，+∞)上有定義，且對任意的x，y∈(一∞，+∞)有｜f(x)一f(y)｜≤｜x—y｜．證明：｜∫ab｜f(x)dx一(b一a)f(a)｜≤(b一a)2．標(biāo)準(zhǔn)答案：因為(b一a)f(a)=∫abf(a)dx，所以｜∫abf(x)dx一(b一a)f(a)｜=｜∫ab[f(x)—f(a)]dx｜≤∫ab｜f(x)一f(a)｜dx≤∫ab(x—a)dx=(b一a)2知識點解析：暫無解析18、設(shè)f(x)在[0，1]上連續(xù)，且0＜m≤f(x)≤M，對任意的x∈[0，1]，證明：標(biāo)準(zhǔn)答案：因為0＜m≤f(x)≤M，所以f(x)一m≥0，f(x)一M≤0，從而知識點解析：暫無解析19、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)且單調(diào)增加，證明：∫abxf(x)dx≥∫abf(x)dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析20、設(shè)f(x)在(0，+∞)內(nèi)連續(xù)且單調(diào)減少．證明：∫1n+1f(x)dx≤f(k)≤f(1)+∫1nf(x)dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：∫1n+1f(x)dx=∫12f(x)dx+∫23f(x)dx+…+∫nn+1f(x)dx，當(dāng)x∈[1，2]時，f(x)≤f(1)，兩邊積分得∫12f(x)dx≤廠(1)，同理∫23f(x)dx≤f(2)，…，∫nn+1f(x)dx≤f(n)，相加得∫1n+1f(x)doc≤f(k)；當(dāng)x∈[1，2]時，f(2)≤f(x)，兩邊積分得f(2)≤∫12f(x)dx，同理f(3)≤∫23f(x)dx，…，f(n)≤∫n—1nf(x)dx，相加得f(2)+…+f(n)≤∫1nf(x)dxf(x)dx，于是f(k)≤f(1)+∫1nf(x)doc．知識點解析：暫無解析21、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)且單調(diào)減少．證明：當(dāng)0＜k＜1時，∫0kf(x)dx≥k∫01f(x)dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：∫0kf(x)dx一k∫01f(x)dx=∫0kf(x)dx一k[∫0kf(x)dx+∫k1f(x)dx]=(1一k)∫0kf(x)dx—k∫k1f(x)dx=k(1一k)[f(ξ1)一f(ξ2)]其中ξ1∈[0，k]，ξ2∈[k，1]．因為0＜k＜1且f(x)單調(diào)減少，所以∫0kf(x)dx—k∫01f(x)dx=k(1一k)[f(ξ1)一f(ξ2)]≥0，故∫0kf(x)dx≥k∫01f(x)dx．又固為f(x)單調(diào)減少，所以f(kx)≥f(x)，兩邊積分得∫01f(kx)dx≥∫01f(x)dx，故k∫01f(kx)dx≥k∫01f(x)dx，即∫0kf(x)dx≥k∫01f(x)dx．知識點解析：暫無解析22、設(shè)f’(x)在[0，1]上連續(xù)且｜f’(x)｜≤M．證明：標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析23、設(shè)f(x)在[0，a]上一階連續(xù)可導(dǎo)，f(0)=0．令．標(biāo)準(zhǔn)答案：由微分中值定理得f(x)一f(0)=f’(ξ)x，其中ξ介于0與x之間，因為f(0)=0，所以｜f(x)｜=｜f’(ξ)x｜≤Mx，x∈[0，a]，從而｜∫0af(x)dx｜≤∫0a｜f(x)｜dx≤∫0aMxdx=M．知識點解析：暫無解析24、設(shè)f’(x)在[0，1]上連續(xù)，且f(1)一f(0)=1．證明：∫01f’2(x)dx≥1．標(biāo)準(zhǔn)答案：由1=f(1)一f(0)=∫01f’(x)dx，得12=1=(∫01f’(x)dx)2≤∫0112dx∫01f’2(x)dx=∫01f’2(x)dx，即∫01f’2(x)dx≥1．知識點解析：暫無解析25、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)可導(dǎo)，且f(a)=0．證明：∫abf2(x)dx≤∫ab[f’(x)]2dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：由f(a)=0，得f(x)一f(a)=f(x)=∫axf’(t)dt，由柯西不等式得f2(x)=(∫axf’(t)dt)2≤∫ax12dt∫axf’2(t)dt≤(x一a)∫abf’2(x)dx積分得∫abf2(x)dx≤∫ab(x—a)dx．∫abf’2(x)dx=∫abf’2(x)dx知識點解析：暫無解析26、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)可導(dǎo)，且f(a)=f(b)=0．證明：｜f(x)｜≤∫ab｜f’(x)｜dx(a＜x＜b)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第7套一、選擇題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)1、設(shè)f(x)，g(x)(aA、f(x)g(b)>f(b)g(x)B、f(x)g(a)>f(a)g(x)C、f(x)g(x)>f(b)g(b)D、f(x)g(x)>f(a)g(a)@B標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：2、若f(x)在x=0的某鄰域內(nèi)二階連續(xù)可導(dǎo)，且，則下列正確的是()．A、x=0是f(x)的零點B、(0，f(0))是y=f(x)的拐點C、x=0是f(x)的極大點D、x=0是f(x)的極小點標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：3、設(shè)f(x)在x=0的鄰域內(nèi)有定義，且f(0)=0，則f(x)在x=0處可導(dǎo)的充分必要條件是()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：4、設(shè)f(x)在(一∞，+∞)上有定義，x0≠0為函數(shù)f(x)的極大值點，則()．A、x0為f(x)的駐點B、一x0為一f(一x)的極小值點C、一x0為一f(x)的極小值點D、對一切的x有f(x)≤f(x0)標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：因為y=f(一x)的圖像與y=f(x)的圖像關(guān)于y軸對稱，所以一x0為f(一x)的極大值點，從而一x0為一f(一x)的極小值點，選5、設(shè)f’(x0)=f"(x0)=0，f"’(x0)＞0，則下列正確的是()．A、f’(x0)是f’(x)的極大值B、f(x0)是f(x)的極大值C、f(x0)是f(x)的極小值D、(x0，f(x0))是y=f(x)的拐點標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：6、設(shè)f(x)=x3+x2+bx在x=1處有極小值一2，則()．A、a=1，b=2B、a=一1，b=一2C、a=0，b=一3D、a=0，b=3標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：f’(x)=3x3+2ax+b，因為f(x)在x=1處有極小值一2，7、設(shè)曲線y=x2+ax+b與曲線2y=xy3一1在點(1，一1)處切線相同，則()．A、a=1，b=1B、a=一1，b=一1C、a=2，b=1D、a=一2，b=一1．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：二、填空題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)8、設(shè)曲線y=Inx與相切，則公共切線為________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：9、標(biāo)準(zhǔn)答案：y=-2x知識點解析：10、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：11、求曲線的斜漸近線。標(biāo)準(zhǔn)答案：y=2x-11知識點解析：三、解答題(本題共23題，每題1.0分，共23分。)12、舉例說明函數(shù)可導(dǎo)不一定連續(xù)可導(dǎo)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析13、設(shè)f(x)在[a，b]上有定義，M>0且對任意的x，y∈[a，b]，有｜f(x)一f(y)｜≤M｜x—y｜k(1)證明：當(dāng)k>0時，f(x)在[a，b]上連續(xù)；(2)證明：當(dāng)k>1時，f(x)≡常數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)對任意的x0∈[a，b]，由已知條件得知識點解析：暫無解析14、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析15、設(shè)對一切的x，有f(x+1)=2f(x)，且當(dāng)x∈[0，1]時f(x)=x(x2一1)，討論函數(shù)f(x)在x=0處的可導(dǎo)性．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析16、證明：當(dāng)x＞0時，x2＞(1+x)In2(1+x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：令f(x)=x2一(1+x)In2(1+x)，f(0)=0；f’(x)=2x一In2(1+x)一2In(1+x)，f’(0)=0；知識點解析：暫無解析17、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析18、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析19、設(shè)PQ為拋物線的弦，它在此拋物線過P點的法線上，求PQ長度的最小值．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析20、證明：當(dāng)0＜x＜1時，(1+x)In2(1+x)＜x2．標(biāo)準(zhǔn)答案：令f(x)=x2一(1+x)In2(1+x)，f(0)=0；f’(x)=2x—In2(1+x)一2In(1+x)，f’(0)=0；知識點解析：暫無解析21、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析22、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析23、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析24、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析25、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析26、設(shè)k＞0，討論常數(shù)k的取值，使f(x)=xInx+k在其定義域內(nèi)沒有零點、有一個零點及兩個零點．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析27、設(shè)，討論f(x)的單調(diào)性，凹凸性，拐點，水平漸近線．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析28、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析29、設(shè)0＜a＜1，證明：方程arctanx=ax在(0，+∞)內(nèi)有且僅有一個實根．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析30、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)(a＞0)，證明：存在ξ∈(a，b)，使得.標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析31、設(shè)f(x)，g(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)=f(b)=0，證明：存在ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)+f(ξ)g’(ξ)=0．標(biāo)準(zhǔn)答案：令φ(x)=f(x)eg(x)，由f(a)=f(b)=0得φ(a)=φ(b)=0，則存在ξ∈(a，b)，使得φ’(ξ)=0，因為φ’(x)=eg(x)[f’(x)+f(x)g’(x)]且eg(x)≠0，所以f’(ξ)+f(ξ)g’(ξ)=0．知識點解析：暫無解析32、設(shè)f(x)在[0，3]上連續(xù)，在(0，3)內(nèi)二階可導(dǎo)，且證明：(1)ξ1，ξ2∈(0，3)，使得f’(ξ1)一f’(ξ2)=0．(2)存在ξ∈(0，3)，使得f"(ξ)一2f’(ξ)=0．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析33、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析34、設(shè)f(x)在[a，b]上二階可導(dǎo)且f"(x)＞0，證明：f(x)在(a，b)內(nèi)為凹函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第8套一、選擇題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、設(shè)則f{f[f(x)])等于()．A、0B、1C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：因為｜f(x)｜≤1，所以f[f(x)]=1，于是f{f[f(x)])=1，選(B)。2、函數(shù)f(x)=｜xsinx｜ecosx，一∞＜x＜+∞是()．A、有界函數(shù)B、單調(diào)函數(shù)C、周期函數(shù)D、偶函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：顯然函數(shù)為偶函數(shù)，選(D)。3、設(shè)f(x)=，則當(dāng)x→0時，g(x)是f(x)的()．A、高階無窮小B、低階無窮小C、同階但非等價的無窮小D、等價無窮小標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：故g(x)是f(x)的高階無窮小，應(yīng)選(A)．4、當(dāng)x→0+時，下列無窮小中，階數(shù)最高的是()．A、In(1+x2)一x2B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：當(dāng)x→0+時，In(1+x2)-x2～，，由，得x→0時，，，則為最高階無窮小，選(C)．5、設(shè)當(dāng)x→0時，(x-sinx)ln(1+x)是比高階的無窮小，而是比高階的無窮小，則n為()．A、1B、2C、3D、4標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：當(dāng)x→0時，因為，所以(x-sinx)ln(1+x)～，又因為所以，于是n=3，選(C)．二、填空題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)6、設(shè)a>0，且，則a=__________，b=__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：4；1知識點解析：由得b=1，則，故a=47、當(dāng)x→0時，，則a=__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：8、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：由xex=x(1+x+0(x))=x+x2+0(x2)，In(1+x)=，得x→0時，xex—In(1+x)～，故．9、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：10、求標(biāo)準(zhǔn)答案：e知識點解析：11、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：12、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：13、標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識點解析：14、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：15、標(biāo)準(zhǔn)答案：-2知識點解析：三、解答題(本題共20題，每題1.0分，共20分。)16、求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析17、求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析18、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析19、求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析20、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析21、求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析22、求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析23、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析24、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析25、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析26、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析27、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析28、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析29、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析30、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析31、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析32、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析33、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析34、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析35、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第9套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設(shè)f(x)二階連續(xù)可導(dǎo)，，則()．A、f(2)是f(x)的極小值B、f(2)是f(x)的極大值C、(2，f(2))是曲線y=f(x)的拐點D、f(2)不是函數(shù)f(x)的極值，(2，f(2))也不是曲線y=f(x)的拐點標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：由＞0，即當(dāng)x∈(2—δ，2)時，f’(x)＜0；當(dāng)x∈(2，2+δ)時，f’(x)＞0，于是x=2為f(x)的極小點，選(A)．2、設(shè)f(x)在x=0的鄰域內(nèi)連續(xù)可導(dǎo)，g(x)在x=0的鄰域內(nèi)連續(xù)，且=0，又f’(x)=一2x2+∫0xg(x—t)dt，則()．A、x=0是f(x)的極大值點B、x=0是f(x)的極小值點C、(0，f(0))是曲線y=f(x)的拐點D、x=0不是f(x)的極值點，(0，f(0))也不是曲線y=f(x)的拐點標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：由=0得g(0)=g’(0)=0，f’(0)=0，f’(x)=一2x2+∫0xg(x—t)dt=一2x2一∫0xg(x—t)d(x—t)=一2x2+∫0xg(u)du，f"(x)=一4x+g(x)，f"(0)=0，f"’(x)=一4+g’(x)，f"’(0)=一4＜0，因為f"’(0)==一4＜0，所以存在δ＞0，當(dāng)0＜｜x｜＜δ時，＜0，從而當(dāng)x∈(一δ，0)時，f"(x)＞0，當(dāng)x∈(0，δ)時，f"’(x)＜0，選(C)．3、設(shè)f(x)二階連續(xù)可導(dǎo)，且=1，則()．A、f(0)是f(x)的極小值B、f(0)是f(x)的極大值C、(0，f(0))是曲線y=f(x)的拐點D、x=0是f(x)的駐點但不是極值點標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：因為f(x)二階連續(xù)可導(dǎo)，且＜0，即當(dāng)x∈(一δ，0)時，f"(x)＞0，當(dāng)x∈(0，δ)時，f"(x)＜0，所以(0，f(0))為曲線y=f(x)的拐點，選(C)．4、設(shè)函數(shù)f(x)滿足關(guān)系f"(x)+f’2(x)=x，且f’(0)=0，則()．A、f(0)是f(x)的極小值B、f(0)是f(x)的極大值C、(0，f(0))是y=f(x)的拐點D、(0，f(0))不是y=f(x)的拐點標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：由f’(0)=0得f"(0)=0，f"’(x)=1—2f’(x)f"(x)，f"’(0)=1＞0，由極限保號性，存在δ＞0，當(dāng)0＜｜x｜＜δ時，f"’(x)＞0，再由f"(0)=0，得故(0，f(0))是曲線y=f(x)的拐點，選(C)．5、下列說法正確的是()．A、設(shè)f(x)在x二階可導(dǎo)，則f"(x)在x=x0處連續(xù)B、f(x)在[a，b]上的最大值一定是其極大值C、f(x)在(a，b)內(nèi)的極大值一定是其最大值D、若f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(x)在(a，b)內(nèi)有唯一的極值點，則該極值點一定為最值點標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：令f’(x)=不存在，所以(A)不對；若最大值在端點取到則不是極大值，所以(B)不對；(C)顯然不對，選(D)．6、設(shè)f(x)在[a，+∞)上二階可導(dǎo)，f(a)＜0，f’(a)=0，且f"(x)≥k(k＞0)，則f(x)在(a，+∞)內(nèi)的零點個數(shù)為()．A、0個B、1個C、2個D、3個標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：因為f’(a)=0，且f"(x)≥k(k＞0)，所以f(x)=f(a)+f’(a)(x一a)+=+∞，再由f(a)＜0得f(x)在(a，+∞)內(nèi)至少有一個零點．又因為f’(a)=0，且f"(x)≥k(k＞0)，所以f’(x)＞0(x＞a)，即f(x)在[a，+∞)單調(diào)增加，所以零點是唯一的，選(B)．7、設(shè)k＞0，則函數(shù)f(x)=lnx一+k的零點個數(shù)為()．A、0個B、1個C、2個D、3個標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：函數(shù)f(x)的定義域為(0，+∞)，由f’(x)==0得x=e，當(dāng)0＜x＜e時，f’(x)＞0；當(dāng)x＞e時，f’(x)＜0，由駐點的唯一性知x=e為函數(shù)f(x)的最大值點，最大值為f(e)=k＞0，又=一∞，于是f(x)在(0，+∞)內(nèi)有且僅有兩個零點，選(C)．8、設(shè)函數(shù)f(x)在(一∞，+∞)內(nèi)連續(xù)，其導(dǎo)數(shù)的圖形如右圖，則f(x)有()．A、兩個極大點，兩個極小點，一個拐點B、兩個極大點，兩個極小點，兩個拐點C、三個極大點，兩個極小點，兩個拐點D、兩個極大點，三個極小點，兩個拐點標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：設(shè)當(dāng)x＜0時，f’(x)與x軸的兩個交點為(x1，0)，(x2，0)，其中x1＜x2；當(dāng)x＞0時，f’(x)與x軸的兩個交點為(x3，0)，(x4，0)，其中x3＜x4．當(dāng)x＜x1時，f’(x)＞0，當(dāng)x∈(x1，x2)時，f’(x)＜0，則x=x1為f(x)的極大點；當(dāng)x∈(x2，0)時，f’(x)＞0，則x=x2為f(x)的極小點；當(dāng)x∈(0，x3)時，f’(x)＜0，則x=0為f(x)的極大點；當(dāng)x∈(x3，x4)時，f’(x)＞0，則x=x3為f(x)的極小點；當(dāng)x＞x4時，f’(x)＜0，則x=x4為f(x)的極大點，即f(x)有三個極大點，兩個極小點，又f"(x)有兩個零點，根據(jù)一階導(dǎo)數(shù)在兩個零點兩側(cè)的增減性可得，y=f(x)有兩個拐點，選(C)．二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)9、設(shè)f(x)=在x=1處可微，則a=___________，b=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：a=2，b=一1知識點解析：因為f(x)在x=1處可微，所以f(x)在x=1處連續(xù)，于是f(1一0)=f(1)=1=f(1+0)=a+b，即a+b=1．由f(x)在x=1處可微得a=2，所以a=2，b=一1．10、設(shè)F(x)=∫0x(x2一t2)f’(t)dt，其中f’(x)在