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文檔簡介
四川省宜賓市興文縣高級中學(xué)2025屆高三5月月考(期中)數(shù)學(xué)試題注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚,將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.胡夫金字塔是底面為正方形的錐體,四個側(cè)面都是相同的等腰三角形.研究發(fā)現(xiàn),該金字塔底面周長除以倍的塔高,恰好為祖沖之發(fā)現(xiàn)的密率.設(shè)胡夫金字塔的高為,假如對胡夫金字塔進行亮化,沿其側(cè)棱和底邊布設(shè)單條燈帶,則需要燈帶的總長度約為A. B.C. D.2.已知隨機變量服從正態(tài)分布,,()A. B. C. D.3.如圖所示,為了測量、兩座島嶼間的距離,小船從初始位置出發(fā),已知在的北偏西的方向上,在的北偏東的方向上,現(xiàn)在船往東開2百海里到達處,此時測得在的北偏西的方向上,再開回處,由向西開百海里到達處,測得在的北偏東的方向上,則、兩座島嶼間的距離為()A.3 B. C.4 D.4.若,則的值為()A. B. C. D.5.已知直線與直線則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件6.已知函數(shù),其中,,其圖象關(guān)于直線對稱,對滿足的,,有,將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖象,則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是()A. B.C. D.7.已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),其右焦點F的坐標為(c,0),點A是第一象限內(nèi)雙曲線漸近線上的一點,O為坐標原點,滿足|OA|=A.2 B.2 C.2338.已知、分別為雙曲線:(,)的左、右焦點,過的直線交于、兩點,為坐標原點,若,,則的離心率為()A.2 B. C. D.9.歷史上有不少數(shù)學(xué)家都對圓周率作過研究,第一個用科學(xué)方法尋求圓周率數(shù)值的人是阿基米德,他用圓內(nèi)接和外切正多邊形的周長確定圓周長的上下界,開創(chuàng)了圓周率計算的幾何方法,而中國數(shù)學(xué)家劉徽只用圓內(nèi)接正多邊形就求得的近似值,他的方法被后人稱為割圓術(shù).近代無窮乘積式、無窮連分數(shù)、無窮級數(shù)等各種值的表達式紛紛出現(xiàn),使得值的計算精度也迅速增加.華理斯在1655年求出一個公式:,根據(jù)該公式繪制出了估計圓周率的近似值的程序框圖,如下圖所示,執(zhí)行該程序框圖,已知輸出的,若判斷框內(nèi)填入的條件為,則正整數(shù)的最小值是A. B. C. D.10.如圖在一個的二面角的棱有兩個點,線段分別在這個二面角的兩個半平面內(nèi),且都垂直于棱,且,則的長為()A.4 B. C.2 D.11.如圖,雙曲線的左,右焦點分別是直線與雙曲線的兩條漸近線分別相交于兩點.若則雙曲線的離心率為()A. B.C. D.12.已知數(shù)列是公比為的等比數(shù)列,且,,成等差數(shù)列,則公比的值為(
)A. B. C.或 D.或二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.四邊形中,,,,,則的最小值是______.14.在四面體中,與都是邊長為2的等邊三角形,且平面平面,則該四面體外接球的體積為_______.15.已知點是拋物線的準線上一點,F(xiàn)為拋物線的焦點,P為拋物線上的點,且,若雙曲線C中心在原點,F(xiàn)是它的一個焦點,且過P點,當(dāng)m取最小值時,雙曲線C的離心率為______.16.若橢圓:的一個焦點坐標為,則的長軸長為_______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知矩陣不存在逆矩陣,且非零特低值對應(yīng)的一個特征向量,求的值.18.(12分)已知函數(shù).(1)當(dāng)時,求的單調(diào)區(qū)間;(2)若函數(shù)有兩個極值點,,且,為的導(dǎo)函數(shù),設(shè),求的取值范圍,并求取到最小值時所對應(yīng)的的值.19.(12分)如圖,在底面邊長為1,側(cè)棱長為2的正四棱柱中,P是側(cè)棱上的一點,.(1)若,求直線AP與平面所成角;(2)在線段上是否存在一個定點Q,使得對任意的實數(shù)m,都有,并證明你的結(jié)論.20.(12分)已知滿足,且,求的值及的面積.(從①,②,③這三個條件中選一個,補充到上面問題中,并完成解答.)21.(12分)如圖,在四棱錐中,側(cè)棱底面,,,,是棱的中點.(1)求證:平面;(2)若,點是線段上一點,且,求直線與平面所成角的正弦值.22.(10分)如圖,在三棱柱中,平面平面,側(cè)面為平行四邊形,側(cè)面為正方形,,,為的中點.(1)求證:平面;(2)求二面角的大小.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.D【解析】
設(shè)胡夫金字塔的底面邊長為,由題可得,所以,該金字塔的側(cè)棱長為,所以需要燈帶的總長度約為,故選D.2.B【解析】
利用正態(tài)分布密度曲線的對稱性可得出,進而可得出結(jié)果.【詳解】,所以,.故選:B.本題考查利用正態(tài)分布密度曲線的對稱性求概率,屬于基礎(chǔ)題.3.B【解析】
先根據(jù)角度分析出的大小,然后根據(jù)角度關(guān)系得到的長度,再根據(jù)正弦定理計算出的長度,最后利用余弦定理求解出的長度即可.【詳解】由題意可知:,所以,,所以,所以,又因為,所以,所以.故選:B.本題考查解三角形中的角度問題,難度一般.理解方向角的概念以及活用正、余弦定理是解答問題的關(guān)鍵.4.C【解析】
根據(jù),再根據(jù)二項式的通項公式進行求解即可.【詳解】因為,所以二項式的展開式的通項公式為:,令,所以,因此有.故選:C本題考查了二項式定理的應(yīng)用,考查了二項式展開式通項公式的應(yīng)用,考查了數(shù)學(xué)運算能力5.B【解析】
利用充分必要條件的定義可判斷兩個條件之間的關(guān)系.【詳解】若,則,故或,當(dāng)時,直線,直線,此時兩條直線平行;當(dāng)時,直線,直線,此時兩條直線平行.所以當(dāng)時,推不出,故“”是“”的不充分條件,當(dāng)時,可以推出,故“”是“”的必要條件,故選:B.本題考查兩條直線的位置關(guān)系以及必要不充分條件的判斷,前者應(yīng)根據(jù)系數(shù)關(guān)系來考慮,后者依據(jù)兩個條件之間的推出關(guān)系,本題屬于中檔題.6.B【解析】
根據(jù)已知得到函數(shù)兩個對稱軸的距離也即是半周期,由此求得的值,結(jié)合其對稱軸,求得的值,進而求得解析式.根據(jù)圖像變換的知識求得的解析式,再利用三角函數(shù)求單調(diào)區(qū)間的方法,求得的單調(diào)遞減區(qū)間.【詳解】解:已知函數(shù),其中,,其圖像關(guān)于直線對稱,對滿足的,,有,∴.再根據(jù)其圖像關(guān)于直線對稱,可得,.∴,∴.將函數(shù)的圖像向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖像.令,求得,則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是,,故選B.本小題主要考查三角函數(shù)圖像與性質(zhì)求函數(shù)解析式,考查三角函數(shù)圖像變換,考查三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法,屬于中檔題.7.C【解析】
計算得到Ac,bca【詳解】雙曲線的一條漸近線方程為y=bax,A故Ac,bca,F(xiàn)c,0,故Mc,故選:C.本題考查了雙曲線離心率,意在考查學(xué)生的計算能力和綜合應(yīng)用能力.8.D【解析】
作出圖象,取AB中點E,連接EF2,設(shè)F1A=x,根據(jù)雙曲線定義可得x=2a,再由勾股定理可得到c2=7a2,進而得到e的值【詳解】解:取AB中點E,連接EF2,則由已知可得BF1⊥EF2,F(xiàn)1A=AE=EB,設(shè)F1A=x,則由雙曲線定義可得AF2=2a+x,BF1﹣BF2=3x﹣2a﹣x=2a,所以x=2a,則EF2=2a,由勾股定理可得(4a)2+(2a)2=(2c)2,所以c2=7a2,則e故選:D.本題考查雙曲線定義的應(yīng)用,考查離心率的求法,數(shù)形結(jié)合思想,屬于中檔題.對于圓錐曲線中求離心率的問題,關(guān)鍵是列出含有中兩個量的方程,有時還要結(jié)合橢圓、雙曲線的定義對方程進行整理,從而求出離心率.9.B【解析】
初始:,,第一次循環(huán):,,繼續(xù)循環(huán);第二次循環(huán):,,此時,滿足條件,結(jié)束循環(huán),所以判斷框內(nèi)填入的條件可以是,所以正整數(shù)的最小值是3,故選B.10.A【解析】
由,兩邊平方后展開整理,即可求得,則的長可求.【詳解】解:,,,,,,.,,故選:.本題考查了向量的多邊形法則、數(shù)量積的運算性質(zhì)、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系,考查了空間想象能力,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.11.A【解析】
易得,過B作x軸的垂線,垂足為T,在中,利用即可得到的方程.【詳解】由已知,得,過B作x軸的垂線,垂足為T,故,又所以,即,所以雙曲線的離心率.故選:A.本題考查雙曲線的離心率問題,在作雙曲線離心率問題時,最關(guān)鍵的是找到的方程或不等式,本題屬于容易題.12.D【解析】
由成等差數(shù)列得,利用等比數(shù)列的通項公式展開即可得到公比q的方程.【詳解】由題意,∴2aq2=aq+a,∴2q2=q+1,∴q=1或q=故選:D.本題考查等差等比數(shù)列的綜合,利用等差數(shù)列的性質(zhì)建立方程求q是解題的關(guān)鍵,對于等比數(shù)列的通項公式也要熟練.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
在中利用正弦定理得出,進而可知,當(dāng)時,取最小值,進而計算出結(jié)果.【詳解】,如圖,在中,由正弦定理可得,即,故當(dāng)時,取到最小值為.故答案為:.本題考查解三角形,同時也考查了常見的三角函數(shù)值,考查邏輯推理能力與計算能力,屬于中檔題.14.【解析】
先確定球心的位置,結(jié)合勾股定理可求球的半徑,進而可得球的面積.【詳解】取的外心為,設(shè)為球心,連接,則平面,取的中點,連接,,過做于點,易知四邊形為矩形,連接,,設(shè),.連接,則,,三點共線,易知,所以,.在和中,,,即,,所以,,得.所以.本題主要考查幾何體的外接球問題,外接球的半徑的求解一般有兩個思路:一是確定球心位置,利用勾股定理求解半徑;二是利用熟悉的模型求解半徑,比如長方體外接球半徑是其對角線的一半.15.【解析】
由點坐標可確定拋物線方程,由此得到坐標和準線方程;過作準線的垂線,垂足為,根據(jù)拋物線定義可得,可知當(dāng)直線與拋物線相切時,取得最小值;利用拋物線切線的求解方法可求得點坐標,根據(jù)雙曲線定義得到實軸長,結(jié)合焦距可求得所求的離心率.【詳解】是拋物線準線上的一點拋物線方程為,準線方程為過作準線的垂線,垂足為,則設(shè)直線的傾斜角為,則當(dāng)取得最小值時,最小,此時直線與拋物線相切設(shè)直線的方程為,代入得:,解得:或雙曲線的實軸長為,焦距為雙曲線的離心率故答案為:本題考查雙曲線離心率的求解問題,涉及到拋物線定義和標準方程的應(yīng)用、雙曲線定義的應(yīng)用;關(guān)鍵是能夠確定當(dāng)取得最小值時,直線與拋物線相切,進而根據(jù)拋物線切線方程的求解方法求得點坐標.16.【解析】
由焦點坐標得從而可求出,繼而得到橢圓的方程,即可求出長軸長.【詳解】解:因為一個焦點坐標為,則,即,解得或由表示的是橢圓,則,所以,則橢圓方程為所以.故答案為:.本題考查了橢圓的標準方程,考查了橢圓的幾何意義.本題的易錯點是忽略,從而未對的兩個值進行取舍.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.【解析】
由不存在逆矩陣,可得,再利用特征多項式求出特征值3,0,,利用矩陣乘法運算即可.【詳解】因為不存在逆矩陣,,所以.矩陣的特征多項式為,令,則或,所以,即,所以,所以本題考查矩陣的乘法及特征值、特征向量有關(guān)的問題,考查學(xué)生的運算能力,是一道容易題.18.(1)單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為(2)的取值范圍是;對應(yīng)的的值為.【解析】
(1)當(dāng)時,求的導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)若函數(shù)有兩個極值點,,且,利用導(dǎo)函數(shù),可得的范圍,再表達,構(gòu)造新函數(shù)可求的取值范圍,從而可求取到最小值時所對應(yīng)的的值.【詳解】(1)函數(shù)由條件得函數(shù)的定義域:,當(dāng)時,,所以:,時,,當(dāng)時,,當(dāng),時,,則函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為:,單調(diào)遞減區(qū)間為:,;(2)由條件得:,,由條件得有兩根:,,滿足,△,可得:或;由,可得:.,函數(shù)的對稱軸為,,所以:,;,可得:,,,則:,所以:;所以:,令,,,則,因為:時,,所以:在,上是單調(diào)遞減,在,上單調(diào)遞增,因為:,(1),,(1),所以,;即的取值范圍是:,;,所以有,則,;所以當(dāng)取到最小值時所對應(yīng)的的值為;本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和單調(diào)區(qū)間問題,考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想方法,屬于難題.19.(1);(2)存在,Q為線段中點【解析】
解法一:(1)作出平面與平面的交線,可證平面,計算,,得出,從而得出的大??;(2)證明平面,故而可得當(dāng)Q為線段的中點時.解法二,以為原點,以為建立空間直角坐標系:(1)由,利用空間向量的數(shù)量積可求線面角;(2)設(shè)上存在一定點Q,設(shè)此點的橫坐標為,可得,由向量垂直,數(shù)量積等于零即可求解.【詳解】(1)解法一:連接交于,設(shè)與平面的公共點為,連接,則平面平面,四邊形是正方形,,平面,平面,,又,平面,為直線AP與平面所成角,平面,平面,平面平面,,又為的中點,,,,直線AP與平面所成角為.(2)四邊形正方形,,平面,平面,,又,平面,又平面,,當(dāng)Q為線段中點時,對于任意的實數(shù),都有.解法二:(1)建立如圖所示的空間直角坐標系,則,,所以,,,又由,,則為平面的一個法向量,設(shè)直線AP與平面所成角為,則,故當(dāng)時,直線AP與平面所成角為.(2)若在上存在一定點Q,設(shè)此點的橫坐標為,則,,依題意,對于任意的實數(shù)要使,等價于,即,解得,即當(dāng)Q為線段中點時,對于任意的實數(shù),都有.本題考查了線面垂直的判定定理、線面角的計算,考查了空間向量在立體幾何中的應(yīng)用,屬于中檔題.20.見解析【解析】
選擇①時:,,計算,根據(jù)正弦定理得到,計算面積得到答案;選擇②時,,,故,為鈍角,故無解;選擇③時,,根據(jù)正弦定理解得,,根據(jù)正弦定理得到,計算面積得到答案.【詳解】選擇①時:,,故.根據(jù)正弦定理:,故,故.選擇②時,,,故,為
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