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2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?;卮鸱沁x擇題時(shí),將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若直線l不平行于平面α,且l?α,則()A.α內(nèi)所有直線與l異面B.α內(nèi)只存在有限條直線與l共面C.α內(nèi)存在唯一的直線與l平行D.α內(nèi)存在無數(shù)條直線與l相交2.下列幾何體的三視圖中,恰好有兩個(gè)視圖相同的幾何體是()A.正方體 B.球體C.圓錐 D.長(zhǎng)寬高互不相等的長(zhǎng)方體3.已知函數(shù),若關(guān)于的不等式恰有1個(gè)整數(shù)解,則實(shí)數(shù)的最大值為()A.2 B.3 C.5 D.84.下圖中的圖案是我國(guó)古代建筑中的一種裝飾圖案,形若銅錢,寓意富貴吉祥.在圓內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),則該點(diǎn)取自陰影區(qū)域內(nèi)(陰影部分由四條四分之一圓弧圍成)的概率是()A. B. C. D.5.設(shè)函數(shù)在上可導(dǎo),其導(dǎo)函數(shù)為,若函數(shù)在處取得極大值,則函數(shù)的圖象可能是()A. B.C. D.6.已知函數(shù)(,)的一個(gè)零點(diǎn)是,函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸是直線,則當(dāng)取得最小值時(shí),函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是()A.() B.()C.() D.()7.函數(shù)(且)的圖象可能為()A. B. C. D.8.某校8位學(xué)生的本次月考成績(jī)恰好都比上一次的月考成績(jī)高出50分,則以該8位學(xué)生這兩次的月考成績(jī)各自組成樣本,則這兩個(gè)樣本不變的數(shù)字特征是()A.方差 B.中位數(shù) C.眾數(shù) D.平均數(shù)9.已知拋物線的焦點(diǎn)為,若拋物線上的點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)恰好在射線上,則直線被截得的弦長(zhǎng)為()A. B. C. D.10.一場(chǎng)考試需要2小時(shí),在這場(chǎng)考試中鐘表的時(shí)針轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)為()A. B. C. D.11.設(shè),,,則,,三數(shù)的大小關(guān)系是A. B.C. D.12.設(shè),則,則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知,且,則__________.14.已知拋物線的對(duì)稱軸與準(zhǔn)線的交點(diǎn)為,直線與交于,兩點(diǎn),若,則實(shí)數(shù)__________.15.已知數(shù)列與均為等差數(shù)列(),且,則______.16.在平面直角坐標(biāo)系中,已知圓及點(diǎn),設(shè)點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn),在中,若的角平分線與相交于點(diǎn),則的取值范圍是_______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn),其焦點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為,且.若點(diǎn)為的準(zhǔn)線上的任意一點(diǎn),過點(diǎn)作的兩條切線,其中為切點(diǎn).(1)求拋物線的方程;(2)求證:直線恒過定點(diǎn),并求面積的最小值.18.(12分)設(shè)函數(shù).(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求不等式的解集;(Ⅱ)若函數(shù)的圖象與直線所圍成的四邊形面積大于20,求的取值范圍.19.(12分)語音交互是人工智能的方向之一,現(xiàn)在市場(chǎng)上流行多種可實(shí)現(xiàn)語音交互的智能音箱.主要代表有小米公司的“小愛同學(xué)”智能音箱和阿里巴巴的“天貓精靈”智能音箱,它們可以通過語音交互滿足人們的部分需求.某經(jīng)銷商為了了解不同智能音箱與其購(gòu)買者性別之間的關(guān)聯(lián)程度,從某地區(qū)隨機(jī)抽取了100名購(gòu)買“小愛同學(xué)”和100名購(gòu)買“天貓精靈”的人,具體數(shù)據(jù)如下:“小愛同學(xué)”智能音箱“天貓精靈”智能音箱合計(jì)男4560105女554095合計(jì)100100200(1)若該地區(qū)共有13000人購(gòu)買了“小愛同學(xué)”,有12000人購(gòu)買了“天貓精靈”,試估計(jì)該地區(qū)購(gòu)買“小愛同學(xué)”的女性比購(gòu)買“天貓精靈”的女性多多少人?(2)根據(jù)列聯(lián)表,能否有95%的把握認(rèn)為購(gòu)買“小愛同學(xué)”、“天貓精靈”與性別有關(guān)?附:0.100.050.0250.010.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82820.(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線的極坐標(biāo)方程;(2)設(shè)和交點(diǎn)的交點(diǎn)為,求的面積.21.(12分)某健身館為響應(yīng)十九屆四中全會(huì)提出的“聚焦增強(qiáng)人民體質(zhì),健全促進(jìn)全民健身制度性舉措”,提高廣大市民對(duì)全民健身運(yùn)動(dòng)的參與程度,推出了健身促銷活動(dòng),收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下:健身時(shí)間不超過1小時(shí)免費(fèi),超過1小時(shí)的部分每小時(shí)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為20元(不足l小時(shí)的部分按1小時(shí)計(jì)算).現(xiàn)有甲、乙兩人各自獨(dú)立地來該健身館健身,設(shè)甲、乙健身時(shí)間不超過1小時(shí)的概率分別為,,健身時(shí)間1小時(shí)以上且不超過2小時(shí)的概率分別為,,且兩人健身時(shí)間都不會(huì)超過3小時(shí).(1)設(shè)甲、乙兩人所付的健身費(fèi)用之和為隨機(jī)變量(單位:元),求的分布列與數(shù)學(xué)期望;(2)此促銷活動(dòng)推出后,健身館預(yù)計(jì)每天約有300人來參與健身活動(dòng),以這兩人健身費(fèi)用之和的數(shù)學(xué)期望為依據(jù),預(yù)測(cè)此次促銷活動(dòng)后健身館每天的營(yíng)業(yè)額.22.(10分)如圖,在直角梯形中,,,,為的中點(diǎn),沿將折起,使得點(diǎn)到點(diǎn)位置,且,為的中點(diǎn),是上的動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn),不重合).(Ⅰ)證明:平面平面垂直;(Ⅱ)是否存在點(diǎn),使得二面角的余弦值?若存在,確定點(diǎn)位置;若不存在,說明理由.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.D【解析】
通過條件判斷直線l與平面α相交,于是可以判斷ABCD的正誤.【詳解】根據(jù)直線l不平行于平面α,且l?α可知直線l與平面α相交,于是ABC錯(cuò)誤,故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與平面的位置關(guān)系,直線與直線的位置關(guān)系,難度不大.2.C【解析】
根據(jù)基本幾何體的三視圖確定.【詳解】正方體的三個(gè)三視圖都是相等的正方形,球的三個(gè)三視圖都是相等的圓,圓錐的三個(gè)三視圖有一個(gè)是圓,另外兩個(gè)是全等的等腰三角形,長(zhǎng)寬高互不相等的長(zhǎng)方體的三視圖是三個(gè)兩兩不全等的矩形.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查基本幾何體的三視圖,掌握基本幾何體的三視圖是解題關(guān)鍵.3.D【解析】
畫出函數(shù)的圖象,利用一元二次不等式解法可得解集,再利用數(shù)形結(jié)合即可得出.【詳解】解:函數(shù),如圖所示當(dāng)時(shí),,由于關(guān)于的不等式恰有1個(gè)整數(shù)解因此其整數(shù)解為3,又∴,,則當(dāng)時(shí),,則不滿足題意;當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),,沒有整數(shù)解當(dāng)時(shí),,至少有兩個(gè)整數(shù)解綜上,實(shí)數(shù)的最大值為故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍,屬于較難題.4.C【解析】令圓的半徑為1,則,故選C.5.B【解析】
由題意首先確定導(dǎo)函數(shù)的符號(hào),然后結(jié)合題意確定函數(shù)在區(qū)間和處函數(shù)的特征即可確定函數(shù)圖像.【詳解】函數(shù)在上可導(dǎo),其導(dǎo)函數(shù)為,且函數(shù)在處取得極大值,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.時(shí),,時(shí),,當(dāng)或時(shí),;當(dāng)時(shí),.故選:【點(diǎn)睛】根據(jù)函數(shù)取得極大值,判斷導(dǎo)函數(shù)在極值點(diǎn)附近左側(cè)為正,右側(cè)為負(fù),由正負(fù)情況討論圖像可能成立的選項(xiàng),是判斷圖像問題常見方法,有一定難度.6.B【解析】
根據(jù)函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)是,得出,再根據(jù)是對(duì)稱軸,得出,求出的最小值與對(duì)應(yīng)的,寫出即可求出其單調(diào)增區(qū)間.【詳解】依題意得,,即,解得或(其中,).①又,即(其中).②由①②得或,即或(其中,,),因此的最小值為.因?yàn)?,所以(?又,所以,所以,令(),則().因此,當(dāng)取得最小值時(shí),的單調(diào)遞增區(qū)間是().故選:B【點(diǎn)睛】此題考查三角函數(shù)的對(duì)稱軸和對(duì)稱點(diǎn),在對(duì)稱軸處取得最值,對(duì)稱點(diǎn)處函數(shù)值為零,屬于較易題目.7.D【解析】因?yàn)?,故函?shù)是奇函數(shù),所以排除A,B;取,則,故選D.考點(diǎn):1.函數(shù)的基本性質(zhì);2.函數(shù)的圖象.8.A【解析】
通過方差公式分析可知方差沒有改變,中位數(shù)、眾數(shù)和平均數(shù)都發(fā)生了改變.【詳解】由題可知,中位數(shù)和眾數(shù)、平均數(shù)都有變化.本次和上次的月考成績(jī)相比,成績(jī)和平均數(shù)都增加了50,所以沒有改變,根據(jù)方差公式可知方差不變.故選:A【點(diǎn)睛】本題主要考查樣本的數(shù)字特征,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.9.B【解析】
由焦點(diǎn)得拋物線方程,設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,根據(jù)對(duì)稱可求出點(diǎn)的坐標(biāo),寫出直線方程,聯(lián)立拋物線求交點(diǎn),計(jì)算弦長(zhǎng)即可.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為,則,即,設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,點(diǎn)的坐標(biāo)為,如圖:∴,解得,或(舍去),∴∴直線的方程為,設(shè)直線與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為,由,解得或,∴,∴,故直線被截得的弦長(zhǎng)為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,簡(jiǎn)單幾何性質(zhì),點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱,屬于中檔題.10.B【解析】
因?yàn)闀r(shí)針經(jīng)過2小時(shí)相當(dāng)于轉(zhuǎn)了一圈的,且按順時(shí)針轉(zhuǎn)所形成的角為負(fù)角,綜合以上即可得到本題答案.【詳解】因?yàn)闀r(shí)針旋轉(zhuǎn)一周為12小時(shí),轉(zhuǎn)過的角度為,按順時(shí)針轉(zhuǎn)所形成的角為負(fù)角,所以經(jīng)過2小時(shí),時(shí)針?biāo)D(zhuǎn)過的弧度數(shù)為.故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查正負(fù)角的定義以及弧度制,屬于基礎(chǔ)題.11.C【解析】
利用對(duì)數(shù)函數(shù),指數(shù)函數(shù)以及正弦函數(shù)的性質(zhì)和計(jì)算公式,將a,b,c與,比較即可.【詳解】由,,,所以有.選C.【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)值,指數(shù)值和正弦值大小的比較,是基礎(chǔ)題,解題時(shí)選擇合適的中間值比較是關(guān)鍵,注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化.12.A【解析】
根據(jù)換底公式可得,再化簡(jiǎn),比較的大小,即得答案.【詳解】,,.,顯然.,即,,即.綜上,.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查換底公式和對(duì)數(shù)的運(yùn)算,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】試題分析:因,故,所以,,應(yīng)填.考點(diǎn):三角變換及運(yùn)用.14.【解析】
由于直線過拋物線的焦點(diǎn),因此過,分別作的準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為,,由拋物線的定義及平行線性質(zhì)可得,從而再由拋物線定義可求得直線傾斜角的余弦,再求得正切即為直線斜率.注意對(duì)稱性,問題應(yīng)該有兩解.【詳解】直線過拋物線的焦點(diǎn),,過,分別作的準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為,,由拋物線的定義知,.因?yàn)椋裕驗(yàn)?,所以,從而.設(shè)直線的傾斜角為,不妨設(shè),如圖,則,,同理,則,解得,,由對(duì)稱性還有滿足題意.,綜上,.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的性質(zhì),考查拋物線的焦點(diǎn)弦問題,掌握拋物線的定義,把拋物線上點(diǎn)到焦點(diǎn)距離與它到距離聯(lián)系起來是解題關(guān)鍵.15.20【解析】
設(shè)等差數(shù)列的公差為,由數(shù)列為等差數(shù)列,且,根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)可得,,解方程求出公差,代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為,由數(shù)列為等差數(shù)列知,,因?yàn)?所以,解得,所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為,所以.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的概念及其通項(xiàng)公式和等差中項(xiàng);考查運(yùn)算求解能力;等差中項(xiàng)的運(yùn)用是求解本題的關(guān)鍵;屬于基礎(chǔ)題.16.【解析】
由角平分線成比例定理推理可得,進(jìn)而設(shè)點(diǎn)表示向量構(gòu)建方程組表示點(diǎn)P坐標(biāo),代入圓C方程即可表示動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程,再由將所求視為該圓上的點(diǎn)與原點(diǎn)間的距離,所以其最值為圓心到原點(diǎn)的距離加減半徑.【詳解】由題可構(gòu)建如圖所示的圖形,因?yàn)锳Q是的角平分線,由角平分線成比例定理可知,所以.設(shè)點(diǎn),點(diǎn),即,則,所以.又因?yàn)辄c(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn),則,故點(diǎn)Q的運(yùn)功軌跡是以為圓心為半徑的圓,又即為該圓上的點(diǎn)與原點(diǎn)間的距離,因?yàn)?,所以故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查與圓有關(guān)的距離的最值問題,常常轉(zhuǎn)化到圓心的距離加減半徑,還考查了求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)(2)見解析,最小值為4【解析】
(1)根據(jù)焦點(diǎn)到直線的距離列方程,求得的值,由此求得拋物線的方程.(2)設(shè)出的坐標(biāo),利用導(dǎo)數(shù)求得切線的方程,由此判斷出直線恒過拋物線焦點(diǎn).求得三角形面積的表達(dá)式,進(jìn)而求得面積的最小值.【詳解】(1)依題意,解得(負(fù)根舍去)∴拋物線的方程為(2)設(shè)點(diǎn),由,即,得∴拋物線在點(diǎn)處的切線的方程為,即∵,∴∵點(diǎn)在切線上,①,同理,②綜合①、②得,點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程.即直線恒過拋物線焦點(diǎn)當(dāng)時(shí),此時(shí),可知:當(dāng),此時(shí)直線直線的斜率為,得于是,而把直線代入中消去得,即:當(dāng)時(shí),最小,且最小值為4【點(diǎn)睛】本小題主要考查點(diǎn)到直線的距離公式,考查拋物線方程的求法,考查拋物線的切線方程的求法,考查直線過定點(diǎn)問題,考查拋物線中三角形面積的最值的求法,考查運(yùn)算求解能力,屬于難題.18.(1)(2)【解析】
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),不等式為.若,則,解得或,結(jié)合得或.若,則,不等式恒成立,結(jié)合得.綜上所述,不等式解集為.(Ⅱ)則的圖象與直線所圍成的四邊形為梯形,令,得,令,得,則梯形上底為,下底為11,高為..化簡(jiǎn)得,解得,結(jié)合,得的取值范圍為.點(diǎn)睛:含絕對(duì)值不等式的解法有兩個(gè)基本方法,一是運(yùn)用零點(diǎn)分區(qū)間討論,二是利用絕對(duì)值的幾何意義求解.法一是運(yùn)用分類討論思想,法二是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想,將絕對(duì)值不等式與函數(shù)以及不等式恒成立交匯、滲透,解題時(shí)強(qiáng)化函數(shù)、數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化化歸思想方法的靈活應(yīng)用,這是命題的新動(dòng)向.19.(1)多2350人;(2)有95%的把握認(rèn)為購(gòu)買“小愛同學(xué)”、“天貓精靈”與性別有關(guān).【解析】
(1)根據(jù)題意,知100人中購(gòu)買“小愛同學(xué)”的女性有55人,購(gòu)買“天貓精靈”的女性有40人,即可估計(jì)該地區(qū)購(gòu)買“小愛同學(xué)”的女性人數(shù)和購(gòu)買“天貓精靈”的女性的人數(shù),即可求得答案;(2)根據(jù)列聯(lián)表和給出的公式,求出,與臨界值比較,即可得出結(jié)論.【詳解】解:(1)由題可知,100人中購(gòu)買“小愛同學(xué)”的女性有55人,購(gòu)買“天貓精靈”的女性有40人,由于地區(qū)共有13000人購(gòu)買了“小愛同學(xué)”,有12000人購(gòu)買了“天貓精靈”,估計(jì)購(gòu)買“小愛同學(xué)”的女性有人.估計(jì)購(gòu)買“天貓精靈”的女性有人.則,∴估計(jì)該地區(qū)購(gòu)買“小愛同學(xué)”的女性比購(gòu)買“天貓精靈”的女性多2350人.(2)由題可知,,∴有95%的把握認(rèn)為購(gòu)買“小愛同學(xué)”、“天貓精靈”與性別有關(guān).【點(diǎn)睛】本題考查隨機(jī)抽樣估計(jì)總體以及獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用,考查計(jì)算能力.20.(1);(2)【解析】
(1)先將曲線的參數(shù)方程化為普通方程,再將普通方程化為極坐標(biāo)方程即可.(2)將和的極坐標(biāo)方程聯(lián)立,求得兩個(gè)曲線交點(diǎn)的極坐標(biāo),即可由極坐標(biāo)的含義求得的面積.【詳解】(1)曲線的參數(shù)方程為(α為參數(shù)),消去參數(shù)的的直角坐標(biāo)方程為.所以的極坐標(biāo)方程為(2)解方程組,得到.所以,則或().當(dāng)()時(shí),,當(dāng)
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