高一《新題速遞·數學》6月第01期（考點06-11）

2019-2020學年高一《新題速遞?數學》

考點06-11

考點（）6柱、錐、臺、球及其簡單組合體

考點07三視圖和直觀圖

考點08球、棱柱、棱錐的表面積和體積

考點09空間點、線、面的位置關系

考點10線、面平行或垂直的性質與判定

考點H立體幾何綜合

冬。.?運.。*.=?，號。.?*。??二.。*.??-.■

考點06柱、錐、臺、球及其簡單組合體

一、單選題

1.（2020屆湖北省部分省級示范性重點中學教科研協作體高三統一聯合考試數學（理）試題）魯班鎖是中國傳

統的智力玩具，起源于中國古代建筑中首創(chuàng)的樣卯結構，它的外觀是如圖所示的十字立方體，其上下、左

右、前后完全對稱，六根完全一樣的正四棱柱體分成三組，經90。梯卯起來.若正四棱柱的高為6,底面正

方形的邊長為1,現將該魯班鎖放進一個球形容器（容器壁的厚度忽略不計），則該球形容器表面積的最

小值為（）

A.417rB.42乃C.43乃D.447r

【答案】A

【解析】

【分析】由于圖形的時稱性，只要求出一組正四棱柱的體對角線，即是外接圓的直徑.

【詳解】由題意，該球形容器的半徑的最小值為并在一起的兩個長方體體對角線的一半,

即為1xj36+4+l=巫,

22

.?.該球形容器體積的最小值為：4%x（叵）2=41兀.

2

故選：A.

【點睛】本題考查了幾何體的外接球問題，考查了空間想象能力，考查了轉化思想，該類問題的一個主要

方法是通過空間想象，把實際問題抽象成空間幾何問題，屬于中檔題.

2.（湖北省宜昌市長陽縣第一中學2019-2020學年高一下學期期中數學試題）已知半徑為5的球的兩個平行

截面的周長分別為6萬和8不，則兩平行截面間的距離是（）

A.1B.2

C.1或7D.2或6

【答案】C

【解析】

【分析】求出兩個平行截面圓的半徑，由勾股定理求出球心到兩個截面的距離.分兩個平行截面在球心的同

側和兩側討論，即得兩平行截面間的距離.

【詳解】設兩平行截面圓的半徑分別為小為，則2萬｛=6%,2%弓=8%,：./=3,弓=4.

???球心到兩個截面的距離分別為&=V52-32=4,4=,52-42=3.

當兩個平行截面在球心的同側時，兩平行截面間的距離為4-4=4-3=1；

當兩個平行截面在球心的兩側時，兩平行截面間的距離為4+&=4+3=7.

故選：C.

【點睛】本題考查球的截面間的距離，屬于基礎題.

3.（黑龍江省哈爾濱市賓縣第二中學2019-2020學年高二下學期期中考試數學（理）試題）如圖，透明的圓柱

形容器（容器厚度忽略不計）的高為12cm,底面周長為10cm,在容器內壁離容器底部3cm的點8處有一

飯粒，此時一只螞蟻正好在容器外壁，且離容器上沿3cm的點A處，則螞蟻吃到飯粒需爬行的最短路徑

是（）

C.VbTcmD.2V34cm

【答案】A

【解析】

【分析】如圖所示：圖像為圓柱的側面展開圖，A關于EE的對稱點為4,則AE+BE的最小值為AB，

計算得到答案.

【詳解】如圖所示：圖像為圓柱的側面展開圖，A關于EF的對稱點為A'，

則AE+BE的最小值為4B，易知BC=5,A'C=12,故4B=13.

故選：A.

【點睛】本題考查了立體幾何中的最短距離問題，意在考查學生的計算能力和空間想象能力.

4.（山西省忻州實驗中學2019-2020學年高二下學期第一次月考數學試題）下列結論正確的是（）

A.存在每個面都是直角三角形的四面體

B.每個面都是三角形的幾何體是三棱錐

C.圓臺上、下底面圓周上各取一點的連線是母線

D.用一個平面截圓錐，截面與底面間的部分是圓臺

【答案】A

【解析】

【分析】利用椎體、臺體的結構特征即可逐一判斷.

【詳解】對于A,利用三棱錐尸-ABC,滿足24,平面ABC，

是以點C為直角頂點的直角三角形，如圖：

B

C

則9_L/W，PAIAC^PA1BC，又8C_LAC，

PAC\AC^A,PA，ACu平面尸AC，

平面PAC，PCu平面尸AC，

BC1PC,故三棱錐P-ABC的四個面都是直角三角形，

存在每個面都是直角三角形的四面體.

對于B,根據三棱錐的結構特征，各個面為三角形不一定為三棱錐，

兩個一樣的三棱錐上下拼接成一個六面體，它的每個面都是三角形，故B錯誤：

對于C,以直角梯形垂直于底邊的腰所在的直線為旋轉軸，

其余各邊旋轉而形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓臺，

旋轉軸叫做圓臺的軸，直角梯形上、下底旋轉所成的圓面稱為圓臺的上、下底面，

另一腰旋轉所成的曲面稱為圓臺的側面，

側面上各個位置的宜角梯形的腰稱為圓臺的母線，故C錯誤；

對于D,只有用平行于圓錐底面的平面去截取圓錐，

圓錐底面和截面之間的部分才是圓臺，故D錯誤；

故選：A

【點睛】本題考查了三棱錐、圓臺的結構特征，掌握簡單幾何體的結構特征是解決本題的關鍵，屬于基礎

題.

5.（山西省忻州實驗中學2019-2020學年高二下學期第一次月考數學試題）用一平面截正方體，截面可能是

①三角形②四邊形③五邊形④六邊形中的（）

A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④

【答案】D

【解析】

【分析】由正方體的結構特征，作出截面即可判斷.

【詳解】如圖所示：

【點睛】本題考查了正方體的結構特征，注意培養(yǎng)空間想象能力，屬于基礎題.

二、多選題

6.（山東省平邑縣、沂水縣2019-2020學年高一下學期期中考試數學試題）用一個平面去截一個幾何體，截

面的形狀是三角形，那么這個幾何體可能是（）

A.圓錐B.圓柱C.三棱錐D.正方體

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據物體特征分析截面可能的情況即可得解.

【詳解】圓錐的軸截面是三角形，圓柱的任何截面都不可能是三角形，

三棱錐平行于底面的截面是三角形，

正方體的截面可能是三角形，如圖:

故選：ACD.

【點睛】此題考查物體截面辨析，關鍵在于熟悉常見幾何體的幾何特征，分析截面可能的情況.

7.（福建省泉州第十六中學2019-2020學年高一5月月考數學試題）下列命題錯誤的是（）

A.棱柱的側棱都相等，側面都是全等的平行四邊形

B.用一個平面去截棱錐，棱錐底面與截面之間的部分是棱臺

C.若三棱錐的三條側棱兩兩垂直，則其三個側面也兩兩垂直

D.棱臺的側棱延長后交于一點，側面是等腰梯形

【答案】ABD

【解析】

【分析】直接利用棱柱，棱錐，棱臺的性質判斷選項即可.

【詳解】對于A,棱柱的側面不一定全等，故錯誤；

對于B,由棱臺的定義可知只有當平面與底面平行時，所截部分才是棱臺，故錯誤；

對于C,若三樓錐的三條側棱兩兩垂直，則其三個側面也兩兩垂直，比如正方體中共點的三個相鄰平面，

故正確；

對于D,棱臺的側面不一定是等腰梯形，故錯誤.

綜上，ABD錯誤.

故選：ABD.

【點睛】本題主要考查了點、線、面間位置特征的判斷，棱柱的結構特征，考查學生的空間想象能力和推

理論證能力，屬于基礎題.

三、填空題

8.（上海市復旦大學附屬中學2019-2020學年高二下學期期中數學試題）已知球。的半徑R,AB是球面上兩

點，若線段A8的長為七，則A、B兩點間的球面距離為.

TT

【答案】-R

3

【解析】

［分析］先根據|=\OB\=|Q4|=R,求出乙4。8=-,則可得到A、B兩點間的球面距離為三R.

33

【詳解】球。的半徑氏是球面上兩點，線段A3的長為民

由\AB\=\OB\=|Q4|=R,所以QAB為等邊三角形.

所以NA0B=—,所以A、B兩點間的球面距離為一？R-R

333

TT

故答案為：-R

3

【點睛】本題考查求球面上兩點間的球面距離，屬于基礎題.

9.（山西省忻州實驗中學2019-2020學年高二下學期第一次月考數學試題）如圖，三棱錐S—ABC中

,S4=S3=AC=2,ZASB=ZBSC=ZCSA=30，M.N分別為S3、SC上的點，則AAW周

長的最小值為.

【答案】2x/2

【解析】

【分析】把三棱錐的側面沿其中一條側棱展開成平面，在平面中即可求出A4MN周長的最小值.

（詳解】將三棱錐S-ABC側面沿其中一條側棱展開成如圖所示的平面圖形：

由ZASB=ZBSC=NCSA=30。，

所以ZASA'=ZASB+NBSC+NCSA=90.

s

觀察圖形可知，

當A、M、N三點共線時，A4MN周長的最小，

此時MMN周長為AN+MN+AM=722+22=272-

故答案為：2母

【點睛】本題考查了空間幾何體表面上的最值問題，解題的基本思路是“展開”，將空間幾何體的“面”展開

鋪在一個平面上，將問題轉化為平面上的最值問題，屬于中檔題.

10.（江蘇省常州市教學聯盟2019-2020學年高--下學期期中數學試題）圓錐底面半徑為10,母線長為40,

從底面圓周上一點，繞側面一周再回到該點的最短路線的長度是一.

【答案】40A/2

【解析】

【分析】根據題意，先求得展開圖形中扇形的圓心角度數，即可由勾股定理求得最短路徑長.

24x107C

【詳解】該圓錐的側面展開圖為扇形，該扇形圓心角度數為a=----------=一，

402

最短路程為yl4Cr+402=4072-

故答案為：40\/2-

【點睛】本題考查了圓錐的結構特征，最短距離求法，屬于基礎題.

11.（江西省南昌市新建縣第一中學2019-2020學年高二開學考試數學（文）試題）圓臺的母線長為2a,母線

與軸的夾角為30。，下底面圓的半徑是上底面圓的半徑的2倍，則上底面圓的半徑為.

【答案】a

【解析】

【分析】設上底面半徑為「，則下底面半徑為2r,根據NP=30°用「表示尸4、PB，由=列

出等式即可得解.

【詳解】如圖所示，設上底面半徑為r,則下底面半徑為2r,

?.-ZP=30,：.PA=2OtA=2r,PB=2OB=4r,

又PB=PA+AB，+2r=4/-=>r=?.

故答案為：a.

【點睛】本題考查圓臺的結構特征，解題時應用初中平面幾何的知識點，屬于基礎題.

12.（湖南省五市十校2019-2020學年高一上學期第一次聯考數學試題A卷）我國古代數學名著《數學九章》

中有云：“今有木長三丈五尺，圍之4尺.葛生其下，纏木三周，上與木齊，問葛長幾何？”其意思為：圓木

長3丈5尺，圓周為4尺，葛藤從圓木的底部開始向上生長，繞圓木三周，剛好頂部與圓木平齊，問葛藤

最少長尺.（注：1丈等于10尺）

【答案】37

【解析】

【分析】根據題意知圓柱的側面展開圖是矩形，葛藤長是三個矩形相連所成對角線的長.

【詳解】由題意，圓柱的側面展開圖是矩形，如圖所示：

一條直角邊（即圓木的高）長3x10+5=35尺，另一條直角邊長3x4=12尺，

因此葛藤長為歷工運=37尺.

故答案為：37.

【點睛】本題考查了旋轉體側面上的最短距離計算問題，正確運用圓柱的側面展開圖是解題的關鍵，考查

空間想象能力，屬于中等題.

.：!<°.o<一運.亳。??運「。常；"塞?照

考點07三視圖和直觀圖

一、單選題

1.（江西省南昌市八一中學2019-2020學年高二下學期期中考試數學（文）試題）如圖，一個水平放置的面積

是2+及的平面圖形的斜二測直觀圖是等腰梯形，其中AD'〃B'C,則等腰梯形面積為（）

A.-J-+—B.1+—C.1+72D.2+72

222

【答案】A

【解析】

【分析】根據斜二測畫法的規(guī)則得出原水平放置的平面圖，利用梯形的面積公式表示出直觀圖的面積:

SA.B,C,D.=-^\A'D'+B'C'）-A'B',即可求解.

【詳解】根據斜二測畫法的規(guī)則得原水平放置的平面圖:

上底為AD,下底為B'C',高為2AE的直角梯形,

所以水平放置的平面圖形的面積為：

S=g.（A'D'+B'C'Y2A9=2+血

行i

=手x萬.(+B'C)-2A'B'

故選：A

【點睛】本題考查了斜二測畫法的規(guī)則，考查了基本運算能力，屬于基礎題

2.（河南省濮陽市2020屆高三第二次模擬考試數學（文）試題）“王莽方斗”鑄造于王莽始建國元年（公元9

年），有短柄，上下邊緣刻有篆書銘文，外壁漆畫黍、麥、豆、禾和麻紋，如圖1所示.因其少見，故為研

究西漢量器的重要物證.圖2是“王莽方斗”模型的三視圖，則該模型的容積為（）

A.213B.162C.178D.193

【答案】B

【解析】

【分析】根據三視圖提供的數據結合幾何體為長方體，然后利用長方體的體積公式求解.

【詳解】由三視圖知，該幾何體容積部分為長方體，且長，寬，高分別為：6,6,4.5,

所以其容積為45x6x6=162.

故選：B

【點睛】本題考查數學文化、三視圖、空間幾何體的體積，還考查了直觀想象和運算求解的能力，屬于基

礎題.

3.（天津市寶垠區(qū)大鐘莊高級中學2019-2020學年高一6月月考數學試題）如圖是一梯形OABC的直觀圖,

其直觀圖面積為S,則梯形0ABe的面積為（）

B.V25C.20sD.&S

【答案】C

【解析】

【分析】根據孕幽=￡，可得梯形。4BC的面積.

S原圖4

【詳解】由鎏里=坐.可得梯形OA8C的面積S梯形0ABe=噌=2夜S.

'原圖472

故選：C.

【點睛】本題考查斜二測畫法，屬于基礎題.

4.（北京市海淀區(qū)2020屆高三年級笫：學期期末練習（二模）數學試題）某三棱錐的三視圖如圖所示，如果

網格紙上小正方形的邊長為1,那么該三棱錐的體積為（)

24

A.B.C.2D.4

33

【答案】A

【解析】

【分析】如圖所示：三棱錐G-BDE為三視圖對應兒何體，”?算體積得到答案.

【詳解】如圖所示：在邊長為2的正方體-中，E為CD中點,

則三棱錐G-8。七為三視圖對應幾何體.

V=15AfiD￡.CC,=lxlxlx2x2=1.

故選：A.

【點睛】本題考查了根據三視圖求體積，意在考查學生的計算能力和空間想象能力.

5.（廣西來賓市2019-2020學年高三5月教學質量診斷性聯合考試數學（文）試題）已知某幾何體的三視圖如

圖所示，則該兒何體的表面積為（）

正視圖側（左）視圖

俯視圖

A.224+12B.244+12C.26乃+12D.2（）4+12

【答案】A

【解析】

【分析】由三視圖可知，該幾何體為圓柱進行切割了一個半圓柱所得的組合體，再分別計算各個表面的面

積之后即可.

【詳解】由三視圖可知，該幾何體為圓柱進行切割了一個半圓柱所得的組合體，

所以所求表面積為2XTTX22+3X4+TTX2X5+乃X2X2=22TT+12.

故選：A

【點睛】本題考查由三視圖還原立體圖形并求表面積，屬于基礎題.

6.（江西省重點中學協作體2020屆高三第二次聯考數學（理科）試題）某幾何體的三視圖如圖所示（網格中

的每個網格小正方形的邊長為單位1）,則該幾何體的體積為（）

162022

A.——B.6C.—D.——

333

【答案】D

【解析】

【分析】根據幾何體的三視圖，得出該幾何體是由正方體截割去I個三棱錐所得到的幾何體，由此求出兒

何體的體積.

【詳解】解：由三視圖，可知該幾何體是由正方體截割去1個三棱錐所得到的幾何體，如圖所示：

因為網格中的每個網格小正方形的邊長為單位1,

119

所以三棱錐的體積為咚棱錐=-x-x2xlx2--,丫正方體=2x2x2=8

222

所以該幾何體的體積為%方體一%棱錐=8--=y

【點睛】此題考查了利用空間幾何體的三視圖求幾何體的體積的應用問題，屬于基礎題.

7.（浙江省紹興市諸暨市2020屆高三下學期6月高考適應性考試數學試題）一個空間兒何體的三視圖如圖

3

C.D.

22

【答案】C

【解析】

【分析】由三視圖可知該幾何體為三棱錐，再根據棱錐的體積公式求解即可.

【詳解】解：由三視圖可知，該幾何體為三棱錐，如圖，且高為6,

該三棱錐的體積V=!X!X1XGX百="

322

故選：C.

【點睛】本題主要考查由三視圖還原幾何體并求幾何體的體積，屬于基礎題.

8.（浙江省溫州市2020屆高三下學期6月高考適應性測試數學試題）某幾何體的三視圖如圖所示（單位:

cm）,其俯視圖是兩個同心圓，且小圓的內接四邊形是正方形，則該幾何體的體積等于（）cn?.

俯視圖

11^-1628乃。284，/

A.B.C.-----8D.-----16

3333

【答案】C

【解析】

【分析】由幾何體的三視圖可得，幾何體是一圓臺挖了一個內接正四棱柱，用圓臺的體積減去正四棱柱的

體積即可求得答案.

1QQ_

【詳解】圓臺的體積為匕=§（%?/+萬.2?詬）x4設正四棱柱的底面邊長為。，

則、/%=2，得。=正，則正四棱柱的體積匕x4=8，

287r

故幾何體的體積為X-K----------------O

3

故選：c

【點睛】本題考查了三視圖的理解和圓臺、正四棱柱的體積公式，還考察了空間想象能力.

9.（上海市復旦大學附屬中學2019-2020學年高二下學期期中數學試題）如圖，正方體A8CD-A4C|A中,

E為棱B片的中點，用過4E、G的平面截去該正方體的下半部分，則剩余幾何體的主視圖是（）

【答案】C

【解析】

【分析】根據剩余幾何體的直觀圖，結合三視圖的定義即可得到主視圖.

【詳解】在正方體A8CO—44GA中，取的中點F,連接如圖.

則Ab//C|E,所以過點A、E、c的平面截該正方體的截面為平行四邊形AbGE.

則用過A、E、G的平面截去該正方體的卜半部分，剩余幾何體為

則其正視圖為圖中粗線部分.

【點睛】本題考查空間三視圖與直觀圖的應用，屬于基礎題.

10.（山西省忻州實驗中學2019-202（）學年高二下學期第一次月考數學試題）如圖，某三棱錐的三視圖都是

直角邊為0的等腰直角三角形，則該三棱錐的表面積是（）

A.6B.6+5/3C.3D.3+6

【答案】D

【解析】

【分析】由三視圖還原幾何體，可知該幾何體為正三棱錐P-A5C,目.Q4、PB、PC兩兩互相垂直,

PA=PB=PC=2,根據三角形的面積公式即可求解.

【詳解】由三視圖還原幾何體，可知該幾何體為正三棱錐P-ABC,

且抬、PB、PC兩兩互相垂直，PA=PB=PC=2,

該二棱錐的表面積

S=SAAPC+S?8PC++S-ABC

=—x>/2x^2H—x5/2xy/2H—x\p2.xy/2H—x2x2xsin60=3+A/3.

2222

故選：D

【點睛】本題考查了由幾何體的三視圖求幾何體的表面積，解題的關鍵是還原出幾何體的直觀圖，考查了

空間想象能力，屬于基礎題.

11.（山西省忻州實驗中學2019-2020學年高二下學期第一次月考數學試題）某水平放置的平面圖形的斜二

側直觀圖是等腰梯形（如圖所示），NABC=45°,AD=AB=gBC=l,則該平面圖形的面積為（）

X

(0)

A.3B.4

「30n372

24

【答案】A

【解析】

【分析】先確定直觀圖中的線段長，再確定平面圖形中的線段長度，從而求得平面圖形的面積.

【詳解】由NA8C=45°,A￡>=1

2

根據斜二測畫法可知：

原平面圖形為：下底邊長為2,上底為1,高為2的直角梯形，

所以S=H^X2=3.

2

故選：A

【點睛】本題考查了斜二測畫法中直觀圖與平面圖形中的量的變化，屬于基礎題.

12.（福建省泉州第十六中學2019-2020學年高一5月月考數學試題）AA5c是邊長為1的正三角形，那么

△A5c的斜二測平面直觀圖△A'B'C'的面積（）

A.旦B.旦C.在D.昱

16884

【答案】A

【解析】

【分析】先求出原三角形的面積，再根據原圖和直觀圖面積之間的關系即可得解.

【詳解】以A8所在直線為無軸，線段A8的垂直平分線為V軸，建立直角坐標系，

畫對應的X,軸，，軸，使NTO'y'=45。，如下圖所示，

結合圖形，AABC的面積為54*=J_xABxOC=」xlx^=走，

"BC2224

作COLAS',垂足為。,

則。。=紇。。=與、0。=①0。，AB=A'B'.

2224

所以A/rB'C'的面積SKC=-xA'B'xC'D--x—xOCxAB=—xS.

A/*ioc2244△4八人BC

即原圖和直觀圖面積之間的關系為孕幽=￥.

S原圖4

所以，△A/'。'的面積為sAHC=Y2*@=45.

aASC4416

故選：A.

【點睛】本題考查斜二測畫法中原圖和直觀圖面積的關系，屬于基礎題.

.：!<°.o<一運.亳。??運「。常；"塞?照

考點08球、棱柱、棱錐的表面積和體積

一、單選題

1.（山東省平邑縣、沂水縣2019-2020學年高?下學期期中考試數學試題）已知一個圓柱的側面積等于表面

積的且其軸截面的周長是16,則該圓柱的體積是（)

A.54萬B.36%C.27%D.16萬

【答案】D

【解析】

2

2萬7?/?=—x2%/?(〃+/?)

【分析】設圓柱的底面半徑為A,高為〃，則由題意得，〈3'),解方程組，再根據

2〃+4R=16

圓柱的體積公式求解即可.

【詳解】解：設圓柱的底面半徑為R，高為〃，

?.?圓柱的側面積等于表面積的I"，目.其軸橄面的周長是16,

2,、

2萬7?〃=—x2萬/?(/?+R)R=2

3解得，

/?=4

2/z+4H=16

圓柱的體積為V=兀Nh=16乃，

故選：D.

【點睛】本題主要考查圓柱的表面積公式與體積公式，屬于基礎題.

2.（山東省平邑縣、沂水縣2019-2020學年高一下學期期中考試數學試題）某種浮標是一個半球，其直徑為

0.2米，如果在浮標的表面涂一層防水漆，每平方米需要0.5kg涂料，那么給1000個這樣的浮標涂防水漆

需要涂料（）（萬取3.14）

A.47.1kgB.94.2kgC.125.6kgD.157kg

【答案】A

【解析】

【分析】結合球的表面積公式，求出一個浮標的表面積，進而可求1000個浮標涂防水漆需要涂料質量.

【詳解】解：由題意知，半球的半徑R=（）.l米.一個浮標的表面積

S=L?4%R2+乃R2=37R2=3x3.14xO.『=0.0942平方米，

2

所以1000個浮標涂防水漆需要涂料l（X）（）x0.5x（）.（）942=47.1kg.

故選:A.

【點睛】本題考查了球的表面積的求解.本題的關鍵是求出半球的表面積.本題的易錯點是求表面積時，忽

略半球的圓面的面積.

3.（四川省樂山市2020屆高三第三次調查研究考試數學（文）試題）如圖，在三棱錐A-3CD中，

ZABC=ZABD=ZCBD=90°,AB=BC=BD=1,則其外接球的體積為（）.

A.3兀B.—TiC.—itD.-

222

【答案】C

【解析】

【分析】由已知可得三棱錐38在正方體中，借助正方體的體對角線即為外接球的直徑即可求得結

果.

【詳解】將三棱錐A—BCD放入棱長為1的正方體中，

則其外接球即為正方體的外接球，球半徑為/?=走，

2

所以外接球的體積為V=&無內=1兀

32

故選:C.

【點睛】本題主要考查幾何體的結構特征以及外接球問題，還考查了空間想象和運算求解的能力，屬于基

礎題.

4.（四川省成都市第七中學2020屆高三高中畢業(yè)班三診模擬數學（文科）試題）已知一個四面體的每一個面

都是以3,3,2為邊長的銳角三角形，則這個四面體的外接球的表面積為（）

【答案】C

【解析】

【分析】考慮一個長方體A3CD-A與G2，其四個頂點就構成一個四面體ABC。恰好就是每個?:角

形邊長為3,3,2,則四面體的外接球即為長方體的外接球，進而計算出其外接球的直徑，即可得外接球的

表面積.

【詳解】設長方體ABC。—44GA的長寬高分別是a，4c,其四個頂點就構成一個四面體滿

足每個面的邊長為3,3,2,如圖：

則四面體的外接球即為長方體的外接球，

因為"+匕2=9，Z>2+c2=9，c2+a2=4,所以4+匕2+。2=]i,

所以，長方體的外接球直徑27?=1，

故外接球的表面積S=4TFR2=1.

故選：C.

【點睛】本題考查求一個幾何體的外接球表面積，關鍵是求出外接球的半徑，將幾何體補成一個長方體是

解題的關鍵，考查數形結合思想，屬于基礎題.

5.（2020屆四川省成都市石室天府中學高三第四次階段性質量檢測數學（理）試題）阿基米德（公元前287

年一公元前212年）是古希臘偉大的哲學家、數學家和物理學家，他和高斯、牛頓并列被稱為世界三大數

學家.據說，他自己覺得最為滿意的一個數學發(fā)現就是“圓柱內切球體的體積是圓柱體積的三分之二，并且

球的表面積也是圓柱表面積的三分之二”.他特別喜歡這個結論，要求后人在他的墓碑上刻著一個圓柱容器

里放了一個球，如圖，該球頂天立地，四周碰邊，表面積為54乃的圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑，

64萬

A.4乃B.16萬C.36"

【答案】C

【解析】

【分析】設球的半徑為R,根據組合體的關系，圓柱的表面積為S=2兀%+2JTRx27?=54乃，解得

球的半徑R=3,再代入球的體積公式求解.

【詳解】設球的半徑為R,

根據題意圓柱的表面積為S=24曾+2萬斤x2斤=54萬，

解得R=3,

44

所以該球的體積為/=—兀R'=—xx33=36%.

33

故選：C

【點睛】本題主要考查組合體的表面積和體積，還考查了對數學史了解，屬于基礎題.

6.（2020屆甘肅省高三第二次高考診斷考試數學（理科）試題）在四棱錐尸-A8CD中，底面A8CD為矩形，

AB=^BC=\,AB4c為等邊三角形，若四棱錐P-ABC。的體積為1,則此四棱錐的外接球表面

積為（）

4萬8萬16萬

A.B.—C.------D.3萬

333

【答案】C

【解析】

【分析】連接AC,8。交于。，先根據AP4c為等邊三角形以及四棱錐P—ABCD的體積為1可得P。，

平面A3CO,進而可得球心在平面PAC中，進而求得外接球的半徑與表面枳即可.

【詳解】連接AC,BD交于。，連接PO.因為底面ABCD為矩形，故AC=y1AB2+BC2=2.

又AP4c為等邊三角形，故Q4=PC=2、AO=1,PO=JL

又四棱錐P-ABCD的體積為1,設高為/?廁;?A8?/=1，解得〃=6.

故P。為四棱錐P-ABCD的高.即P。_L平面ABCD

又AC為底面ABC。外接圓的直徑，故此四棱錐的外接球球心在平面PAC中，即三角形PAC外接圓圓心.

PQ416

設球半徑為R.則2R=—=-j=，故表面積為4萬R2=乃仁火廠=萬.

sinZPACJ3'’3

p

【點睛】本題主要考查了錐體外接球的計算，需要根據題意判斷外接球球心的位置，再用正弦定理求解半徑

即可.屬于中檔題.

7.（四川省南充高級中學2019-2020學年高二下學期期中考試數學（理）試題）在三棱錐P-A3C中，

PA=PB=PC=2,且兩兩互相垂直，則三棱錐P—4BC的外接球的體積為（）

A.4下＞兀B.8信C.兀D.2#）兀

【答案】A

【解析】

【分析】

將已知三棱錐補全為一個邊長為2的正方體，將求三棱錐尸-ABC的外接球體積轉化為該正方體的外接

球，由正方體體對角線長度等于其外接球直徑即可求得外接球的半徑，進而由球體的體積公式計算即可.

【詳解】

在三棱錐尸—A8C中有兩兩互相垂直，且PA=PB=PC=2,則可將其補全為一個邊長為

2的正方體，顯然該正方體的外接球即為三棱錐尸一ABC的外接球，設該外接球的半徑為〃

正方體的體對角線為522+2?+2]=2G，則2r=2百nr=百

故外接球的體積為V=^7iri=4后.

故選：A

【點睛】本題考查求棱錐外接球的體積，屬于簡單題.

8.（2020屆山東省濟南市高三二模數學試題）在三棱錐。一ABC中，AB=2,ACLBC,若該三棱錐的

體積為g，則其外接球表面積的最小值為（）

497r64〃25乃

A.5萬B.——C.——D.——

1294

【答案】D

【解析】

【分析】根據均值不等式得到S28C<1，故"22,當P離平面ABC最遠時，外接球表面積最小，此時

h15

P在平面ABC的投影為A5中點。「故我=耳+不，根據函數單調性得到&加=^，計算得到答案.

【詳解】AB=2.ACrBC,故底面三角形外接圓半徑為r=l,

S^BC=；CAC6<；（C42+CB2）=1,當CA=CB=O時等號成立,

1?

故丫=§5小院/=5，故〃之2，

當「離平面ABC最遠時，外接球表面積最小，此時，P在平面ABC的投影為AB中點。1,

設球心為。，則。在上，故火2=（〃—尺^+產，化簡得到R=2+J_,

、）22h

雙勾函數丁=]+1在[2,+CO）上單調遞增，故Rmi“=a，故，n=4萬凡/=a〃.

故選：D.

【點睛】本題考查了三棱錐的外接球問題，意在考查學生的計算能力和空間想象能力.

9.（2020屆湖北省武漢市部分學校高三下學期5月在線學習摸底檢測理科數學試題）已知三棱柱

ABC—44G，AB=3,AC=4,ABA.AC,44=12,如果三棱柱ABC—A4G的6個頂點都在

球。的球面上.則球的半徑為（）

A.B.2屈C.—D.3710

22

【答案】C

【解析】

【分析】如果三棱柱ABC-44G的6個頂點都在球。的球面上，可判斷改三棱柱為直三棱柱，且該三棱

柱外接球球心在底面的投影為底面外接圓圓心，綜上可確定外接球球心位置，列等量關系求外接球半徑.

【詳解】如圖，

4

AB_LAC,則AABC外接圓圓心為斜邊BC中點0,中點為七，

則球體的球心為EO中點。，設球體半徑為R，

,R2=OD2+BD2,

且A8=3,AC-4,AA,=12

OD=-ED=-AA=6,BD=-BC=-yjAB2+AC2=-

22,222

13

解得R=（.

2

故選：C.

【點睛】本題考查空間幾何體外接球問題，需注意找外接球球心先找底面外接圓圓心，考查直觀想象能力、

推理論證能力和運算求解能力，是基礎題.

47r

10.（山西省忻州實驗中學2019-2020學年高二下學期第一次月考數學試題）體積為q-的球。放置在棱長

為4的正方體上,且與上表面相切，切點為上表面中心，則球心與下表面圍成的四棱錐的外接球半徑為（）

10338064

A.—B.—C.—

3103

【答案】B

【解析】

【分析】體積為目的球。的半徑為1，四棱錐O-A8CD的底面邊長為4,高為5,設四棱錐0-A8C。

的外接球的半徑為R，利用勾股定理，建立方程，即可求出四棱錐0-A5CD的外接球的半徑.

【詳解】體積為的球。的半徑為1,

四棱錐。-ABCD的底面邊長為4,高為5,

設四棱錐O-ABCD的外接球的半徑為R,

則A?=（5—R『+（2行『，解得尺=布.

故選：B

【點睛】本題考查了多面體的外接球問題，考查了空間想象能力以及基本運算能力，屬于基礎題.

二、填空題

11.（四川省瀘州市2020屆高三第三次教學質量診斷性考試數學（理）試題）己知一塊邊長為4的正方形鋁

板（如圖），請設計一種裁剪方法，用虛線標示在答題卡本題圖中，通過該方案裁剪，可焊接做成一個密

封的正四棱柱（底面是正方形且側棱垂于底面的四棱柱），且該四棱柱的全面積等于正方形鋁板的面積（要

求裁剪的塊數盡可能少，不計焊接縫的面積），則該四棱柱外接球的體積為.

【答案】—

2

【解析】

【分析】將正方形甲按圖中虛線剪開，以兩個正方形為底面，四個長方形為側面，焊接成一個底面邊長為

2,高為1的正四棱柱A5CD-4旦GA.該四棱柱外接球的半憐R=，=|.由此能求出該四棱柱外

接球的體積.

【詳解】解：將正方形按圖中虛線剪開,

以兩個正方形為底面，四個長方形為側面,

焊接成一個底面邊長為2,高為1的正四棱柱A6CO—44G。一

底面ABCD為邊長為2的正方形,

???該四棱柱外接球的半徑/?=也=亞+聯+22=3

222

???該四棱柱外接球的體積為：

故答案為：--.

2

【點睛】本題考查四棱柱外接球的體積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識,

考查運算求解能力，屬于中檔題.

12.（河南省許昌市、濟源市、平頂山市2020屆高三第三次聯考數學（文）試題）已知矩形A8CD中，AB=2，

E是C。邊的中點，現以AE為折痕將AADE折起，當三棱錐E>—A3E的體積最大時，該

三棱錐外接球的表面積為.

16萬

【答案】~3~

【解析】

【分析】當平面4)E_L平面ABCE,三棱錐O—A8E的高最大，此時其體積最大，△&1￡為直角三角

形，所以E4=PG=EE,為正三角形，其中心設為。，再證明