高一《新題速遞·數(shù)學(xué)》6月第01期（考點(diǎn)06-11）

2019-2020學(xué)年高一《新題速遞?數(shù)學(xué)》

考點(diǎn)06-11

考點(diǎn)（）6柱、錐、臺(tái)、球及其簡(jiǎn)單組合體

考點(diǎn)07三視圖和直觀圖

考點(diǎn)08球、棱柱、棱錐的表面積和體積

考點(diǎn)09空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系

考點(diǎn)10線、面平行或垂直的性質(zhì)與判定

考點(diǎn)H立體幾何綜合

冬。.?運(yùn).。*.=?，號(hào)。.?*。??二.。*.??-.■

考點(diǎn)06柱、錐、臺(tái)、球及其簡(jiǎn)單組合體

一、單選題

1.（2020屆湖北省部分省級(jí)示范性重點(diǎn)中學(xué)教科研協(xié)作體高三統(tǒng)一聯(lián)合考試數(shù)學(xué)（理）試題）魯班鎖是中國(guó)傳

統(tǒng)的智力玩具，起源于中國(guó)古代建筑中首創(chuàng)的樣卯結(jié)構(gòu)，它的外觀是如圖所示的十字立方體，其上下、左

右、前后完全對(duì)稱，六根完全一樣的正四棱柱體分成三組，經(jīng)90。梯卯起來(lái).若正四棱柱的高為6,底面正

方形的邊長(zhǎng)為1,現(xiàn)將該魯班鎖放進(jìn)一個(gè)球形容器（容器壁的厚度忽略不計(jì)），則該球形容器表面積的最

小值為（）

A.417rB.42乃C.43乃D.447r

【答案】A

【解析】

【分析】由于圖形的時(shí)稱性，只要求出一組正四棱柱的體對(duì)角線，即是外接圓的直徑.

【詳解】由題意，該球形容器的半徑的最小值為并在一起的兩個(gè)長(zhǎng)方體體對(duì)角線的一半,

即為1xj36+4+l=巫,

22

.?.該球形容器體積的最小值為：4%x（叵）2=41兀.

2

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了幾何體的外接球問(wèn)題，考查了空間想象能力，考查了轉(zhuǎn)化思想，該類問(wèn)題的一個(gè)主要

方法是通過(guò)空間想象，把實(shí)際問(wèn)題抽象成空間幾何問(wèn)題，屬于中檔題.

2.（湖北省宜昌市長(zhǎng)陽(yáng)縣第一中學(xué)2019-2020學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）已知半徑為5的球的兩個(gè)平行

截面的周長(zhǎng)分別為6萬(wàn)和8不，則兩平行截面間的距離是（）

A.1B.2

C.1或7D.2或6

【答案】C

【解析】

【分析】求出兩個(gè)平行截面圓的半徑，由勾股定理求出球心到兩個(gè)截面的距離.分兩個(gè)平行截面在球心的同

側(cè)和兩側(cè)討論，即得兩平行截面間的距離.

【詳解】設(shè)兩平行截面圓的半徑分別為小為，則2萬(wàn)｛=6%,2%弓=8%,：./=3,弓=4.

???球心到兩個(gè)截面的距離分別為&=V52-32=4,4=,52-42=3.

當(dāng)兩個(gè)平行截面在球心的同側(cè)時(shí)，兩平行截面間的距離為4-4=4-3=1；

當(dāng)兩個(gè)平行截面在球心的兩側(cè)時(shí)，兩平行截面間的距離為4+&=4+3=7.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查球的截面間的距離，屬于基礎(chǔ)題.

3.（黑龍江省哈爾濱市賓縣第二中學(xué)2019-2020學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)（理）試題）如圖，透明的圓柱

形容器（容器厚度忽略不計(jì)）的高為12cm,底面周長(zhǎng)為10cm,在容器內(nèi)壁離容器底部3cm的點(diǎn)8處有一

飯粒，此時(shí)一只螞蟻正好在容器外壁，且離容器上沿3cm的點(diǎn)A處，則螞蟻吃到飯粒需爬行的最短路徑

是（）

C.VbTcmD.2V34cm

【答案】A

【解析】

【分析】如圖所示：圖像為圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖，A關(guān)于EE的對(duì)稱點(diǎn)為4,則AE+BE的最小值為AB，

計(jì)算得到答案.

【詳解】如圖所示：圖像為圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖，A關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)為A'，

則AE+BE的最小值為4B，易知BC=5,A'C=12,故4B=13.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了立體幾何中的最短距離問(wèn)題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.

4.（山西省忻州實(shí)驗(yàn)中學(xué)2019-2020學(xué)年高二下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題）下列結(jié)論正確的是（）

A.存在每個(gè)面都是直角三角形的四面體

B.每個(gè)面都是三角形的幾何體是三棱錐

C.圓臺(tái)上、下底面圓周上各取一點(diǎn)的連線是母線

D.用一個(gè)平面截圓錐，截面與底面間的部分是圓臺(tái)

【答案】A

【解析】

【分析】利用椎體、臺(tái)體的結(jié)構(gòu)特征即可逐一判斷.

【詳解】對(duì)于A,利用三棱錐尸-ABC,滿足24,平面ABC，

是以點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)的直角三角形，如圖：

B

C

則9_L/W，PAIAC^PA1BC，又8C_LAC，

PAC\AC^A,PA，ACu平面尸AC，

平面PAC，PCu平面尸AC，

BC1PC,故三棱錐P-ABC的四個(gè)面都是直角三角形，

存在每個(gè)面都是直角三角形的四面體.

對(duì)于B,根據(jù)三棱錐的結(jié)構(gòu)特征，各個(gè)面為三角形不一定為三棱錐，

兩個(gè)一樣的三棱錐上下拼接成一個(gè)六面體，它的每個(gè)面都是三角形，故B錯(cuò)誤：

對(duì)于C,以直角梯形垂直于底邊的腰所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，

其余各邊旋轉(zhuǎn)而形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓臺(tái)，

旋轉(zhuǎn)軸叫做圓臺(tái)的軸，直角梯形上、下底旋轉(zhuǎn)所成的圓面稱為圓臺(tái)的上、下底面，

另一腰旋轉(zhuǎn)所成的曲面稱為圓臺(tái)的側(cè)面，

側(cè)面上各個(gè)位置的宜角梯形的腰稱為圓臺(tái)的母線，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,只有用平行于圓錐底面的平面去截取圓錐，

圓錐底面和截面之間的部分才是圓臺(tái)，故D錯(cuò)誤；

故選：A

【點(diǎn)睛】本題考查了三棱錐、圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征，掌握簡(jiǎn)單幾何體的結(jié)構(gòu)特征是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)

題.

5.（山西省忻州實(shí)驗(yàn)中學(xué)2019-2020學(xué)年高二下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題）用一平面截正方體，截面可能是

①三角形②四邊形③五邊形④六邊形中的（）

A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④

【答案】D

【解析】

【分析】由正方體的結(jié)構(gòu)特征，作出截面即可判斷.

【詳解】如圖所示：

【點(diǎn)睛】本題考查了正方體的結(jié)構(gòu)特征，注意培養(yǎng)空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題.

二、多選題

6.（山東省平邑縣、沂水縣2019-2020學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題）用一個(gè)平面去截一個(gè)幾何體，截

面的形狀是三角形，那么這個(gè)幾何體可能是（）

A.圓錐B.圓柱C.三棱錐D.正方體

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據(jù)物體特征分析截面可能的情況即可得解.

【詳解】圓錐的軸截面是三角形，圓柱的任何截面都不可能是三角形，

三棱錐平行于底面的截面是三角形，

正方體的截面可能是三角形，如圖:

故選：ACD.

【點(diǎn)睛】此題考查物體截面辨析，關(guān)鍵在于熟悉常見(jiàn)幾何體的幾何特征，分析截面可能的情況.

7.（福建省泉州第十六中學(xué)2019-2020學(xué)年高一5月月考數(shù)學(xué)試題）下列命題錯(cuò)誤的是（）

A.棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的平行四邊形

B.用一個(gè)平面去截棱錐，棱錐底面與截面之間的部分是棱臺(tái)

C.若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則其三個(gè)側(cè)面也兩兩垂直

D.棱臺(tái)的側(cè)棱延長(zhǎng)后交于一點(diǎn)，側(cè)面是等腰梯形

【答案】ABD

【解析】

【分析】直接利用棱柱，棱錐，棱臺(tái)的性質(zhì)判斷選項(xiàng)即可.

【詳解】對(duì)于A,棱柱的側(cè)面不一定全等，故錯(cuò)誤；

對(duì)于B,由棱臺(tái)的定義可知只有當(dāng)平面與底面平行時(shí)，所截部分才是棱臺(tái)，故錯(cuò)誤；

對(duì)于C,若三樓錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則其三個(gè)側(cè)面也兩兩垂直，比如正方體中共點(diǎn)的三個(gè)相鄰平面，

故正確；

對(duì)于D,棱臺(tái)的側(cè)面不一定是等腰梯形，故錯(cuò)誤.

綜上，ABD錯(cuò)誤.

故選：ABD.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了點(diǎn)、線、面間位置特征的判斷，棱柱的結(jié)構(gòu)特征，考查學(xué)生的空間想象能力和推

理論證能力，屬于基礎(chǔ)題.

三、填空題

8.（上海市復(fù)旦大學(xué)附屬中學(xué)2019-2020學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）已知球。的半徑R,AB是球面上兩

點(diǎn)，若線段A8的長(zhǎng)為七，則A、B兩點(diǎn)間的球面距離為.

TT

【答案】-R

3

【解析】

［分析］先根據(jù)|=\OB\=|Q4|=R,求出乙4。8=-,則可得到A、B兩點(diǎn)間的球面距離為三R.

33

【詳解】球。的半徑氏是球面上兩點(diǎn)，線段A3的長(zhǎng)為民

由\AB\=\OB\=|Q4|=R,所以QAB為等邊三角形.

所以NA0B=—,所以A、B兩點(diǎn)間的球面距離為一？R-R

333

TT

故答案為：-R

3

【點(diǎn)睛】本題考查求球面上兩點(diǎn)間的球面距離，屬于基礎(chǔ)題.

9.（山西省忻州實(shí)驗(yàn)中學(xué)2019-2020學(xué)年高二下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題）如圖，三棱錐S—ABC中

,S4=S3=AC=2,ZASB=ZBSC=ZCSA=30，M.N分別為S3、SC上的點(diǎn)，則AAW周

長(zhǎng)的最小值為.

【答案】2x/2

【解析】

【分析】把三棱錐的側(cè)面沿其中一條側(cè)棱展開(kāi)成平面，在平面中即可求出A4MN周長(zhǎng)的最小值.

（詳解】將三棱錐S-ABC側(cè)面沿其中一條側(cè)棱展開(kāi)成如圖所示的平面圖形：

由ZASB=ZBSC=NCSA=30。，

所以ZASA'=ZASB+NBSC+NCSA=90.

s

觀察圖形可知，

當(dāng)A、M、N三點(diǎn)共線時(shí)，A4MN周長(zhǎng)的最小，

此時(shí)MMN周長(zhǎng)為AN+MN+AM=722+22=272-

故答案為：2母

【點(diǎn)睛】本題考查了空間幾何體表面上的最值問(wèn)題，解題的基本思路是“展開(kāi)”，將空間幾何體的“面”展開(kāi)

鋪在一個(gè)平面上，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面上的最值問(wèn)題，屬于中檔題.

10.（江蘇省常州市教學(xué)聯(lián)盟2019-2020學(xué)年高--下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）圓錐底面半徑為10,母線長(zhǎng)為40,

從底面圓周上一點(diǎn)，繞側(cè)面一周再回到該點(diǎn)的最短路線的長(zhǎng)度是一.

【答案】40A/2

【解析】

【分析】根據(jù)題意，先求得展開(kāi)圖形中扇形的圓心角度數(shù)，即可由勾股定理求得最短路徑長(zhǎng).

24x107C

【詳解】該圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為扇形，該扇形圓心角度數(shù)為a=----------=一，

402

最短路程為yl4Cr+402=4072-

故答案為：40\/2-

【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的結(jié)構(gòu)特征，最短距離求法，屬于基礎(chǔ)題.

11.（江西省南昌市新建縣第一中學(xué)2019-2020學(xué)年高二開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)（文）試題）圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為2a,母線

與軸的夾角為30。，下底面圓的半徑是上底面圓的半徑的2倍，則上底面圓的半徑為.

【答案】a

【解析】

【分析】設(shè)上底面半徑為「，則下底面半徑為2r,根據(jù)NP=30°用「表示尸4、PB，由=列

出等式即可得解.

【詳解】如圖所示，設(shè)上底面半徑為r,則下底面半徑為2r,

?.-ZP=30,：.PA=2OtA=2r,PB=2OB=4r,

又PB=PA+AB，+2r=4/-=>r=?.

故答案為：a.

【點(diǎn)睛】本題考查圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征，解題時(shí)應(yīng)用初中平面幾何的知識(shí)點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題.

12.（湖南省五市十校2019-2020學(xué)年高一上學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題A卷）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)學(xué)九章》

中有云：“今有木長(zhǎng)三丈五尺，圍之4尺.葛生其下，纏木三周，上與木齊，問(wèn)葛長(zhǎng)幾何？”其意思為：圓木

長(zhǎng)3丈5尺，圓周為4尺，葛藤?gòu)膱A木的底部開(kāi)始向上生長(zhǎng)，繞圓木三周，剛好頂部與圓木平齊，問(wèn)葛藤

最少長(zhǎng)尺.（注：1丈等于10尺）

【答案】37

【解析】

【分析】根據(jù)題意知圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是矩形，葛藤長(zhǎng)是三個(gè)矩形相連所成對(duì)角線的長(zhǎng).

【詳解】由題意，圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是矩形，如圖所示：

一條直角邊（即圓木的高）長(zhǎng)3x10+5=35尺，另一條直角邊長(zhǎng)3x4=12尺，

因此葛藤長(zhǎng)為歷工運(yùn)=37尺.

故答案為：37.

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)體側(cè)面上的最短距離計(jì)算問(wèn)題，正確運(yùn)用圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是解題的關(guān)鍵，考查

空間想象能力，屬于中等題.

.：!<°.o<一運(yùn).亳。??運(yùn)「。常；"塞?照

考點(diǎn)07三視圖和直觀圖

一、單選題

1.（江西省南昌市八一中學(xué)2019-2020學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)（文）試題）如圖，一個(gè)水平放置的面積

是2+及的平面圖形的斜二測(cè)直觀圖是等腰梯形，其中AD'〃B'C,則等腰梯形面積為（）

A.-J-+—B.1+—C.1+72D.2+72

222

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)斜二測(cè)畫法的規(guī)則得出原水平放置的平面圖，利用梯形的面積公式表示出直觀圖的面積:

SA.B,C,D.=-^\A'D'+B'C'）-A'B',即可求解.

【詳解】根據(jù)斜二測(cè)畫法的規(guī)則得原水平放置的平面圖:

上底為AD,下底為B'C',高為2AE的直角梯形,

所以水平放置的平面圖形的面積為：

S=g.（A'D'+B'C'Y2A9=2+血

行i

=手x萬(wàn).(+B'C)-2A'B'

故選：A

【點(diǎn)睛】本題考查了斜二測(cè)畫法的規(guī)則，考查了基本運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題

2.（河南省濮陽(yáng)市2020屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)（文）試題）“王莽方斗”鑄造于王莽始建國(guó)元年（公元9

年），有短柄，上下邊緣刻有篆書銘文，外壁漆畫黍、麥、豆、禾和麻紋，如圖1所示.因其少見(jiàn)，故為研

究西漢量器的重要物證.圖2是“王莽方斗”模型的三視圖，則該模型的容積為（）

A.213B.162C.178D.193

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)三視圖提供的數(shù)據(jù)結(jié)合幾何體為長(zhǎng)方體，然后利用長(zhǎng)方體的體積公式求解.

【詳解】由三視圖知，該幾何體容積部分為長(zhǎng)方體，且長(zhǎng)，寬，高分別為：6,6,4.5,

所以其容積為45x6x6=162.

故選：B

【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)學(xué)文化、三視圖、空間幾何體的體積，還考查了直觀想象和運(yùn)算求解的能力，屬于基

礎(chǔ)題.

3.（天津市寶垠區(qū)大鐘莊高級(jí)中學(xué)2019-2020學(xué)年高一6月月考數(shù)學(xué)試題）如圖是一梯形OABC的直觀圖,

其直觀圖面積為S,則梯形0ABe的面積為（）

B.V25C.20sD.&S

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)孕幽=￡，可得梯形。4BC的面積.

S原圖4

【詳解】由鎏里=坐.可得梯形OA8C的面積S梯形0ABe=噌=2夜S.

'原圖472

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查斜二測(cè)畫法，屬于基礎(chǔ)題.

4.（北京市海淀區(qū)2020屆高三年級(jí)笫：學(xué)期期末練習(xí)（二模）數(shù)學(xué)試題）某三棱錐的三視圖如圖所示，如果

網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,那么該三棱錐的體積為（)

24

A.B.C.2D.4

33

【答案】A

【解析】

【分析】如圖所示：三棱錐G-BDE為三視圖對(duì)應(yīng)兒何體，”?算體積得到答案.

【詳解】如圖所示：在邊長(zhǎng)為2的正方體-中，E為CD中點(diǎn),

則三棱錐G-8。七為三視圖對(duì)應(yīng)幾何體.

V=15AfiD￡.CC,=lxlxlx2x2=1.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)三視圖求體積，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.

5.（廣西來(lái)賓市2019-2020學(xué)年高三5月教學(xué)質(zhì)量診斷性聯(lián)合考試數(shù)學(xué)（文）試題）已知某幾何體的三視圖如

圖所示，則該兒何體的表面積為（）

正視圖側(cè)（左）視圖

俯視圖

A.224+12B.244+12C.26乃+12D.2（）4+12

【答案】A

【解析】

【分析】由三視圖可知，該幾何體為圓柱進(jìn)行切割了一個(gè)半圓柱所得的組合體，再分別計(jì)算各個(gè)表面的面

積之后即可.

【詳解】由三視圖可知，該幾何體為圓柱進(jìn)行切割了一個(gè)半圓柱所得的組合體，

所以所求表面積為2XTTX22+3X4+TTX2X5+乃X2X2=22TT+12.

故選：A

【點(diǎn)睛】本題考查由三視圖還原立體圖形并求表面積，屬于基礎(chǔ)題.

6.（江西省重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體2020屆高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)（理科）試題）某幾何體的三視圖如圖所示（網(wǎng)格中

的每個(gè)網(wǎng)格小正方形的邊長(zhǎng)為單位1）,則該幾何體的體積為（）

162022

A.——B.6C.—D.——

333

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)幾何體的三視圖，得出該幾何體是由正方體截割去I個(gè)三棱錐所得到的幾何體，由此求出兒

何體的體積.

【詳解】解：由三視圖，可知該幾何體是由正方體截割去1個(gè)三棱錐所得到的幾何體，如圖所示：

因?yàn)榫W(wǎng)格中的每個(gè)網(wǎng)格小正方形的邊長(zhǎng)為單位1,

119

所以三棱錐的體積為咚棱錐=-x-x2xlx2--,丫正方體=2x2x2=8

222

所以該幾何體的體積為%方體一%棱錐=8--=y

【點(diǎn)睛】此題考查了利用空間幾何體的三視圖求幾何體的體積的應(yīng)用問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.

7.（浙江省紹興市諸暨市2020屆高三下學(xué)期6月高考適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題）一個(gè)空間兒何體的三視圖如圖

3

C.D.

22

【答案】C

【解析】

【分析】由三視圖可知該幾何體為三棱錐，再根據(jù)棱錐的體積公式求解即可.

【詳解】解：由三視圖可知，該幾何體為三棱錐，如圖，且高為6,

該三棱錐的體積V=!X!X1XGX百="

322

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查由三視圖還原幾何體并求幾何體的體積，屬于基礎(chǔ)題.

8.（浙江省溫州市2020屆高三下學(xué)期6月高考適應(yīng)性測(cè)試數(shù)學(xué)試題）某幾何體的三視圖如圖所示（單位:

cm）,其俯視圖是兩個(gè)同心圓，且小圓的內(nèi)接四邊形是正方形，則該幾何體的體積等于（）cn?.

俯視圖

11^-1628乃。284，/

A.B.C.-----8D.-----16

3333

【答案】C

【解析】

【分析】由幾何體的三視圖可得，幾何體是一圓臺(tái)挖了一個(gè)內(nèi)接正四棱柱，用圓臺(tái)的體積減去正四棱柱的

體積即可求得答案.

1QQ_

【詳解】圓臺(tái)的體積為匕=§（%?/+萬(wàn).2?詬）x4設(shè)正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為。，

則、/%=2，得。=正，則正四棱柱的體積匕x4=8，

287r

故幾何體的體積為X-K----------------O

3

故選：c

【點(diǎn)睛】本題考查了三視圖的理解和圓臺(tái)、正四棱柱的體積公式，還考察了空間想象能力.

9.（上海市復(fù)旦大學(xué)附屬中學(xué)2019-2020學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）如圖，正方體A8CD-A4C|A中,

E為棱B片的中點(diǎn)，用過(guò)4E、G的平面截去該正方體的下半部分，則剩余幾何體的主視圖是（）

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)剩余幾何體的直觀圖，結(jié)合三視圖的定義即可得到主視圖.

【詳解】在正方體A8CO—44GA中，取的中點(diǎn)F,連接如圖.

則Ab//C|E,所以過(guò)點(diǎn)A、E、c的平面截該正方體的截面為平行四邊形AbGE.

則用過(guò)A、E、G的平面截去該正方體的卜半部分，剩余幾何體為

則其正視圖為圖中粗線部分.

【點(diǎn)睛】本題考查空間三視圖與直觀圖的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

10.（山西省忻州實(shí)驗(yàn)中學(xué)2019-202（）學(xué)年高二下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題）如圖，某三棱錐的三視圖都是

直角邊為0的等腰直角三角形，則該三棱錐的表面積是（）

A.6B.6+5/3C.3D.3+6

【答案】D

【解析】

【分析】由三視圖還原幾何體，可知該幾何體為正三棱錐P-A5C,目.Q4、PB、PC兩兩互相垂直,

PA=PB=PC=2,根據(jù)三角形的面積公式即可求解.

【詳解】由三視圖還原幾何體，可知該幾何體為正三棱錐P-ABC,

且抬、PB、PC兩兩互相垂直，PA=PB=PC=2,

該二棱錐的表面積

S=SAAPC+S?8PC++S-ABC

=—x>/2x^2H—x5/2xy/2H—x\p2.xy/2H—x2x2xsin60=3+A/3.

2222

故選：D

【點(diǎn)睛】本題考查了由幾何體的三視圖求幾何體的表面積，解題的關(guān)鍵是還原出幾何體的直觀圖，考查了

空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題.

11.（山西省忻州實(shí)驗(yàn)中學(xué)2019-2020學(xué)年高二下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題）某水平放置的平面圖形的斜二

側(cè)直觀圖是等腰梯形（如圖所示），NABC=45°,AD=AB=gBC=l,則該平面圖形的面積為（）

X

(0)

A.3B.4

「30n372

24

【答案】A

【解析】

【分析】先確定直觀圖中的線段長(zhǎng)，再確定平面圖形中的線段長(zhǎng)度，從而求得平面圖形的面積.

【詳解】由NA8C=45°,A￡>=1

2

根據(jù)斜二測(cè)畫法可知：

原平面圖形為：下底邊長(zhǎng)為2,上底為1,高為2的直角梯形，

所以S=H^X2=3.

2

故選：A

【點(diǎn)睛】本題考查了斜二測(cè)畫法中直觀圖與平面圖形中的量的變化，屬于基礎(chǔ)題.

12.（福建省泉州第十六中學(xué)2019-2020學(xué)年高一5月月考數(shù)學(xué)試題）AA5c是邊長(zhǎng)為1的正三角形，那么

△A5c的斜二測(cè)平面直觀圖△A'B'C'的面積（）

A.旦B.旦C.在D.昱

16884

【答案】A

【解析】

【分析】先求出原三角形的面積，再根據(jù)原圖和直觀圖面積之間的關(guān)系即可得解.

【詳解】以A8所在直線為無(wú)軸，線段A8的垂直平分線為V軸，建立直角坐標(biāo)系，

畫對(duì)應(yīng)的X,軸，，軸，使NTO'y'=45。，如下圖所示，

結(jié)合圖形，AABC的面積為54*=J_xABxOC=」xlx^=走，

"BC2224

作COLAS',垂足為。,

則。。=紇。。=與、0。=①0。，AB=A'B'.

2224

所以A/rB'C'的面積SKC=-xA'B'xC'D--x—xOCxAB=—xS.

A/*ioc2244△4八人BC

即原圖和直觀圖面積之間的關(guān)系為孕幽=￥.

S原圖4

所以，△A/'。'的面積為sAHC=Y2*@=45.

aASC4416

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查斜二測(cè)畫法中原圖和直觀圖面積的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

.：!<°.o<一運(yùn).亳。??運(yùn)「。常；"塞?照

考點(diǎn)08球、棱柱、棱錐的表面積和體積

一、單選題

1.（山東省平邑縣、沂水縣2019-2020學(xué)年高?下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題）已知一個(gè)圓柱的側(cè)面積等于表面

積的且其軸截面的周長(zhǎng)是16,則該圓柱的體積是（)

A.54萬(wàn)B.36%C.27%D.16萬(wàn)

【答案】D

【解析】

2

2萬(wàn)7?/?=—x2%/?(〃+/?)

【分析】設(shè)圓柱的底面半徑為A,高為〃，則由題意得，〈3'),解方程組，再根據(jù)

2〃+4R=16

圓柱的體積公式求解即可.

【詳解】解：設(shè)圓柱的底面半徑為R，高為〃，

?.?圓柱的側(cè)面積等于表面積的I"，目.其軸橄面的周長(zhǎng)是16,

2,、

2萬(wàn)7?〃=—x2萬(wàn)/?(/?+R)R=2

3解得，

/?=4

2/z+4H=16

圓柱的體積為V=兀Nh=16乃，

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查圓柱的表面積公式與體積公式，屬于基礎(chǔ)題.

2.（山東省平邑縣、沂水縣2019-2020學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題）某種浮標(biāo)是一個(gè)半球，其直徑為

0.2米，如果在浮標(biāo)的表面涂一層防水漆，每平方米需要0.5kg涂料，那么給1000個(gè)這樣的浮標(biāo)涂防水漆

需要涂料（）（萬(wàn)取3.14）

A.47.1kgB.94.2kgC.125.6kgD.157kg

【答案】A

【解析】

【分析】結(jié)合球的表面積公式，求出一個(gè)浮標(biāo)的表面積，進(jìn)而可求1000個(gè)浮標(biāo)涂防水漆需要涂料質(zhì)量.

【詳解】解：由題意知，半球的半徑R=（）.l米.一個(gè)浮標(biāo)的表面積

S=L?4%R2+乃R2=37R2=3x3.14xO.『=0.0942平方米，

2

所以1000個(gè)浮標(biāo)涂防水漆需要涂料l（X）（）x0.5x（）.（）942=47.1kg.

故選:A.

【點(diǎn)睛】本題考查了球的表面積的求解.本題的關(guān)鍵是求出半球的表面積.本題的易錯(cuò)點(diǎn)是求表面積時(shí)，忽

略半球的圓面的面積.

3.（四川省樂(lè)山市2020屆高三第三次調(diào)查研究考試數(shù)學(xué)（文）試題）如圖，在三棱錐A-3CD中，

ZABC=ZABD=ZCBD=90°,AB=BC=BD=1,則其外接球的體積為（）.

A.3兀B.—TiC.—itD.-

222

【答案】C

【解析】

【分析】由已知可得三棱錐38在正方體中，借助正方體的體對(duì)角線即為外接球的直徑即可求得結(jié)

果.

【詳解】將三棱錐A—BCD放入棱長(zhǎng)為1的正方體中，

則其外接球即為正方體的外接球，球半徑為/?=走，

2

所以外接球的體積為V=&無(wú)內(nèi)=1兀

32

故選:C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查幾何體的結(jié)構(gòu)特征以及外接球問(wèn)題，還考查了空間想象和運(yùn)算求解的能力，屬于基

礎(chǔ)題.

4.（四川省成都市第七中學(xué)2020屆高三高中畢業(yè)班三診模擬數(shù)學(xué)（文科）試題）已知一個(gè)四面體的每一個(gè)面

都是以3,3,2為邊長(zhǎng)的銳角三角形，則這個(gè)四面體的外接球的表面積為（）

【答案】C

【解析】

【分析】考慮一個(gè)長(zhǎng)方體A3CD-A與G2，其四個(gè)頂點(diǎn)就構(gòu)成一個(gè)四面體ABC。恰好就是每個(gè)?:角

形邊長(zhǎng)為3,3,2,則四面體的外接球即為長(zhǎng)方體的外接球，進(jìn)而計(jì)算出其外接球的直徑，即可得外接球的

表面積.

【詳解】設(shè)長(zhǎng)方體ABC。—44GA的長(zhǎng)寬高分別是a，4c,其四個(gè)頂點(diǎn)就構(gòu)成一個(gè)四面體滿

足每個(gè)面的邊長(zhǎng)為3,3,2,如圖：

則四面體的外接球即為長(zhǎng)方體的外接球，

因?yàn)?+匕2=9，Z>2+c2=9，c2+a2=4,所以4+匕2+。2=]i,

所以，長(zhǎng)方體的外接球直徑27?=1，

故外接球的表面積S=4TFR2=1.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查求一個(gè)幾何體的外接球表面積，關(guān)鍵是求出外接球的半徑，將幾何體補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體是

解題的關(guān)鍵，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題.

5.（2020屆四川省成都市石室天府中學(xué)高三第四次階段性質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)（理）試題）阿基米德（公元前287

年一公元前212年）是古希臘偉大的哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家，他和高斯、牛頓并列被稱為世界三大數(shù)

學(xué)家.據(jù)說(shuō)，他自己覺(jué)得最為滿意的一個(gè)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)就是“圓柱內(nèi)切球體的體積是圓柱體積的三分之二，并且

球的表面積也是圓柱表面積的三分之二”.他特別喜歡這個(gè)結(jié)論，要求后人在他的墓碑上刻著一個(gè)圓柱容器

里放了一個(gè)球，如圖，該球頂天立地，四周碰邊，表面積為54乃的圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑，

64萬(wàn)

A.4乃B.16萬(wàn)C.36"

【答案】C

【解析】

【分析】設(shè)球的半徑為R,根據(jù)組合體的關(guān)系，圓柱的表面積為S=2兀%+2JTRx27?=54乃，解得

球的半徑R=3,再代入球的體積公式求解.

【詳解】設(shè)球的半徑為R,

根據(jù)題意圓柱的表面積為S=24曾+2萬(wàn)斤x2斤=54萬(wàn)，

解得R=3,

44

所以該球的體積為/=—兀R'=—xx33=36%.

33

故選：C

【點(diǎn)睛】本題主要考查組合體的表面積和體積，還考查了對(duì)數(shù)學(xué)史了解，屬于基礎(chǔ)題.

6.（2020屆甘肅省高三第二次高考診斷考試數(shù)學(xué)（理科）試題）在四棱錐尸-A8CD中，底面A8CD為矩形，

AB=^BC=\,AB4c為等邊三角形，若四棱錐P-ABC。的體積為1,則此四棱錐的外接球表面

積為（）

4萬(wàn)8萬(wàn)16萬(wàn)

A.B.—C.------D.3萬(wàn)

333

【答案】C

【解析】

【分析】連接AC,8。交于。，先根據(jù)AP4c為等邊三角形以及四棱錐P—ABCD的體積為1可得P。，

平面A3CO,進(jìn)而可得球心在平面PAC中，進(jìn)而求得外接球的半徑與表面枳即可.

【詳解】連接AC,BD交于。，連接PO.因?yàn)榈酌鍭BCD為矩形，故AC=y1AB2+BC2=2.

又AP4c為等邊三角形，故Q4=PC=2、AO=1,PO=JL

又四棱錐P-ABCD的體積為1,設(shè)高為/?廁;?A8?/=1，解得〃=6.

故P。為四棱錐P-ABCD的高.即P。_L平面ABCD

又AC為底面ABC。外接圓的直徑，故此四棱錐的外接球球心在平面PAC中，即三角形PAC外接圓圓心.

PQ416

設(shè)球半徑為R.則2R=—=-j=，故表面積為4萬(wàn)R2=乃仁火廠=萬(wàn).

sinZPACJ3'’3

p

【點(diǎn)睛】本題主要考查了錐體外接球的計(jì)算，需要根據(jù)題意判斷外接球球心的位置，再用正弦定理求解半徑

即可.屬于中檔題.

7.（四川省南充高級(jí)中學(xué)2019-2020學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)（理）試題）在三棱錐P-A3C中，

PA=PB=PC=2,且兩兩互相垂直，則三棱錐P—4BC的外接球的體積為（）

A.4下＞兀B.8信C.兀D.2#）兀

【答案】A

【解析】

【分析】

將已知三棱錐補(bǔ)全為一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方體，將求三棱錐尸-ABC的外接球體積轉(zhuǎn)化為該正方體的外接

球，由正方體體對(duì)角線長(zhǎng)度等于其外接球直徑即可求得外接球的半徑，進(jìn)而由球體的體積公式計(jì)算即可.

【詳解】

在三棱錐尸—A8C中有兩兩互相垂直，且PA=PB=PC=2,則可將其補(bǔ)全為一個(gè)邊長(zhǎng)為

2的正方體，顯然該正方體的外接球即為三棱錐尸一ABC的外接球，設(shè)該外接球的半徑為〃

正方體的體對(duì)角線為522+2?+2]=2G，則2r=2百nr=百

故外接球的體積為V=^7iri=4后.

故選：A

【點(diǎn)睛】本題考查求棱錐外接球的體積，屬于簡(jiǎn)單題.

8.（2020屆山東省濟(jì)南市高三二模數(shù)學(xué)試題）在三棱錐。一ABC中，AB=2,ACLBC,若該三棱錐的

體積為g，則其外接球表面積的最小值為（）

497r64〃25乃

A.5萬(wàn)B.——C.——D.——

1294

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)均值不等式得到S28C<1，故"22,當(dāng)P離平面ABC最遠(yuǎn)時(shí)，外接球表面積最小，此時(shí)

h15

P在平面ABC的投影為A5中點(diǎn)?！腹饰?耳+不，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性得到&加=^，計(jì)算得到答案.

【詳解】AB=2.ACrBC,故底面三角形外接圓半徑為r=l,

S^BC=；CAC6<；（C42+CB2）=1,當(dāng)CA=CB=O時(shí)等號(hào)成立,

1?

故丫=§5小院/=5，故〃之2，

當(dāng)「離平面ABC最遠(yuǎn)時(shí)，外接球表面積最小，此時(shí)，P在平面ABC的投影為AB中點(diǎn)。1,

設(shè)球心為。，則。在上，故火2=（〃—尺^(guò)+產(chǎn)，化簡(jiǎn)得到R=2+J_,

、）22h

雙勾函數(shù)丁=]+1在[2,+CO）上單調(diào)遞增，故Rmi“=a，故，n=4萬(wàn)凡/=a〃.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了三棱錐的外接球問(wèn)題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.

9.（2020屆湖北省武漢市部分學(xué)校高三下學(xué)期5月在線學(xué)習(xí)摸底檢測(cè)理科數(shù)學(xué)試題）已知三棱柱

ABC—44G，AB=3,AC=4,ABA.AC,44=12,如果三棱柱ABC—A4G的6個(gè)頂點(diǎn)都在

球。的球面上.則球的半徑為（）

A.B.2屈C.—D.3710

22

【答案】C

【解析】

【分析】如果三棱柱ABC-44G的6個(gè)頂點(diǎn)都在球。的球面上，可判斷改三棱柱為直三棱柱，且該三棱

柱外接球球心在底面的投影為底面外接圓圓心，綜上可確定外接球球心位置，列等量關(guān)系求外接球半徑.

【詳解】如圖，

4

AB_LAC,則AABC外接圓圓心為斜邊BC中點(diǎn)0,中點(diǎn)為七，

則球體的球心為EO中點(diǎn)。，設(shè)球體半徑為R，

,R2=OD2+BD2,

且A8=3,AC-4,AA,=12

OD=-ED=-AA=6,BD=-BC=-yjAB2+AC2=-

22,222

13

解得R=（.

2

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查空間幾何體外接球問(wèn)題，需注意找外接球球心先找底面外接圓圓心，考查直觀想象能力、

推理論證能力和運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

47r

10.（山西省忻州實(shí)驗(yàn)中學(xué)2019-2020學(xué)年高二下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題）體積為q-的球。放置在棱長(zhǎng)

為4的正方體上,且與上表面相切，切點(diǎn)為上表面中心，則球心與下表面圍成的四棱錐的外接球半徑為（）

10338064

A.—B.—C.—

3103

【答案】B

【解析】

【分析】體積為目的球。的半徑為1，四棱錐O-A8CD的底面邊長(zhǎng)為4,高為5,設(shè)四棱錐0-A8C。

的外接球的半徑為R，利用勾股定理，建立方程，即可求出四棱錐0-A5CD的外接球的半徑.

【詳解】體積為的球。的半徑為1,

四棱錐。-ABCD的底面邊長(zhǎng)為4,高為5,

設(shè)四棱錐O-ABCD的外接球的半徑為R,

則A?=（5—R『+（2行『，解得尺=布.

故選：B

【點(diǎn)睛】本題考查了多面體的外接球問(wèn)題，考查了空間想象能力以及基本運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題

11.（四川省瀘州市2020屆高三第三次教學(xué)質(zhì)量診斷性考試數(shù)學(xué)（理）試題）己知一塊邊長(zhǎng)為4的正方形鋁

板（如圖），請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種裁剪方法，用虛線標(biāo)示在答題卡本題圖中，通過(guò)該方案裁剪，可焊接做成一個(gè)密

封的正四棱柱（底面是正方形且側(cè)棱垂于底面的四棱柱），且該四棱柱的全面積等于正方形鋁板的面積（要

求裁剪的塊數(shù)盡可能少，不計(jì)焊接縫的面積），則該四棱柱外接球的體積為.

【答案】—

2

【解析】

【分析】將正方形甲按圖中虛線剪開(kāi)，以兩個(gè)正方形為底面，四個(gè)長(zhǎng)方形為側(cè)面，焊接成一個(gè)底面邊長(zhǎng)為

2,高為1的正四棱柱A5CD-4旦GA.該四棱柱外接球的半憐R=，=|.由此能求出該四棱柱外

接球的體積.

【詳解】解：將正方形按圖中虛線剪開(kāi),

以兩個(gè)正方形為底面，四個(gè)長(zhǎng)方形為側(cè)面,

焊接成一個(gè)底面邊長(zhǎng)為2,高為1的正四棱柱A6CO—44G。一

底面ABCD為邊長(zhǎng)為2的正方形,

???該四棱柱外接球的半徑/?=也=亞+聯(lián)+22=3

222

???該四棱柱外接球的體積為：

故答案為：--.

2

【點(diǎn)睛】本題考查四棱柱外接球的體積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),

考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

12.（河南省許昌市、濟(jì)源市、平頂山市2020屆高三第三次聯(lián)考數(shù)學(xué)（文）試題）已知矩形A8CD中，AB=2，

E是C。邊的中點(diǎn)，現(xiàn)以AE為折痕將AADE折起，當(dāng)三棱錐E>—A3E的體積最大時(shí)，該

三棱錐外接球的表面積為.

16萬(wàn)

【答案】~3~

【解析】

【分析】當(dāng)平面4)E_L平面ABCE,三棱錐O—A8E的高最大，此時(shí)其體積最大，△&1￡為直角三角

形，所以E4=PG=EE,為正三角形，其中心設(shè)為。，再證明