概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及其應(yīng)用課后習(xí)題答案

第一章隨機(jī)事件及其概率

1、解：(1)S={2,3,4,5,67}

(2)S={2,3,4,…}

(3)S=

(4)5={HH,HT,T1,T2,T3,T4,T5,T6}

111—

2、設(shè)A,8是兩個(gè)事件，已知P(A)=上,P(B)=上,P(AB)=(,求尸(AU3),P(AB),

428

尸(而)，P[(A\J

解：???尸(4)=；,尸⑻=:,尸(硒=：

42o

P(AUB)=P(A)+尸⑻一P(AB)=卜g一：=|

-113

P(AB)=P(B)-P(AB)=---=-

2oo

—17

P(AB)=l-P(AB)=\--=-

oo

P[(AUB)(AB)]=P[(AU8)—(AB)]

=P(AUB)-尸(AB)(48uAU8)

-8-8-2

3、解：用A表示事件“取到的三位數(shù)不包含數(shù)字1"

p⑷二生—二"

90090025

4、在僅由0,1,2,3,4,5組成且每個(gè)數(shù)字至多出現(xiàn)一次的全體三位數(shù)字中，

任取一個(gè)三位數(shù)，（1）該數(shù)是奇數(shù)的概率；（2）求該數(shù)大于330的概率。

解：用A表示事件“取到的三位數(shù)是奇數(shù)”，用8表示事件“取到的三位數(shù)大于

330”

3x4x4

⑴P(A)=0.48

5x5x4

P⑹=24=2x5x4+1x2x4=048

2)

ClA；5x5x4

5、袋中有5只白球，4只紅球，3只黑球，在其中任取4只，求下列事件的概率

(1)4只中恰有2只白球，1只紅球，1只黑球；

(2)4只中至少有2只紅球；

(3)4只中沒有白球

解：用4表示事件“4只中恰有2只白球，1只紅球，1只黑球”

CjC\C\_120_8

(1)P(A)

~C^2495-33

(2)用8表示事件“4只中至少有2只紅球”

-⑻/2+*；+《/或p⑻=1一67

G：165C\495165

(3)用C表示事件“4只中沒有白球”

C；357

P?

C^""49599

6、解：用A表示事件“某一特定的銷售點(diǎn)得到k張?zhí)嶝泦巍?/p>

C,：(M-1)…

P(A)=

Mn

7、解：用A表示事件“3只球至少有1只配對(duì)”，B表示事件“沒有配對(duì)”

3+12x1x12

(1)P(A)=或尸(4)=1一

3x2x13x2x13

2x1x1]_

(2)P(B)=

3x2x13

8(1)設(shè)P(A)=0.5,P(B)=0.3,P(AB)=0.1求

P(A|B),P(B\A),P(AUB),P(A\AUB),

P(A\AB)；

(2)袋中有6只白球，5只紅球每次在袋中任取一只球，若取到白球，放回，并

放入1只白球，若取到紅球不放回也不再放回另外的球，連續(xù)取球四次，求第一、

二次取到白球且第三、四次取到紅球的概率。

解P(A)=0.5,P(B)=0.3,P(AB)=0.1

P(AB)_0.1_1

(1)P(A|B)=

F(5)-03-3

P(AB)0.1

P(B|A)=]_

P(A)o75

P(AU8)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.5+0.3—0.1=0.7

P[A(AUJ?)]_P(AUAB)_P(AB)0.55

P(44U6)=

尸(AUB)一尸(AU8)-P(AU8)0J7

P(AB)_0.1_1

P(A6|AU8)=

P(A\JB)~OJ~7

P[A(A8)]P(AB)

P(A\AB)=

P(AB)P(AB)

（2）設(shè)4=｛第i次取到白球｝i=l,2,3,4,8=｛第一、二次取到白球且第三、

四次取到紅球則｝,B=A,A24A4

P(B)=PGM2A4)=P(A)P(4|a)p(4|A4)p(同444)

6754840

=-X—X—X—==0.0408

1112131220592

9、解：用A表示事件“取到的兩只球中至少有1只紅球”，8表示事件“兩只都

是紅球”

P（AB）=3：

方法'尸⑷=吟吟尸⑻=目1

/颯=跡*」

P（A）5/5

/6

方法2在減縮樣本空間中計(jì)算

P0A）=g

10、解：A表示事件''一病人以為自己患了癌癥”，8表示事件“病人確實(shí)患了癌

癥”

由已知得,P(AB)=0.05,P(AB)=0.45,P(AB)=0.10,P(AB)=0.40

(1)???A=ABUAB,A3與A后互斥

P(A)=P(ABUAB)=P(AB)+P(AB)=0.05+0.45=0.5

同理P(B)=P(ABUAB)=尸(AB)+P(AB)=0.05+0.1=0.15

⑵播喈川

(3)P(彳)=l-P(A)=l—0.5=0.5,

P(AB)0.45_9

(4)P(B)=1-P(B)=1-0.15=0.85,P(A|B)=

P(B)-0^85-17

P(AB)0.051

(5)PG4|6)=

P(5)-0?15-3

11、解:用4表示事件”任取6張，排列結(jié)果為ginger”

出1

P(A)A；44

A：9240

12、據(jù)統(tǒng)計(jì)，對(duì)于某一種的兩種癥狀：癥狀A(yù)、癥狀B,有20%的人只有癥狀A(yù),

有30%的人只有癥狀B,有10%的人兩種癥狀都有，其他的人兩種癥狀都沒有，

在患這種疾病的人群中隨機(jī)的選一人，求

(1)該人兩種癥狀都沒有的概率；

(2)該人至少有一種癥狀的概率；

(3)已知該人有癥狀B,求該人有兩種癥狀的概率。

解：用A表示事件“該種疾病具有癥狀A(yù)”，B表示事件“該種疾病具有癥狀8”

由已知P(A后)=0.2,尸(初)=0.3,尸(A8)=0.1

(1)設(shè)C=｛該人兩種癥狀都沒有｝，:.C=AB

???S=A豆UZBuABuAB,且AB,AB,AB,AB互斥

/.P(C)=P(AB)=l-P(AB)-P(AB)-P(AB)=1-0.2-03-0.1=0.4

或AU6=A豆UXBUAB,JU及AB.A6互斥

P(AUP)=P(AB)+P(AB)+P(AB)=0.2+0.3+0.1=0.6

即P(C)=P(AB)=P(AUB)=1一尸(AU8)=1—0.6=0.4

(2)設(shè)O=｛該人至少有一種癥狀｝,.?.￡>=AUB

■：,HA及AB.AB互斥

即P(D)=P(AUB)=P(麗+P(AB)+P｛AB｝=0.2+03+0.1=0.6

(3)設(shè)5=｛已知該人有癥狀B,求該人有兩種癥狀｝,；.E=AB忸

B=ABUAB,48,才8互斥

P(B)=P(ABUAB)=尸(AB)+P(AB)=0.1+0.3=0.4

即P(E)=P(A8|5)=生竺包=3=更」

'P(B)P(B)0.44

13、解：用B表示“訊號(hào)無誤差地被接受”

A,表示事件“訊號(hào)由第i條通訊線輸入"，i=1,2,3,4,

P(At)=0.4,P(A2)=0.3,P(4)=0.1,P(A4)=0.2;

P(B%)=0.9998,P(B|A2)=0.9999,P(B|A3)=0.9997,P(B\A4)=0.9996

由全概率公式得

4

P(8)=￡P(guān)(4)P(卸4)=0.4X0.9998+0.3x0.9999+0.1x0.9997+0.2x0.9996=0.99978

f=l

14、一種用來檢驗(yàn)50歲以上的人是否患有關(guān)節(jié)炎的檢驗(yàn)法，對(duì)于確實(shí)患有關(guān)節(jié)炎

的病人，有85%給出了正確的結(jié)果；而對(duì)于已知未患關(guān)節(jié)炎的人有4%會(huì)認(rèn)

為他患關(guān)節(jié)炎，已知人群中有10%的人患有關(guān)節(jié)炎，問一名被檢驗(yàn)者經(jīng)檢驗(yàn)，

認(rèn)為它沒有關(guān)節(jié)炎，而他卻患有關(guān)節(jié)炎的概率。

解：用A表示事件“確實(shí)患有關(guān)節(jié)炎的人”，8表示事件“檢驗(yàn)患有關(guān)節(jié)炎的人”

C表示事件：“一?名被檢驗(yàn)者經(jīng)檢驗(yàn)，認(rèn)為它沒有關(guān)節(jié)炎，而他卻患有關(guān)節(jié)炎”

所求為P(C)=P(A,),由已知P(A)=0.1,尸(回A)=0.85,P(B|A)=0.04

則P(A)=0.9,P(團(tuán)A)=0.15,P(B|A)=0.96

由貝葉斯公式得

P(A)P聞4)0.1x0.15……

P(A@---------=---------=-----=--------------------------=U.O1/

尸(A)P(B|A)+P(A)P(,A)0.1x0.15+0.9x0.96

15、解：用。表示事件“程序因計(jì)算機(jī)發(fā)生故障被打壞”

A、B、C分別表示事件”程序交與打字機(jī)A、B、C打字”

由已知得P(A)=0.6,P(8)=0.3,P(C)=0.1；

P(0|A)=0.01,P(D\B)=0.05,P(D\Q=0.04

由貝葉斯公式得

P(A)P(D\A)

P（陋）=

P(A)P(D\A)+P(B)P(D|B)+P(C)P(D|C)

0.6x0.01

—=0.24

0.6x0.01+0.3x0.05+0.1x0.0425

P(B)尸(O忸)

p（M。）

P(A)P(D\A)+P(B)P(D\B)+F(C)F(D|C)

0.3x0.053八，

-------------------------------=—=0.6

0.6xO.Ol+0.3x0.05+0.1x0.045

P(C)P(*)

P(A⑼=

P(A)尸(D|A)+P(B)P(。⑻+尸(C)P(D|C)

0.1x0.04

—=0.16

0.6xO.Ol4-0.3x0.05+0.1x0.0425

16、解：用A表示事件“收到可信訊息”，8表示事件“由密碼鑰匙傳送訊息”

由已知得P(A)=0.95,P(A)=0.05,P(B|A)=1,P(B|A)=0.001

由貝葉斯公式得

,P(A)P(8|A)o95X1

(AB)=---------匚——=----------------x0.999947

P(A)P(B\A)+P(A)P(B\A)0.95X1+0.05X0.001

17、解：用A表示事件“第一次得”"，B表示事件“第二次得

C表示事件”兩次得同一面”

則P(A)=；,P(B)=；，P(C)=*=；,

4A8)=",P(8C)=*=；,P(AC)=*=；

P(AB)=P(A)P(B),P(8C)=P(8)P(C),P(AC)^P(A)P(C)

：.A,6,C兩兩獨(dú)立

而P(A8C)=LP(A8C)hP(4)P(5)P(C)

4

A,6,C不是相互獨(dú)立的

18、解：用A表示事件“運(yùn)動(dòng)員4進(jìn)球”，3表示事件“運(yùn)動(dòng)員8進(jìn)球”,

C表示事件“運(yùn)動(dòng)員。進(jìn)球”,

由已知得P(A)=0.5,P(8)=0.7,P(C)=0.6

JJliJP(I)=0.5,P(豆)=0.3,P(C)=0.4

(1)設(shè)AH恰有一人進(jìn)球｝,則2=A后EUXBOUX豆C且A月3,3B「，彳耳C互斥

：.P(D)=P(ASCUABCUABC)

=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)

=P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)

(A,B,C相互獨(dú)立)

=0.5x0.3x0.4+0.5x0.7x0.4+0.5x0.3x0.6=0.29

(2)設(shè)2=｛恰有二人進(jìn)球｝，則r)2=A83UaBCUA8C且A6G彳6C,A豆C互

斥

P0)=P(ABCUABCUABC)

=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)

=P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(A)P(萬)P(C)

(A,8,C相互獨(dú)立)

=0.5x0.7x0.4+0.5x0.7x0.6+0.5x0.3x0.6=0.44

(3)設(shè)。3=｛至少有一人進(jìn)球｝,則2=AUBUC

.,.P(2)=P(AUBUC)

=i-P(IUBUC)

=1-P(ABC)

=1-P(A)P(B)P(C)(?.?一瓦:相互獨(dú)立)

=1-0.5x0,3x0.4=0.94

19、解：設(shè)B表示事件“病人能得救”

4表示事件“第i個(gè)供血者具有A-R/T血型"，i=l,2,3,…

則B=A,UV2UAMsUA4

且4,A4,4A2A3,A]A2A3A4互斥，4,相互獨(dú)立

?1?尸（B）=P（AJ+口A4）+P（A44）+P（4A24A4）

=0.4+0.6X0.4+（0.6）2X0.4+（0.6）3x0.4=0.8704

20、一元件（或系統(tǒng)）正常工作的概率稱為元件（或系統(tǒng)）的可靠性，如圖設(shè)有

5個(gè)獨(dú)立工作的元件1,2,3,4,5按先串聯(lián)后并聯(lián)的方式聯(lián)接（稱為串并聯(lián)系

統(tǒng)），設(shè)元件的可靠性為p,求系統(tǒng)的可靠性。

2

解：設(shè)8=｛系統(tǒng)可靠｝,4=｛元件i可靠｝,i=1,2,3,4,5

由已知得P（AJ=p（i=1,2,3,4,5）4,4，A3,,人相互獨(dú)立

法1：fi=AAUAUMs

.?.p（8）=p（44U4U4A）

=2（44）+尸⑷+P（4A）-P（44A）-P（44A）-P（A44A）+2（44444）

=P2+p+p2-p3-p3-p4+p5（A”A2，A3，A4，As相互獨(dú)立）

=2P2+p_2P3_p4+p5

法2：P（B）=1—P（不天京）

=1-尸（初）P（恁）P（*）（A],A2,Ay,A4,A5相互獨(dú)立）

=i-[i-P（AA2）][1--⑷][1_P（4A）]

=i-[i-P（4）P（4）][I-P（A3）][1-P（4）P（4）]

（A-A2，A3，A4，A相互獨(dú)立）

=l-（l-p2）（l-p）（l-p2）=p+2p2-2p3-p4+p5

21、用一利檢驗(yàn)法檢測產(chǎn)品中是否含有某種雜質(zhì)的效果如下，若真含有雜質(zhì)檢驗(yàn)

結(jié)果為含有的概率為0.8；若真不含有雜質(zhì)檢驗(yàn)結(jié)果為不含有的概率為0.9；根據(jù)

以往的資料知一產(chǎn)品真含有雜質(zhì)或真不含有雜質(zhì)的概率分別為0.4,0.6o今獨(dú)

立地對(duì)一產(chǎn)品進(jìn)行了3次檢驗(yàn)，結(jié)果是2次檢驗(yàn)認(rèn)為含有雜質(zhì)，而有1次檢驗(yàn)認(rèn)

為不含有雜質(zhì)，求此產(chǎn)品真含有雜質(zhì)的概率。

解：用A表示事件“真含有雜質(zhì)”，

用8表示事件“3次檢驗(yàn)，結(jié)果是2次檢驗(yàn)認(rèn)為含有雜質(zhì)，而有1次檢驗(yàn)認(rèn)為不

含有雜質(zhì)”

由已知得P(A)=0.4,P(X)=0.6,P(8|A)=C；x(0.8)2x02,

P(8B)=C；X(0.1)2X0.9

由貝口十斯公式得

一—尸叫)廠

P(A)P(BA)+P(A)P(BA)

___________0.4(0.8)2x0.2__________1536

-0.4xC/x(0.8)2x0.2+0.6xC^x(0.1)2x0.9-1698

第二章隨機(jī)變量及其分布

1、設(shè)在某-一人群中有40%的人血型是A型，現(xiàn)在在人群中隨機(jī)的選人來驗(yàn)血，

直至發(fā)現(xiàn)血型是A型的人為止，以Y記進(jìn)行驗(yàn)血的次數(shù)，求Y的分布律。

解：P{y=4=(1—0.4『-，0.4k=l,2,…

2、解：用人表示第i個(gè)閥門開(i=1,2,3),且4,42,A?相互獨(dú)立，P(A,)=0.8(i=1,2,3)

產(chǎn)a=o}=p[A(AU利=哂)[p⑥+p(無)-P(4)P(4)]

=0.2(0.2+0.2-0.2x0.2)=0.072

P{X=1}=P[4區(qū)U4)UR%]=0.8(0.2+0.2-0.04)+0.2x(0.8)2

=0.416

P{X=2}=2(44&)=(OS)'=0.512

3、據(jù)信有20%的美國人沒有任何健康保險(xiǎn)，現(xiàn)任意抽查12個(gè)美國人，以X表示

15人無任何健康保險(xiǎn)的人數(shù)(設(shè)各人是否有健康保險(xiǎn)是相互獨(dú)立的)，問X服從

什么分布，寫出X的分布律，并求下列情況下無任何健康保險(xiǎn)的概率

(1)恰有3人；(2)至少有兩人；(3)不少于1人且不多于3人；(4)多于5

人。

解：X?8(15,0.2)

P{X=4=C；5(S2)"x(0.8)i5T)l=0,1,2,.......,15

(1)P{X=3}=C^(0.2)3x(0.8)12=0.2501

154

(2)P{X>2}=1-C°(0.2)°x(0.8)-C'50.2x(0.8)'=0.8329

(3)

143312

P{1<X<3}=C：5(0-2)ix(0.8)+C1(0.2)2%(08尸+c,5(0.2)x(0.8)=0.6129

5

(4)-{X>5}=1-ZC(0.2)*x(0.8嚴(yán)=0.0611

k=0

4、解：用X表示5個(gè)元件中正常工作的元件個(gè)數(shù)

P(X>3)=(0.9)3%(o.i)2+C；(0.9)4x0.1+(0n=0.9914

5、某生產(chǎn)線生產(chǎn)玻璃制品，生產(chǎn)過程中玻璃制品常出現(xiàn)氣泡，以致產(chǎn)品成為次品,

設(shè)次品率為p=0.001，現(xiàn)取8000件產(chǎn)品，用泊松近似，求其中次品數(shù)小于7的

概率。

解：設(shè)X表示8000件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X?8(8000,0.001)

近似地，、28*0-8

由于〃很大，尸很小，利用X?乃(8),所以P{X<7}=Z-------=0.3134

A=Ok!

6、解：(1)X?%(10)

15

p{x>15}=l-p{x615}=1-￡---------=1-0.9513=0.0487

k=ok!

(2)X?4⑷

|=p{x>o}=l-p{x=o}=l-^j—

??.P{X=0}=g

e~A=—2=In2=0.7

2

??.P{XN2}=1_P{XQ}=1一之^=1-0.8442=0.1558

k=0k.

或尸{x?2}=l-p{x=o}_p{x—=l-|ln2

-2°

7、解：(1)X?%(2)P{X=0}=—^—="2=0.1353

(2)設(shè)丫表示一分鐘內(nèi)，5個(gè)訊息員中未接到訊息的人數(shù)，則丫?6(5,e-2)

...p*=4}=或(/)4(1—e-2)=0.00145

OGQC-2^\k

(3);5(尸{x=k})5=￡(F-)5

*=ok=oK!

8、一教授當(dāng)下課鈴打響時(shí)?，他還不結(jié)束講解，他常結(jié)束他講解在下課鈴響后一分

鐘以內(nèi)，以X表示響鈴至結(jié)束講解的時(shí)間，設(shè)X的概率密度為

…kx20<x<l

(1)確定匕(2)求尸(X4；；(3)求產(chǎn)(4)求尸｛x>|J

2

解：(1)由1=[f(x)dx=])kxdx=：k=3

(2)p{xK：}=23%2公=無3_J_

(3)P\—X<—1=[]2f(x)dx=f]23x2dx=x3=—?——=^―

[42J丁J；!86464

4

23J__19

(4)3XJX=x力—百

9、解:方程產(chǎn)+2X/+5X-4=0有實(shí)根,即A=(2X)2-4(5X-4)>0

得X24或XW1,所以有實(shí)根的概率為

P{(X>4)U(X<1)}=P{X>4}+P{X<1}

=10.003》2公+,0.003/公=0.937

X2-2ii

10、解：:(1)P{X<1}=￡f(x)dx=￡-^-e~^dx=-e~^=1—J。。?0.005

o

+oo522

(2)P{X>52}=「/(x)dx=擊-荻dx=荻=-e一麗x0

52

(3)P{X>26|X>20}=0{X>26}=￡^=025158

P{X>20}手

11、設(shè)實(shí)驗(yàn)室的溫度X(以。C計(jì))為隨機(jī)變量，其概率密度為

12

,、-(4-x2)-l<x<2

/(y)=9'

o其它

（1）某種化學(xué)反應(yīng)在溫度X>1時(shí)才能反應(yīng)，求在實(shí)驗(yàn)室中這種化學(xué)反應(yīng)發(fā)生的

概率；

（2）在10個(gè)不同的實(shí)驗(yàn)室中，各實(shí)驗(yàn)室中這種化學(xué)反應(yīng)是否會(huì)發(fā)生是相互獨(dú)立

的，以丫表示io個(gè)實(shí)驗(yàn)室中有這種化學(xué)反應(yīng)的實(shí)驗(yàn)室的個(gè)數(shù)，求丫的分布律；

(3)求尸{丫=2},尸{V22}。

解：(1)

P(X>1}=rf(x)dx=f2—(4-x2)t/x=(-%-—x3)---+—=—

1'…9927i92792727

⑵y?8(10,分,尸{3}=第0怎卜(||)^0,1,2,-,10

(3)P{Y=2}=C[%)2x()8=0.2998

s??s??

109

p{y>2}=i-p{y=o}-p{y=i}=i-c^（—）°x（—）-^0（—）'（—）=O.5778

12、（1）設(shè)隨機(jī)變量y的概率密度為

0.2-1<y<0

/(y)=0.2+Cy0<y<l

0其它

試確定常數(shù)C,求分布函數(shù)F（y）,并求P{0<y<0.5},p{y>0.5,>0.1}

（2）設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為

18l<y<2

/(x)=<x82<y<4

0其它

求分布函數(shù)歹(y),尸{14X43},P{X>1|X<3}

解：(1)由1=Jf(y)dy=￡0.2dy+(0.2+C>')dy

ori

=0.2y+(0.2y+—/)=。嗚...C=1.2

-i2o

0.2-1<y<0

.?"()，)=<0.2+1.2y0<y<1

0其它

[Odty<-1

0y<-1

J0.2-1<y<0

力0.2y+0.2-1<y<0

4(y)=Lf⑴出=<

j0.2dy+￡(0.2+1.2)，協(xié)0<y<l0.6/+0.2y+0.20<y<l

1yzi

f(O.2+L2y)力y>l

P{0<y<0.5}=F(0.5)-F(0)=0.2+0.2x0.5+0.6x(0.5)2-0.2=0.25

p{y>0.1}=l-F(0.1)=1-0.2-0.2Xo.1-0.6Xo.I2=0.774

P\Y>0.5}=1-F(0.5)=1-0.2+0.2x0.5-0.6x0.52=0.55

._F{y>o.5,r>0.1}

>0.5y>0.

'>0.1}

0x<0f0x<0

1

-X

[—dt0<x<280<x<2

J)8

(2)F(x)=￡='2

{：>i?tX

[-Jr+[-dt2<x<4

1-6-2<x<4

J)8上8

1

1x>4x>4

Qi7

P{l<X<3}=F(3)-F(l)=---=-

Ioolo

P{X<3}=F(3)=-1

7

p[x>\x<3}二叫=粵=N

p{x<3}29

16

13、解:P{X=i,Y=j}=-x——

nn-\

p{x=i,Y=i}=0i*j,i,j=1,2,...，n

當(dāng)〃=3時(shí)，（X,/）聯(lián)合分布律為

X123

101/61/6

21/601/6

31/61/60

14、設(shè)有一加油站有兩套用來加油的設(shè)備設(shè)備4是加油站工作人員操作的，設(shè)備

8是顧客自己操作的，A,8均裝有兩根加油軟管，隨機(jī)取時(shí)刻，A,8正在使

用軟管數(shù)分別為X,匕X,丫的聯(lián)合分布律為

X012

00.100.080.06

10.040.200.14

20.020.060.30

（1）求P{X=I,Y=1},p{x<i,r<1}

（2）至少有一根軟管在使用的概率；

（3）尸{X=Y},P{X+Y=2}

解：（1）/>{%=i,y=i}=o.2,

<i,y<i}=p{x=o,y=O}+P{X=o,y=i}+P{x=i,y=0}+P{X=i,r=1}

=0.10+0.08+0.04+0.20=0.42

（2）設(shè)。={至少有一根軟管在使用}

P（C）=P{（X>I）U（/>I）}=I-P{X=o,r=o}=1-0.10=0.90

（3）p{x=Y}=P{X=o,y=o}+尸{x=i,y=i}+尸{x=2,r=2}

=0.10+0.20+0.30=0.60

P{X+Y=2}=P{X=0,Y=2}+P{X=\,Y=\}+P{X=2,Y=0}

=0.06+0.20+0.02=0.28

15、設(shè)隨機(jī)變量（x,r）的概率密度為

Ce'[2x+4y}x>0,y>0

f(x,y)=?

0其它

是確定常數(shù)C；并求P{X>2}；P{X>Y}；P{X+Y<1}

解：=[,/(x)dx=[￡Ce^2x+4']dxdy=~^e

P{X>2}==[JxjT8e-<2'+4v)d/>,=-e"lx

0<x<oo

0<y<x

P{X>y}=jj/(x,y)dxdy=fXdxf^2x+^dy

=2eY，)；dx=『(—2e&+2"2，)dx

2

3

0<x<l

0<y<l-x

P{X+Y<1}=JJf(x,y)dxdy=(dx]Se~(2x+4y)dy

/-2x^2A-4xzi-2\2

=(—e—e)=(1—e)

o

16、設(shè)隨機(jī)變量（X,K）在由曲線y==￡,x=1所圍成的區(qū)域G均勻分布

（I）求（X,y）的概率密度；

（2）求邊緣概率密度/x（x）Jy（y）

21

X1

心6(X,y)eG

W:--6-/(x,y)=jo

2其他

A.2

yx

2--'V7<x<^7

￡6dy0<x<l3x20<x<1

fW=f/(x，y)“y=<

x2=(

、0其它

0其它

啜6Mx6（0-6）owywg

0<y<—

2

'6(1-Vy)；?y?1

f(y)=「/(x,y)dx=?,6"

Y=

0其它0其它

17、（1）在14題中求邊緣概率密度;

解：(1)

XdP{X=Xi

012

)

00.100.080.060.24

10.040.200.140.38

20.020.060.300.38

P{Y=yi}0.160.340.501

(2)

0<x<4-00一、0<y<+00

或

x<y<+oo0<x<y

???/x(x)=「/(X，)‘)")'=<『edyX>0x>0

80x<0x<0

y>0ye~yy>0

y<00y<0

22、(1)設(shè)一離散型隨機(jī)變量的分布律為

Y-10i

e_e_

\-e

Pk22

又匕，力是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且匕，力與丫有相同的分布律，求丫1與力

的聯(lián)合分布律，并求「｛%=上｝;

(2)在14題中X與y是否相互獨(dú)立。

且pM=X}=p*=_i,y2=_i}+P*=o,^=o}+p{x=i,X=i}

(2)尸{x=0,y=0}=0.10又???p{x=0}-P{y=0}=0.0384

p{x=o,y=O}HP{X=o}.p{y=o},，x與Y不相互獨(dú)立

23、設(shè)X,y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，X?U(O,1)，Y的概率密度為

0<y<—

2

其它

試寫出x,丫的聯(lián)合概率密度，并求p{x>y}。

0<v<—

解：???/x(x)=<-2,且x與y相互獨(dú)立

其它

，/(x，y)=/x(x)/(y)=,

其它

y<%<1

P{X>丫}=JJSydxdy=f(8y-y2\ly=(4/-2-1

24、設(shè)隨機(jī)變量X具有分布律

X-2-1013

]_111

Pk

565Is30

求y=x2+i的分布律。

解：

-5cI-2I-1I0I13

Y=X2+l521210

Y=X2+\12510

]_11211

P—+一

k5615530

Y=X2+\12510

17111

P————

k530530

25、設(shè)隨機(jī)變量XTV(0,1),求U=|X|的概率密度。

I上

2

解：U=|X|,vfx(x)=-,——e-oo<x<+oo,當(dāng)x￡(-8,+oo)時(shí)，ue[0,+oo)

yjlTV

當(dāng)時(shí)，F(xiàn)k](u)=P{U<u}=P{\X\<u}=0,.\^(w)=0

當(dāng)〃>0時(shí),Fu(w)=P(U<u)=P(\X\<u)=P(-u<X<u)=Fx(w)-Fx(-u)

[]

：?fu(u)=Fu(u)=%(u)+%(f)=e2+—j==e

72兀72兀

故u=|x|的概率密度為：'(")='

0M<0

26、解：

(1)Y-,,：fx(x)=<,當(dāng)xe(0,+oo)時(shí)，ye(0,+oo)

當(dāng)y40時(shí),Fr(y)=P(r<y)=P(Vx<y)=0,.J(y)=0

2

當(dāng)y>0時(shí)，%(y)=P(Y<y)=P(y[x<y)=P(X<y)=Fx(/)

4()，)=耳'(〃)=2加(*=2"孑

"J

故丫="的概率密度為：力(y)=2*'>>°

0y<0

fl,,

(2)y=----,?.?/x(x)=?2,當(dāng)—時(shí)，ye(0,1)

2[o其它

當(dāng)y40時(shí)，F(xiàn)y(y)=P(Y<y)=P(^-<y)=0,：.fY(y)=O

Y_i_1

當(dāng)0<y<l時(shí)，F(xiàn)Y(y)=P(Y<y)=P(<y)=P(X<2y-l)=Fx(2y-Y)

??/(y)=/V(y)=/x(2y-?2=1

當(dāng)”時(shí)，4(y)=l,A(y)=O

故y=與^的概率密度為：力(>)=<:<1

2[0其他

1上

22

(3)Y=X,?/fx(x)=—=e-8<x<+oo,當(dāng)x￡(-oo,+oo)時(shí),

\J2TT

yG[0,+OO)