湖南省永州市2024年高三數(shù)學(xué)1月大聯(lián)考含解析

Page22湖南省永州市2024年高三數(shù)學(xué)1月大聯(lián)考本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.留意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解得集合，與集合取交集.【詳解】，即，由，得.故選:B.2.已知，其中為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)即可求解.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)，所以，則，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，故選：.3.已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，則（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由條件列方程求，依據(jù)通項(xiàng)公式求.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，得，即，解得，所以，則，故選：D.4.全球智能手機(jī)市場(chǎng)銷量持續(xù)增長(zhǎng)乏力已經(jīng)是不爭(zhēng)的事實(shí)，但折疊屏手機(jī)卻走出逆勢(shì)，成為行業(yè)唯一增長(zhǎng)的高端機(jī)品類.下圖是某數(shù)據(jù)公司統(tǒng)計(jì)的2024年第一季度中國(guó)折疊屏手機(jī)市場(chǎng)份額.現(xiàn)有2024年第一季度中國(guó)折疊屏手機(jī)市場(chǎng)份額超過(guò)5%的品牌折疊屏手機(jī)各一部，從中任取2部手機(jī)，則其中有品牌折疊屏手機(jī)的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】運(yùn)用古典概型計(jì)算公式進(jìn)行求解即可.【詳解】方法一：由題意，知市場(chǎng)份額超過(guò)的折疊屏手機(jī)品牌有，且現(xiàn)有這四個(gè)品牌手機(jī)各1部，共4部，從中任取2部手機(jī)，有品牌折疊屏手機(jī)的概率為；方法二：由題意，知市場(chǎng)份額超過(guò)的折疊屏手機(jī)品牌有，且現(xiàn)有這四個(gè)品牌手機(jī)各1部，共4部，從中任取2部手機(jī)，基本領(lǐng)件有，共6種，其中有品牌折疊屏手機(jī)的是，共3種，所以所求概率為.故選：B5.在平面內(nèi)，是兩個(gè)定點(diǎn)，是動(dòng)點(diǎn)，若，則點(diǎn)的軌跡為（）A.圓 B.橢圓 C.拋物線 D.直線【答案】A【解析】【分析】由平行四邊形法則易得，可知，可推斷點(diǎn)的軌跡為以線段為直徑的圓.【詳解】設(shè)為線段的中點(diǎn)，.因?yàn)?，所以，所以，所以，?dāng)點(diǎn)在點(diǎn)或時(shí)也滿意，所以點(diǎn)的軌跡為以線段為直徑的圓.故選:A.6.已知直線是圓的一條對(duì)稱軸，設(shè)直線與軸的交點(diǎn)為，將直線繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到直線，則直線被圓截得的弦長(zhǎng)為（）A.1 B. C.2 D.【答案】C【解析】【分析】由條件求列方程求，確定圓心坐標(biāo)，圓的半徑，再求圓心到直線的距離，利用弦長(zhǎng)公式求直線被圓截得的弦長(zhǎng).【詳解】依據(jù)題意，得點(diǎn)在直線上，所以，所以，故圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，由直線得直線與軸的交點(diǎn)為，所以，所以圓心到直線的距離為，故直線被圓截得的弦長(zhǎng)為.故選：C.7.已知，，，則，，的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)指數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)的單調(diào)性比較的大小，分別比較與的大小即可得的大小，從而得答案.【詳解】解：因?yàn)樵赗上為單調(diào)遞減函數(shù)，所以，又因?yàn)樵谏蠟閱握{(diào)遞增函數(shù)，所以，即，所以，即，又因?yàn)椋忠驗(yàn)?，，即有所以，即，所以，即，綜上所述：.故選：A.8.四面體的各個(gè)頂點(diǎn)都在球的表面上，兩兩垂直，且是線段上一點(diǎn)，且，過(guò)作四面體外接球的截面，則所得截面圓的面積的最大值與最小值之差是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】把四面體放到長(zhǎng)方體中，依據(jù)球的幾何性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)所得截面圓的面積為，半徑為，由兩兩垂直可將四面體放入長(zhǎng)方體中，如圖所示，易得外接球半徑，過(guò)作球的截面，所得截面圓的面積最大時(shí)為過(guò)球心的圓面，；所得截面圓的面積最小時(shí)為與最大截面垂直的圓面.

在內(nèi)，，所以，所以，所以，即，所以.故選A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用長(zhǎng)方體和球的幾何性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（）A.為函數(shù)的一個(gè)周期B.是曲線的一個(gè)對(duì)稱中心C.若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的最大值為D.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到一個(gè)偶函數(shù)的圖象【答案】ABD【解析】【分析】依據(jù)周期函數(shù)的定義推斷A，依據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)推斷B，C，依據(jù)函數(shù)圖象變換結(jié)論及偶函數(shù)定義推斷D.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)：由已知可得，所以，所以為函數(shù)的一個(gè)周期，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：令，解得，當(dāng)時(shí)，，所以點(diǎn)是曲線的一個(gè)對(duì)稱中心，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：由，得，令，得，因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增，所以實(shí)數(shù)的最大值為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的圖象，因?yàn)?，所以函?shù)為偶函數(shù)，故D正確.故選：ABD.10.已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過(guò)拋物線上一點(diǎn)作的垂線，垂足為，則下列說(shuō)法正確的是（）A.準(zhǔn)線的方程為B.若過(guò)焦點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，且，則C.若，則的最小值為3D.延長(zhǎng)交拋物線于點(diǎn)，若，則【答案】BCD【解析】【分析】依據(jù)拋物線準(zhǔn)線方程、拋物線的定義，結(jié)合兩點(diǎn)間線段最短、相像三角形的性質(zhì)逐一推斷即可.【詳解】因?yàn)閽佄锞€的方程為，所以，所以準(zhǔn)線的方程為錯(cuò)誤；由題意可知，B正確；由拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)與到準(zhǔn)線的距離相等可知，所以當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，即為點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，所以最小值為正確；如圖所示，不妨設(shè)在第一象限，過(guò)作軸于點(diǎn)，過(guò)作軸于點(diǎn)，過(guò)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，設(shè)準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，則，易知，則有，即，解得，則，D正確.故選：BCD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用相像三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.11.若實(shí)數(shù)滿意，則的值可以是（）A.1 B. C.2 D.【答案】BC【解析】【分析】令，把等式變形成，用表示，然后再用基本不等式，用表示成不等式，解不等式即可.【詳解】，，設(shè)，則由題意得，即.因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，解得，所以的取值范圍是故選：BC.12.如圖，已知正三棱柱中，為的中點(diǎn)，直線與平面的交點(diǎn)為，則以下結(jié)論正確的是（）A.B.直線平面C.在線段上不存在一點(diǎn)使得D.以為球心，為半徑的球面與側(cè)面的交線長(zhǎng)為【答案】AB【解析】【分析】延長(zhǎng)交于點(diǎn)，解三角形求，推斷A，連接交于點(diǎn)，證明，由線面平行判定定理證明平面，推斷B，取的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，由線面垂直判定定理證明平面，由此推斷C，依據(jù)球的截面性質(zhì)推斷D.【詳解】如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所以，又為的中點(diǎn)，所以，所以，故，所以，由，，所以，故正確；連接交于點(diǎn)，因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，所以是的中點(diǎn)，連接，則為的中位線，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫?，所以直線平面，故B正確；取的中點(diǎn)，連接，則，又由可得平面，故.過(guò)點(diǎn)作，垂足為，連接，又，平面，所以平面，所以，故C不正確；因?yàn)槠矫妫运蠼痪€即為平面內(nèi)以為圓心，半徑為的圓與側(cè)面的交線，即圖中圓弧，因?yàn)?，所以，所以，同理，所以圓弧所對(duì)的圓心角為，故交線長(zhǎng)為，故D不正確.故選：AB.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則曲線在處的切線方程為__________.【答案】.【解析】【分析】求解導(dǎo)函數(shù)，計(jì)算與的值，再利用直線點(diǎn)斜式寫出切線方程即可.【詳解】求導(dǎo)可得，則，又，則曲線在處的切線方程為，整理得.故答案為：.14.的綻開式中全部有理項(xiàng)的系數(shù)之和為__________.【答案】【解析】【分析】先依據(jù)二項(xiàng)式綻開式通項(xiàng)，找出有理項(xiàng)，再計(jì)算有理項(xiàng)的系數(shù)之和.【詳解】由二項(xiàng)式定理，可得的綻開式通項(xiàng)為，當(dāng)，即時(shí)，為有理項(xiàng)，所以全部有理項(xiàng)的系數(shù)之和為.故答案為：.15.已知，且，則__________.【答案】##【解析】【分析】由題知，，進(jìn)而依據(jù)正切的和角公式求解即可.【詳解】解：，，即，解得或（舍），∴，∴故答案為：.16.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別是，離心率為，點(diǎn)是的右支上異于頂點(diǎn)的一點(diǎn)，過(guò)作的平分線的垂線，垂足是，若點(diǎn)滿意，則的最小值為__________.【答案】##0.5【解析】【分析】由條件，結(jié)合雙曲線的定義可求出雙曲線方程，再通過(guò)求雙曲線的斜率為1的且切點(diǎn)在雙曲線的右支的切線與直線的距離即可.【詳解】設(shè)半焦距為，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，由于是的平分線，，所以是等腰三角形，所以，且是的中點(diǎn).依據(jù)雙曲線的定義可知，即，由于是的中點(diǎn)，所以是的中位線，所以，又雙曲線的離心率為，故，所以，又，所以，所以雙曲線的方程為，依據(jù)題意，知所求的是雙曲線右支上一點(diǎn)到直線的距離的最小值的平方.設(shè)與直線平行雙曲線的切線方程為，聯(lián)立，消去，可得，所以，所以或1，當(dāng)時(shí)，切點(diǎn)坐標(biāo)為與已知沖突，當(dāng)時(shí)，切點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，所以切點(diǎn)到直線的距離為，所以的最小值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】問(wèn)題的解決的關(guān)鍵在于結(jié)合雙曲線的定義及角平分線的性質(zhì)求出雙曲線的方程和將問(wèn)題求兩點(diǎn)之間的距離的最小值的平方轉(zhuǎn)化為求平行直線的距離的平方的問(wèn)題.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.17.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿意.（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）若，數(shù)列前項(xiàng)和為，求證：.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）利用數(shù)列通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系可得，，當(dāng)時(shí)，再利用等比數(shù)列的定義證明；（2）由（1）得，進(jìn)而得到，再利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求解.【小問(wèn)1詳解】由，得①，當(dāng)時(shí)，，所以，即，當(dāng)時(shí)，②，①-②整理得，所以，所以數(shù)列是以9為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列；【小問(wèn)2詳解】由（1）可知，所以，即，所以.18.已知在中，，點(diǎn)在邊上且滿意.（1）若的面積為，求的值；（2）若，求的大小.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】(1)由條件結(jié)合三角形面積公式求，再由余弦定理求，由此可求，(2)設(shè)，由正弦定理可得，，由此解方程求即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以，由余弦定理，得，所以；小?wèn)2詳解】設(shè)，則，由是等腰三角形及可得，解得，在內(nèi)，由正弦定理，得，在內(nèi)，由正弦定理，得，又，所以所以，所以，，因?yàn)?，即或，所以?的大小為或.19.近年來(lái)，短視頻作為以視頻為載體的聚合平臺(tái)，社交屬性愈發(fā)突出，在用戶生活中覆蓋面越來(lái)越廣泛，已漸漸成為社交平臺(tái)發(fā)展的新方向，同時(shí)發(fā)展了利用短視頻平臺(tái)進(jìn)行直播帶貨，成就了一批帶貨主播.國(guó)內(nèi)短視頻領(lǐng)域，已知甲公司和乙公司兩家購(gòu)物平臺(tái)所售商品類似，存在競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系.（1）現(xiàn)對(duì)某時(shí)段100名觀看過(guò)這兩家短視頻的用戶與運(yùn)用這兩家購(gòu)物平臺(tái)購(gòu)物的狀況進(jìn)行調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)：選擇甲公司購(gòu)物平臺(tái)選擇乙公司購(gòu)物平臺(tái)合計(jì)用戶年齡段歲401050用戶年齡段歲203050合計(jì)6040100依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為運(yùn)用哪家購(gòu)物平臺(tái)購(gòu)物與觀看這兩家短視頻的用戶的年齡有關(guān)？（2）（i）若小李第一天等可能地從甲?乙兩家中選一家平臺(tái)購(gòu)物，假如第一天去甲平臺(tái)，那么其次天去甲平臺(tái)的概率為；假如第一天去乙平臺(tái)，那么其次天去甲平臺(tái)的概率為0.8.求小李其次天去甲平臺(tái)購(gòu)物的概率；（ii）雙十一這天，甲公司購(gòu)物平臺(tái)直播間進(jìn)行“秒殺”搶購(gòu)活動(dòng)，小李一家三人能下單勝利的概率均為，三人是否搶購(gòu)勝利互不影響.若為三人下單勝利的總?cè)藬?shù)，且，求的取值范圍.參考公式：，其中.獨(dú)立性檢驗(yàn)中幾個(gè)常用的小概率值和相應(yīng)的臨界值表：【答案】（1）能（2）（i）；（ii）【解析】【分析】(1)由列聯(lián)表結(jié)合公式計(jì)算的值，與臨界值比較大小由此確定運(yùn)用哪家購(gòu)物平臺(tái)購(gòu)物與觀看這兩家短視頻的用戶的年齡是否有關(guān)；(2)（i）利用全概率公式求解；（ii）由條件確定，結(jié)合二項(xiàng)分布期望公式和條件求的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】依據(jù)列聯(lián)表可得，又，，所以用戶運(yùn)用哪家購(gòu)物平臺(tái)購(gòu)物與觀看這兩家短視頻的用戶的年齡有關(guān)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于.【小問(wèn)2詳解】（i）設(shè)“第一天去甲平臺(tái)購(gòu)物”，“第一天去乙平臺(tái)購(gòu)物”，“其次天去甲平臺(tái)購(gòu)物”，依據(jù)題意得，則.（ii）由題意知，所以，所以，又，所以，故的取值范圍為.20.如圖①，已知矩形的長(zhǎng)為4，寬為，點(diǎn)是邊上的點(diǎn)，且.如圖②，將沿折起到的位置，使得平面平面，平面平面.（1）求證：平面；（2）在線段（不包含端點(diǎn)）上是否存在一點(diǎn)，使得平面與平面的夾角的余弦值為？若存在，確定點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）存在，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)【解析】【分析】（1）由可得平面，依據(jù)線面平行的性質(zhì)定理得，再由線面平行判定定理可證明結(jié)論.（2）先假設(shè)存在，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用平面與平面的夾角的余弦值為，建立的等式關(guān)系，求得.【小問(wèn)1詳解】，又平面平面平面又平面，平面平面，平面平面平面.小問(wèn)2詳解】假設(shè)存在點(diǎn).由題意知，又由勾股定理可得，.又平面平面，平面平面平面，平面，過(guò)點(diǎn)作垂直于平面的直線，以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸?軸?軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則，則，設(shè)為平面的法向量，，，則，令，則，為平面的一個(gè)法向量.設(shè)，由題意，知，則，設(shè)為平面的法向量，，，令，則，則為平面的一個(gè)法向量，由得，解得.在線段（不包含端點(diǎn)）上存在一點(diǎn)，使得平面與平面所成角的余弦值為，此時(shí)點(diǎn)為線段的中點(diǎn).21.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，直線與橢圓交于兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)取得最大值8時(shí)，.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)作斜率存在且不為0的直線交橢圓于兩點(diǎn)，若，直線與直線交于點(diǎn)，記直線的斜率分別為，試推斷是否為定值，若是，求出該定值；若不是，說(shuō)明理由.【答案】（1）（2）為定值，1【解析】【分析】（1）依據(jù)兩邊之和大于第三邊結(jié)合橢圓的定義即可求解；（2）聯(lián)立直線方程與橢圓方程，分別表示出直線的斜率表達(dá)式，從而可以進(jìn)一步求解.【小問(wèn)1詳解】如圖，當(dāng)直線與橢圓相交