山東省青島市2025屆高三數(shù)學自主檢測試題含解析

PAGE27-山東省青島市2025屆高三數(shù)學自主檢測試題（含解析）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若復數(shù)（i為虛數(shù)單位），則復數(shù)z在復平面上對應(yīng)的點所在的象限為（）A.第一象限 B.其次象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】先利用復數(shù)的四則運算得到，從而得到復數(shù)對應(yīng)的點，故可得正確的選項.【詳解】，復數(shù)z在復平面上對應(yīng)的點為，該點在其次象限，故復數(shù)z在復平面上對應(yīng)的點所在的象限為其次象限，故選：B.【點睛】本題考查復數(shù)的四則運算以及復數(shù)的幾何意義，留意復數(shù)的除法是分子分母同乘以分母的共軛復數(shù)，本題屬于基礎(chǔ)題.2.已知全集，集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】化簡集合M，N，依據(jù)集合的交集、補集運算求解即可.【詳解】,,,,故選：A【點睛】本題主要考查了集合的交集、補集運算，考查了一元二次不等式，余弦函數(shù)，屬于簡潔題.3.如圖是一個列聯(lián)表，則表中、處的值分別為（）總計總計A.， B.， C.， D.，【答案】B【解析】【分析】依據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可先求出、的值，再結(jié)合總數(shù)為可分別求得和的值.【詳解】由表格中的數(shù)據(jù)可得，，，.故選：B.【點睛】本題考查列聯(lián)表的完善，考查計算實力，屬于基礎(chǔ)題.4.若直線，．，與平行，則下列選項中正確的（）A.p是q的必要非充分條件 B.q是p的充分非必要條件C.p是q的充分非必要條件 D.q是p的非充分也非必要條件【答案】C【解析】【分析】依據(jù)與平行，得到或，再依據(jù)集合的關(guān)系推斷充分性和必要性得解.【詳解】因為與平行，所以或.經(jīng)檢驗，當或時，兩直線平行.設(shè)，或，因為,所以p是q的充分非必要條件.故選：C.【點睛】本題主要考查兩直線平行應(yīng)用，考查充分必要條件的推斷，意在考查學生對這些學問的理解駕馭水平.5.在中，假如，那么的形態(tài)為（）A.鈍角三角形 B.直角三角形 C.銳角三角形 D.等腰三角形【答案】A【解析】【分析】結(jié)合以及兩角和與差的余弦公式，可將原不等式化簡為，即，又，，所以與一正一負，故而得解.【詳解】解：，，，即與異號，又，，與一正一負，為鈍角三角形．故選：A.【點睛】本題考查三角形形態(tài)的推斷，涉及到三角形內(nèi)角和、兩角和與差的余弦公式，考查學生的邏輯推理實力和運算實力，屬于基礎(chǔ)題.6.中國有十二生肖，又叫十二屬相，每一個人的誕生年份對應(yīng)了十二種動物（鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬）中的一種．現(xiàn)有十二生肖的祥瑞物各一個，已知甲同學喜愛牛、馬和猴，乙同學喜愛牛、狗和羊，丙同學全部的祥瑞物都喜愛，讓甲乙丙三位同學依次從中選一個作為禮物珍藏，若各人所選取的禮物都是自己喜愛的，則不同的選法有（）A.50種 B.60種 C.80種 D.90種【答案】C【解析】【分析】依據(jù)題意，按甲的選擇不同分成2種狀況探討，求出確定乙，丙的選擇方法，即可得每種狀況的選法數(shù)目，由分類加法計數(shù)原理，即可求出答案.【詳解】解：依據(jù)題意，按甲的選擇不同分成2種狀況探討：若甲選擇牛，此時乙的選擇有2種，丙的選擇有10種，此時有種不同的選法；若甲選擇馬或猴，此時甲的選法有2種，乙的選擇有3種，丙的選擇有10種，此時有種不同的選法；則一共有種選法.故選：C.【點睛】本題考查分步乘法和分類加法的計數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.7.在三棱柱中，，側(cè)棱底面ABC，若該三棱柱的全部頂點都在同一個球O的表面上，且球O的表面積的最小值為，則該三棱柱的側(cè)面積為（）A. B. C. D.3【答案】B【解析】【分析】設(shè)三棱柱的上、下底面中心分別為、，則的中點為，設(shè)球的半徑為，則，設(shè)，，在△中，依據(jù)勾股定理和基本不等式求出的最小值為，結(jié)合已知可得，從而可得側(cè)面積.【詳解】如圖：設(shè)三棱柱上、下底面中心分別為、，則的中點為，設(shè)球的半徑為，則，設(shè)，，則，，則在△中，，當且僅當時，等號成立，所以，所以，所以，所以該三棱柱的側(cè)面積為.故選：B.【點睛】本題考查了球的表面積公式，基本不等式求最值，考查了求三棱柱的側(cè)面積，屬于基礎(chǔ)題.8.已知函數(shù)，若函數(shù)有13個零點，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題可知，設(shè)，且恒過定點，轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)的圖象有13個交點，畫出函數(shù)與函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合法，即可求出的取值范圍.【詳解】解：由題可知，函數(shù)有13個零點，令，有，設(shè)，可知恒過定點，畫出函數(shù)，的圖象，如圖所示：則函數(shù)與函數(shù)的圖象有13個交點，由圖象可得：，則，即，解得：，，.故選：D.【點睛】本題考查將函數(shù)零點的個數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點問題，從而求參數(shù)的范圍，考查轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分.9.將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)，則實數(shù)可能的取值為（）A. B.1 C. D.2【答案】ABC【解析】【分析】依據(jù)圖象平移求得函數(shù)的解析式，再利用函數(shù)的單調(diào)性列出不等式求得的取值范圍，即可求解.【詳解】由題意，將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)，則滿意，解得，所以實數(shù)的可能的取值為.故選：ABC.【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象變換求函數(shù)的解析式，以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，著重考查推理與運算實力，屬于基礎(chǔ)題.10.在悠久絢麗的中國古代文化中，數(shù)學文化是其中的一朵絢麗的奇葩．《張丘建算經(jīng)》是我國古代有標記性的內(nèi)容豐富的眾多數(shù)學名著之一，大約創(chuàng)作于公元五世紀．書中有如下問題：“今有女善織，日益功疾，初日織五尺，今一月織九匹三丈，問日益幾何？”．其大意為：“有一女子擅長織布，織布的速度一天比一天快，從其次天起，每天比前一天多織相同數(shù)量的布，第一天織尺，一個月共織了九匹三丈，問從其次天起，每天比前一天多織多少尺布？”．已知匹丈，丈尺，若這一個月有天，記該女子這一個月中的第天所織布的尺數(shù)為，，對于數(shù)列、，下列選項中正確的為（）A. B.是等比數(shù)列 C. D.【答案】BD【解析】【分析】由題意可知，數(shù)列為等差數(shù)列，求出數(shù)列的公差，可得出數(shù)列的通項公式，利用等比數(shù)列的定義推斷出數(shù)列是等比數(shù)列，然后利用數(shù)列的通項公式即可推斷出各選項的正誤.【詳解】由題意可知，數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列的公差為，，由題意可得，解得，，，（非零常數(shù)），則數(shù)列等比數(shù)列，B選項正確；，，，A選項錯誤；，，C選項錯誤；，，所以，，D選項正確.故選：BD.【點睛】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合問題，解答的關(guān)鍵就是求出數(shù)列的通項公式，考查計算實力，屬于中等題.11.已知曲線上存在兩條斜率為3的不同切線，且切點的橫坐標都大于零，則實數(shù)可能的取值（）A. B.3 C. D.【答案】AC【解析】【分析】依據(jù)題意，得出的導數(shù)，可令切點的橫坐標為，求得切線的斜率，由題意可得關(guān)于的方程有兩個不等的正根，考慮判別式大于0，且兩根之和大于0，兩根之積大于0，計算可得的范圍，即可得答案.【詳解】解：由題可知，，則，可令切點的橫坐標為，且，可得切線斜率，由題意，可得關(guān)于的方程有兩個不等的正根，且可知，則，即，解得：，的取值可能為，.故選：AC.【點睛】本題考查導數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，以及依據(jù)一元二次方程根的分布求參數(shù)范圍，考查轉(zhuǎn)化思想和運算實力.12.在如圖所示的棱長為1的正方體中，點P在側(cè)面所在的平面上運動，則下列命題中正確的為（）A.若點P總滿意，則動點P的軌跡是一條直線B.若點P到點A的距離為，則動點P的軌跡是一個周長為的圓C.若點P到直線的距離與到點C的距離之和為1，則動點P的軌跡是橢圓D.若點P到直線與直線的距離相等，則動點P的軌跡是雙曲線【答案】ABD【解析】【分析】A.依據(jù)平面，推斷點的軌跡；B.依據(jù)平面與球相交的性質(zhì)，推斷選項；C.由條件可轉(zhuǎn)化為，依據(jù)橢圓的定義推斷；D.由條件建立坐標系，求點的軌跡方程，推斷軌跡是否是雙曲線.【詳解】A.在正方體中，平面，所以，所以平面，平面，所以，同理，所以平面，而點P在側(cè)面所在的平面上運動，且，所以點的軌跡就是直線，故A正確；B.點的軌跡是以為球心，半徑為的球面與平面的交線，即點的軌跡為小圓，設(shè)小圓的半徑為，球心到平面的距離為1，則，所以小圓周長，故B正確；C.點P到直線AB的距離就是點到點的距離，即平面內(nèi)的點滿意，即滿意條件的點的軌跡就是線段，不是橢圓，故C不正確；D.如圖，過分別做于點，于點，則平面，所以，過做，連結(jié)，，所以平面，所以，如圖建立平面直角坐標系，設(shè)，，則，，即，整理為：，則動點的軌跡是雙曲線，故D正確.故選：ABD【點睛】本題考查立體幾何中動點軌跡問題，截面的形態(tài)推斷，重點考查空間想象實力，邏輯推理，計算實力，屬于中檔題型.三、填空題：本題共4個小題，每小題5分，共20分.13.若方程表示焦點在軸上的橢圓，則實數(shù)的取值范圍為________．【答案】【解析】【分析】依據(jù)題意，由橢圓的標準方程的特點，結(jié)合已知條件列出不等式，求解即可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】解：由題可知，方程表示焦點在軸上的橢圓，可得，解得：，所以實數(shù)的取值范圍為：.故答案為：.【點睛】本題考查橢圓的標準方程的特點，是基礎(chǔ)學問的考查，屬于基礎(chǔ)題.14.已知定義在的偶函數(shù)在單調(diào)遞減，，若，則x的取值范圍________．【答案】【解析】【分析】由題意結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)可得，再由函數(shù)的單調(diào)性即可得，即可得解.【詳解】因為為偶函數(shù)，，所以，又在單調(diào)遞減，，所以，解得.所以x的取值范圍為.故答案為：.【點睛】本題考查了函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用，考查了運算求解實力與邏輯推理實力，屬于基礎(chǔ)題.15.若，則（1）________；（2）________．【答案】(1).(2).【解析】【分析】（1）化簡二項式為，利用通項，求得，再令，求得，即可求解；（2）令，求得，依據(jù)和（1）中，即可求解.【詳解】（1）由題意，可化為，由，可得，令，即時，可得，所以.（2）令，則，則，由（1）可得，所以.【點睛】本題主要考查了二項綻開式的應(yīng)用，以及導數(shù)四則運算的應(yīng)用，其中解答中精確賦值，以及利用導數(shù)的運算合理構(gòu)造是解答的關(guān)鍵，著重考查分析問題和解答問題的實力，屬于中檔試題.16.已知，是平面上不共線的兩個向量，向量與，共面，若，，與的夾角為，且，，則________．【答案】【解析】分析】設(shè)，由已知，可得，，從而可求出，則，即可求出模長.【詳解】解：設(shè)，因為與的夾角為，所以，則，，解得，則，故答案為:.【點睛】本題考查了向量的數(shù)量積運算，考查了平面對量基本定理，考查了向量模的求解.本題的難點是用已知表示.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.如圖，在直角梯形中，，，，，，點是線段的中點，將，分別沿，向上折起，使，重合于點，得到三棱錐．試在三棱錐中，（1）證明：平面平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）依據(jù)勾股定理的逆定理，得出，而，依據(jù)線面垂直的判定定理證出平面，最終利用面面垂直的判定定理，即可證明平面平面；（2）以為坐標原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，依據(jù)空間坐標的運算可得出和平面的法向量，利用空間向量法求夾角的公式，即可求出直線與平面所成角的正弦值．【詳解】解：（1）由題知：在直角梯形中，，所以在三棱錐中，，所以，又因為，，所以平面，又因為平面，所以，平面平面.（2）由（1）知：，，又，以為坐標原點，以的方向分別作為軸，軸，軸的正方向，建立如圖空間直角坐標系，所以，，，，設(shè)為平面的法向量，，，由，可得，令得：，設(shè)直線與平面所成角為，所以，所以直線與平面所成角的正弦值為.【點睛】本題考查線面垂直和面面垂直的判定定理，考查利用空間向量法求直線與平面所成角的正弦值，考查推理證明實力和運算求解實力.18.已知為等差數(shù)列，，，分別是下表第一、二、三行中的某一個數(shù)，且，，中的任何兩個數(shù)都不在下表的同一列．第一列其次列第三列第一行其次行469第三行1287請從①，②，③的三個條件中選一個填入上表，使?jié)M意以上條件的數(shù)列存在；并在此存在的數(shù)列中，試解答下列兩個問題（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列滿意，求數(shù)列的前n項和．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】(1)分別代入①，②，③，結(jié)合已知條件可推斷，，，求出數(shù)列的公差，即可求出通項公式.(2)由(1)知，當n為偶數(shù)時，結(jié)合數(shù)列的求和的定義求出，由等差數(shù)列的求和公式即可求解；當n為奇數(shù)時，即可求解.【詳解】解：（1）若選擇條件①，當?shù)谝恍械谝涣袨闀r，由題意知，可能的組合有，不是等差數(shù)列，不是等差數(shù)列；當?shù)谝恍衅浯瘟袨闀r，由題意知，可能的組合有，不是等差數(shù)列，不是等差數(shù)列；當?shù)谝恍械谌袨闀r，由題意知，可能的組合有，不是等差數(shù)列，不是等差數(shù)列，則放在第一行的任何一列，滿意條件的等差數(shù)列都不存在，若選擇條件②，則放在第一行其次列，結(jié)合條件可知，，，則公差，所以，，若選擇條件③，當?shù)谝恍械谝涣袨闀r，由題意知，可能的組合有，不是等差數(shù)列，不是等差數(shù)列；當?shù)谝恍衅浯瘟袨闀r，由題意知，可能的組合有，不是等差數(shù)列，不是等差數(shù)列；當?shù)谝恍械谌袨闀r，由題意知，可能的組合有，不是等差數(shù)列，不是等差數(shù)列，則放在第一行的任何一列，滿意條件的等差數(shù)列都不存在，綜上可知：，.（2）由（1）知，，所以當n為偶數(shù)時，，當n為奇數(shù)時，，【點睛】本題考查了等差數(shù)列通項公式的求解，考查了等差數(shù)列的求和公式，考查了數(shù)列求和.本題的難點是其次問求和時，分狀況探討.19.在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，（1）若還同時滿意下列四個條件中的三個：①，②，③，④的面積，請指出這三個條件，并說明理由；（2）若，求周長L的取值范圍．【答案】（1）①③④，理由見解析；（2）．【解析】【分析】（1）首先條件變形，利用兩角差的正弦公式變形，求得，再推斷①②不能同時成立，最終依據(jù)③④推斷能同時成立的第三個條件；（2）首先利用正弦定理邊角互化，表示，，再利用三角函數(shù)恒等變形表示周長，最終依據(jù)角的范圍求周長的取值范圍.【詳解】解：因為所以即所以因為A，B，，所以，即，所以（1）還同時滿意條件①③④理由如下：若同時滿意條件①②則由正弦定理得，這不行能所以不能同時滿意條件①②，所以同時滿意條件③④所以的面積所以與②沖突所以還同時滿意條件①③④（2）在中，由正弦定理得：因為，所以，所以因為，所以，所以周長L的取值范圍為.【點睛】本題考查三角恒等變形，正余弦定理解三角形，重點考查轉(zhuǎn)化與化歸的思想，計算實力，邏輯推理實力，屬于中檔題型.20.某市居民用自然氣實行階梯價格制度，詳細見下表：階梯年用氣量（立方米）價格（元/立方米）第一階梯不超過228的部分3.25其次階梯超過228而不超過348的部分3.83第三階梯超過348的部分4.70從該市隨機抽取10戶（一套住宅為一戶）同一年的自然氣運用狀況，得到統(tǒng)計表如下：居民用氣編號12345678910年用氣量（立方米）95106112161210227256313325457（1）求一戶居民年用氣費y（元）關(guān)于年用氣量x（立方米）的函數(shù)關(guān)系式；（2）現(xiàn)要在這10戶家庭中隨意抽取3戶，求抽到的年用氣量超過228立方米而不超過348立方米的用戶數(shù)的分布列與數(shù)學期望；（3）若以表中抽到的10戶作為樣本估計全市居民的年用氣狀況，現(xiàn)從全市中依次抽取10戶，其中恰有k戶年用氣量不超過228立方米的概率為，求取最大值時的值．【答案】（1）；（2）分布列見解析，數(shù)學期望為；（3）6．【解析】【分析】（1）由表格中的數(shù)據(jù)結(jié)合題意，即可求得一戶居民年用氣費y（元）關(guān)于年用氣量x（立方米）的函數(shù)關(guān)系式；（2）由題意知10戶家庭中年用氣量超過228立方米而不超過348立方米的用戶有3戶，得到隨機變量可取，利用超幾何分布求得相應(yīng)的概率，得到隨機變量的分布列，進而求得期望；（3）由，列出不等式組由，求得的值，即可求解.【詳解】（1）由題意，當時，；當時，；當時，，所以年用氣費y關(guān)于年用氣量x的函數(shù)關(guān)系式為.（2）由題知10戶家庭中年用氣量超過228立方米而不超過348立方米的用戶有3戶，設(shè)取到年用氣量超過228立方米而不超過348立方米的用戶數(shù)為，則可取，則，，，，故隨機變量的分布列為：0123P所以.（3）由題意知，由，解得，，所以當時，概率最大，所以.【點睛】本題主要考查了分段函數(shù)模型的性質(zhì)及其應(yīng)用，以及離散型隨機變量的分布列與期望的求解，著重考查了分析問題和解答問題的實力，屬于中檔試題.21.已知函數(shù)，（其中是自然對數(shù)的底數(shù)），，．（1）探討函數(shù)單調(diào)性；（2）設(shè)函數(shù)，若對隨意的恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）在定義域上單調(diào)遞增；（2）．【解析】【分析】（1）先求得，利用導數(shù)可得恒成立，故可得的單調(diào)區(qū)間.（2）對隨意的恒成立等價于對隨意恒成立，就和結(jié)合的單調(diào)性分類探討可得對隨意恒成立，參變分別后再次利用導數(shù)可求的取值范圍.【詳解】解：（1）因為，所以.令，則，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減；當時，，函數(shù)單調(diào)遞增．所以，又因為，，所以，在定義域上單調(diào)遞增.（2）由得，即，所以，即對隨意恒成立，設(shè)，則所以，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，且當時，，當時，，若，則，若，因為，且在上單調(diào)遞增，所以，綜上可知，對隨意恒成立，即對隨意恒成立.設(shè)，，則，所以在單調(diào)遞增，所以，即a的取值范圍為．【點睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性以及含參數(shù)的不等式的恒成立，前者利用導數(shù)的符號來探討，后者需