人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)學(xué)案2：5 3 2 第2課時(shí) 函數(shù)的最大(小)值（二）

人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)PAGEPAGE15.3.2第2課時(shí)函數(shù)的最大(小)值（二）學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.能用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的零點(diǎn)問題．2．體會(huì)導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問題中的作用．3．能利用導(dǎo)數(shù)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題．(重點(diǎn)、難點(diǎn))1.借助用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的零點(diǎn)問題，培養(yǎng)直觀想象的核心素養(yǎng)．2．通過學(xué)習(xí)用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)．3．借助實(shí)際問題的求解，提升邏輯推理及數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).〖新知初探〗1．函數(shù)圖象的畫法函數(shù)f(x)的圖象直觀地反映了函數(shù)f(x)的性質(zhì)．通常，按如下步驟畫出函數(shù)f(x)的圖象：(1)求出函數(shù)f(x)的；(2)求導(dǎo)數(shù)f′(x)及函數(shù)f′(x)的；(3)用f′(x)的零點(diǎn)將f(x)的定義域劃分成若干個(gè)區(qū)間，列表給出f′(x)在各區(qū)間上的，并得出f(x)的與；(4)確定f(x)的圖象所經(jīng)過的一些特殊點(diǎn)，以及圖象的；(5)畫出f(x)的大致圖象．2．用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問題的基本思路思考：解決生活中優(yōu)化問題應(yīng)注意什么？〖初試身手〗1．判斷正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)用導(dǎo)數(shù)研究實(shí)際問題要先求定義域． ()(2)方程xex＝2有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根． ()(3)做一個(gè)容積為256m3的方底無蓋水箱，所用材料最省時(shí)，它的高為4m． ()2．煉油廠某分廠將原油精煉為汽油，需對(duì)原油進(jìn)行冷卻和加熱，如果第x小時(shí)，原油溫度(單位：℃)為f(x)＝eq\f(1,3)x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么原油溫度的瞬時(shí)變化率的最小值是()A．8B．eq\f(20,3)C．－1D．－83．已知某生產(chǎn)廠家的年利潤(rùn)y(單位：萬元)與年產(chǎn)量x(單位：萬件)的函數(shù)關(guān)系式為y＝－eq\f(1,3)x3＋81x－234，則使該生產(chǎn)廠家獲取最大年利潤(rùn)的年產(chǎn)量為()A．13萬件 B．11萬件 C．9萬件 D．7萬件4．某產(chǎn)品的銷售收入y1(萬元)關(guān)于產(chǎn)量x(千臺(tái))的函數(shù)關(guān)系式為y1＝17x2，生產(chǎn)成本y2(萬元)關(guān)于產(chǎn)量x(千臺(tái))的函數(shù)關(guān)系式為y2＝2x3－x2，已知x＞0，為使利潤(rùn)最大，應(yīng)生產(chǎn)該產(chǎn)品________千臺(tái)．〖合作探究〗類型一利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象〖例1〗函數(shù)y＝eq\f(x3,ex)(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))的大致圖象是()〖規(guī)律方法〗由〖解析〗式研究圖象常用的方法根據(jù)〖解析〗式判斷函數(shù)的圖象時(shí)，綜合應(yīng)用各種方法：如判斷函數(shù)的奇偶性，定義域、特殊值和單調(diào)性，有時(shí)還要用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值點(diǎn)，甚至最值等.〖跟進(jìn)訓(xùn)練〗1．函數(shù)f(x)＝eeq\s\up12(x2)－2x2的圖象大致為()類型二用導(dǎo)數(shù)研究方程的根〖例2〗設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\f(x2,2)－klnx，k＞0.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)證明：若f(x)存在零點(diǎn)，則f(x)在區(qū)間(1，eq\r(e)〗上僅有一個(gè)零點(diǎn)．〖規(guī)律方法〗與函數(shù)零點(diǎn)有關(guān)的問題與函數(shù)零點(diǎn)有關(guān)的問題，往往利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值點(diǎn)，并結(jié)合特殊點(diǎn)判斷函數(shù)的大致圖象，討論圖象與x軸的位置關(guān)系.或者轉(zhuǎn)化為兩個(gè)熟悉函數(shù)的圖象交點(diǎn)問題確定參數(shù)的取值范圍.〖跟進(jìn)訓(xùn)練〗2．若方程ax＝x(a＞0，a≠1)有兩個(gè)不等實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．類型三導(dǎo)數(shù)在生活實(shí)際問題中應(yīng)用角度1用料最省、成本(費(fèi)用)最低問題〖例3〗為了在夏季降溫和冬季供暖時(shí)減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層．某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元．該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用C(單位：萬元)與隔熱層厚度x(單位：cm)滿足關(guān)系：C(x)＝eq\f(k,3x＋5)(0≤x≤10)，若不建隔熱層，每年能源消耗費(fèi)用為8萬元．設(shè)f(x)為隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和．(1)求k的值及f(x)的表達(dá)式；(2)隔熱層修建多厚時(shí)，總費(fèi)用f(x)達(dá)到最??？并求最小值．〖規(guī)律方法〗求解優(yōu)化問題中的最小值問題的思路在實(shí)際生活中關(guān)于用料最省、費(fèi)用最低、損耗最小、用時(shí)最短等問題，一般情況下都需要利用導(dǎo)數(shù)求解相應(yīng)函數(shù)的最小值.若求出極值點(diǎn)注意根據(jù)實(shí)際意義舍去不合適的極值點(diǎn)后，函數(shù)在該點(diǎn)附近滿足“左減右增”，則此時(shí)唯一的極小值就是所求的函數(shù)的最小值.〖跟進(jìn)訓(xùn)練〗3．已知A，B兩地相距200千米，一只船從A地逆水航行到B地，水速為8千米/時(shí)，船在靜水中的航行速度為v千米/時(shí)(8＜v≤v0)．若船每小時(shí)航行所需的燃料費(fèi)與其在靜水中的航行速度的平方成正比，當(dāng)v＝12千米/時(shí)時(shí)，船每小時(shí)航行所需的燃料費(fèi)為720元．為了使全程燃料費(fèi)最省，船在靜水中的航行速度v應(yīng)為多少？角度2利潤(rùn)最大、效率最高問題〖探究問題〗1．在實(shí)際問題中，如果在定義域內(nèi)函數(shù)只有一個(gè)極值點(diǎn)，則函數(shù)在該點(diǎn)處取最值嗎？2．你能列舉幾個(gè)有關(guān)利潤(rùn)的等量關(guān)系嗎？〖例4〗某商場(chǎng)銷售某種商品的經(jīng)驗(yàn)表明，該商品每日的銷售量y(單位：千克)與銷售價(jià)格x(單位：元/千克)滿足關(guān)系式y(tǒng)＝eq\f(a,x－3)＋10(x－6)2，其中3＜x＜6，a為常數(shù)，已知銷售價(jià)格為5元/千克時(shí)，每日可售出該商品11千克．(1)求a的值；(2)若該商品的成本為3元/千克，試確定銷售價(jià)格x的值，使商場(chǎng)每日銷售該商品所獲得的利潤(rùn)最大．〖規(guī)律方法〗利潤(rùn)最大問題是生活中常見的一類問題，一般根據(jù)“利潤(rùn)＝收入－成本”建立函數(shù)關(guān)系式，再利用導(dǎo)數(shù)求最大值．解此類問題需注意兩點(diǎn)：①價(jià)格要大于或等于成本，否則就會(huì)虧本；②銷量要大于0，否則不會(huì)獲利．〖跟進(jìn)訓(xùn)練〗4．某電子公司開發(fā)一種智能手機(jī)的配件，每個(gè)配件的成本是15元，銷售價(jià)是20元，月平均銷售a件，通過改進(jìn)工藝，每個(gè)配件的成本不變，質(zhì)量和技術(shù)含金量提高，市場(chǎng)分析的結(jié)果表明，如果每個(gè)配件的銷售價(jià)提高的百分率為x(0＜x＜1)，那么月平均銷售量減少的百分率為x2，記改進(jìn)工藝后該電子公司銷售該配件的月平均利潤(rùn)是y(元)．(1)寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式；(2)改進(jìn)工藝后，試確定該智能手機(jī)配件的售價(jià)，使電子公司銷售該配件的月平均利潤(rùn)最大．〖課堂小結(jié)〗1．運(yùn)用零點(diǎn)存在性定理求解零點(diǎn)存在或者零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題的關(guān)鍵是尋找合適的零點(diǎn)區(qū)間．本題還可以采取分離變量法把零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題．2．利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問題，往往歸結(jié)為函數(shù)的最大值或最小值問題．解題的一般方法如下：(1)設(shè)出變量找出函數(shù)關(guān)系式，確定定義域；(2)若函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)x0，則不需與端點(diǎn)處函數(shù)值比較，f(x0)即是所求的最大值或最小值．3．“恒成立”問題的解決往往要轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．〖學(xué)以致用〗1．某箱子的體積與底面邊長(zhǎng)x的關(guān)系為V(x)＝x2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(60－x,2)))(0<x<60)，則當(dāng)箱子的體積最大時(shí)，箱子底面邊長(zhǎng)為()A．30B．40C．50D．602．設(shè)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，若f(x)為偶函數(shù)，且在(0，1)上存在極大值，則f′(x)的圖象可能為()3．若方程x3－3x＋m＝0在〖0，2〗上有解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A．〖－2，2〗 B．〖0，2〗C．〖－2，0〗 D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)4．電動(dòng)自行車的耗電量y與速度x之間的關(guān)系為y＝eq\f(1,3)x3－eq\f(39,2)x2－40x(x＞0)，為使耗電量最小，則其速度應(yīng)定為________．

▁▃▅▇█參*考*答*案█▇▅▃▁〖新知初探〗1．函數(shù)圖象的畫法(1)定義域(2)零點(diǎn)(3)正負(fù) 單調(diào)性 極值(4)變化趨勢(shì)2．用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問題的基本思路函數(shù) 導(dǎo)數(shù)思考：〖〖提示〗〗(1)在建立函數(shù)模型時(shí)，應(yīng)根據(jù)實(shí)際問題確定出函數(shù)的定義域．(2)求實(shí)際問題的最大(小)值時(shí)，一定要從問題的實(shí)際意義去考查，不符合實(shí)際意義的應(yīng)舍去，如：長(zhǎng)度、寬度應(yīng)大于0，銷售價(jià)為正數(shù)等．〖初試身手〗1．〖〖提示〗〗(2)令y＝xex，則y′＝ex(x＋1)．由于x＞－1時(shí)，y′＞0，x＜－1時(shí)，y′＜0.∴x＝－1時(shí)y＝xex取到最小值－eq\f(1,e)，結(jié)合單調(diào)性及變化趨勢(shì)畫出如圖所示，由圖可以看出y＝xex與y＝2只有一個(gè)交點(diǎn)，故方程只有一個(gè)解．(3)設(shè)底的邊長(zhǎng)為xm，則高為eq\f(256,x2).那么需材料的面積為x2＋4x×eq\f(256,x2)＝x2＋eq\f(4×256,x).令y＝x2＋eq\f(4×256,x)，∴y′＝2x－eq\f(4×256,x2).令y′＝0得x＝8.又x＞8時(shí)y′＞0，x＜8時(shí)y′＜0，∴x＝8時(shí)用料最省，這時(shí)高h(yuǎn)＝eq\f(256,82)＝4(m)．〖〖答案〗〗(1)√(2)×(3)√2．C〖由題意，f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，∵0≤x≤5，∴x＝1時(shí)，f′(x)的最小值為－1，即原油溫度的瞬時(shí)變化率的最小值是－1.〗3．C〖由題意得，y′＝－x2＋81，令y′＝0，解得x＝9或x＝－9(舍去)．當(dāng)0＜x＜9時(shí)，y′＞0；當(dāng)x＞9時(shí)，y′＜0.故當(dāng)x＝9時(shí)，y取得極大值，也是最大值．〗4．6〖由題意，利潤(rùn)y＝y(tǒng)1－y2＝17x2－(2x3－x2)＝18x2－2x3(x＞0)，y′＝36x－6x2，由y′＝36x－6x2＝6x(6－x)＝0，得x＝6(x＝0舍去)，當(dāng)x∈(0，6)時(shí)，y′＞0，當(dāng)x∈(6，＋∞)時(shí)，y′＜0，∴函數(shù)在(0，6)上為增函數(shù)，在(6，＋∞)上為減函數(shù)，則當(dāng)x＝6時(shí)，y有最大值．〗〖合作探究〗類型一利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象〖例1〗B〖法一：由函數(shù)y＝eq\f(x3,ex)可知，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝0，排除C；當(dāng)x＜0時(shí)，y＜0，排除A；y′＝eq\f(3x2ex－x3ex,ex2)＝eq\f(x23－x,ex)，當(dāng)x＜3時(shí)，y′＞0，當(dāng)x＞3時(shí)，y′＜0，∴函數(shù)在(0，＋∞)上先增后減．故選B.法二：由函數(shù)y＝eq\f(x3,ex)可知，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝0，排除C；當(dāng)x＜0時(shí)，y＜0，排除A；當(dāng)x→＋∞時(shí)，y→0.故選B.〗〖跟進(jìn)訓(xùn)練〗1．A〖∵f(x)＝f(－x)，當(dāng)x＞0時(shí)，f′(x)＝eeq\s\up12(x2)·2x－4x，令f′(x)＝0，則2x(eeq\s\up12(x2)－2)＝0?x＝eq\r(ln2)∈(0，1)，且f(eq\r(ln2))＝2－2ln2＞0，∴當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＞0，且只有一個(gè)極值點(diǎn)，∴排除B，C，D.故選A.〗類型二用導(dǎo)數(shù)研究方程的根〖例2〗〖解〗(1)由f(x)＝eq\f(x2,2)－klnx(k＞0)得f′(x)＝x－eq\f(k,x)＝eq\f(x2－k,x)，由f′(x)＝0解得x＝eq\r(k).f(x)與f′(x)在區(qū)間(0，＋∞)上的變化情況如下表：x(0，eq\r(k))eq\r(k)(eq\r(k)，＋∞)f′(x)－0＋f(x)↘eq\f(k1－lnk,2)↗所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0，eq\r(k))，單調(diào)遞增區(qū)間是(eq\r(k)，＋∞)，f(x)在x＝eq\r(k)處取得極小值f(eq\r(k))＝eq\f(k1－lnk,2)，無極大值．(2)證明：由(1)知，f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上的最小值為f(eq\r(k))＝eq\f(k1－lnk,2).因?yàn)閒(x)存在零點(diǎn)，所以eq\f(k1－lnk,2)≤0，從而k≥e.當(dāng)k＝e時(shí)，f(x)在區(qū)間(1，eq\r(e))上單調(diào)遞減，且f(eq\r(e))＝0，所以x＝eq\r(e)是f(x)在區(qū)間(1，eq\r(e)〗上的唯一零點(diǎn)．當(dāng)k＞e時(shí)，f(x)在區(qū)間(0，eq\r(e))上單調(diào)遞減，且f(1)＝eq\f(1,2)＞0，f(eq\r(e))＝eq\f(e－k,2)＜0，所以f(x)在區(qū)間(1，eq\r(e)〗上僅有一個(gè)零點(diǎn)．綜上可知，若f(x)存在零點(diǎn)，則f(x)在區(qū)間(1，eq\r(e)〗上僅有一個(gè)零點(diǎn)．〖跟進(jìn)訓(xùn)練〗2．〖解〗由ax＝x知x＞0，故x·lna－lnx＝0?lna＝eq\f(lnx,x)，令f(x)＝eq\f(lnx,x)(x＞0)，則f′(x)＝eq\f(1－lnx,x2).當(dāng)x∈(0，e)時(shí)，f′(x)＞0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(e，＋∞)時(shí)，f′(x)＜0，f(x)單調(diào)遞減，故當(dāng)x＝e時(shí)，f(x)取得最大值f(e)＝eq\f(1,e)，即lna＜eq\f(1,e)，即a＜eeq\s\up12(eq\f(1,e)).畫出函數(shù)y＝ax(a＞0，a≠1)與y＝x的圖象(圖略)，結(jié)合圖象可知，若方程ax＝x(a＞0，a≠1)有兩個(gè)不等實(shí)根，則a＞1.綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，eeq\s\up12(\f(1,e)))).類型三導(dǎo)數(shù)在生活實(shí)際問題中應(yīng)用角度1用料最省、成本(費(fèi)用)最低問題〖例3〗〖解〗(1)由題設(shè)，每年能源消耗費(fèi)用為C(x)＝eq\f(k,3x＋5)(0≤x≤10)，再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝eq\f(40,3x＋5).而建造費(fèi)用為C1(x)＝6x.最后得隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和為f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×eq\f(40,3x＋5)＋6x＝eq\f(800,3x＋5)＋6x(0≤x≤10)．(2)f′(x)＝6－eq\f(2400,3x＋52)，令f′(x)＝0，即eq\f(2400,3x＋52)＝6，解得x＝5或x＝－eq\f(25,3)(舍去)．當(dāng)0<x<5時(shí)，f′(x)<0，當(dāng)5<x<10時(shí)，f′(x)>0，故x＝5是f(x)的最小值點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的最小值為f(5)＝6×5＋eq\f(800,15＋5)＝70.當(dāng)隔熱層修建5cm厚時(shí)，總費(fèi)用達(dá)到最小值70萬元．〖跟進(jìn)訓(xùn)練〗3．〖解〗設(shè)船每小時(shí)航行所需的燃料費(fèi)為y1元，比例系數(shù)為k(k＞0)，則y1＝kv2.∵當(dāng)v＝12時(shí)，y1＝720，∴720＝k·122，得k＝5，則y1＝5v2.設(shè)全程燃料費(fèi)為y元，由題意，得y＝y(tǒng)1·eq\f(200,v－8)＝eq\f(1000v2,v－8)，∴y′＝eq\f(2000vv－8－1000v2,v－82)＝eq\f(1000v2－16000v,v－82).令y′＝0，解得v＝0(舍去)或v＝16.若v0≥16，當(dāng)v∈(8，16)時(shí)，y′＜0，y為減函數(shù)；當(dāng)v∈(16，v0〗時(shí)，y′＞0，y為增函數(shù)．故當(dāng)v＝16千米/時(shí)時(shí)，y取得極小值，也是最小值，此時(shí)全程燃料費(fèi)最?。魐0＜16，則v∈(8，v0〗，且y′＜0，y在(8，v0〗上為減函數(shù)．故當(dāng)v＝v0時(shí)，y取得最小值，此時(shí)全程燃料費(fèi)最省．綜上可得，若v0≥16，則當(dāng)v＝16千米/時(shí)時(shí)，全程燃料費(fèi)最省，為32000元；若v0＜16，則當(dāng)v＝v0時(shí)，全程燃料費(fèi)最省，為eq\f(1000v\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)),v0－8)元．角度2利潤(rùn)最大、效率最高問題〖探究問題〗1．〖〖提示〗〗根據(jù)函數(shù)的極值與單調(diào)性的關(guān)系可以判斷，函數(shù)在該點(diǎn)處取最值，并且極小值點(diǎn)對(duì)應(yīng)最小值，極大值點(diǎn)對(duì)應(yīng)最大值．2．〖〖提示〗〗(1)利潤(rùn)＝收入－成本．(2)利潤(rùn)＝每件產(chǎn)品的利潤(rùn)×銷售件數(shù)．〖例4〗〖解〗(1)因?yàn)閤＝5時(shí)，y＝11，所以eq\f(a,2)＋10＝11，a＝2.(2)由(1)知，該商品每日的銷售量y＝eq\f(2,x－3)＋10(x－6)2，所以商場(chǎng)每日銷售該商品所獲得的利潤(rùn)f(x)＝(x－3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,x－3)＋10x－62))＝2＋10(x－3)(x－6)2，3＜x＜6，從而，f′(x)＝10〖(x－6)2＋2(x－3)(x－6)〗＝30(x－4)·(x－6)，于是，當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：x(3，4)4(4，6)f′(x)＋0－f(x)↗極大值42↘由上表可得，x＝4是函數(shù)f(x)在區(qū)間(3，6)內(nèi)的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)，所以，當(dāng)x＝4時(shí)，函數(shù)f(x)取得最大值，且最大值等于42.故當(dāng)銷售價(jià)格為4元/千克時(shí)，商場(chǎng)每日銷售該商品所獲得的利潤(rùn)最大．〖跟進(jìn)訓(xùn)練〗4．〖解〗(1)改進(jìn)工藝后，每個(gè)配件的銷售價(jià)為20(1＋x)元，月平均銷售量為a(1－x2)件，則月平均利潤(rùn)y＝a(1－x2)·〖20(1＋x)－15〗(元)，∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝5a(1＋4x－x2－4x3)(0＜x＜1)．(2)y′＝5a(4－2x－12x2)，令y′＝0，得x1＝eq\f(1,2)，x2＝－eq\f(2,3)(舍)，當(dāng)0＜x＜eq\f(1,2)時(shí)，y′＞0；eq\f(1,2)＜x＜1時(shí)，y′＜0