人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊學(xué)案：習題課 函數(shù)的單調(diào)性的綜合問題

人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊PAGEPAGE1習題課函數(shù)的單調(diào)性的綜合問題學(xué)習目標1.進一步理解函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和其單調(diào)性的關(guān)系.2.能求簡單的含參的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍．一、求含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例1討論函數(shù)f(x)＝eq\f(1,2)ax2＋x－(a＋1)lnx(a≥0)的單調(diào)性．解函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝ax＋1－eq\f(a＋1,x)＝eq\f(ax2＋x－a＋1,x).①當a＝0時，f′(x)＝eq\f(x－1,x)，由f′(x)>0，得x>1；由f′(x)<0，得0<x<1.∴f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增．②當a>0時，f′(x)＝eq\f(a\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(a＋1,a)))x－1,x)，∵a>0，∴eq\f(a＋1,a)>0.由f′(x)>0，得x>1；由f′(x)<0，得0<x<1.∴f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增．綜上所述，當a≥0時，f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增．反思感悟(1)研究含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性，要依據(jù)參數(shù)對不等式解集的影響進行分類討論．(2)劃分函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，要在函數(shù)的定義域內(nèi)討論，還要確定導(dǎo)數(shù)為0的點和函數(shù)的間斷點．跟蹤訓(xùn)練1求函數(shù)f(x)＝eq\f(1,x2)＋alnx(a∈R)的單調(diào)遞減區(qū)間．解易得函數(shù)f(x)的定義域是(0，＋∞)，f′(x)＝－eq\f(2,x3)＋eq\f(a,x)＝eq\f(ax2－2,x3).①當a≤0時，f′(x)<0在(0，＋∞)上恒成立，故f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減．②當a>0時，若0<x<eq\r(\f(2,a))，則f′(x)<0；若x>eq\r(\f(2,a))，則f′(x)>0，所以f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\r(\f(2,a))))上單調(diào)遞減，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(2,a))，＋∞))上單調(diào)遞增．綜上可知，當a≤0時，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，＋∞)，當a>0時，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\r(\f(2,a)))).二、由單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍問題1對于函數(shù)f(x)＝x3，我們發(fā)現(xiàn)，它的導(dǎo)函數(shù)f′(x)＝3x2并沒有恒大于0，當x＝0時，有f′(0)＝0，這是否會影響該函數(shù)的單調(diào)性？〖提示〗在x＝0的左右兩側(cè)，都有f′(x)>0，且該函數(shù)在x＝0處連續(xù)，故不會影響該函數(shù)在R上是增函數(shù)．也就是說對于導(dǎo)函數(shù)有有限個等于0的點，不影響函數(shù)的單調(diào)性，其實即便是無數(shù)不連續(xù)的點使得f′(x)＝0，也不會影響函數(shù)的單調(diào)性，比如f(x)＝x－sinx，它的導(dǎo)函數(shù)f′(x)＝1－cosx≥0恒成立，當且僅當x＝2kπ，k∈Z時，f′(x)＝0，但這并不影響函數(shù)f(x)＝x－sinx在R上是增函數(shù)．問題2對于函數(shù)y＝f(x)，f′(x)≥0是f(x)為增函數(shù)的充要條件嗎？〖提示〗不是，因為這里的“≥”有兩層含義，大于或等于，對于這個復(fù)合命題而言，只要大于或等于這兩個條件有一個成立，它就是真命題，如果f′(x)≥0成立的條件是f′(x)＝0，即該函數(shù)無單調(diào)遞增區(qū)間．知識梳理在某區(qū)間D上，若f′(x)>0?函數(shù)f(x)在D上單調(diào)遞增；在某區(qū)間D上，若f′(x)<0?函數(shù)f(x)在D上單調(diào)遞減．若函數(shù)f(x)在D上單調(diào)遞增?f′(x)≥0；若函數(shù)f(x)在D上單調(diào)遞減?f′(x)≤0.注意點：(1)一般采用分離參數(shù)的方法解決恒成立的問題；(2)m≥f(x)恒成立?m≥f(x)max；m≤f(x)恒成立?m≤f(x)min；(3)需要對等號進行單獨驗證．例2已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3－ax，若函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．解f′(x)＝x2－a，因為f(x)是R上的增函數(shù)，故f′(x)＝x2－a≥0在R上恒成立，即a≤x2，所以a≤0.延伸探究1．本例函數(shù)不變，若函數(shù)f(x)在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，＋∞))上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的最大值．解由題意f′(x)＝x2－a在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，＋∞))有f′(x)＝x2－a≥0恒成立，即a≤x2恒成立，即a≤1，故實數(shù)a的最大值是1.2．本例函數(shù)不變，若函數(shù)f(x)在(2，＋∞)上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍．解由題意f′(x)＝x2－a在(2，＋∞)上有f′(x)＝x2－a≥0恒成立，即a≤x2恒成立，即a≤4.反思感悟(1)已知函數(shù)的單調(diào)性，求參數(shù)的取值范圍，應(yīng)用條件f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，x∈(a，b)恒成立，利用分離參數(shù)或函數(shù)性質(zhì)解出參數(shù)的取值范圍(一般可用不等式恒成立的理論求解)，應(yīng)注意參數(shù)的取值是f′(x)不恒等于0的參數(shù)的范圍，然后檢驗參數(shù)取“＝”時是否滿足題意．(2)若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上不單調(diào)，則轉(zhuǎn)化為f′(x)＝0在(a，b)上有解(需驗證解的兩側(cè)導(dǎo)數(shù)是否異號)．跟蹤訓(xùn)練2(1)函數(shù)y＝eq\f(1,3)x3＋x2＋mx＋2是R上的單調(diào)函數(shù)，則m的取值范圍是()A．(－∞，1) B．(－∞，1〗C．(1，＋∞) D．〖1，＋∞)〖答案〗D〖解析〗函數(shù)y＝eq\f(1,3)x3＋x2＋mx＋2是R上的單調(diào)函數(shù)，即y′＝x2＋2x＋m≥0或y′＝x2＋2x＋m≤0(舍)在R上恒成立，∴Δ＝4－4m≤0，解得m≥1.故選D.(2)若函數(shù)f(x)＝x3－12x在區(qū)間(k－1，k＋1)上不單調(diào)，則實數(shù)k的取值范圍是()A．(－∞，－3〗∪〖－1,1〗∪〖3，＋∞)B．(－3，－1)∪(1,3)C．(－2,2)D．不存在這樣的實數(shù)k〖答案〗B〖解析〗由題意得，f′(x)＝3x2－12＝0在區(qū)間(k－1，k＋1)上至少有一個實數(shù)根．又f′(x)＝3x2－12＝0的根為±2，且f′(x)在x＝2或－2兩側(cè)導(dǎo)數(shù)異號，而區(qū)間(k－1，k＋1)的區(qū)間長度為2，故只有2或－2在區(qū)間(k－1，k＋1)內(nèi)，∴k－1<2<k＋1或k－1<－2<k＋1，∴1<k<3或－3<k<－1，故選B.三、函數(shù)圖象的增長快慢的比較問題3觀察下圖，試分析函數(shù)增長或減少的速度與導(dǎo)數(shù)的大小關(guān)系？〖提示〗由圖象可知若f′(x)>0，則f(x)單調(diào)遞增，而導(dǎo)數(shù)值的大小不同決定了函數(shù)增長的快慢，顯然f′(x)越大，函數(shù)f(x)增長的就越快；同樣，若f′(x)<0，則f(x)單調(diào)遞減，顯然|f′x|越大，函數(shù)f(x)遞減的就越快．知識梳理函數(shù)圖象的變化趨勢與導(dǎo)數(shù)的絕對值的大小的關(guān)系一般地，設(shè)函數(shù)y＝f(x)，在區(qū)間(a，b)上：導(dǎo)數(shù)的絕對值函數(shù)值變化函數(shù)的圖象越大快比較“陡峭”(向上或向下)越小慢比較“平緩”(向上或向下)注意點：分析圖象的變化與導(dǎo)數(shù)的絕對值的大小關(guān)系．例3如圖所示為函數(shù)y＝f(x)，y＝g(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的圖象可能是()〖答案〗D〖解析〗由導(dǎo)函數(shù)的圖象，可知兩個函數(shù)在x0處切線斜率相同，可以排除A，B，C〖答案〗．反思感悟如果一個函數(shù)在某一范圍內(nèi)導(dǎo)數(shù)的絕對值較大，那么函數(shù)在這個范圍內(nèi)變化得較快，這時函數(shù)的圖象就比較“陡峭”(向上或向下)；反之，函數(shù)在這個范圍內(nèi)變化得較慢，函數(shù)的圖象就比較“平緩”．跟蹤訓(xùn)練3若函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間〖a，b〗上是增函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間〖a，b〗上的圖象可能是()〖答案〗A〖解析〗∵函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間〖a，b〗上是增函數(shù)，∴對任意的a＜x1＜x2＜b，有f′(a)<f′(x1)<f′(x2)<f′(b)，即在a，x1，x2，b處它們的斜率是依次增大的．∴A滿足上述條件；對于B，存在x1<x2使f′(x1)>f′(x2)；對于C，對任意的a＜x1＜x2＜b，都有f′(x1)＝f′(x2)；對于D，對任意的x∈〖a，b〗，f′(x)不滿足逐漸遞增的條件，故選A.1．知識清單：(1)求含參函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．(2)由單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍．(3)函數(shù)圖象增長快慢的比較．2．方法歸納：分類討論、數(shù)形結(jié)合．3．常見誤區(qū)：求參數(shù)的取值范圍時容易忽略對端點值的討論．1．函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象的大致形狀是()〖答案〗D〖解析〗由已知圖象可知，f(x)先減后增再單調(diào)性不變，則f′(x)先小于零后大于零最后等于0.2．若函數(shù)f(x)＝ax3－x在R上為減函數(shù)，則()A．a(chǎn)≤0 B．a(chǎn)<1C．a(chǎn)<2 D．a(chǎn)≤eq\f(1,3)〖答案〗A〖解析〗∵f′(x)＝3ax2－1≤0恒成立，∴a≤0.3．若函數(shù)f(x)＝eq\f(4,3)x3－2ax2－(a－2)x＋5恰好有三個單調(diào)區(qū)間，則實數(shù)a的取值范圍為()A．－1≤a≤2 B．－2≤a≤1C．a(chǎn)＞2或a＜－1 D．a(chǎn)＞1或a＜－2〖答案〗D〖解析〗若函數(shù)f(x)有3個單調(diào)區(qū)間，則f′(x)＝4x2－4ax－(a－2)有2個零點，故Δ＝16a2＋16(a－2)＞0，解得a＞1或a＜－2.4．若f(x)＝－eq\f(1,2)x2＋bln(x＋2)在(