人教A版(新教材)高中數(shù)學選擇性必修第二冊學案：4 3 1 第二課時 等比數(shù)列的性質(zhì)及實際應用

人教A版(新教材)高中數(shù)學選擇性必修第二冊PAGEPAGE1第二課時等比數(shù)列的性質(zhì)及實際應用課標要求素養(yǎng)要求1.能根據(jù)等比數(shù)列的定義推出等比數(shù)列的性質(zhì)，并能運用這些性質(zhì)簡化運算.2.能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等比關系，并解決相應的問題.通過推導等比數(shù)列的性質(zhì)及其應用，提升學生的數(shù)學抽象和邏輯推理素養(yǎng)，通過利用等比數(shù)列的相關公式解決實際應用問題，提升學生的數(shù)學建模和數(shù)學運算素養(yǎng).自主梳理1.推廣的等比數(shù)列的通項公式{an}是等比數(shù)列，首項為a1，公比為q，則an＝a1qn－1＝am·qn－m(m，n∈N*).2.“子數(shù)列”性質(zhì)對于無窮等比數(shù)列{an}，若將其前k項去掉，剩余各項仍為等比數(shù)列，首項為ak＋1，公比為q；若取出所有的k的倍數(shù)項，組成的數(shù)列仍為等比數(shù)列，公比為qk.3.常用等比數(shù)列的性質(zhì)(1)如果m＋n＝k＋l(m，n，k，l∈N*)，則有am·an＝ak·al.(2)如果m＋n＝2k(m，n，k∈N*)，則有am·an＝aeq\o\al(2,k).(3)若m，n，p(m，n，p∈N*)成等差數(shù)列，則am，an，ap成等比數(shù)列.(4)在等比數(shù)列{an}中，每隔k項(k∈N*)取出一項，按原來的順序排列，所得的新數(shù)列仍為等比數(shù)列.(5)如果{an}，{bn}均為等比數(shù)列，且公比分別為q1，q2，那么數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))，{an·bn}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(bn,an)))，{|an|}仍是等比數(shù)列，且公比分別為eq\f(1,q1)，q1q2，eq\f(q2,q1)，|q1|.(6)等比數(shù)列的項的對稱性：在有窮等比數(shù)列中，與首末兩項“等距離”的兩項之積等于首末兩項的積，即a1·an＝a2·an－1＝ak·an－k＋1＝….自主檢驗1.思考辨析，判斷正誤(1)知道等比數(shù)列的某一項和公比，可以計算等比數(shù)列的任意一項.(√)(2)若{an}為等比數(shù)列，且m＋n＝p(m，n，p∈N*)，則am·an＝ap.(×)〖提示〗∵{an}為等比數(shù)列，m＋n＝p，∴am·an＝a1qm－1·a1qn－1＝aeq\o\al(2,1)qm＋n－2.又知ap＝a1qp－1，∴am·an≠ap.(3)若{an}，{bn}都是等比數(shù)列，則{an＋bn}是等比數(shù)列.(×)〖提示〗反例：{an}為：1，－1，1，－1，…，{bn}為－1，1，－1，1，…，則{an＋bn}為：0，0，0，0，…，顯然不是等比數(shù)列.(4)若數(shù)列{an}的奇數(shù)項和偶數(shù)項分別成等比數(shù)列，且公比相同，則{an}是等比數(shù)列.(×)〖提示〗反例：1，3，2，6，4，12，…顯然滿足條件，但不是等比數(shù)列.2.(多選題)若數(shù)列{an}是等比數(shù)列，則下面四個數(shù)列中也一定是等比數(shù)列的有()A.{can}(c為常數(shù)) B.{an＋an＋1}C.{an·an＋1} D.{aeq\o\al(3,n)}〖答案〗CD〖解析〗當c＝0時，{can}不是等比數(shù)列，當數(shù)列{an}的公比q＝－1時，an＋an＋1＝0，不是等比數(shù)列；由等比數(shù)列的定義，選項CD中的數(shù)列是等比數(shù)列.3.在等比數(shù)列{an}中，a4＝6，a8＝18，則a12＝()A.24 B.30C.54 D.108〖答案〗C〖解析〗由aeq\o\al(2,8)＝a4a12得a12＝eq\f(aeq\o\al(2,8),a4)＝54.4.在《九章算術》中“衰分”是按比例遞減分配的意思.今共有糧98石，甲、乙、丙按序衰分，乙分得28石，則衰分比例為________.〖答案〗eq\f(1,2)〖解析〗設衰分比例為q，則甲、乙、丙各分得eq\f(28,q)，28，28q石，∴eq\f(28,q)＋28＋28q＝98，∴q＝2或eq\f(1,2).又0<q<1，∴q＝eq\f(1,2).題型一等比數(shù)列性質(zhì)的應用〖例1〗已知{an}為正項等比數(shù)列.(1)若a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5；(2)若a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值.解(1)a2a4＋2a3a5＋a4a6＝aeq\o\al(2,3)＋2a3a5＋aeq\o\al(2,5)＝(a3＋a5)2＝25，∵an>0，∴a3＋a5>0，∴a3＋a5＝5.(2)根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，得a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9，∴a1a2…a9a10＝(a5a6)5＝95，∴l(xiāng)og3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a9a10)＝log395＝10.〖遷移1〗在例1(1)中，添加條件a1a7＝4，求an.解由等比數(shù)列的性質(zhì)得a1a7＝a3a5＝4，又由例1(1)知a3＋a5＝5，解得a3＝1，a5＝4或a3＝4，a5＝1，若a3＝1，a5＝4，則q＝2，an＝2n－3；若a3＝4，a5＝1，則q＝eq\f(1,2)，an＝25－n.〖遷移2〗把例1(2)的條件改為“公比為3，a1a2a3…a30＝3300，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值.解a1a2a3…a30＝(a1a2a3…a10)·q100(a1a2a3…a10)·q200(a1a2a3…a10)＝q300(a1a2a3…a10)3＝3300，即a1a2a3…a10＝1，則log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a10)＝log31＝0.思維升華巧用等比數(shù)列的性質(zhì)解題(1)解答等比數(shù)列問題的基本方法——基本量法.①基本思路：運用方程思想列出基本量a1和q的方程組，解出a1和q，然后利用通項公式求解；②優(yōu)缺點：適用面廣，入手簡單，思路清晰，但有時運算稍繁.(2)利用等比數(shù)列的性質(zhì)解題①基本思路：充分發(fā)揮項的“下標”的指導作用，分析等比數(shù)列項與項之間的關系，選擇恰當?shù)男再|(zhì)解題；②優(yōu)缺點：簡便快捷，但是適用面窄，有一定的思維含量.〖訓練1〗(1)在等比數(shù)列{an}中，a6·a12＝6，a4＋a14＝5，則eq\f(a25,a5)＝()A.eq\f(9,4)或eq\f(4,9) B.eq\f(3,2)C.eq\f(3,2)或eq\f(2,3) D.eq\f(3,2)或eq\f(9,4)(2)公差不為零的等差數(shù)列{an}中，2a3－aeq\o\al(2,7)＋2a11＝0，數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，且b7＝a7，則b6b8＝________.〖答案〗(1)A(2)16〖解析〗(1)由a6·a12＝a4·a14＝6，且a4＋a14＝5，解得a4＝2，a14＝3或a4＝3，a14＝2，若a4＝2，a14＝3，則q10＝eq\f(3,2)，即eq\f(a25,a5)＝eq\f(9,4)；若a4＝3，a14＝2，則q10＝eq\f(2,3)，即eq\f(a25,a5)＝eq\f(4,9).(2)由a3＋a11＝2a7，且2a3－aeq\o\al(2,7)＋2a11＝0，得4a7－aeq\o\al(2,7)＝0得a7＝4(a7＝0不合題意，舍去)，所以b6b8＝beq\o\al(2,7)＝aeq\o\al(2,7)＝16.題型二等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問題〖例2〗已知{an}為等差數(shù)列，且a1＋a3＝8，a2＋a4＝12.(1)求{an}的通項公式；(2)記{an}的前n項和為Sn，若a1，ak，Sk＋2成等比數(shù)列，求正整數(shù)k的值.解(1)設數(shù)列{an}的公差為d，由題意知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a1＋2d＝8，,2a1＋4d＝12，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝2，,d＝2，))所以an＝a1＋(n－1)d＝2＋2(n－1)＝2n.(2)由(1)可得Sn＝eq\f(n（a1＋an）,2)＝eq\f(n（2＋2n）,2)＝n(1＋n).因為a1，ak，Sk＋2成等比數(shù)列，所以aeq\o\al(2,k)＝a1Sk＋2，從而(2k)2＝2(k＋2)(k＋3)，即k2－5k－6＝0，解得k＝6或k＝－1(舍去)，因此k＝6.思維升華解決等差、等比數(shù)列的綜合問題應注意的四個方面(1)等差數(shù)列、等比數(shù)列公式和性質(zhì)的靈活應用.(2)對于解答題注意基本量及方程思想.(3)注重問題的轉化，利用非等差數(shù)列、非等比數(shù)列構造出新的等差數(shù)列或等比數(shù)列，以便利用公式和性質(zhì)解題.(4)當題中出現(xiàn)多個數(shù)列時，既要縱向考查單一數(shù)列的項與項之間的關系，又要橫向考查各數(shù)列之間的內(nèi)在聯(lián)系.〖訓練2〗有四個數(shù)，其中前三個數(shù)成等差數(shù)列，后三個數(shù)成等比數(shù)列，并且第一個數(shù)與第四個數(shù)的和是16，第二個數(shù)與第三個數(shù)的和是12，求這四個數(shù).解法一設四個數(shù)依次為a－d，a，a＋d，eq\f(（a＋d）2,a)，由條件得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－d＋\f(（a＋d）2,a)＝16，,a＋a＋d＝12.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝4，,d＝4))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝9，,d＝－6.))所以，當a＝4，d＝4時，所求四個數(shù)為0，4，8，16；當a＝9，d＝－6時，所求四個數(shù)為15，9，3，1.故所求四個數(shù)為0，4，8，16或15，9，3，1.法二設四個數(shù)依次為eq\f(2a,q)－a，eq\f(a,q)，a，aq(q≠0)，由條件得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(2a,q)－a＋aq＝16，,\f(a,q)＋a＝12，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝8，,q＝2))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝3，,q＝\f(1,3).))當a＝8，q＝2時，所求四個數(shù)為0，4，8，16；當a＝3，q＝eq\f(1,3)時，所求四個數(shù)為15，9，3，1.故所求四個數(shù)為0，4，8，16或15，9，3，1.題型三等比數(shù)列的實際應用〖例3〗從盛滿aL(a>1)純酒精的容器中倒出1L，然后加滿水，再倒出1L混合溶液后又用水加滿，如此繼續(xù)下去…，第n次操作后酒精的濃度是多少？若a＝2，則至少倒幾次后才能使酒精濃度低于10%?解第一次倒出純酒精1L，加水后，濃度為eq\f(a－1,a)，記為a1＝eq\f(a－1,a)；第二次倒出再加水后，濃度為eq\f(a－1－\f(a－1,a),a)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a－1,a)))eq\s\up12(2)，記為a2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a－1,a)))eq\s\up12(2)；……依次類推，第n次倒出再加水后，濃度為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a－1,a)))eq\s\up12(n)，記為an＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a－1,a)))eq\s\up12(n).當a＝2時，由an＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n)<10%，得n≥4.即至少倒4次后酒精的濃度低于10%.思維升華對于一個實際問題，首先要弄清題目所含的數(shù)量關系，觀察是否可以轉化為等比數(shù)列問題，基本思路清晰后再著手解題.要注意：(1)認真審題，弄清題意，將實際問題轉化為適當?shù)臄?shù)學模型；(2)合理設出未知數(shù)，建立等比數(shù)列模型，依據(jù)其性質(zhì)或方程思想求出未知元素；(3)針對所求結果作出合理解釋.〖訓練3〗某人買了一輛價值13.5萬元的新車，專家預測這種車每年按10%的速度貶值.(1)用一個式子表示n(n∈N*)年后這輛車的價值；(2)如果他打算用滿4年時賣掉這輛車，他大概能得到多少錢？解(1)從第一年起，每年車的價值(萬元)依次設為：a1，a2，a3，…，an，由題意，得a1＝13.5，a2＝13.5(1－10%)，a3＝13.5(1－10%)2，….由等比數(shù)列定義，知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，首項a1＝13.5，公比q＝1－10%＝0.9，∴an＝a1·qn－1＝13.5×(0.9)n－1.∴n年后車的價值為an＋1＝13.5×0.9n萬元.(2)由(1)得a5＝a1·q4＝13.5×0.94≈8.9(萬元)，∴用滿4年時賣掉這輛車，大概能得到8.9萬元.1.掌握解決