高一數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)同步學(xué)與練（人教版）第03講 概率的基本性質(zhì)（解析版）

第03講10.1.4概率的基本性質(zhì)課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①理解概率的基本性質(zhì)，會(huì)利用概率的基本性質(zhì)解決簡(jiǎn)單問題。②類比函數(shù)性質(zhì)的研究?jī)?nèi)容和方法，提出概率基本性質(zhì)的研究?jī)?nèi)容和方法。③經(jīng)歷具體實(shí)例的探究過程，歸納出概率的基本性質(zhì)，提升邏輯推理素養(yǎng)。1.通過類比提出概率基本性質(zhì)的研究?jī)?nèi)容和方法；2歸納出概率的基本性質(zhì)，提升邏輯推理素養(yǎng)；知識(shí)點(diǎn)01：概率的基本性質(zhì)（性質(zhì)1、性質(zhì)2、性質(zhì)5）性質(zhì)1：對(duì)任意的事件，都有；性質(zhì)2：必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，即，；性質(zhì)5：如果，那么，由該性質(zhì)可得，對(duì)于任意事件，因?yàn)?，所?知識(shí)點(diǎn)02：互斥事件的概率加法公式（性質(zhì)3）性質(zhì)3：如果事件與事件互斥，那么；注意：只有事件與事件互斥，才可以使用性質(zhì)3，否則不能使用該加法公式.【即學(xué)即練1】（2024上·江西吉安·高一統(tǒng)考期末）已知事件A，B是互斥事件，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】∵，，∴，∵事件A，B是互斥事件，∴．故選：C知識(shí)點(diǎn)03：對(duì)立事件的概率（性質(zhì)4）性質(zhì)4：如果事件與事件互為對(duì)立事件，那么，；【即學(xué)即練2】（2024上·廣東·高三學(xué)業(yè)考試）將一顆骰子連續(xù)拋擲兩次，至少出現(xiàn)一次6點(diǎn)向上的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】將一顆質(zhì)地均勻的骰子先后拋擲一次，出現(xiàn)一次6點(diǎn)向上的概率為，所以先后拋擲2次，沒有一次6點(diǎn)向上的概率為，所以至少出現(xiàn)一次6點(diǎn)向上的概率為.故選：B.知識(shí)點(diǎn)04：概率的一般加法公式（性質(zhì)6）性質(zhì)6：設(shè)，是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，有【即學(xué)即練3】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)是隨機(jī)事件，且，則．【答案】/0.125【詳解】因?yàn)?，所以，故．故答案為：題型01互斥事件與對(duì)立事件【典例1】（2023下·廣東珠?！じ咭恍？计谀┠橙嗽谏鋼舯荣愔羞B續(xù)射擊2次，事件“2次都不命中”的對(duì)立事件是（

）A．至多有1次命中B．2次都命中C．只有1次命中D．至少有1次命中【答案】D【詳解】記事件A為“2次都不命中”，事件B為“只有1次命中”，事件C“2次都命中”，則樣本空間為，對(duì)于選項(xiàng)A：至多有1次命中為，與事件A不對(duì)立，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：2次都命中為，與事件A不對(duì)立，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：只有1次命中，與事件A不對(duì)立，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：至少有1次命中為，與事件A對(duì)立，故D正確；故選：D.【典例2】（2023·高一單元測(cè)試）某人射擊一次，成績(jī)記錄環(huán)數(shù)均為整數(shù)．設(shè)事件：“中靶”；事件：“擊中環(huán)數(shù)大于5”；事件：“擊中環(huán)數(shù)大于1且小于6”；事件：“擊中環(huán)數(shù)大于0且小于6”．則正確的關(guān)系是（

）A．與為對(duì)立事件 B．與為互斥事件 C．與為對(duì)立事件 D．與為互斥事件【答案】D【詳解】當(dāng)擊中環(huán)數(shù)大于0且小于6時(shí)，與同時(shí)發(fā)生了，不是互斥事件，更不是對(duì)立事件，故選項(xiàng)AB錯(cuò)誤；與顯然為互斥事件，當(dāng)擊中環(huán)數(shù)為時(shí)，與都不發(fā)生，故與不是對(duì)立事件，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D正確.故選：D【典例3】（多選）（2023下·河北承德·高一校聯(lián)考期末）將一枚質(zhì)地均勻的骰子拋擲一次，記下骰子面朝上的點(diǎn)數(shù)，設(shè)事件“點(diǎn)數(shù)為4”，事件“點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，事件“點(diǎn)數(shù)小于4”，事件“點(diǎn)數(shù)大于3”，則（

）A．與互斥 B．與互斥C．與對(duì)立 D．與對(duì)立【答案】ABD【詳解】事件“點(diǎn)數(shù)為4”與“點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”不能同時(shí)發(fā)生，所以與互斥，A正確.事件“點(diǎn)數(shù)為4”與“點(diǎn)數(shù)小于4”不能同時(shí)發(fā)生，所以與互斥，B正確.事件“點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”的對(duì)立事件是“點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”，不是“點(diǎn)數(shù)大于3”，C錯(cuò)誤.事件“點(diǎn)數(shù)小于4”的對(duì)立事件是“點(diǎn)數(shù)不小于4”，即“點(diǎn)數(shù)大于3”，與對(duì)立，D正確.故選：ABD.【典例4】（多選）（2023下·全國(guó)·高一專題練習(xí)）一個(gè)人連續(xù)射擊2次，則下列各事件關(guān)系中，說法正確的是（

）A．事件“兩次均擊中”與事件“至少一次擊中”互為對(duì)立事件B．事件“恰有一次擊中”與事件“兩次均擊中”互為互斥事件C．事件“第一次擊中”與事件“第二次擊中”互為互斥事件D．事件“兩次均未擊中”與事件“至少一次擊中”互為對(duì)立事件【答案】BD【詳解】對(duì)于A，事件“至少一次擊中”包含“一次擊中”和“兩次均擊中“，所以不是對(duì)立事件，A錯(cuò)誤對(duì)于B，事件“恰有一次擊中”是“一次擊中、一次不中”它與事件“兩次均擊中”是互斥事件，B正確對(duì)于C，事件“第一次擊中”包含“第一次擊中、第二次擊中”和“第一次擊中、第二次不中”，所以與事件“第二次擊中”不是互斥事件，C錯(cuò)誤對(duì)于D，事件“兩次均未擊中”的對(duì)立事件是“至少一次擊中”，D正確故選：BD【變式1】（2023下·江蘇鹽城·高二統(tǒng)考期末）把紅、黑、白、藍(lán)4張紙牌隨機(jī)地分給甲、乙2個(gè)人，每個(gè)人分得2張，事件“甲分得紅牌和藍(lán)牌”與“乙分得紅牌和黑牌”是（

）A．對(duì)立事件 B．不可能事件 C．互斥但不對(duì)立事件 D．以上均不對(duì)【答案】C【詳解】事件“甲分得紅牌和藍(lán)牌”與“乙分得紅牌和黑牌”，顯然兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生，但兩者可能同時(shí)不發(fā)生，如“甲分得紅牌和白牌”與“乙分得藍(lán)牌和黑牌”，綜上，這兩個(gè)事件為互斥但不對(duì)立事件.故選：C.【變式2】（2023下·全國(guó)·高一專題練習(xí)）一盒子里有黑色、紅色、綠色的球各一個(gè)，現(xiàn)從中選出一個(gè)球.事件選出的球是紅色，事件選出的球是綠色.則事件與事件（）A．是互斥事件，不是對(duì)立事件 B．是對(duì)立事件，不是互斥事件C．既是互斥事件，也是對(duì)立事件 D．既不是互斥事件也不是對(duì)立事件【答案】A【詳解】由題意可知，事件與為互斥事件，但事件不是必然事件，所以，事件與事件是互斥事件，不是對(duì)立事件.故選：A.【變式3】（多選）（2023下·湖北武漢·高一武漢市第十一中學(xué)校考階段練習(xí)）（多選）一個(gè)不透明的袋中裝有黑、白兩種顏色的球各三個(gè)，現(xiàn)從中任意取出兩個(gè)球.設(shè)事件P表示“取出的球都是黑球”，事件Q表示“取出的球都是白球”，事件R表示“取出的球中至少有一個(gè)黑球”，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．P和R是互斥事件B．P和Q是對(duì)立事件C．Q和R是對(duì)立事件D．Q和R是互斥事件，但不是對(duì)立事件【答案】ABD【詳解】袋中裝有黑、白兩種顏色的球各三個(gè)，現(xiàn)從中取出兩個(gè)球，取球的方法有如下幾種:①取出的兩球都是黑球;②取出的兩球都是白球;③取出的兩球一黑一白.事件R包括①③兩種情況，∴事件P是事件R的子事件，故A中結(jié)論不正確;事件Q與事件R互斥且對(duì)立，故C中結(jié)論正確，D中結(jié)論不正確;事件P與事件Q互斥，但不對(duì)立，故B中結(jié)論不正確.故選：ABD.【變式4】（多選）（2023下·全國(guó)·高一專題練習(xí)）拋擲一枚骰子1次,記“向上的點(diǎn)數(shù)是1,2”為事件A,“向上的點(diǎn)數(shù)是1,2,3”為事件B,“向上的點(diǎn)數(shù)是1,2,3,4”為事件C,“向上的點(diǎn)數(shù)是4,5,6”為事件D,則下列關(guān)于事件A，B，C，D判斷正確的有A．A與D是互斥事件但不是對(duì)立事件 B．B與D是互斥事件也是對(duì)立事件C．C與D是互斥事件 D．B與C不是對(duì)立事件也不是互斥事件【答案】ABD【詳解】拋擲一枚骰子1次,記“向上的點(diǎn)數(shù)是1,2”為事件A,“向上的點(diǎn)數(shù)是1,2,3”為事件B,“向上的點(diǎn)數(shù)是1,2,3,4”為事件C,“向上的點(diǎn)數(shù)是4,5,6”為事件D.事件A與D不能同時(shí)發(fā)生，但能同時(shí)不發(fā)生，是互斥事件但不是對(duì)立事件，故選項(xiàng)A正確；事件B與D不可能同時(shí)發(fā)生，且必有一個(gè)發(fā)生，故B與D是互斥事件，也是對(duì)立事件，故選項(xiàng)B正確；事件C與D可能同時(shí)發(fā)生，故不是互斥事件，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；事件B與C能同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件也不是對(duì)立事件，故選項(xiàng)D正確.故選：ABD.題型02互斥事件概率加法公式的應(yīng)用【典例1】（2023下·福建寧德·高一統(tǒng)考期末）設(shè)為兩個(gè)互斥事件，且，，則下列各式一定正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)闉閮蓚€(gè)互斥事件，，，所以，即，且.故選：B．【典例2】（2023下·高一課時(shí)練習(xí)）袋中有紅球、黑球、黃球、綠球共12個(gè)，它們除顏色外完全相同，從中任取一球，得到紅球的概率是，得到黑球或黃球的概率是，得到黃球或綠球的概率也是，則得到黑球、黃球、綠球的概率分別是，，.【答案】/0.25/0.25【詳解】設(shè)事件A，B，C，D分別表示事件“得到紅球”“得到黑球”“得到黃球”“得到綠球”，則事件A，B，C，D兩兩互斥，根據(jù)題意，得，解得，，，故答案為：，，【典例3】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）在拋擲一顆骰子（一種正方體玩具，六個(gè)面分別標(biāo)有字樣）的試驗(yàn)中，事件表示“不大于3的奇數(shù)點(diǎn)出現(xiàn)”，事件表示“小于4的點(diǎn)數(shù)出現(xiàn)”，則事件的概率為．【答案】【詳解】依題意，拋擲一顆骰子的試驗(yàn)有6個(gè)不同的結(jié)果，它們等可能，其中事件有2個(gè)結(jié)果，事件有3結(jié)果，于是有，，而事件和是互斥的，則，所以事件的概率為.故答案為：【變式1】（2024上·江西上饒·高一婺源縣天佑中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若事件A和B是互斥事件，且，則的取值范圍是．【答案】【詳解】事件A和B是互斥事件，故而且事件概率非負(fù)，故，故答案為：【變式2】（2023下·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知兩個(gè)事件和互斥，記事件是事件的對(duì)立事件，且，，則．【答案】.【詳解】得，且事件與互斥，則故答案為：【變式3】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）假設(shè)向三個(gè)相鄰的敵軍火庫(kù)投擲一枚炸彈，炸中第一個(gè)軍火庫(kù)的概率為，炸中其余兩個(gè)軍火庫(kù)的概率都為．若只要炸中一個(gè)，另外兩個(gè)也要發(fā)生爆炸．求軍火庫(kù)發(fā)生爆炸的概率．【答案】【詳解】設(shè)以、、分別表示炸中第一、第二、第三個(gè)軍火庫(kù)這三個(gè)事件，于是，．又設(shè)表示軍火庫(kù)爆炸這個(gè)事件，則有，其中、、彼此互斥．∴,即軍火庫(kù)發(fā)生爆炸的概率．題型03對(duì)立事件概率公式的應(yīng)用【典例1】（2023上·四川攀枝花·高二統(tǒng)考期末）已知隨機(jī)事件和互斥，且，，則事件的對(duì)立事件的概率為（

）A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8【答案】D【詳解】根據(jù)題意，因?yàn)?，事件和互斥，所以，所以，所以事件的?duì)立事件發(fā)生的概率為.故選：D.【典例2】（2023上·河北石家莊·高二河北師范大學(xué)附屬中學(xué)?？计谥校⒁活w骰子連續(xù)拋擲兩次，至少出現(xiàn)一次6點(diǎn)向上的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】將一顆質(zhì)地均勻的骰子先后拋擲一次，出現(xiàn)一次6點(diǎn)向上的概率為，所以先后拋擲2次，沒有一次6點(diǎn)向上的概率為，所以至少出現(xiàn)一次6點(diǎn)向上的概率為.故選：B.【典例3】（2023·全國(guó)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）從裝有若干個(gè)紅球和白球（除顏色外其余均相同）的黑色布袋中，隨機(jī)不放回地摸球兩次，每次摸出一個(gè)球.若事件“兩個(gè)球都是紅球”的概率為，“兩個(gè)球都是白球”的概率為，則“兩個(gè)球顏色不同”的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】設(shè)“兩個(gè)球都是紅球”為事件A，“兩個(gè)球都是白球”為事件B，“兩個(gè)球顏色不同”為事件C，則，，且.因?yàn)锳，B，C兩兩互斥，所以.故選：C.【典例4】（2023上·四川涼山·高二統(tǒng)考期中）若A，B互為對(duì)立事件，，，且，，則的最小值是.【答案】8【詳解】因?yàn)锳，B互為對(duì)立事件，則，且，，可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值是8.故答案為：8.【變式1】（2023上·重慶·高二重慶八中?？茧A段練習(xí)）已知，，，四個(gè)開關(guān)控制著1，2，3，4號(hào)四盞燈，只要打開開關(guān)則1，4號(hào)燈就會(huì)亮，只要打開開關(guān)則2，3號(hào)燈就會(huì)亮，只要打開開關(guān)則3，4號(hào)燈就會(huì)亮，只要打開開關(guān)則2，4號(hào)燈就會(huì)亮.開始時(shí)，，，，四個(gè)開關(guān)均未打開，四盞燈也都沒亮.現(xiàn)隨意打開，，，這四個(gè)開關(guān)中的兩個(gè)不同的開關(guān)，則其中2號(hào)燈燈亮的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由題意，隨意打開A，B，C，D這四個(gè)開關(guān)中的兩個(gè)不同的開關(guān)，共有種，其中只有打開開關(guān)時(shí)2號(hào)燈不會(huì)亮，其余情況2號(hào)燈均會(huì)亮，所以2號(hào)燈燈亮的概率為.故選：D.【變式2】（2023上·福建莆田·高二莆田一中校考開學(xué)考試）已知隨機(jī)事件和互斥,且,,則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)楹突コ?所以,又,所以,因?yàn)?所以.故選:B.【變式3】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）從不包括大小王的52張撲克牌中隨機(jī)抽取一張，取到紅心的概率為，則沒有取到紅心的概率為（

）A． B． C． D．1【答案】C【詳解】設(shè)：取到紅心為事件A，，則沒有取到紅心是A的對(duì)立事件，；故選：C.【變式4】（2023上·高一課時(shí)練習(xí)）同時(shí)拋擲兩枚骰子，5點(diǎn)，6點(diǎn)都沒有的概率為，則至少擲出一個(gè)5點(diǎn)或6點(diǎn)的概率為．【答案】【詳解】設(shè)“既沒有5點(diǎn)，也沒有6點(diǎn)”的事件為A，“至少擲出一個(gè)5點(diǎn)或6點(diǎn)”的事件為B，則A與B是對(duì)立事件．所以.故答案為：題型04概率的一般加法公式的應(yīng)用【典例1】（2024上·寧夏吳忠·高二吳忠中學(xué)?？计谀┠承Ｐc日為每年5月4日，根據(jù)氣象統(tǒng)計(jì)資料，這一天吹南風(fēng)的概率為20%，下雨的概率為30%，吹南風(fēng)或下雨的概率為35%，則既吹南風(fēng)又下雨的概率為（

）A．6% B．15% C．30% D．50%【答案】B【詳解】記吹風(fēng)為事件A，下雨為事件B,因?yàn)?，所以既吹南風(fēng)又下雨的概率為：，故選：B.【典例2】（2023下·河南商丘·高一商丘市第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，小張每次考試語文成績(jī)及格的概率為0.8，數(shù)學(xué)成績(jī)及格的概率為0.9，語文和數(shù)學(xué)同時(shí)及格的概率為0.75，則至少有一科及格的概率為.【答案】0.95/【詳解】設(shè)“小張語文成績(jī)及格”，“小張數(shù)學(xué)成績(jī)及格”，則“語文和數(shù)學(xué)同時(shí)及格”，“語文數(shù)學(xué)兩科至少有一科及格”，由已知得，，，，代入和事件概率公式得，.故答案為：0.95.【典例3】（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）一個(gè)電路板上裝有甲、乙兩根熔絲，某種情況下甲熔斷的概率為0.85，乙熔斷概率為0.74，兩根同時(shí)熔斷的概率為0.63，問該情況下至少有一根熔斷的概率是多少？【答案】.【詳解】設(shè)A=“甲熔絲熔斷”，B=“乙熔絲熔斷”，則有，，“甲、乙兩根熔絲同時(shí)熔斷”為事件，有，“甲、乙兩根熔絲至少有一根熔斷”為事件，于是得，所以甲、乙至少有一根熔斷的概率是.【變式1】（2024上·遼寧錦州·高三統(tǒng)考期末）已知事件與事件互斥，如果，，那么.【答案】/【詳解】事件與事件互斥，則，，故.故答案為：.【變式2】（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知，，，則．【答案】0.2【詳解】因?yàn)?，所?故答案為：0.2.【變式3】（2023上·上?！じ叨虾Ｊ邢蛎髦袑W(xué)?？茧A段練習(xí)）已知在一次隨機(jī)試驗(yàn)中，定義兩個(gè)隨機(jī)事件，，且，，，則.【答案】0.4/【詳解】由題意.故答案為：0.4.A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2023上·四川攀枝花·高二統(tǒng)考期末）已知隨機(jī)事件和互斥，且，，則事件的對(duì)立事件的概率為（

）A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8【答案】D【分析】借助互斥事件的概率公式及對(duì)立事件的定義計(jì)算即可得．【詳解】根據(jù)題意，因?yàn)?，事件和互斥，所以，所以，所以事件的?duì)立事件發(fā)生的概率為.故選：D.2．（2023上·福建莆田·高二莆田一中?？奸_學(xué)考試）已知隨機(jī)事件和互斥,且,,則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】因?yàn)楹突コ?由求出,再由即可得到答案.【詳解】因?yàn)楹突コ?所以,又,所以,因?yàn)?所以.故選:B.3．（2023上·河北邯鄲·高二校考開學(xué)考試）某超市舉行有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，活動(dòng)中設(shè)置一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)、幸運(yùn)獎(jiǎng)三個(gè)獎(jiǎng)項(xiàng)，其中中幸運(yùn)獎(jiǎng)的概率為0.3，中二等獎(jiǎng)的概率為0.2，不中獎(jiǎng)的概率為0.38，則中一等獎(jiǎng)的概率為（

）A．0.16 B．0.22 C．0.12 D．0.1【答案】C【分析】根據(jù)事件間的關(guān)系，利用概率公式，可得答案.【詳解】由于獎(jiǎng)項(xiàng)一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)，幸運(yùn)獎(jiǎng)和不中獎(jiǎng)四個(gè)事件是相互互斥的，且構(gòu)成事件為必然事件，故中一等獎(jiǎng)的概率為．故選：C.4．（2023下·福建福州·高一校聯(lián)考期末）已知，，如果，那么（

）A．0.18 B．0.42 C．0.6 D．0.7【答案】C【分析】結(jié)合事件的包含關(guān)系以及概率的知識(shí)求得答案.【詳解】由于，所以.故選：C.5．（2023下·山西朔州·高一懷仁市第一中學(xué)校校聯(lián)考期末）從裝有2個(gè)紅色乒乓球和3個(gè)白色乒乓球的口袋內(nèi)任取3個(gè)球，那么是互斥事件而不是對(duì)立事件的兩個(gè)事件是（

）A．恰有1個(gè)白色乒乓球與至少2個(gè)白色乒乓球B．至少2個(gè)白色乒乓球與都是白色乒乓球C．至少1個(gè)白色乒乓球與至少1個(gè)紅色乒乓球D．恰有1個(gè)紅色乒乓球與恰有1個(gè)白色乒乓球【答案】D【分析】根據(jù)互斥事件和對(duì)立事件的概念逐項(xiàng)分析可得答案.【詳解】恰有1個(gè)白色乒乓球與至少2個(gè)白色乒乓球是對(duì)立事件，故A錯(cuò)誤；至少2個(gè)白色乒乓球與都是白色乒乓球可以同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，故B錯(cuò)誤；至少1個(gè)白色乒乓球與至少1個(gè)紅色乒乓球可以同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，故C錯(cuò)誤；恰有1個(gè)紅色乒乓球與恰有1個(gè)白色乒乓球是互斥事件而不是對(duì)立事件，故D正確.故選：D.6．（2023上·四川瀘州·高二?？茧A段練習(xí)）已知隨機(jī)事件A和B互斥，且，則等于（

）A．0.8 B．0.7 C．0.5 D．0.2【答案】C【分析】利用互斥事件加法公式和對(duì)立事件概率公式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)殡S機(jī)事件A和B互斥，且，所以，所以.故選：C.7．（2023下·廣東陽(yáng)江·高一廣東兩陽(yáng)中學(xué)?？计谀难b有2件正品和2件次品的盒子內(nèi)任取2件產(chǎn)品，下列選項(xiàng)中是互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件的是（

）A．“至少有1件正品”與“都是次品” B．“恰好有1件正品”與“恰好有1件次品”C．“至少有1件次品”與“至少有1件正品” D．“都是正品”與“都是次品”【答案】D【分析】根據(jù)互斥事件和對(duì)立事件的定義進(jìn)行判斷即可.【詳解】從裝有2件正品和2件次品的盒子內(nèi)任取2件產(chǎn)品，可能的結(jié)果為：1正1次?2正?2次，對(duì)于A：“至少有1件正品”與“都是次品”是對(duì)立事件，不符合；對(duì)于B：“恰好有1件正品”與“恰好有1件次品”是同一個(gè)事件，不符合題意；對(duì)于C：“至少有1件次品”包括1正1次?2次，“至少有1件正品”包括1次1正?2正，這兩個(gè)事件不是互斥事件，不符合題意；對(duì)于D：“都是正品”與“都是次品”是互斥事件而不是對(duì)立事件，符合題意；故選：D8．（2023下·全國(guó)·高一專題練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．若，為兩個(gè)事件，則“與互斥”是“與相互對(duì)立”的必要不充分條件B．若，為兩個(gè)事件，則C．若事件，，兩兩互斥，則D．若事件，滿足，則與相互對(duì)立【答案】A【分析】根據(jù)互斥事件與對(duì)立事件的概念判斷A，根據(jù)和事件的概率公式判斷B，利用反例說明C、D.【詳解】對(duì)于A，若事件與互斥，則與不一定相互對(duì)立，但與相互對(duì)立，則與一定互斥，故“與互斥”是“與相互對(duì)立”的必要不充分條件，故A正確；對(duì)于B，若，為兩個(gè)事件，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若事件，，兩兩互斥，則不一定成立，如：拋擲一枚均勻的骰子一次，記“向上的點(diǎn)數(shù)為1”，“向上的點(diǎn)數(shù)為2”，“向上的點(diǎn)數(shù)為3”，事件，，兩兩互斥，但.故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，拋擲一枚均勻的骰子，所得的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)的概率是，拋擲一枚硬幣，正面向上的概率是，滿足，但是與不對(duì)立，故D錯(cuò)誤.故選：A.二、多選題9．（2023上·四川成都·高二校聯(lián)考期末）一個(gè)質(zhì)地均勻的骰子，擲一次骰子并觀察向上的點(diǎn)數(shù)．A表示事件“骰子向上的點(diǎn)數(shù)大于等于3”，B表示事件“骰子向上的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，則（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】由題意，根據(jù)事件的基本運(yùn)算，結(jié)合古典概型的概率公式依次計(jì)算即可求解.【詳解】A：擲一枚骰子并觀察向上的點(diǎn)數(shù)，樣本空間為，共6個(gè)樣本點(diǎn)，則，共4個(gè)樣本點(diǎn)，所以，故A正確；B：，共3個(gè)樣本點(diǎn)，所以，故B錯(cuò)誤；C：由選項(xiàng)AB知，，共5個(gè)樣本點(diǎn)，所以，故C正確；D：由選項(xiàng)AB知，，共2個(gè)樣本點(diǎn)，所以，故D正確.故選：ACD10．（2023下·全國(guó)·高一專題練習(xí)）下列四個(gè)命題中，假命題有（

）A．對(duì)立事件一定是互斥事件B．若為兩個(gè)事件，則C．若事件彼此互斥，則D．若事件滿足，則是對(duì)立事件【答案】BCD【分析】根據(jù)對(duì)立事件和互斥事件的關(guān)系可判斷A；根據(jù)事件的和事件的概率可判斷B；舉反例可判斷C，D,【詳解】對(duì)于A，因?yàn)閷?duì)立事件一定是互斥事件，A正確；對(duì)B，當(dāng)且僅當(dāng)A與B互斥時(shí)才有，對(duì)于任意兩個(gè)事件，滿足，B不正確；對(duì)C，若事件彼此互斥，不妨取分別表示擲骰子試驗(yàn)中的事件“擲出1點(diǎn)”，“擲出2點(diǎn)”，“擲出3點(diǎn)”，則，所以C不正確；對(duì)于D，例如，袋中有大小相同的紅、黃、黑、藍(lán)4個(gè)球，從袋中任摸一個(gè)球，設(shè)事件A={摸到紅球或黃球}，事件B={摸到黃球或黑球），滿足，但事件A與B不互斥，也不對(duì)立，D錯(cuò)誤，故選：BCD.三、填空題11．（2023上·四川涼山·高二統(tǒng)考期中）若A，B互為對(duì)立事件，，，且，，則的最小值是.【答案】8【分析】根據(jù)對(duì)立事件可得，利用“1”的靈活應(yīng)用結(jié)合基本不等式運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)锳，B互為對(duì)立事件，則，且，，可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值是8.故答案為：8.12．（2023·上海閔行·統(tǒng)考二模）已知事件A與事件B互斥，如果，，那么．【答案】0.2/【分析】根據(jù)互斥事件與對(duì)立事件的概率公式計(jì)算．【詳解】由題意．故答案為：0.2.四、解答題13．（2023上·貴州畢節(jié)·高二校考期中）為了備戰(zhàn)第33屆夏季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)（2024法國(guó)巴黎奧運(yùn)會(huì)），中國(guó)奧運(yùn)健兒刻苦訓(xùn)練，成績(jī)穩(wěn)步提升．射擊隊(duì)的某一選手射擊一次，其命中環(huán)數(shù)的概率如下表：命中環(huán)數(shù)10環(huán)9環(huán)8環(huán)7環(huán)概率0.320.280.180.12求該選手射擊一次：(1)命中9環(huán)或10環(huán)的概率；(2)至少命中8環(huán)的概率；(3)命中不足8環(huán)的概率．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)互斥事件概率加法得結(jié)果；（2）根據(jù)互斥事件概率加法得結(jié)果；（3）根據(jù)對(duì)立事件概率關(guān)系求結(jié)果.【詳解】（1）記“射擊一次，射中9環(huán)或10環(huán)”為事件A，由互斥事件的加法公式得.（2）設(shè)“射擊一次，至少命中8環(huán)”的事件為B，由互斥事件概率的加法公式得.（3）由于事件“射擊一次，命中不足8環(huán)”是事件B：“射擊一次，至少命中8環(huán)”的對(duì)立事件，即表示事件“射擊一次，命中不足8環(huán)”，根據(jù)對(duì)立事件的概率公式得.14．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）在一個(gè)不透明的盒子里裝有大小、質(zhì)地完全相同的球12個(gè)，其中5紅、4黑、2白、1綠，從中任取1個(gè)球.記事件A為“取出的球?yàn)榧t球”，事件B為“取出的球?yàn)楹谇颉?，事件C為“取出的球?yàn)榘浊颉保录﨑為“取出的球?yàn)榫G球”.求:(1)“取出的球?yàn)榧t球或黑球”的概率;(2)“取出的球?yàn)榧t球或黑球或白球”的概率.【答案】(1).(2).【分析】（1）應(yīng)用互斥事件的概率加法公式求出對(duì)應(yīng)的概率值即可.（2）應(yīng)用互斥事件的概率加法公式求出對(duì)應(yīng)的概率值即可.【詳解】（1）由題意可知，.易知“取出的球?yàn)榧t球”與“取出的球?yàn)楹谇颉睘榛コ馐录省叭〕龅那驗(yàn)榧t球或黑球”的概率為.（2）易知，“取出的球?yàn)榧t球”“取出的球?yàn)楹谇颉薄叭〕龅那驗(yàn)榘浊颉眱蓛苫コ?，故“取出的球?yàn)榧t球或黑球或白球”的概率為.15．（2023下·西藏拉薩·高一統(tǒng)考期末）某中學(xué)根據(jù)學(xué)生的興趣愛好，分別創(chuàng)建了“書法”、“詩(shī)詞”、“理學(xué)”三個(gè)社團(tuán)，據(jù)資料統(tǒng)計(jì)新生通過考核選拔進(jìn)入這三個(gè)社團(tuán)成功與否相互獨(dú)立．2015年某新生入學(xué)，假設(shè)他通過考核選拔進(jìn)入該校的“書法”、“詩(shī)詞”、“理學(xué)”三個(gè)社團(tuán)的概率依次為、、，已知三個(gè)社團(tuán)他都能進(jìn)入的概率為，至少進(jìn)入一個(gè)社團(tuán)的概率為，且.（1）求與的值；（2）該校根據(jù)三個(gè)社團(tuán)活動(dòng)安排情況，對(duì)進(jìn)入“書法”社的同學(xué)增加校本選修學(xué)分1分，對(duì)進(jìn)入“詩(shī)詞”社的同學(xué)增加校本選修學(xué)分2分，對(duì)進(jìn)入“理學(xué)”社的同學(xué)增加校本選修學(xué)分3分．求該新同學(xué)在社團(tuán)方面獲得校本選修課學(xué)分分?jǐn)?shù)不低于4分的概率．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)題意，假設(shè)該同學(xué)通過考核選拔進(jìn)入該校的“書法”、“詩(shī)詞”、“理學(xué)”三個(gè)社團(tuán)的概率依次為、、，已知三個(gè)社團(tuán)都能進(jìn)入的概率為，至少進(jìn)入一個(gè)社團(tuán)的概率為，且，利用相關(guān)公式建立方程組，即可求得與的值；（2）根據(jù)題意，可知不低于4分包括了得分為4分、5分、6分三種情況，之后應(yīng)用乘法和加法公式求得結(jié)果.【詳解】（1）依題，解得（2）由題令該新同學(xué)在社團(tuán)方面獲得本選修課學(xué)分的分?jǐn)?shù)為，獲得本選修課學(xué)分分?jǐn)?shù)不低于4分為事件，則；；.故.B能力提升1．（2023下·全國(guó)·高一專題練習(xí)）七巧板，又稱七巧圖、智慧板，是中國(guó)古代勞動(dòng)人民的發(fā)明，其歷史至少可以追溯到公元前一世紀(jì)，到了明代基本定型，于明、清兩代在民間廣泛流傳．某同學(xué)用邊長(zhǎng)為4dm的正方形木板制作了一套七巧板，如圖所示，包括5個(gè)等腰直角三角形，1個(gè)正方形和1個(gè)平行四邊形．若該同學(xué)從5個(gè)三角形中任取出2個(gè)，則這2個(gè)三角形的面積之和不小于另外3個(gè)三角形面積之和的概率是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】如圖所示，，，，，的面積分別為，，．將，，，，分別記為，，，，，從這5個(gè)三角形中任取出2個(gè)，則樣本空間，共有10個(gè)