江蘇省海安市2022年高三第二次診斷性檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)變量滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最大值是（）A．7 B．5 C．3 D．22．已知是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，是它們的-一個(gè)公共點(diǎn)，且，設(shè)橢圓和雙曲線的離心率分別為，則的關(guān)系為（）A． B．C． D．3．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，函數(shù)滿足，且時(shí)，，則（）A．2 B． C．1 D．4．南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的垛積公式，所討論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，前后兩項(xiàng)之差并不相等，但是逐項(xiàng)差數(shù)之差或者高次差成等差數(shù)列對(duì)這類高階等差數(shù)列的研究，在楊輝之后一般稱為“垛積術(shù)”.現(xiàn)有高階等差數(shù)列，其前7項(xiàng)分別為1，4，8，14，23，36，54，則該數(shù)列的第19項(xiàng)為（）（注：）A．1624 B．1024 C．1198 D．15605．已知函數(shù)（）的部分圖象如圖所示，且，則的最小值為（）A． B．C． D．6．已知集合，則()A． B．C． D．7．若復(fù)數(shù)，，其中是虛數(shù)單位，則的最大值為()A． B． C． D．8．已知集合，則（）A． B． C． D．9．函數(shù)f(x)＝sin(wx＋)(w＞0，＜)的最小正周期是π，若將該函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后得到的函數(shù)圖象關(guān)于直線x＝對(duì)稱，則函數(shù)f(x)的解析式為（）A．f(x)＝sin(2x＋) B．f(x)＝sin(2x－)C．f(x)＝sin(2x＋) D．f(x)＝sin(2x－)10．已知集合，集合，則A． B．或C． D．11．已知函數(shù)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A．函數(shù)的最小正周期為πB．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C．函數(shù)在上單調(diào)遞增D．函數(shù)的圖象可由的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到12．在等差數(shù)列中，若為前項(xiàng)和，，則的值是（）A．156 B．124 C．136 D．180二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若實(shí)數(shù)滿足不等式組，則的最小值是___14．若函數(shù)(R，)滿足，且的最小值等于，則ω的值為_(kāi)__________.15．已知圓柱的上下底面的中心分別為，過(guò)直線的平面截該圓柱所得的截面是面積為36的正方形，則該圓柱的體積為_(kāi)___16．已知二項(xiàng)式ax-1x6的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為-160三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）某精密儀器生產(chǎn)車間每天生產(chǎn)個(gè)零件，質(zhì)檢員小張每天都會(huì)隨機(jī)地從中抽取50個(gè)零件進(jìn)行檢查是否合格，若較多零件不合格，則需對(duì)其余所有零件進(jìn)行檢查．根據(jù)多年的生產(chǎn)數(shù)據(jù)和經(jīng)驗(yàn)，這些零件的長(zhǎng)度服從正態(tài)分布（單位：微米），且相互獨(dú)立．若零件的長(zhǎng)度滿足，則認(rèn)為該零件是合格的，否則該零件不合格．（1）假設(shè)某一天小張抽查出不合格的零件數(shù)為，求及的數(shù)學(xué)期望；（2）小張某天恰好從50個(gè)零件中檢查出2個(gè)不合格的零件，若以此頻率作為當(dāng)天生產(chǎn)零件的不合格率．已知檢查一個(gè)零件的成本為10元，而每個(gè)不合格零件流入市場(chǎng)帶來(lái)的損失為260元．假設(shè)充分大，為了使損失盡量小，小張是否需要檢查其余所有零件，試說(shuō)明理由．附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則．18．（12分）眼保健操是一種眼睛的保健體操，主要是通過(guò)按摩眼部穴位，調(diào)整眼及頭部的血液循環(huán)，調(diào)節(jié)肌肉，改善眼的疲勞，達(dá)到預(yù)防近視等眼部疾病的目的.某學(xué)校為了調(diào)查推廣眼保健操對(duì)改善學(xué)生視力的效果，在應(yīng)屆高三的全體800名學(xué)生中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行視力檢查，并得到如圖的頻率分布直方圖.（1）若直方圖中后三組的頻數(shù)成等差數(shù)列，試估計(jì)全年級(jí)視力在5.0以上的人數(shù)；（2）為了研究學(xué)生的視力與眼保健操是否有關(guān)系，對(duì)年級(jí)不做眼保健操和堅(jiān)持做眼保健操的學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查，得到下表中數(shù)據(jù)，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，能否在犯錯(cuò)的概率不超過(guò)0.005的前提下認(rèn)為視力與眼保健操有關(guān)系？（3）在（2）中調(diào)查的100名學(xué)生中，按照分層抽樣在不近視的學(xué)生中抽取8人，進(jìn)一步調(diào)查他們良好的護(hù)眼習(xí)慣，在這8人中任取2人，記堅(jiān)持做眼保健操的學(xué)生人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.附：0.100.050.0250.0100.005k2.7063.8415.0246.6357.87919．（12分）2019年9月26日，攜程網(wǎng)發(fā)布《2019國(guó)慶假期旅游出行趨勢(shì)預(yù)測(cè)報(bào)告》，2018年國(guó)慶假日期間，西安共接待游客1692.56萬(wàn)人次，今年國(guó)慶有望超過(guò)2000萬(wàn)人次，成為西部省份中接待游客量最多的城市.旅游公司規(guī)定：若公司某位導(dǎo)游接待旅客，旅游年總收人不低于40(單位：萬(wàn)元)，則稱該導(dǎo)游為優(yōu)秀導(dǎo)游.經(jīng)驗(yàn)表明，如果公司的優(yōu)秀導(dǎo)游率越高，則該公司的影響度越高.已知甲、乙家旅游公司各有導(dǎo)游40名，統(tǒng)計(jì)他們一年內(nèi)旅游總收入，分別得到甲公司的頻率分布直方圖和乙公司的頻數(shù)分布表如下：分組頻數(shù)（1）求的值，并比較甲、乙兩家旅游公司，哪家的影響度高？（2）從甲、乙兩家公司旅游總收人在(單位：萬(wàn)元)的導(dǎo)游中，隨機(jī)抽取3人進(jìn)行業(yè)務(wù)培訓(xùn)，設(shè)來(lái)自甲公司的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.20．（12分）在底面為菱形的四棱柱中，平面.（1）證明：平面；（2）求二面角的正弦值.21．（12分）已知，，.（1）求的最小值；（2）若對(duì)任意，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.22．（10分）已知在ΔABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且cosB（1）求b的值；（2）若cosB+3sin

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．B【解析】

由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標(biāo)，把最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)得結(jié)論.【詳解】畫(huà)出約束條件，表示的可行域，如圖，由可得，將變形為，平移直線，由圖可知當(dāng)直經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，直線在軸上的截距最大，最大值為，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃中，利用可行域求目標(biāo)函數(shù)的最值，屬于簡(jiǎn)單題.求目標(biāo)函數(shù)最值的一般步驟是“一畫(huà)、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是實(shí)線還是虛線）；（2）找到目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的最優(yōu)解對(duì)應(yīng)點(diǎn)（在可行域內(nèi)平移變形后的目標(biāo)函數(shù)，最先通過(guò)或最后通過(guò)的頂點(diǎn)就是最優(yōu)解）；（3）將最優(yōu)解坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出最值.2．A【解析】

設(shè)橢圓的半長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，雙曲線的半長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，根據(jù)橢圓和雙曲線的定義得：，解得，然后在中，由余弦定理得：，化簡(jiǎn)求解.【詳解】設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，雙曲線的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，由橢圓和雙曲線的定義得：，解得，設(shè)，在中，由余弦定理得：，化簡(jiǎn)得，即.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓，雙曲線的定義和性質(zhì)以及余弦定理的應(yīng)用，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.3．D【解析】

說(shuō)明函數(shù)是周期函數(shù)，由周期性把自變量的值變小，再結(jié)合奇偶性計(jì)算函數(shù)值．【詳解】由知函數(shù)的周期為4，又是奇函數(shù)，，又，∴，∴．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性與周期性，掌握周期性與奇偶性的概念是解題基礎(chǔ)．4．B【解析】

根據(jù)高階等差數(shù)列的定義，求得等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和，利用累加法求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求得.【詳解】依題意：1，4，8，14，23，36，54，……兩兩作差得：3，4，6，9，13，18，……兩兩作差得：1，2，3，4，5，……設(shè)該數(shù)列為，令，設(shè)的前項(xiàng)和為，又令，設(shè)的前項(xiàng)和為.易，，進(jìn)而得，所以，則，所以，所以.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查新定義數(shù)列的理解和運(yùn)用，考查累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.5．A【解析】

是函數(shù)的零點(diǎn)，根據(jù)五點(diǎn)法求出圖中零點(diǎn)及軸左邊第一個(gè)零點(diǎn)可得．【詳解】由題意，，∴函數(shù)在軸右邊的第一個(gè)零點(diǎn)為，在軸左邊第一個(gè)零點(diǎn)是，∴的最小值是．故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的周期性，考查函數(shù)的對(duì)稱性．函數(shù)的零點(diǎn)就是其圖象對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)．6．B【解析】

先由得或，再計(jì)算即可.【詳解】由得或，，,又，.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的交集，補(bǔ)集的運(yùn)算，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力.7．C【解析】

由復(fù)數(shù)的幾何意義可得表示復(fù)數(shù)，對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)間的距離，由兩點(diǎn)間距離公式即可求解.【詳解】由復(fù)數(shù)的幾何意義可得，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，所以，其中，故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的幾何意義，由復(fù)數(shù)的幾何意義，將轉(zhuǎn)化為兩復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離求值即可，屬于基礎(chǔ)題型.8．A【解析】

考慮既屬于又屬于的集合，即得.【詳解】.故選：【點(diǎn)睛】本題考查集合的交運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.9．D【解析】

由函數(shù)的周期求得，再由平移后的函數(shù)圖像關(guān)于直線對(duì)稱，得到，由此求得滿足條件的的值，即可求得答案.【詳解】分析：由函數(shù)的周期求得，再由平移后的函數(shù)圖像關(guān)于直線對(duì)稱，得到，由此求得滿足條件的的值，即可求得答案.詳解：因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期是，所以，解得，所以，將該函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位后，得到圖像所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為，由此函數(shù)圖像關(guān)于直線對(duì)稱，得：，即，取，得，滿足，所以函數(shù)的解析式為，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象變換，以及函數(shù)的解析式的求解，其中解答中根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換得到，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力.10．C【解析】

由可得，解得或，所以或，又，所以，故選C．11．D【解析】

由可判斷選項(xiàng)A；當(dāng)時(shí)，可判斷選項(xiàng)B；利用整體換元法可判斷選項(xiàng)C；可判斷選項(xiàng)D.【詳解】由題知，最小正周期，所以A正確；當(dāng)時(shí)，，所以B正確；當(dāng)時(shí)，，所以C正確；由的圖象向左平移個(gè)單位，得，所以D錯(cuò)誤.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查余弦型函數(shù)的性質(zhì)，涉及到周期性、對(duì)稱性、單調(diào)性以及圖象變換后的解析式等知識(shí)，是一道中檔題.12．A【解析】

因?yàn)?，可得，根?jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和，即可求得答案.【詳解】，，.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了求等差數(shù)列前項(xiàng)和，解題關(guān)鍵是掌握等差中項(xiàng)定義和等差數(shù)列前項(xiàng)和公式，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．-1【解析】作出可行域，如圖：由得,由圖可知當(dāng)直線經(jīng)過(guò)A點(diǎn)時(shí)目標(biāo)函數(shù)取得最小值，A（1,0）所以-1故答案為-114．1【解析】

利用輔助角公式化簡(jiǎn)可得,由題可分析的最小值等于表示相鄰的一個(gè)對(duì)稱中心與一個(gè)對(duì)稱軸的距離為,進(jìn)而求解即可.【詳解】由題,,因?yàn)?,且的最小值等于,即相鄰的一個(gè)對(duì)稱中心與一個(gè)對(duì)稱軸的距離為,所以,即,所以,故答案為:1【點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)的對(duì)稱性的應(yīng)用,考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn).15．【解析】

由軸截面是正方形，易求底面半徑和高，則圓柱的體積易求.【詳解】解：因?yàn)檩S截面是正方形，且面積是36，所以圓柱的底面直徑和高都是6故答案為：【點(diǎn)睛】考查圓柱的軸截面和其體積的求法，是基礎(chǔ)題.16．2【解析】

在二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式中，令x的冪指數(shù)等于0，求出r的值，即可求得常數(shù)項(xiàng)，再根據(jù)常數(shù)項(xiàng)等于-160求得實(shí)數(shù)a的值．【詳解】∵二項(xiàng)式(ax-1x)令6-2r=0，求得r=3，可得常數(shù)項(xiàng)為-C63故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（1）見(jiàn)解析（2）需要，見(jiàn)解析【解析】

（1）由零件的長(zhǎng)度服從正態(tài)分布且相互獨(dú)立,零件的長(zhǎng)度滿足即為合格,則每一個(gè)零件的長(zhǎng)度合格的概率為,滿足二項(xiàng)分布,利用補(bǔ)集的思想求得,再根據(jù)公式求得；（2）由題可得不合格率為,檢查的成本為,求出不檢查時(shí)損失的期望,與成本作差,再與0比較大小即可判斷.【詳解】（1）,由于滿足二項(xiàng)分布,故.（2）由題意可知不合格率為,若不檢查,損失的期望為；若檢查,成本為,由于,當(dāng)充分大時(shí),,所以為了使損失盡量小,小張需要檢查其余所有零件.【點(diǎn)睛】本題考查正態(tài)分布的應(yīng)用,考查二項(xiàng)分布的期望,考查補(bǔ)集思想的應(yīng)用,考查分析能力與數(shù)據(jù)處理能力.18．（1）（2）能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.005的前提下認(rèn)為視力與眼保健操有關(guān)系（3）詳見(jiàn)解析【解析】

（1）由題意可計(jì)算后三組的頻數(shù)的總數(shù)，由其成等差數(shù)列可得后三組頻數(shù)，可得視力在5.0以上的頻率，可得全年級(jí)視力在5.0以上的的人數(shù)；（2）由題中數(shù)據(jù)計(jì)算的值，對(duì)照臨界值表可得答案；（3）由題意可計(jì)算出這8人中不做眼保健操和堅(jiān)持做眼保健操的分別有2人和6人，可得X可取0，1，2，分別計(jì)算出其概率，列出分布列，可得其數(shù)學(xué)期望.【詳解】解：（1）由圖可知，第一組有3人，第二組7人，第三組27人，因?yàn)楹笕M的頻數(shù)成等差數(shù)列，共有（人）所以后三組頻數(shù)依次為24，21，18，所以視力在5.0以上的頻率為0.18，故全年級(jí)視力在5.0以上的的人數(shù)約為人（2），因此能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.005的前提下認(rèn)為視力與眼保健操有關(guān)系.（3）調(diào)查的100名學(xué)生中不近視的共有24人，從中抽取8人，抽樣比為，這8人中不做眼保健操和堅(jiān)持做眼保健操的分別有2人和6人，X可取0，1，2，，X的分布列X012PX的數(shù)學(xué)期望.【點(diǎn)睛】本題主要考查頻率分布直方圖，獨(dú)立性檢測(cè)及離散型隨機(jī)變量的期望與方差等相關(guān)知識(shí)，考查學(xué)生分析數(shù)據(jù)與處理數(shù)據(jù)的能力，屬于中檔題.19．（1），乙公司影響度高；（2）見(jiàn)解析，【解析】

（1）利用各小矩形的面積和等于1可得a，由導(dǎo)游人數(shù)為40人可得b，再由總收人不低于40可計(jì)算出優(yōu)秀率；（2）易得總收入在中甲公司有4人，乙公司有2人，則甲公司的人數(shù)的值可能為1，2，3，再計(jì)算出相應(yīng)取值的概率即可.【詳解】（1）由直方圖知，，解得，由頻數(shù)分布表中知：，解得.所以，甲公司的導(dǎo)游優(yōu)秀率為：，乙公司的導(dǎo)游優(yōu)秀率為：，由于，所以乙公司影響度高.（2）甲公司旅游總收入在中的有人，乙公司旅游總收入在中的有2人，故的可能取值為1，2，3，易知：，;.所以的分布列為：123P.【點(diǎn)睛】本題考查頻率分布直方圖、隨機(jī)變量的分布列與期望，考查學(xué)生數(shù)據(jù)處理與數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，是一道中檔題.20．（1）證明見(jiàn)解析；（2）【解析】

（1）由已知可證，即可證明結(jié)論；（2）根據(jù)已知可證平面，建立空間直角坐標(biāo)系，求出坐標(biāo)，進(jìn)而求出平面和平面的法向量坐標(biāo)，由空間向量的二面角公式，即可求解.【詳解】方法一：（1）依題意，且∴，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵平面，平面，∴平面.（2）∵平面，∴，∵且為的中點(diǎn)，∴，∵平面且，∴平面，以為原點(diǎn)，分別以為軸、軸、軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，∴設(shè)平面的法向量為，則，∴，取，則.設(shè)平面的法向量為，則，∴，取，則.∴，設(shè)二面角的平面角為，則，∴二面角的正弦值為.方法二：（1）證明：連接交于點(diǎn)，因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?，所以為中點(diǎn)，又因?yàn)樗倪呅螢榱庑危詾橹悬c(diǎn)，∴在中，且，∵平面，平