機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)作業(yè)

機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)作業(yè)1

要求根據(jù)目標(biāo)函數(shù)和約束條件采用適合的MATLAB優(yōu)化函數(shù)求解優(yōu)化

問(wèn)題，即線性規(guī)劃問(wèn)題、無(wú)約束非線性規(guī)劃、約束非線性規(guī)劃問(wèn)題、二次

規(guī)劃問(wèn)題。

問(wèn)答題要求：(1)對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行分析，寫(xiě)出該問(wèn)題的優(yōu)化模型(包括

設(shè)計(jì)變量、目標(biāo)函數(shù)、約束條件)；

(2)將優(yōu)化模型轉(zhuǎn)化為matlab程序(m文件)；

(3)利用matlab軟件求解該優(yōu)化問(wèn)題，寫(xiě)出最優(yōu)解。

題目一：

minf?xl?x2?x3?xl?2x2?3x3?15?s?t?2xl?x2?5x3?20

?xlzx2?0?

分析：目標(biāo)函數(shù)：minf=xl+x2+x3

此為線性規(guī)劃問(wèn)題，有一個(gè)等式約束，一個(gè)不等式約束；

采用命令：x=linprog(c,A,b,Aeq,beq)

1,編寫(xiě)M文件如下：

c=[Hl]；

A=[-l-2-3];

b=[-15];

Aeq=[215];

beq=[20];

lb=[O;O;O;];

ub=[];

[x,fval,exitflag]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,lb,ub);

2,運(yùn)行結(jié)果；

Optimizationterminated.

>>x=

0.0000

2.1429

3.5714

>>fval=5.7143

>>exitflag=1

題目二

1

minf?0.5xl?x2?xlx2?2xl?6x2

22

?xl?x2?2?

??xl?2x2?2s?t?

?2xl?x2?3?x,x?0

12?

分析：目標(biāo)函數(shù)：minf=0.5xlA2+x2A2-xlx2-2xl-6x2

此為二次規(guī)劃問(wèn)題，并為線性約束；

采用命令[x,fval,exitflag,output,grad7hessian]=

fmincon(@fun,xO,A,b,Aeq,beq,Lb,Ub/Nic',options,Pl,P2…)1.先編寫(xiě)

M文件fun。m定義目標(biāo)函數(shù)：

functionf=fun(x);

f=0.5*x(l)*x(l)+x(2)*x(2)-x(l)*x(2)-2*x(l)-6*x(2);

2.再在M文件命令窗口里編寫(xiě)主程序；

clear;cic;

A=[l1;-12;21];b=[2;2;3];Aeq=[];beq=[];lb=[0;0];ub=[];

[x,fval]=fmincon(@fun,A,b,Aeq,beq,lb,ub)

運(yùn)行結(jié)果：

x=0.66671.333fval=

-8.2222

題目三：

minf?e(4x?2x?4xlx2?2x2?l)

xl

21

22

?xlx2?xl?x2?1.5?0s?t?

?xx?10?012?

分析：目標(biāo)函數(shù)：minf=exp(x(l))

*(4*x(l)A2+2*x(2)A2+4*x(l)*x(2)+2*x(2)+l);此為非線性規(guī)劃問(wèn)題，并

為非線性約束；采用命令[x,fval,exitflag,output,grad,hessian]:

fmincon(@fun,xO,A,b,Aeq,beq,Lb,Ub,'Nic',options,Pl,P2…)1,.先編寫(xiě)

M文件funl。m定義目標(biāo)函數(shù):

functionf=funl(x);

2

f=exp(x(l))*(4*x(l)*x(l)+2*x(2)*x(2)+4*x(l)*x(2)+2*x(2)+l);2,在建立M

文件mycon。m定義非線性約束；

function[c7cep]=mycon(x)

c=[x(l)*x(2)-x(l)-x(2)+1.5;-x(l)*x(2)-10];

cep=[];

3.再在M文件命令窗口里編寫(xiě)主程序；

clear;

cic;

xO=[-l;l];

A=[];

b=口;

Aeq=[];

beq=[];

lb=[]；

ub=[];

運(yùn)算

[x,fval/extiflag]=fmincon(@funl/xO,A,b,Aeq/beqJb/ub,@mycon)4,

結(jié)果：

x=

-9.5474

1.0474

fval=

0.0236

extiflag=

1

題目四：

計(jì)算下面函數(shù)在區(qū)間(0,1)內(nèi)的最小值。

f(x)?x?cosx?xlogx

ex3

分析：目標(biāo)函數(shù)：minf(x)?x?cosx?xlogx

ex3

此為無(wú)約束問(wèn)題；是解單變量問(wèn)題，f目標(biāo)函數(shù)為連續(xù)函數(shù)，對(duì)于簡(jiǎn)

單優(yōu)化問(wèn)題采用fminbnd函數(shù)，其格式

^J;[xopt/fopt]=fminbnd(fun,xl/x2,options)

1”先編寫(xiě)M文件fun2。m定義目標(biāo)函數(shù)：

functionf=fun2(x);

f=((xA3+cos(x)+x*log(x))/exp(x))

2.再在M文件命令窗口里編寫(xiě)主程序；

3

clear;

cic;

[x,fval,exitflag]=fminbnd(@fun2,0,l)

3,運(yùn)算結(jié)果：

x=

0.5223

fval=

0.3974

題目五：

某廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，已知制成一噸產(chǎn)品甲需用A資源3噸，B

資源4m3；制成一噸產(chǎn)品乙需用A資源2噸，B資源6m3,C資源7個(gè)單

位。若一噸產(chǎn)品甲和乙的經(jīng)濟(jì)價(jià)值分別為7萬(wàn)元和5萬(wàn)元，三種資源的限

制量分別為90噸、200m3和210個(gè)單位。試應(yīng)生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品各多少噸

才能使創(chuàng)造的總經(jīng)濟(jì)價(jià)值最高？

1.確定變量：

設(shè)生產(chǎn)產(chǎn)品甲的數(shù)量為XL生產(chǎn)產(chǎn)品乙的數(shù)量為X2,所以決策變量：

X=[xl,x2]T

2.建立目標(biāo)函數(shù)：

根據(jù)兩種產(chǎn)品的經(jīng)濟(jì)價(jià)值情況，按照實(shí)現(xiàn)總的利潤(rùn)最大化，建立關(guān)于

決策變量的函數(shù)：MAXZ=7xl+5x2

3.確定約束條件：

根據(jù)三種資源數(shù)量限制，建立三個(gè)線性不等式約束條件

3xl+2x2<=90

4xl+6x2<=200

7x2<=210

xl>=O,x2>=0

該模型中要求目標(biāo)函數(shù)最大化而Matlab是求最小值的，所以應(yīng)先轉(zhuǎn)化,

即得

目標(biāo)函數(shù)為：

MINZ=-7xl-5x2就這樣建立為線性規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型

4.在m文件的命令窗口輸入如下的命令：

clear;

cic;

c=[-7-5];

A=[32;46;07];

b=[90;200;210];

Aeq=[];

beq=[];

lb=[O;O;];

4

ub=[];

[x,fval/exitflag]=linprog(c/A,b,Aeq/beqJb/ub);

5.運(yùn)行結(jié)果：

Optimizationterminated.

x=

14.0000

24.0000

fval=

-218.0000

題目六：

已知：制造一體積為100m3,長(zhǎng)度不小于5m,不帶上蓋的箱盒，試

確定箱盒的長(zhǎng)X1,寬x2,高x3,使箱盒用料最省。

1確定變量：

設(shè)該箱盒的長(zhǎng)，寬，高分別為XI,X2,X3,所以決策變量：

X=[xl,X2,X3]T

2建立目標(biāo)函數(shù)：

根據(jù)題目要求不帶上蓋的箱盒而使箱盒用料最省，建立關(guān)于決策變量

的函數(shù)：

MinZ=x(l)A2+2x(2)x(3)+2x(l)x(3)

3.確定約束條件：

根據(jù)要求建立約束條件

xlX2X3=100；

xl>=5；

x2>=0,x3>=0

此數(shù)學(xué)模型中有非線性的等式約束.

先建立m文件編寫(xiě)mycon2。m建立非線性等式約束

function[c,cep]=mycon2(x)

c=[]；

cep=[100-x(l)*x(2)*x(3)];

再建立m文件編寫(xiě)fun3。m

functionf=fun3(x);

f=x(l)*x(2)+2*x(2)*x(3)+2*x(l)*x(3);

最后在M文件命令窗口里編寫(xiě)主程序

x0=[5;l;l]

A=[-l00];

b=[-5];

Aeq=[];

beq=[];

5

lb=[0;0;0];

ub=[];

運(yùn)行結(jié)

[x,fval/extiflag]=fmincon(@fun3,xO,A,b,Aeq,beq/lb,ub,@mycon2)

果：

x=

5.8480

5.8480

2.9240

fval=

102.5986

extiflag=

5

題目七：

機(jī)床主軸是機(jī)床中重要零件之一，一般為多支承空心階梯軸。為了便

于使用材料力學(xué)公式進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析，常將階梯軸簡(jiǎn)化成以當(dāng)量直徑表示的

等截面軸。在設(shè)計(jì)時(shí)有兩個(gè)重要因素需要考慮，即主軸的自重和伸出端C

點(diǎn)的撓度。圖1所示的為一根簡(jiǎn)化的機(jī)床主軸。要求以主軸的自重為目標(biāo)，

對(duì)該主軸進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。已知條件：主軸材料為45#,內(nèi)徑d=30mm,外

力F=15000N,許用撓度yO=O.O5mm,材料的彈性模量E=210GPa,許用應(yīng)

力[o]=180MPa,材料的密度為？?7800kg/m3。300<l<650,60<D<

110,90<a<150ol>D、a的量綱均為毫米。試建立機(jī)床主軸以主軸自

重最輕為目標(biāo)的優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型。其中，C點(diǎn)的撓度：y?Fa2?l?a?

3EI；I??

64?D4?d4?0

1確定變量：

設(shè)該空心階梯軸的長(zhǎng)I,外徑D,伸出的軸長(zhǎng)a分別為XI,X2,X3,

所以決策變量：X=[l,D,a]T=[xl,X2,X3]T

2建立目標(biāo)函數(shù)：

根據(jù)題目要求機(jī)床主軸以主軸自重最輕，建立關(guān)于決策變量的函數(shù):

Minf=0.25??(l+a)(DA2-dA2)

6

帶入數(shù)值??7800kg/m3,d=30mm

計(jì)算為f=6126.10567(x(l)+x(3))(x(2)A2-0.0009)

3.確定約束條件:

此應(yīng)滿足兩個(gè)條件，一是端點(diǎn)c處的擾度最大值應(yīng)小于0.05mm,二

是此軸的強(qiáng)度應(yīng)滿足要求。

對(duì)于最大擾度：Ymax?

?

64Fa2?l?a?3EI<=0.05mmI?

進(jìn)行化簡(jiǎn)得(其中?D

M4?d4?,E=210GPa,F=15000N)(x(3)A3*(x(l)+x(3))/(x(2)A4

-0.00000081))-103.083<=0;對(duì)于強(qiáng)度條件：？max?maxWZ?Mmax3?D????

32

其中Mmax=F?l?a?

進(jìn)行化簡(jiǎn)得(x⑶/(x(2)〃3-0.000027))-1178.0972<=0;

這便建立了一個(gè)非線性規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型。

先建